Исследовательская работа по математике В мире пентамино

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Перевозского муниципального района

Нижегородской области

«Средняя школа №2 г. Перевоза»

И

сследовательская работа

по математике

«Радужное пентамино»

Выполнила ученица 6 «А» класса

Шимина Дарья

Руководитель учитель математики

Клементьева М. Н.

Перевоз 2015г

Содержание

Введение. ...………………………………………………………………1

Основная часть. . . .…………………………………….......................2-.11

1. Что такое «Пентамино» .………………………………………………4

2. Виды и количество фигур .…………………………………… ….… 5

3. Задачи на составление прямоугольника, утроение фигур.………….6-7

4. Правила игры, как сделать «Пентамино »……………………………8

5. Решение популярных головоломок …..................................................9

5.Родственники «Пентамино» ….………………………………………10

Заключение ….……………………………………………………………1

Используемая литература………………………………………………..12

ВВЕДЕНИЕ

У меня много интересов. В свободное время я люблю поиграть в интересные игры, например шашки или домино. Так же люблю читать интересные книги. Однажды учитель математики завела разговор о разделении математики на два предмета, один из которых геометрия. Этот предмет мы будем изучать в 7 классе, для успешной учебы необходимо развивать свое логическое и геометрическое воображение, а для этого существует много разнообразных способов, один из которых всемирно известная игра «Пентамино». Она предложила с играть, тем самым заинтересовав нас всех. Смысл этой игры-головоломки состоит в следующем: необходимо составить разнообразные фигурки из 12 основных фигур, каждая из которых составляется из пяти («пента» в переводе с греческого означает «пять») равных квадратов. Основная фигура «Пентамино» обозначается латинской буквой, похожей на эту фигурку.

Мне очень понравилась эта игра. Приходилось прикладывать немало усилий, чтобы собрать даже очень простую головоломку. Фигурки для «Пентамино» мы сделали сами из цветного картона. Все хотели составить фигурку как можно быстрее и сложнее. Учитель предлагал нам на выбор фигурки, которые были найдены в интернете, но все старались придумать что - то своё. Мы очень увлеклись этой игрой, и даже играли в неё на перемене!

Итак, цель моей исследовательской работы: изучить логическую игру «Пентамино».

Задачи:

1. Собрать и изучить материал по «Пентамино»;

2. Решить задачи, предложенные любителями игры;

3. Изготовить фигурки «Пентамино» собственноручно.

Предмет исследования: математика.

Объект исследования: логическая игра «Пентамино».

Основная часть. Мир «Пентамино»

1. Что такое «Пентамино»

Пентамино́ - пятиклеточные полимино, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой. Этим же словом иногда называют головоломку, в которой такие фигуры необходимо укладывать в прямоугольник или другие формы. "Пентамино" - одна из самых популярных мировых головоломок, она получила свою популярность уже в 50 -х годах нашего века. Сама же игра подробно описывалась в журнале "Наука и жизнь". В эту головоломку могут играть и дети и взрослые. «Пентамино» придумал американский математик С. Голомб .

Виды и количество фигур

В пентамино существует 12 различных фигур, обозначаемых латинскими буквами, форму которых они напоминают.

Принято считать, что зеркальное отражение фигур не создают каких-либо новых фигур. Но если посчитать и зеркально отражённые фигуры, то их число увеличится до 18. Такое различие имеет значение, например, в компьютерной игре, вариации « Тетриса»- «Пентиксе».

Можно рассмотреть вращение фигур на 90°, при этом возникают следующие случаи:

• L, N, P, F и Y могут быть ориентированы 8 способами каждая: 4 поворотами и ещё 4 зеркальными отображениями.

• Z может быть ориентирована 4 способами: 2-поворотами, 2-зеркальными отображениями.

• T, V, U и W могут быть ориентированы поворотами 4 способами каждая.

• I может быть ориентирована поворотами 2 способами.

• X может быть ориентирована единственным способом. Отсюда число фиксированных пентамино равно 5 × 8 + (1 + 4) × 4 + 2 + 1 = 63

Укладка прямоугольников:

Самая популярная задача «Пентамино» сложить из всех фигур прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Можно составить различные прямоугольники, такие как 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Каждую головоломку можно решить вручную , но сложнее будет подсчитать все решения в отдельно взятом случае. Не все задачи на составление прямоугольников решаемы. Например 2×30 и 1×60 составить из фигур «Пентамино» нельзя, поскольку некоторые фигуры не помещаются по ширине. Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер.

Всего существует 2339 укладок «Пентамино» (в случае 6×10) , не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей.

Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 - 368 решений,

3×20 - всего 2 решения.

Задачу об утроении фигур «Пентамино» предложил известный профессор Калифорнийского университета Р.М. Робинсон. Выбрав одну из 12 фигур, необходимо построить из каких-либо 9 оставшихся «Пентамино» фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 «Пентамино».

Правила игры «Пентамино»
Нужно расположить все фигурки оставив пустыми четыре клетки. В простом случае фигурки можно переворачивать (отражать зеркально), а пустые клетки оставлять где угодно. В усложненном варианте запрещается зеркальные перевороты фигур, а пустые клетки должны быть на конкретных местах (например, по углам). Если сделать несколько комплектов, то можно собирать на время.

Как сделать Пентамино

• Можно изготовить пентамино из кубиков, но это довольно трудно. Нужно будет обклеить 60 кубиков. Проще всего сделать элементы их плотного картона.

• Сначала рисуем каждый элемент на бумаге (в клеточку), затем вырезаем полученные фигуры и перечерчиваем их на твёрдый картон, проверяем все ли элементы ровные . Подрезаем, если надо лишнее.

• Вырезаем 12 таких фигур (конечно же, не одинаковых, а тех фигур, что указаны в образце).

• Вот и готовы наши фигурки! Смело можно приступать к работе!

Решение популярных головоломок «Пентамино»

Из фигурок пентамино можно сложить всё что угодно! Животных , буквы алфавита, цифры и т.п. Вот что у меня получилось:

Пентамино из Лего

Пентамино можно так же составить из набора детского конструктора . Фигурки сложенные из Лего получаться объемные, и можно будет собирать помимо обычных, плоскостных моделей, объемные фигуры. Для более младшего возраста это будет даже интереснее!

Схема сборки достаточно простая: два ряда кирпичиков уложенные друг на друга со смещением.

Родственники пентамино

Есть множество похожих игр на популярную головоломку. Самая популярная в наше время это тетрис, во времена наших родителей домино и тримино кроме этого есть еще и Танграм, Монгольская игра головоломка, Тетрамино и т.д.

Заключение

Мне кажется, что в ходе своей исследовательской работы я собрала и изучила довольно интересный материал:

- Игру «Пентамино» придумал в 50-х годах американский математик С. Голомб, который заставил весь мир играть в эту увлекательную игру.

- Самая популярная задача в игре «Пентамино» - сложить из всех фигур, прямоугольник.

- Не только Тетрис - родственник игры «Пентамино», а ещё и Домино;

Тримино; Тетрамино и т.д.

Я сделала , то что я считаю очень полезным ,а именно: Создала свои фигуры из набора «Пентамино». А самое главное,я научилась делать фигурки «Пентамино», и решать всевозможные головоломки, таким образом я раскрыла секрет С. Голомба.

Собранный мной материал можно использовать на различных занятиях по математике. Думаю, что моим одноклассникам будет интересно узнать об этой увлекательной и познавательной игре, которая служит для развития геометрического мышления.

Используемая литература и ресурсы интернета:

Г. А. Репина «Математическое моделирование на плоскости» Волгоград.2009г.

Гарден Мартин «Математические головоломки и развлечения» Москва 1999г.

babylessons.ru/games_for_children/

smartkids.ru/

printplay.ru/

skakalka.ru/game/online/

12