Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«РОСТОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ СЕРВИСА»






Методические рекомендации

для выполнения практических работ

по дисциплине «Математика»





Преподаватель:

Сидельник А.И.


г. Ростов - на -Дону

2013

Данная работа содержит методические указания к практическим работам по дисциплине «Математика» и предназначена для обучающихся профессиям начального профессионального образования и специальностям среднего профессионального образования.

Цель разработки: оказание помощи обучающимся в выполнении практических работ по предмету «Математика».



Разработчик(и):

ГБОУ СПО РО РТТС преподаватель А.И. Сидельник

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

___________________ _________________ _____________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)



Одобрено на заседании методической комиссии общеобразовательных дисциплин

Протокол №_______ от «_____» _________ 20____г.

Председатель МК ________________________ /______________/


Пояснительная записка

Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических знаний. Практические задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя при выполнении практического задания. К практическому занятию от студента требуется предварительная подготовка, которую он должен провести перед занятием. Список литературы и вопросы, необходимые при подготовке, студент получает перед занятием из методических рекомендаций к практическому занятию.

Практические задания разработаны в соответствии с учебной программой. В зависимости от содержания они могут выполняться студентами индивидуально или фронтально.

Зачет по каждой практической работе студент получает после её выполнения и предоставления в печатном или электронном виде, оформления отчета в котором указывает полученные знания и умения в ходе выполнения практической работы, а также ответов на вопросы преподавателя, если таковые возникнут при проверке выполненного задания.



Содержание

Практическая работа №1 Функции одной переменной и их свойства…5

Практическая работа №2 Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы………………………………………………………...11

Практическая работа №3 Непрерывность функции, точки разрыва…..16

Практическая работа №4 Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя……………………………………………………………...18

Практическая работа №5 Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл………………………………………………………...28

Практическая работа №6 Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур………………………………..38

Практическая работа №7 Матрицы и действия с ними. Определитель матрицы…………………………………………………………………………..46

Практическая работа №8 Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения……………………………………………………………52

Практическая работа №9 Комплексные числа и действия с ними……..60

Практическая работа №10 Элементы теории вероятностей и математической статистики: классическое определение вероятности события, формула полной вероятности, формула Байеса, формула Бернулли, дискретная случайная величина и ее числовые характеристики…………….64

Практическая работа №11 Множества и операции над ними……..……75

Рекомендуемая литература………………………………………………….79

Практическая работа №1

Тема: Функции одной переменной и их свойства.

Цель: сформировать умение использовать свойства функции для ее исследования, решать задачи и упражнения по данной теме.


Теоретические сведения к практической работе

Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие элемент у множестваY, то говорят, что на множестве Х определена функция со значениями в множестве Y, и записывают y=f(х).

Множество Х называется областью определения функции D(f), а множество Y - областью значений функции E(f).

Пример 1. Найти область определения функции

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Основные свойства функции:

  1. Четность и нечетность. Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x), и называется нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция y=f(x) называется функцией общего вида.

Пример 2. Установить четность или нечетность функции.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  1. Монотонность. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х из области определения, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

  2. Ограниченность. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке Х из области определения, если существует число М>0, такое, что Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО для любого Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

  3. Периодичность. Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т>0, если для любых значений х из области определения f(x+T)=f(x-T)=f(x).

Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q - количество товара, которое потребители готовы купить по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция спроса, и пишут q=f(p).

Эта функция определена для тех значений Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , для которых Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и множество ее значений Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

График функции спроса называют кривой спроса.

Пример 3. Функция спроса на некоторый товар имеет вид Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , где q - количество товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений этой функции

  • Функцию цены в виде Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  • Объем спроса при ценах на товар: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  • Цену за единицу товара, если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ,

  • Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

Решение: 1) Получим систему неравенств:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Выразим значение p через q:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Из закона спроса следует, что с увеличением цены р от нуля до 3500 руб. спрос должен падать. В нашем случае функция q убывает в промежутке Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , следовательно, множество значений функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

  1. Функция цены имеет вид Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  2. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  3. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  4. Выручка от продажи составляет Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , следовательно,

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q - количество товара, которое производители готовы продать по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция предложения, и пишут q=φ(p).

Эта функция определена для тех значений Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , для которых Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и множество ее значений Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Пример 4. Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , где q - количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений функции q

  • Объем предложения при ценах за единицу товара: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  • Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение: 1) Найдем область определения:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Множество значений функции q при Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО будет Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

  1. При Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  2. Найдем функцию Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Содержание практической работы:

Задание 1. Найти область определения функции

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 2. Установить четность или нечетность функции.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 3. а) Функция спроса на некоторый товар имеет вид Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , где q - количество товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений этой функции

  • Функцию цены в виде Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  • Объем спроса при ценах на товар: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  • Цену за единицу товара, если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ,

  • Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

б) Функция спроса на некоторый товар имеет вид Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , где q - количество товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений этой функции

  • Функцию цены в виде Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  • Объем спроса при ценах на товар: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  • Цену за единицу товара, если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ,

  • Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

Задание 4. а) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , где q - количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений функции q

  • Объем предложения при ценах за единицу товара: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  • Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

б) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , где q - количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

  • Область определения и множество значений функции q

  • Объем предложения при ценах за единицу товара: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  • Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО



Практическая работа №2

Тема: Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы.

Цель: сформировать умение находить пределы последовательностей и пределы функций, использовать замечательные пределы для нахождения пределов.

Теоретические сведения к практической работе

Пусть существует последовательность действительных чисел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Число а называется пределом последовательности

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 1. Вычислить предел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 2. Вычислить предел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

РешениеМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 3. Вычислить предел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

РешениеМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 4. Вычислить предел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Число А называют пределом функции f(x) при Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (и пишут Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ), если для любого Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО найдется число Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО зависящее от , такое, что для всех Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , удовлетворяющих условию Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , выполняется неравенство Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Теоремы о пределах:

1. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (c=const).

2. Если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО то:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Первый замечательный предел: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Второй замечательный предел (число е = 2,718…):

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОили Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Замечательные пределы:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 5. Вычислить предел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 6. Вычислить предел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 7. Вычислить предел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 8. Вычислить предел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Чтобы найти предел элементарной функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х=х0 принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х=х0. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОеслиМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОесли a>1.

Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 9. Вычислить предел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 10. Вычислить предел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 11. Вычислить предел Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить пределы последовательностей:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 2. Вычислить пределы функций:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 3. Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Практическая работа №3

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва.

Цель: сформировать умение исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва, определять род точек разрыва.

Теоретические сведения к практической работе

Функция Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО называется непрерывной
в точке
х0, если она: 1) определена в точке х0; 2) имеет конечный предел при Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 3) этот предел равен значению функции в этой точке Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Функция называется непрерывной, если:

  1. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  2. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  3. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Пример 1: Доказать, что функцияМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО непрерывна на (-∞;+∞)

Решение: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Точка х0 называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 1-3 непрерывности функции. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Классификация точек разрыва:

  1. х0 - точка устранимого разрыва, если а) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

б) в точке х0 функция не определена

  1. х0 - точка разрыва I рода, если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО- скачок функции

  1. х0 - точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует

Пример 2:

Найти точки разрыва функции и установить их тип

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Содержание практической работы

Задание 1. Доказать, что функция является непрерывной

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 2. Найти точки разрыва и установить их тип

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Практическая работа №4

Тема: Производная и ее геометрический смысл. Правило Лопиталя.

Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом виде, находить производные сложных функций, знать геометрический смысл производной, применять правило Лопиталя для нахождения пределов.

Теоретические сведения к практической работе

Производной функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО называется конечный предел отношения приращения функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО к приращению независимой переменной Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО при стремлении последнего к нулю:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО(1)

Обозначения производной в точке х0:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОи другие.

Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

ГМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОеометрический смысл производной.
Если кривая задана уравнением Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ,
то Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО - угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке (Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО).

Уравнение касательной к кривой Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО
в точке х0 (прямая М0Т) имеет вид:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО(2)

а уравнение нормали (М0N):

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО(3)

Правила дифференцирования

№ пп

U = u(x), V=V(x) -
дифференцируемые функции

№ пп

U = u(x), V=V(x) -
дифференцируемые функции

I

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

VI

Производная сложной функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

II

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

VII

Функция задана параметричес-кими уравнениями Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

III

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

IV

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

VIII

Если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО -
взаимно обратные функции,
то Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

V

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

№ пп

с=const, х - независимая переменная,
u = u(x) - диф­ференцируемая функция

1

С'= 0

9

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2

x'= 1

10

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

11

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

12

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

13

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

14

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

7

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

15

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

8

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО или Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Производная третьего порядка Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО или Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и т. д.

Пример 1. Найти производные функций:

а) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО б) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО в) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО г) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v=1; используя формулу (3), получим:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t=1, получим:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО в точке с абсциссой х0=2.

Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Подставим Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО в уравнения и получим: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

или Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО - уравнение касательной.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОили Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО - уравнение нормали.

Пример 3. Найти производную Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , если функция задана парамет-рически: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Используем правило VII Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 4. Найти дифференциалы функций:

а) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО б) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО в) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Для дифференциала функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО справедлива формула Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.

Решение.

а) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

б) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

в) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 5. Найти производную второго порядка функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 6. Найти производную функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО логарифмическим дифференцированием

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО или б.б. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО(5)

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО или Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и затем использовать формулу (5).

Пример 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:

а) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО б) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение.

а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , определим предел числителя и знаменателя.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОт. к. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Аналогично: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Имеем неопределенность вида Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Используем правило Лопиталя:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

б) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Содержание практической работы

Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х0.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 3. Найти производную Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО функции y=у(x), заданной параметрически: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6)Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 4. Найти дифференциалы функций:

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 5. Найти производную второго порядка функции y=f(x).

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 6. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Практическая работа №5

Тема: Интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл.

Цель: сформировать умение вычислять неопределенные и определенные интегралы, используя различные методы интегрирования.

Теоретические сведения к практической работе

Функция Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , определенная на интервале Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , называется первообразной для функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , определенной на том же интервале Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО - первообразная для функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то любая другая первообразная Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО для функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО отличается от Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО на некоторое постоянное слагаемое, т. е. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО где Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Неопределенным интегралом от функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО где Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Таблица основных интегралов

1. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 2. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 5. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 7.Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

8. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 9. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

10. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 11. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

12. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 13. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

14. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 15. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

16. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 17. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

18. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Проверка:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Проверка:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Метод замены переменной

Теорема 1. Пусть Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (1)

При этом, если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО то Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО где Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО - функция, обратная Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной:

1) Связать старую переменную интегрирования Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО с новой переменной Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО с помощью замены Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

2) Найти связь между дифференциалами Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Интегрирование по частям.
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям

Если производные функций Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО непрерывны, то справедлива формула:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Некоторые стандартные случаи функций, интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ выбора множителей Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Таблица 1

Вид интеграла

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Вид интеграла

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО- многочлен от Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО степени Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , т. е. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , где Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Пример 3. Проинтегрировать по частям.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО


Определенный интеграл, его вычисление и свойства

Определенный интеграл от функцииМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО, непрерывной на отрезке Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , вычисляется по формуле:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (5)

где Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО - первообразная для функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , т. е. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Формула (5) называется формулой Ньютона - Лейбница.

Свойства определенного интеграла:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО для всех Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

7) Если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО для всех Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д. Однако есть ряд особенностей. При замене переменной по формуле (1) необходимо в соответствии с заменой менять пределы интегрирования:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (6)

где Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО - обратная к Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО функция.

Формула интегрирования по частям (3) приобретает вид:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (7)

Пример 4. Вычислить определенный интеграл Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить интегралы.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменного.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 3. Проинтегрировать по частям.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 4. Вычислить определенный интеграл.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Практическая работа №6

Тема: Применение определенного интеграла для вычисления площадей, длин и объемов фигур.

Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площадей, длин и объемов фигур.

Теоретические сведения к практической работе

Площади плоских фигур

1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО, где Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО для всех Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , и прямыми Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то ее площадь вычисляется по формуле:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (8)

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Рис. 1

Рис. 2

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:

x

0

1

-1

2

-2

3

-3

4

-4

y

-2

-1

-1

2

2

7

7

14

14

Для построения прямой достаточно двух точек, например Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Найдем координаты точек Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО пересечения параболы Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и прямой Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Для этого решим систему уравнений

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Тогда Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Итак, Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Площадь полученной фигуры найдем по формуле (8), в которой

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОпоскольку Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО для всех Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Получим:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2. Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, заданными параметрически

Если функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО имеют непрерывные производные первого порядка для всех Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то площадь плоской фигуры, ограниченной линией Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО прямыми x = a, x = b, где a = x(t0),

b = x(t1), и осью OX, вычисляется по формуле:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (9)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение. Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y) точек кривой, соответствующих различным значениям параметра Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

t

0

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

x

2

0

-2

0

2

y

0

3

0

-3

0


Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Рис. 3Нанесем точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим плавной линией. Когда параметр Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО изменяется от Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО до Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , соответствующая точка Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО описывает эллипс (известно, что Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО - параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдем её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (9) получим:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Длина дуги плоской кривой

1. Вычисление дуги плоской кривой в декартовых координатах

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Рис. 4Если кривая задана уравнением Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , функция Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО имеет непрерывную первую производную при всех Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то длина дуги Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (рис. 4) этой кривой, заключенной между точками Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , вычисляется по формуле:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (10)

2. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана параметрически Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , и функции Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО имеют непрерывные производные 1-го порядка при всех Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то длина дуги Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , соответствующей изменению параметра от Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО до Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , вычисляется по формуле:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (11)

Пример. Найти длину дуги кривой

а)Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО б) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение.

а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (10). Найдем Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО : Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и подставим в (10):

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

б) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (11). Найдем Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО :

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОи подставим в (11):

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Вычисление объемов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , осью OX и прямыми Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (рис. 5), то его объем вычисляется по формуле:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (12)

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Рис. 5

Рис. 6

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 6).

Чтобы получить объем тела вращения из объема Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . По формуле (12) найдем Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО : Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (ед. объема);

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО(ед. объема);

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО(ед. объема).

Содержание практической работы

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 3. Найти длину дуги кривой.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Практическая работа №7

Тема: Матрицы и действия с ними. Определитель матрицы.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами, находить определители матриц.

Теоретические сведения к практической работе

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО.

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы - строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО имеет размер 2x3. Далее, bij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5).

При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение Ai, при ссылке на j-й столбец - обозначение Aj.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a11 , a22 ,…, ann квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО, Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

матрица A является верхней треугольной, B - диагональной, C - нижней треугольной, E - единичной.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Арифметические действия с матрицами.

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО.

Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО.

Пример 1. Найти 2A-B, если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Имеем: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Произведение AB можно определить только для матриц A размера mxn и B размера nxp, при этом AB=C, матрица C имеет размер mxp, и ее элемент cij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (i=1,2,…,m; j=1,2,…,p). Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Пример 2. Найти произведение матриц Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Решение. Размер матрицы A 3x2, матрицы В 2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА - нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Матрицей, транспонированной к матрице A размера mxn, называется матрица AT размера nxm, строки которой являются столбцами исходной матрицы.

Например, если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Пример 3. Найти Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО.

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

Рангом матрицы A в дальнейшем будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя обозначение r(A). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r(A)=3, r(B)=2. Можно доказать, что ранг матрицы A (размера mxn) не может быть больше Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (например, для матрицы А размера 2x3 Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ). Кроме того, ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Это свойство можно использовать при проверке. Так, в примере 3.4 после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b12, а затем вычеркнуть третью строку, пропорциональную второй (Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО):

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Вычисление определителей. Определитель матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) - это число, которое можно найти по правилу:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель матрицы A размера 3x3 (определитель 3-го порядка) - число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 4. Найти: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала формулой Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , а затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Содержание практической работы

Задание 1. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ;

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ;

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ;

6)Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО;

7) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 2. Доказать равенство (AB)C=A(BC) для матриц:

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ;

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ;

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ;

Задание 3. Найти: 1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Задание 4. Вычислить определители:

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ;

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ;

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ;

5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ;

6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

7) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ;

Практическая работа №8

Тема: Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения.

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Теоретические сведения к практической работе

Рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) произвольной размерности, состоящие из m уравнений с n неизвестными:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО. (*)

Матрица Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , составленная из коэффициентов системы (*), называется матрицей системы (ее размер - mxn), а вектор Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (m-мерный)- столбцом (вектором) свободных членов. Матрицу вида Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО называют расширенной матрицей системы (*). Любой набор значений неизвестных Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , образующих n-мерный вектор Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , является решением системы (*), если эти числа удовлетворяют всем уравнениям системы (т.е. превращают их в тождества). Очевидно, что Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО при каждом i=1,2,…,m (i-е уравнение представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы системы на вектор X), и (*) можно переписать в виде

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО. (**)

Запись (**) называется "матричной (векторной) формой записи" системы (*).

Пример 1. Выписать матрицу коэффициентов и столбец свободных членов для СЛАУ Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Решение. Очевидно, что Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Пример 2. Записать СЛАУ, если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Решение. Введем в рассмотрение вектор X и с каждым столбцом мысленно сопоставим неизвестное: с первым столбцом - Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , со вторым - Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , с третьим - Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , с четвертым - Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Окончательно нужная система линейных алгебраических уравнений имеет вид

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО.

Классификация систем линейных алгебраических уравнений. Определения и основные теоремы. Если СЛАУ (*) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной (соответственно, система несовместная, если она вообще не имеет решений). Совместная система (*) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения (в последнем случае у нее бесконечно много решений).

Матрицу системы (*) будем называть приведенной (а саму систему канонической), если в каждой i-й строке (i=1,2,…,m) есть элемент Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , а все остальные элементы j-го cтолбца равны нулю. Такие элементы (и соответствующие им неизвестные) будем называть ведущими, а оставшиеся неизвестные назовем свободными.

Теорема 1 (Кронекера-Капелли). СЛАУ (*) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы, т.е выполняется равенство Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Для совместной системы число Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО назовем рангом системы.

Теорема 2 (о количестве решений). Пусть СЛАУ (*) совместна. Если ее ранг равен числу неизвестных (Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО), то система является определенной; если ранг системы меньше числа неизвестных (Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО), то исходная система - неопределенная.

Неопределенная система, как было отмечено, имеет бесконечное множество решений. Совокупность всех решений называется общим решением системы.

Алгоритм метода Гаусса. Цель рассуждений - путем элементарных преобразований свести исходную систему к равносильной, решение которой можно выписать непосредственно. Основными шагами метода Гаусса являются следующие.

I. Прямой ход. Выписать расширенную матрицу системы, путем элементарных преобразований свести ее к эквивалентной ступенчатой и определить ранги матрицы и расширенной матрицы системы. Если они различны, то исходная система несовместна, т.е. не имеет решений. Если Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то переходим к следующему этапу.

II. Сравнить ранг системы и число неизвестных, сделать вывод о количестве решений, учитывая теорему 2.

III. Обратный ход. Ступенчатую матрицу преобразовать к эквивалентной ей приведенной. Определить, какие неизвестные являются ведущими, какие - свободными.

IV. Выписать по полученной матрице систему, записать ответ (выразив, в случае неопределенной системы, ведущие элементы через свободные для построения общего решения).

Пример 3. Решить СЛАУ Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Последняя матрица - ступенчатая. Ведущими неизвестными для нее являются Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО в первой строке, Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО во второй и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО в третьей. Очевидно, что система совместна и ее ранг равен 3: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Поскольку число неизвестных также равно 3, исходная система является определенной.

Переходим к проведению преобразований по обратному методу Гаусса (теперь необходимо получать нули НАД ведущими элементами).

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Теперь составляем по последней матрице систему Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и выписываем значения неизвестных в порядке их номеров: X=(3;1;1)T. Это и есть ответ.

Пример 4. Для СЛАУМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО найти общее и два частных решения.

Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатой.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Очевидно, что Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , число неизвестных n=4 и в соответствии с теоремой 6.2 исходная система является неопределенной. Ведущие неизвестные: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО в первой строке, Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО во второй, Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО в третьей. Свободное неизвестное - Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Обратным ходом преобразуем матрицу к приведенному виду:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Выписываем полученную систему и ведущие неизвестные выражаем через свободные: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Общее решение записываем в порядке нумерации неизвестных: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО - любое вещественное число.

Частное решение можно получить, если придать свободному неизвестному Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО конкретное числовое значение. Например, при Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО, а при Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО.

Теорема Крамера. Рассмотрим «квадратную» систему линейных уравнений (число неизвестных совпадает с числом уравнений) вида

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО. (*)

Теорема 3 (теорема Крамера). Если определитель матрицы системы (*) отличен от нуля (Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО), то данная система имеет единственное решение, причем значения неизвестных находятся по формулам

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО, i=1,2,…,n

где Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО - определитель матрицы, полученной из исходной матрицы системы путем замены i-го столбца на столбец свободных членов.

Пример 5. Решить систему Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО методом Крамера.

Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных членов: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Далее вычисляем определители:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО;

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО;

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО;

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО.

По теореме Крамера Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Все уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.

Содержание практической работы

Задание 1. По расширенной матрице выписать СЛАУ.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3)Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 2. Решить системы уравнений методом Крамера и методом Гаусса.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 3. Решить СЛАУ (в случае неопределенной системы выписывать общее и два любых частных решения).

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО



Практическая работа №9

Тема: Комплексные числа и действия с ними.

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

Теоретические сведения к практической работе

Комплексное число - это выражение вида

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО, (1.1)

где x, y - вещественные числа, а Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО - мнимая единица. Первое из вещественных чисел, x, называется вещественной (действительной) частью комплексного числа (используется обозначение Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ); второе, y, - мнимой частью (Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО). Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Числом, сопряженным к Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , называют число вида Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Используя формулу разности квадратов, получаем, что Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.

Пример 1. Решить уравнение Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Решение. Дискриминант данного уравнения: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО, т.е. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Справедливы следующие правила арифметических действий над комплексными числами Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО :

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (осуществляется сложение или вычитание алгебраических двучленов и приведение подобных);

2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (осуществляется перемножение алгебраических двучленов и приведение подобных с учетом того, что Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО );

3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (эта операция возможна только в случае, когда Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ).

Пример 2. ВычислитьМетодические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО;

поэтому Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , а на оси OY - чисто мнимые числа Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ).

Модулем комплексного числа назовем длину отрезка Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Аргументом комплексного числа (Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО) назовем угол, который вектор Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . При этом выражение вида

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО(1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Преобразуем (1.1)

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПОили Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (1.3.)

Пример 3. Записать комплексное число в тригонометрической форме Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , указать модуль и аргумент комплексного числа.

Решение. По определению Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Для определения аргумента воспользуемся формулой: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Получаем, что Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то справедлива формула Муавра

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО. (1.4)

Для извлечения корня n-й степени (n - целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО, k=0,1,…,n-1. (1.5)

Пример 4. Вычислить: a) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; b) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Решение. В задании a), чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме. Имеем: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , т.е. Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно, Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (в силу (1.4)). Учитывая что Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО и используя свойства тригонометрических функций, получаем:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО.

В задании b) тригонометрическая форма заданного числа имеет вид Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО (|z|=1), поэтому в силу (1.5)

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО, k=0,1,2.

Выписываем три искомых корня:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО;

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО;

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО.

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

4)Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

7) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Задание 2. Запишите предложенные комплексные числа в тригонометрической форме: 1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 3) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 7) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Задание 3. Найти все корни уравнений:

1) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 2) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 4) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 5) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО ; 6) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО 7) Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Практическая работа №10

Тема: Элементы теории вероятностей и математической статистики: классическое определение вероятности события, формула полной вероятности, формула Байеса, формула Бернулли, дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.

Цель: сформировать умение решать задачи на нахождение вероятностей

Теоретические сведения к практической работе

Классическое определение вероятности

Раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называется теорией вероятностей.

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называют отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числуn всех исходов испытания.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 1: В партии из 30 миксеров 2 бракованных. Найти вероятность купить исправный миксер.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Аксиомы вероятностей:

Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.

Если события А1, А2 … попарно несовместны, то Р(А12+…)=Р(А1)+Р(А2)+…

Свойства вероятностей:

Вероятность невозможного события равна нулю Р=0.

Вероятность достоверного события равна единице Р=1.

Вероятность произвольного случайного события А заключается между 0 и 1: 0<Р(А)<1.

Пример 2: Из 34 экзаменационных билетов, пронумерованных с помощью чисел от 1 до 34, наудачу извлекается один. Какова вероятность, что номер вытянутого билета есть число, кратное трем.

Решение: Найдем количество чисел от 1 до 34, кратных трем. Это числа 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. Всего таких чисел 11. Таким образом, искомая вероятность Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

События А и В называются совместными, если они могут одновременно произойти, и несовместными, если при осуществлении одного события не может произойти другое.

События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Пример 3: Вероятность поражения одной мишени - 0,7, а другой - 0,8. Какова вероятность, что будет поражена хотя бы одна мишень, если по ним стреляют независимо друг от друга.

Решение: Т.к. события совместны, то Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Р(А)+Р(Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО)=1

Условная вероятность - вероятность одного события, при условии, что другое событие уже произошло.

Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)∙Р(А/В) или Р(ВА)=Р(А)∙Р(В/А)

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей сомножителей: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В).

Пример 4: В двух коробках лежат ручки разного цвета. В первой коробке - 4 красных и 6 черных, во второй - 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимают по одной ручки. Найти вероятность, что обе ручки красные.

Решение: Найдем вероятности вытащить красную ручку из каждой коробки

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Тогда вероятность того, что обе ручки красные: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Полная вероятность. Формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий Н1, Н2, …, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности, и Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , то выполняется равенство, называемое формулой Байеса:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 1: В первой партии 20 ламп, во второй - 30 ламп и в третьей - 50 ламп. Вероятности того, что проработает заданное время, равна для первой партии 0,7, для второй - 0,8 и для третьей партии - 0,9. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает заданное время? Найти вероятность, что эта лампа принадлежит первой партии?

Решение: Пусть событие А - наудачу взятая лампа проработает заданное время.

Тогда, пусть Н1 - лампа из первой партии, Н2 - лампа из второй партии и Н3 - лампа из третьей партии. Тогда событие А/Н1 - лампа из первой партии проработает заданное время, А/Н2 - лампа из второй партии проработает заданное время и А/Н3 - лампа из третьей партии проработает заданное время. Найдем вероятности

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Теперь, используя формулу Байеса найдем вероятность того, что эта лампа принадлежит первой партии

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 2: Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 5 белых и 7 черных шаров, во второй - только белые и в третьей - только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

Решение: Пусть событие А - извлекается белый шар.

Тогда, пусть Н1 - шар из первой урны, Н2 - шар из второй урны и Н3 - шар из третьей урны. Тогда событие А/Н1 - белый шар из первой урны, А/Н2 - белый шар из второй урны и А/Н3 - белый шар из третьей урны. Найдем вероятности

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Формула Бернулли

  1. Вероятность того, что событие А наступит ровно m раз при проведении n независимых испытаний, каждый из которых имеет ровно два исхода вычисляется по формуле Бернулли Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 1: Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,2. Найти вероятность, что из 6 приобретенных билетов 2 окажутся выигрышными.

Решение:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  1. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 2: Прибор состоит из шести элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за определенное время равна 0,6. Для безотказной работы прибора необходимо, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность, что за данное время прибор будет работать безотказно?

Решение:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  1. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, наступит не менее m1 и не более m2 раз вычисляется по формуле Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 3: Найти вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.

Решение:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

  1. Наивероятнейшее значение m0 числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 4: Магазин получил 50 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,05. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в партии.

Решение:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики

Случайная величина Х - это числовая функция Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО , определенная на пространстве элементарных событий. Случайные величины, имеющие счетные множества возможных значений, называются дискретными. Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности. Соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называют распределением вероятностей случайной величины. Для дискретной случайной величины это соответствие может быть записано в виде таблицы: Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

xi

x1

x2

xn

pi

p1

p2

pn

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО . Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формулам:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называют корень квадратный из дисперсии Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО .

Если случайная величина Х имеет биномиальное распределение вероятностей, то

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 1: Случайная величина Х задана таблицей распределения вероятностей. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

хi

2

5

8

9

рi

0,1

0,4

0,3

0,2

Решение:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Пример 2: Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,05.

Решение:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Содержание практической работы

Задание 1. Используя классическое определение вероятности события, решить следующие задачи:

1. В коробке 4 красных, 5 зеленых, 8 желтых, 7 белых и 1 черный шар. Найти вероятность вытащить: красный шар; синий шар; белый шар; цветной шар; или зеленый или белый шар; не красный шар; шар одного из цветов светофора.

2. В семье - двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок - девочка, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 4 - нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

4. В одном ящике 3 белых и 7 черных шаров, в другом ящике - 6 белых и 8 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

5. Издательство отправило газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9, во второе - 0,7, в третье - 0,85. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

6. В первой урне находятся 12 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 10 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми?

7. В партии из 25 деталей находятся 8 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

8. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна шестерка.

9. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, большее 4.

10. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, не меньшее 2 и не большее 5.

Задание 2. Используя формулы полной вероятности и Байеса, решить следующие задачи:

1. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй - 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 2 урны?

2. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру =0,5, ко второму =0,6. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером =0,94, а вторым =0,92. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная равна 0,9, а второго - 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь - стандартная.

4. Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 6 синих и 4 черных шаров, во второй - только синие и в третьей - только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар синий?

5. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй - 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 1 урны?

Задание 3. Используя формулу Бернулли, решить следующие задачи:

1. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

2. Найти вероятность осуществления от одного до трех разговоров по телефону при наблюдении шести независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,6.

3. Прибор состоит из пяти элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за время Т равна 0,5. Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность того, что за время Т прибор будет работать безотказно?

4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету =0,3. Какова вероятность того, что из семи приобретенных билетов три билета окажутся выигрышными?

5. Магазин получил 40 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,04. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии.

6. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найдя вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных, найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных, указав его вероятность.

7. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

8. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек =0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке?

9. На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна р. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.

10. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?

11. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет?

Задание 4. Найти числовые характеристики дискретных случайных величин:

1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:

хi

3

5

2

рi

0,1

0,6

0,3

2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

хi

1

2

5

рi

0,3

0,5

0,2

4.Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

хi

2

3

5

рi

0,1

0,6

0,3

5. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х - числа появления события в этих испытаниях.

Практическая работа №11

Тема: Множества и операции над ними.

Цель: сформировать умение выполнять операции с множествами

Теоретические сведения к практической работе

Множество - одно из основным понятий математики.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ - принадлежит).

Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ - содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства:

Свойства перестановочности:

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Круги Эйлера (Эйлера-Вена) - геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Пример: Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро - «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

21 - 3 - 6 - 1 = 11 - ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 - 3 - 1 - 2 = 7 - ребят смотрят только «Волк и теленок».

Получаем:

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО

38 - (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 - человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Содержание практической работы

Задание 1. 1) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={е, о, р, х} В={х, у}

б) А={х: -3<х<4} В={х: 0≤х≤6}

в) А={2n+1}, B={n+1} nєN

2) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}

б) А={х: 0<х<2} В={х: 1≤х≤4}

в) А={3-(n+1)}, B={n+5} nєN

Задание 2. 1) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 - немецкий, 92 - французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 - английский и французский, 30 - немецкий и французский, 14 - все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) только один язык?

б) испанский язык?

в) только немецкий язык?

г) знают английский и немецкий, но не знают французский?

2) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 - немецкий, 92 - французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 - английский и французский, 30 - немецкий и французский, 14 - все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) ровно два языка?

б) только французский язык?

в) знают немецкий и французский, но не знают английский?

г) не знают испанский язык?



Рекомендуемая литература

Основные источники

  1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. - М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - М: Издательский центр «Академия», 2011

  3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009

  4. Дадаян А.А. Математика: учеб.- М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005

Дополнительные источники

  1. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2007

  2. Математика и информатика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В./ - М.: Издательский центр «Академия», 2009

  3. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образовательных учреждений нач. и сред. образования / В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина. - М.: Издательский центр «Академия», 2011

  4. Спирина М.С. дискретная математика: учеб. - М.: Издательский центр «Академия», 2006

  5. Омельченко В.П. Математика. - Ростов-на-Дону.: Феникс, 2006



© 2010-2022