Задания для школьной олимпиады по математике

Задания для школьной олимпиады по математике

6 класс

1. Пруд имеет форму квадрата, в вершинах которого растут деревья. Надо увеличить вдвое поверхность пруда, сохранив его форму и не трогая деревьев. Как это можно сделать? (7 баллов)

2. 15 мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то 2 из них собрали одинаковое количество орехов. (7 баллов)

3. Тома «Детской энциклопедии» стоят в таком порядке: 1,2,6,10,3,8,4,7,9,5. Как поставить их по порядку, если можно брать 2 соседних тома и ставить их, не меняя порядка рядом на новое место (в начало, конец или между двумя томами)?

(7 баллов)

4. На сколько увеличится объем куба, если каждое его ребро увеличить на 10 %?

(7 баллов)

5. Найти два натуральных числа, зная их сумму 161 и общий делитель 23.

(7 баллов)

Указания и ответы:

2. Доказательство от противного.

4. На 33,1 %.

5. а = 23, а = 46, а = 69.

в = 138, в = 115, в = 92.

7 класс

1. Доказать, что дроби ; ; равны между собой. (7 баллов)

2. Существует ли квадрат, у которого длина стороны - целое число, а площадь 102 102 102 102? (7 баллов)

3. Одно число больше другого на 16. Найти эти числа, если одного числа равны другого.

(7 баллов)

4. Найти целые решения уравнения:

(х ² + 1) (у ² + 1) = (х + у) ² + 1 (7 баллов)

5. Из вершины угла, равного ß, проведены биссектриса этого угла и биссектрисы двух образовавшихся углов и проведен луч, перпендикулярный биссектрисе угла, равного ß (данного угла). Какие углы образует луч со сторонами данного угла и с каждой биссектрисой? (7 баллов)

Ответы:

2. нет.

3. 96, 80.

4. (0, 0); (1, 2); (2, 1); (-1, -2); (-2, -1).

8 класс

1. Доказать, что число

20062006 + 20062005 · 20062006 · 20062007 является кубом целого числа. (7 баллов)

2. Когда сумму цифр двузначного числа сложили с ее квадратом, то получилось данное двузначное число. Найдите это число. (7 баллов)

3. Упростите выражение:

(3 + 1) (3 ² + 1) (3 ⁴ + 1) (3 ⁸ + 1) (3 ¹⁶ + 1) (7 баллов)

4. Построить график функции:

+ (7 баллов)

6. На стороне ВС равностороннего треугольника АВС взята точка М, а на продолжении стороны АС за точку С - точка N, причем АМ = МN. Доказать, что ВМ = СN.

(7 баллов)

Указания и ответы:

2. 12; 42; 90. 3. Умножить выражение на (3 - 1);

9 класс

1. Найдите значение выражения:

- (7 баллов)

2. Найдите корни уравнения:

- = - (7 баллов)

3. Число 392 разделили на натуральное число а и от частного отняли а, с полученной разностью проделали то же самое и с новым результатом проделали то же самое. В ответе получилось -а. Чему равно а? (7 баллов)

4. Постройте график функции:

у = (7 баллов)

5. Доказать, что в любом треугольнике АВС расстояние от центра описанного круга до стороны треугольника ВС вдвое меньше расстояния от точки пересечения высот до вершины. (7 баллов)

Указания и ответы:

1. 2;

2. Нет решений при а = 0 и а = -2,

х = при а # 0, а # -; а # - 2;

3. а = 7;

4. Использовать свойство | а · в | = | а | · | в | и тождество = | х |

5. Рассмотреть подобие треугольников

10 класс

1. Построить график функции:

у = (7 баллов)

2. Разложить на множители:

2 (х ² + 6х + 1) ² + 5( х ² + 6х + 1) (х ² + 1) + 2(х ² + 1) ²

(7 баллов)

3. При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение:

х ² + у ² = z

х + у + z = а (7 баллов)

4. Решить уравнение:

(2 х ³ + х - 3) ³ = 3 - х ³ (7 баллов)

5. В выпуклом четырехугольнике КLMN диагонали КМ и LN пересекаются в точке Р.

S_{∆ KLP} = S_{∆ MNP} и КР : РN : KN = 6:5:7. Найти угол LMK.

Ответы:

2. 9 (х + 1) ² (х + 2 - ) (х + 2 + ) ;

3. а = - ;

4. х = ;

5. угол LMK = arсcos

11 класс

1. Какие натуральные числа удовлетворяют уравнению

? (7 баллов)

2. Доказать, что корни уравнения ( + ) х ² - 4 х + 3 = 0 являются целыми числами. (7 баллов)

3. Диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника. Площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны S ₁ и S ₂. Найти площадь трапеции. (7 баллов)

4. Найти значение выражения:

1! · 3 - 2! · 4 + 3! ·5 - 4! · 6 + …- 2004! · 2006 + 2005! (7 баллов)

5. Функция у = f (x) такова, что ее графическим образом является гипербола у = - , смещенная на единицу вверх.

а) Сколько корней имеет уравнение f (f…(f(x)) = x

_{2006 раз}

б) Построить график функции у = f (f…(f(x))

_{2007 раз}

Указания и ответы:

1. х = 3, х = 2.

у = 2, у = 3.

2. Докажите, что + = 1

3. S = ( + ) ², где S ₁ и S₂ - площади треугольников, прилежащих к основанию.

4. Имеем n ! (n + 2) = n ! (n + 1 +1) = (n +1) ! + n !

Ответ: 1

5. f (x) = 1 - ( x # 0)

f

2 раза(f(x)) = 1 - = … = 1 - = - ( x # 0; x # 1) …