Тема: Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведения

Тема: «

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведения » 9 кл

Цель: формирование знаний умений на преобразование суммы и разности тригонометри

ческих функций в произведение , умение применять формулы в стандартных и нестандар

тных ситуациях.

Развитие речи. Внимания , смекалки.

Воспитание интереса к предмету, воспитывать честность , взаимопонимания.

Девиз урока:

« Знание - самое превосходное из владений . Все стремятся к нему . само же оно не приходит.»

Аль - Бируни.

План урока :

1. Организационный момент

2. Повторение. Организация мыслительной деятельности.

3. Объяснение нового материала . Вывод формул .

4. Закрепление изученного материала

5 .Итог урока. Рефлексия.

6. Домашнее задание.

Ход урока

1. Орг. момент

Психологический настрой к уроку. Встали , повернулись к друг другу лицом ,

улыбнулись и пожелали успехов.

2).Проверка домашнего задания

2. Организация мыслительной деятельности

1) Сформулируйте основные свойства тригонометрических функций

а) их знаки

б) четность

в)периодичность

2) Определите знаки тригонометрических функций угла :

143, -245, 735 300 180 -115

Объяснение новой темы

Класс разбить на две команды

1. команда . Выводит формулу преобразования суммы тригонометрических функций

в произведение

2. команда . Выводит формулу преобразования разности тригонометрических

функций в произведение.

1) Объясним первую формулу:

x + y x - y
sin x + sin y = 2 sin --- cos ---
2 2

Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α.

Сложим две формулы:

sin (α + β) + sin (α - β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β - sin β cos α = 2 sin α cos β.

Таким образом,

sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α cos β.

К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.

Теперь введем новые переменные:

вместо α + β напишем х,

вместо α - β напишем у.

Тогда:

sin х + sin у = 2 sin α cos β.

В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:

│α + β = х
│α - β = у

│α + β + α - β = х + у
│α + β - α + β = х - у

│2α = х + у
│2β = х - у

│ х + у
│α = ---
│ 2
│
│ х - у
│ β = ---
│ 2

Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:

x + y x - y
sin x + sin y = 2 sin --- cos ---
2 2

2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой и доказывается просто.

Вспомним свойство нечетности синуса: sin (-y) = -sin y.

Из этого следует, что sin x - sin y = sin x + (-sin y). Следовательно:

x + (-y) x - (-y) х - у х + у
sin x + (-sin y) = 2 sin ---- cos ---- = 2 sin --- cos ---.
2 2 2 2

Таким образом:

x - y x + y
sin x - sin y = 2 sin --- cos ---
2 2

Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.

Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как

отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы

сложения. То есть совершаем всего три действия:

sin x sin y sin x cos y + cos x sin y sin (x + y)
tg x + tg y = --- + --- = ------------ = ------
cos x cos y cos x cos y cos x cos y

cos x cos y cos x sin y + sin x cos y sin (x + y)

ctg x + ctg y = --- + --- = ------------ = ------
sin x sin y sin x sin y sin x sin y

Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.
Остальные формулы, приведенные в таблице, тоже тесно связаны с другими формулами тригонометрии.

Попробуйте вычислить их самостоятельно

4. Закрепление изученного.

Пример 1. Упростить выражение

sin 60º + sin 30º.

Решение.

60º + 30º 60º - 30º
sin 60º + sin 30º = 2 sin ----- cos ----- = 2 sin 45º cos 15º =
2 2

√2
= 2 · -- cos 15º = √2 cos 15º.
2

Ответ: sin 60º + sin 30º = √2 cos 15º.

Пример 2. Упростить выражение

sin 60º - sin 30º.

Решение.

45º - 15º 45º + 15º
sin 45º - sin 15º = 2 sin ----- cos ----- = 2 sin 15º cos 30º =
2 2

√3
= 2 sin 15º · -- = √3 sin 15º.
2

Ответ: sin 45º - sin 15º = √3 sin 15º.

Работа по учебнику

№ 473, 474 , 475 , 477, 480

Итог урока . Рефлексия.

И вновь возвращаясь к словам Аль- Бируни

« Знание - самое превосходное из владений . Все стремятся к нему . само же оно не приходит.»

Выбери утверждение которое соответствует вашей работе на уроке

1. О , монах , ты идешь трудной дорогой.

2.Золото добывают из земли , а знания - из книги .

3. Ах , как я устал от этой суеты.

4. Без труда не вытащишь рыбку из пруда.

Домашнее задание №472 . П 8.1 выучить