Конспект урока по алгебре Решение неравенств методом интервалов (9 класс)

Сорокина В.И., учитель математики МБОУ г.Астрахани «СОШ №51»

Тема урока: Решение неравенств методом интервалов.

Цели урока: 1) организовать работу по восприятию, осмыслению и первичному закреплению решение неравенств методом интервалов;

2) способствовать формированию навыка решения и оформления неравенств методом интервалов;

3) воспитывать познавательную активность, способствовать развитию логического мышления, математической и общей грамотности.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал с текстами самостоятельных работ, схемы - алгоритмы решения.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Структура урока:

1. Организационный этап.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Первичное закрепление.

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный этап (2 мин.)

Приветствие. Выявление отсутствующих.

2. Изучение нового материала (15 мин.)

Вы уже знаете два вида неравенства: линейное и квадратное. Для каждого из них существует свой способ решения. В старших классах вы познакомитесь ещё с несколькими видами неравенств, такими как тригонометрические неравенства, показательные, логарифмические, рациональные, иррациональные. Каждое из этих неравенств тоже будет иметь свой способ решения. Но сегодня на уроке я познакомлю вас с универсальным способом решения неравенств, который называется метод интервалов. С его помощью вы сможете решить любое неравенство. Даже если вы забудете способ, которым решается то или иное неравенство, то всегда сможете воспользоваться методом интервалов.

2.а. Просмотр момента видеоурока.

Открываем рабочие тетради. Записываем число, тему урока: «Решение неравенств методом интервалов». Решение неравенства мы будем производить по алгоритму, который записан на доске. Учащиеся записывают алгоритм в свои тетради под диктовку преподавателя.

Решение неравенств методом интервалов основано на следующем свойстве функции:

Всякая функция f(x), непрерывная в своей области определения, может иметь разные знаки слева и справа от некоторой точки х_о лишь только в том случае, если х_о - ноль (корень) функции, либо х_о- точка разрыва.

Поэтому, для нахождения интервалов постоянного знака функции достаточно найти ее область определения D(f), корни и точки разрыва нанести их на ось, определить на каждом из полученных интервалов принадлежащих D(f). Знак функции (например, подстановкой в выражении функции какого-либо значения х из соответствующего интервала) и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.

Алгоритм.

1. Обозначить функцию, стоящую в левой части неравенства, через f(x).

2. Записать ОДЗ.

3. Найти нули функции.

4. Отметить ОДЗ на числовой прямой, а на ОДЗ найденные нули функции.

5. Определить знаки f(x) в каждом промежутке.

6. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Этот алгоритм справедлив только для непрерывных на отрезке функций, поэтому при решении неравенства методом интервалов мы должны это обязательно учитывать. Сейчас мы с вами запишем образец оформления решения неравенства.

Пример 1. Решите неравенство: < 0

f(x) =

Поскольку функция f(x) = непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения данного неравенства можно использовать метод интервалов.

ОДЗ:

Нули функции: f(x) = 0

= 0 - + - +

х = - 6 или х = - 1 или х = 4 - 6 - 1 4 х

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство: 2х² - 3х + 1 < 0

f(x) = 2х² - 3х + 1

Поскольку функция f(x) = 2х² - 3х + 1 непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения данного неравенства можно использовать метод интервалов.

ОДЗ:

Нули функции: f(x) = 0

2х² - 3х + 1 = 0

D=9-8=1

х₁=(3+1)/4=1; х₂=(3-1)/4=0.5

Ответ: (0,5; 1).

Пример 3. Решите неравенство: > 0

f(x) =

Поскольку функция f(x) = непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения данного неравенства можно использовать метод интервалов.

ОДЗ: ,

Нули функции: f(x) = 0

= 0 + - +

х - 4 = 0, х = 4 - 5 4 х

Ответ: .

4. Первичное закрепление (10 мин.)

Как сказал великий математик Нивен «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». Поэтому сейчас вы самостоятельно с помощью алгоритма и разобранных примеров решите неравенство:

Нами уже рассматривался метод интервалов для решения квадратных неравенств. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней. Рассмотрим схему решения на следующем примере.

Пример 1. Решим неравенство

Решение (слайд 7):

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - корень многочлена кратности .

Данный многочлен имеет корни: кратности 6; кратности 3; кратности 1; кратности 2; кратности 5.

Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности - одной чертой.

Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:

Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

Из рисунка видно, что такими х являются .

Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности.

Посмотрите внимательно на диаграмму знаков, что можно заметить? (предполагаемый ответ: в корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности - знак меняется).

Давайте проверим, подтвердится ли данное наблюдение при решении других неравенств.

Решите неравенство (слайд 8).

1 вариант:

2 вариант:

(Два ученика решают неравенства на откидной доске не видной классу, остальные выполняют задание самостоятельно, затем проверяем полученное решение по вариантам и снова делаем выводы о смене знака в зависимости от степени кратности корня).

Обобщая ваши наблюдения, приходим к важным выводам (слайд 9):

• Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.

• При четном k многочлен справа и слева от имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется),

• При нечетном k многочлен справа и слева от имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется).

Еще небольшое замечание, что бы применять метод интервалов, нужно сначала привести в неравенство к указанному виду (т.е. разложить на множители).

5. Подведение итогов урока (2 мин.)

До сегодняшнего урока вы умели решать квадратичные неравенства только одним способом, сегодня вы познакомились с методом интервалов. Какой из этих способов вам предпочтительнее для решения квадратичных неравенств?

В дальнейшем каждый из вас будет решать неравенства тем способом, который ему больше нравится.

7. Информация о домашнем задании (1 мин.)

Выучить алгоритм и обязательную фразу наизусть.

№329, №336 (а,б)