Конспект урока на тему

«№15 орта мектеп» ММ

Сабақтың тақырыбы:

«ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ

ТЕҢДЕУЛЕРДІ

ШЕШУ».

10 сыныптағы алгебра және анализ бастамалары сабағы.

(2 сағат)

Сабақтың мақсаты: Оқушылардың ҰБТ-ге дайындығын жүйелеу

Математика пәні мұғалімі Шинтимирова А.К.

2011-2012 оқу жылы

Рудный қаласы

Сабақтың барысы

1. Ұйымдастыру кезеңі:

Сабақ мақсатын қою. Бүгін, балалар, біз сіздермен тренинг-сабақө жүргіземіз, онда сендер әртүрлі тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін қайталайсыңдар және жүйелейсіңдер. Сендер тригонометриялық теңдеулердің түрлерін ажыратуға және оларды шешу әдістерін білуге тиіссіңдер, сонымен қатар оларды шешудің тиімді әдістерін де ажыратуға тиіссіңдер.

2. Ауызша жұмыс.

1. Теңдеулерді қандай да бір белгілері арқылы классификациялаңдар және артық теңдеуді ажыратыңдар:

1) a) 2sinx + sin x - 1 = 0; 2). a) 2 sin x - 3sinx∙ cos x + sinx = 0;

б) 6cos² x + cos x - 1 = 0; б ) 9sin x∙ cos x - 7 cos² x = 2 sin² x;

в) 4sin² x - 5 sin x - 2 = 0; в) sin2x + cos x = 0;

г) 3 sin²x - sinx cos x = 2 cos²x; г) 8cos²x - 3sin x∙cos x - 1 = 0;

д) 5 sin²x + 6 cos x - 6 = 0. д) 7 sin²x - 2 sin x ∙ cos x = 1.

3) a) 2sin³ х + 2sin x∙ cos x = -1;

б) 2 cos x + cos² x = 0;

в) sin x - 2sin x∙ cosx = 0;

г) tg² x - tg x = 0;

д) sin² x - sin x = 0.

2. Теңдеуді шешіңдер: а) sin x = 0,5; б) cos x = - 0,5; в) tg x = 2;

г) 2 sin (x + ) = 4; д ) sin (x - ) = 0.

3. Интерактивтік тақтада берілген теңдеулердің ішінен мына теңдеулерді ажыратыңдар:

а) квадрат теңдеулерге келтірілетін( №3, №4)

б) біртекті квадрат теңдеулерге жататын( №1, №2, №5)

в) қосынды және айырманың формулаларымен шешілетін (№4, №6)

г) ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару арқылы шешілетін (№7, №9).

Теңдеудің нөмірі

Теңдеу

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2sin²x + 2 cos²x = 5 sin x ∙ cos x ;

cos x - sin x = 0;

sin²x + 2 sin x - 3 = 0;

sin x + sin 3x = sin 5x - sin x ;

cos² x + 3 sin² x + 2sin x ∙ cos x = 3;

sin x - sin 2x + sin 3x - sin 4x = 0;

cos²x - cos x = 0;

5sin² x + 6 cos x = 6;

tg²x - 3 tg x = 0;

sin x + cos x = 1.

III. Есептер шығару.

1. Теңдеулерді толық квадрат теңдеуге келтіру арқылы шешуді түсіндіру және көрсету. ( Оқушылар кестедегі №3 және № 8 есептердің шығарылуын тақтада көрсетеді).

№3: sin²x + 2sin x - 3 = 0; sin x = t; t² + 2t - 3 = 0; t₁ = 1 и t₂ = - 3; sin x = 1,то x = + 2n, n  Z. sin x = 3, . Жауабы: + 2πn, n  Z.

№ 8: 5sin² x + 6cos x - 6 = 0; 5( 1 - cos²x) + 6cosx - 6 = 0; -5cos²x + 6cosx - 1 = 0; cosx = y,

- 5y² + 6y - 1 = 0; y₁ = 1 и y₂ = ; cosx = 1, то x = 2πn, n  Z . cos x = , то

x = ± arcos +2πn, n Z.

Жауабы: 2πn, ±arccos + 2πn, n  Z.

2. Біртекті тригонометриялық теңдеулердің шешілуін түсіндіру және көрсету. (Оқушылар кестедегі №1, №2, №5 есептердің шығарылуын тақтада көрсетеді).

№1: 2sin²x + 2cos²x = 5sinx·cosx; cos²x ≠ 0, 2tg²x - 5tgx + 2 = 0; tgx = t, то 2t² - 5t + 2 = 0,

t₁ = 2 и t₂ = 0,5; tgx = 2, x = arctg2 + πn, n  Z; tgx = 0,5 x = arctg0,5 + πn, n  Z.

arctg2 +πn, arctg0,5 +πn, n Z.

№2: cosx - sinx = 0, (ауызша шешеміз) cosx ≠ 0, tgx = , x = arctg+πn, n Z.

№5: cos²x + 3sin²x + 2sinx·cosx = 3; cos²x + 3sin²x + 2sinx·cosx = 3(sin²x + cos²x);

-2 cos²x + 2sinx·cosx = 0; sin²x ≠ 0, -2ctg²x + 2ctgx = 0; -2ctgx(ctgx -) = 0;

сtgx = 0 немесе ctgx = ; x = + πn x = + πn, n Z.

Жауабы: + πn ; + πn, n Z.

3. Тригонометриялық функциялардың қосындысы мен айырымының формулалары арқылы шешілетін теңдеулерді түсіндіру және көрсету ( №4, №6).

№4: sinx + sin3x = sin5x - sinx; 2sin2xcosx = 2sin2xcos3x; 2sin2x(cosx - cos3x) = 0; sin2x = 0; немесе cosx - cos3x = 0;

2x = πn, n Z. немесе -2sin2xsin(-x) = 0;

x = n, n  Z. немесе sin2x = 0 немесе sinx = 0;

x =n, n  Z. немесе x = πn, n Z.

Жауабы: n, n  Z.

№ 6: sinx - sin2x + sin3x - sin4x = 0; (sinx - sin2x ) + (sin3x - sin4x ) = 0;

- 2sincos - 2sincos = 0; - 2sin(cos + cos )= 0;

sin = 0 немесе cos + cos = 0;

x = 2πn, n  Z. немесе 2 cosx cos = 0; cos = 0 немесе cosx = 0

x = + n, n  Z. x = n + πn, n Z.

Жауабы: + n, n + πn, n + πn, 2πn, n Z.

4. Тригонометриялық теңдеулерді көбейткіштерге жіктеу арқылы шешуді түсіндіру және көрсету. (№7, №9).

№7: cos²x - cosx = 0; cosx(cosx - ) = 0; cosx = 0 немесе cosx = ;

x = + πn, n  Z. немесе x = ± + 2πk, k  Z.

Жауакбы: + πn, ± + 2πk, k  Z, k  Z.

№9: tg²x - 3tgx = 0; tgx (tgx - 3) = 0; tgx = 0 немесе tgx - 3 = 0;

x = πn, n Z, немесе x = + πn, n  Z.

Жауабы: πn, + πn, n  Z.

Психологиялық сергіту.

Тыныш отырыңдар, көздеріңді жұмыңдар, қолдарыңды тізелеріңе салыңдар, өздеріңді көлікпен жүріп келе жатқандай сезініңдер. Көл жағасына келдіңдер. Самал жел соғып тұр. Күннің көзі. Гүлдер. Түймедақ гүлін көріп тұрсыңдар. Ауада мұрындарыңның ұшымен түймедақ гүлін сызып шығыңдар. Иісін жұтамыз, демді ішке аламыз - сыртқа шығарамыз (үш рет). Көзімізді аштық. Демді ішке аламыз - сыртқа шығарамыз (екі рет). Ритммен дем аламыз (ауа жұтамыз).

5. Кестедегі қай теңдеу шешілмей қалды? (№10).

Тригонометриялық теңдеулерді шешудің жаңа әдісін қарастырамыз. ( Оқушы хабарлама жасайды).

«Қосымша рагумент енгізу арқылы теңдулерді шешу».

asinx + bcosx = c, мұнда а, в, с-сандар. Теңдеудің коэффициенттерін санына бөлеміз.

sinx + cosx =

= sin ( немесе cos ) алмастырамыз, ал = cos( или sin ) алмастырамыз.

Алатынымыз : cos(x - ) =; ( немесе sin(x + ) = ).

1 мысал.

Теңдеу шешміз: 3sinx + 4cosx = 5; = 5; sinx + cosx = 1; sin = , cos = ; sin sinx + cos cosx = 1; cos(x - ) = 1; x - = 2πn, n  Z, ; x = + 2πn, n  Z, sin = , онда = arcsin cos = , онда = arccos ,

x = arcsin + 2n, n  Z , немесе x = arccos + 2πn, n  Z.

Жауабы: arcsin + 2n, n  Z , ( arccos + 2πn, n  Z. )

2 мысал.

Теңдеу шешміз: sinx - cosx = 2. = 2.

sinx - cosx = 1; = cos , а = sin, онда cossinx - sincosx = 1; олай болса

sin(x - ) = 1; x - = + 2n, n Z. ; x = + + 2n, n Z.

= cos , = sin, онда = ; x = + + 2n, n Z . x = + 2n, nZ.

Жауабы: + 2n, nZ.

6. Одан әрі балаларға кестедегі №10 теңдеуді шешу ұсынылады, шешуі интерактивті тақта арқылы тексеріледі.

sinx + cosx = 1; =2;

sinx + cosx = ; Ауыстырамыз: = sin , = cos, онда  = .

sinx cos + cosx sin = ; sin( x + ) = ; x +  = ( -1)ⁿ+ πn, n  Z.

x = ( -1)ⁿ-  + πn, n  Z, x = ( -1)ⁿ- + πn, n  Z.

Жауабы: ( -1)ⁿ- + πn, n  Z или x = 2πn, n  Z; x = +2πk, k Z.

7. Балаларға теңдеуді ауызша шешуді ұсынамын. (Шешу әдісі - оң және сол жақтарының мәндерін бағалау арқылы шешіледі). Теңдеу тақтадан көрсетіледі.

а) 3cosx + sinx = 5; 

б ) 4cosx + sinx = 5; 

в) 2cos3x + 4sin = 7; .

V. Деңгейлік өздік жұмыс.

Жұмыс экранға шығарылады, соңынан слайдтар арқылы тексеріледі.

 деңгей.

Нұсқа №1

Нұсқа №2

Теңдеулерді шешіңдер:

1. cos²x - 9cosx + 8 = 0;

2. 7sin²x = 8sinx cosx - cos²x.

Теңдеулерді шешіңдер:

1. sin²x - 9sinx + 8 = 0;

2. 9sinx cosx - 7cos²x = 2sin²x.

 деңгей.

Вариант №1

Вариант № 2.

Теңдеулерді шешіңдер:

1. sinx cosx = sin²x;

2. sin2x - sin3x = 0;

3. sinx + cosx = 2.

Теңдеулерді шешіңдер:

1. sin²x - 0,5sin2x = 0;

2. sin2x + sinx = 0;

3. sinx + cosx = .

Нұсқа №1

Нұсқа №2

 деңгей.

1. cos²x - 9cosx + 8 = 0; cosx = t; t² - 9t + 8 = 0; t₁= 1, t₂ = 8;

cosx = 1; x = 2πn, nZ; cosx = 8; .

Жауабы: 2πn, n  Z.

2. 7sin²x = 8sinx cosx - cos²x; cos²x ≠ 0,

7tg²x - 8tgx + 1 = 0; tgx = 1 и tgx = ;

x = + πn, n  Z, x = arctg + πn, n Z.

Жауабы: πn, arctg + πn, n Z.

 деңгей.

1.sinx cosx = sin²x;

sinx cosx - sin²x = 0;

sinx(cosx - sinx )= 0;

sinx = 0 немесе cosx - sinx = 0

x = πn, n z, - tgx = 0; tgx =;

x = +πn, n Z.

Жаубып: πn , +πn, n Z.

2. sin2x - sin3x = 0; - 2sincos = 0;

sin = 0, cos = 0;

= πn, n Z, = + πn, n  Z.

x = 2πn, n Z, x = + , n Z.

Жауабы: 2πn, + , n Z.

3. sinx + cosx = 2. = 2;

sinx + cosx = 1; cos =; sin = ;

 = . sin(  + x ) = 1; x +  = + 2πn, n Z; x = - + + 2πn, n Z; x = - + + 2πn, n Z;

x = + 2πn, n  Z. Жауабы: + 2πn,

n  Z.

 деңгей.

1.sin²x - 9sinx + 8 = 0; sinx = t; t² - 9t + 8 = 0

t₁ = 1, t₂ = 8; sinx = 1; x = + 2πn, n  Z,

sinx = 8, . Жауабы: + 2πn, n  Z.

2. 9sinx cosx - 7cos²x = 2sin²x; cos²x ≠ 0,

2tg²x - 9tgx + 7 = 0; tgx = 1, x = + πn, n Z; tgx 3,5; x = arctg3,5 + πn, n  Z.

Жаубып: + πn, arctg3,5 + πn, n  Z.

 деңгей

1. sin²x - sin2x = 0; sin²x - 2sinx cosx= 0;

sinx(sinx - cosx) = 0; sinx = 0, sinx - cosx =0,

x = πn, n  Z, tgx = 1, x = + πn, n  Z.

Жауабы: πn; + πn, n  Z.

2. sin2x + sinx = 0; 2sincos = 0;

sin = 0 немесе cos = 0; = πn, n  Z x = , n  Z, = + πn, n  Z. x = π + 2πn, n  Z.

Жауабы: , π + 2πn, n  Z.

3. sinx + cosx = ; = 2;

sinx + cosx = ; cos =; sin = ; cos sinx + sin cosx = ;

sinx (x +  ) = ; x +  = ( - 1)ⁿ+ πn, n  Z; x = -  + ( - 1)ⁿ+ πn, n  Z;

x = ( - 1)ⁿ- + πn, n  Z;

Жауабы: ( - 1)ⁿ- + πn, n  Z; ( немесе

+ 2πn және + πn, n  Z).

Қосымшы тапсырма.

Нұсқа №1.

Нұсқа №2.

Теңдеуді шешіңдер: 16sin²x + 2cosx = 11 және sinx ≤ 0 шартын қанағаттандыратын түбірлерін көрсетіңдер.

Теңдеуді шешіңдер 36cos²x + 4sinx = 25 және cosx ≥ 0 шартын қанағаттандыратын түбірлерін көрсетіңдер.

(Жауабы: ±arccos + 2πn, n  Z және (Жауабы: - + 2πn, n Z ж arcsin + 2πm )

- + 2πm, m  Z.)

Оқушылар интерактивті тақта арқылы жұмыстарын тексеріп, өздік бағалайды

«3» -  деңгей.

«4» -  деңгейдің екі тапсырмасы үшін.

«5» -  деңгейдің үш тапсыриасы үшін.

V. Сабақтың қорытындысы.

Сыныпқа сұрақ:

1. Қандай теңдеулер тригонометриялық деп аталады?

2. Теңдеулерді шешудің қандай типтері және әдістері бар? Сыныптың жұмысына және кейбір жеке оқушылардың жұмысына баға беріледі..

Оқушыларды бағалау кестесі.

Оқушының фамилиясы

Тақта алдындағы жауап бағасы

Өздік жұмыстың бағасы

(өздік бағалау)

Қосымша тапсырма бағасы.

1.

2.

3.