Решения и пояснения к материалу Подборка заданий ЕГЭ по теме Пирамида

Задачи ЕГЭ по теме «Пирамида»

B 13 № 901. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

Пояснение.

Отрезок высота треугольной пирамиды , ее объем выражается формулой

Таким образом,

Ответ: 9.

B 13 № 911. В правильной четырехугольной пирамиде точка - центр основания, - вершина, , . Найдите боковое ребро

Пояснение.

В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора

Ответ: 17.

B 13 № 920. В правильной треугольной пирамиде точка - середина ребра , - вершина. Известно, что =3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка .

Пояснение.

Найдем площадь грани :

Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, его высотой. Тогда

Ответ: 10.

B 13 № 27074. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

Пояснение.

Объем параллелепипеда равен , где - площадь основания, - высота. Объем пирамиды равен

,

где - площадь основания пирамиды, по построению равная половине площади основания параллелепипеда. Тогда объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5.

B 13 № 27085. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Пояснение.

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в 2 раза, объём увеличится в 8 раз.

Это же следует из формулы для объёма правильного тетраэдра , где - длина его ребра.

Ответ: 8.

B 13 № 27089. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Пояснение.

Объем пирамиды равен

,

где - площадь основания, а - высота пирамиды. При увеличении высоты в 4 раза объем пирамиды также увеличится в 4 раза.

Ответ: 4.

B 13 № 27113. Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

Пояснение.

Данные пирамиды имеют общую высоту, поэтому их объемы соотносятся как площади их оснований. Площадь правильного шестиугольника со стороной равна Площадь же равнобедренного треугольника с боковой стороной и углах при основании равна Получаем, что площадь шестиугольника больше площади треугольника в раз и равна 6.

Ответ: 6.

B 13 № 27114. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 12. Точка - середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Пояснение.

Площадь основания пирамиды по условию в 2 раза меньше площади основания пирамиды . Также высота данной треугольной пирамиды в 2 раза меньше высоты пирамиды (т.к. точка - середина ребра ). Поскольку объем пирамиды равен , то объем данной треугольной пирамиды в 4 раза меньше объема пирамиды и равен 3.

Ответ: 3.

B 13 № 27115. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Пояснение.

Объем пирамиды . Площадь основания отсеченной части меньше в 4 раза (так как высота и сторона треугольника в основании меньше исходных в 2 раза), поэтому и объем оставшейся части меньше в 4 раза. Тем самым, он равен 3.

Ответ: 3.

B 13 № 27131. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Пояснение.

Площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его граней, которые равны . Поэтому при увеличении ребер вдвое, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

Ответ: 4.

B 13 № 27157. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Пояснение.

При увеличении ребер в 3 раза площади треугольников, образующих грани октаэдра, увеличатся в 9 раз, поэтому суммарная площадь поверхности также увеличится в 9 раз.

Ответ: 9.

B 13 № 27172. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Пояснение.

Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому, если все ребра увеличены в 2 раза, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

B 13 № 27175. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Пояснение.

В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является средней линией соответствующей грани, которая, как известно, в 2 раза меньше параллельной ей стороны и равна поэтому 0,5. Значит сечением является квадрат со стороной 0,5. Тогда площадь сечения .

Ответ: 0,25.

B 13 № 27182. Объем параллелепипеда равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды .

Пояснение.

Объем параллелепипеда равен а объем пирамиды равен . Высота пирамиды равна высоте параллелепипеда, а ее основание вдвое меньше, поэтому

Ответ: 2.

B 13 № 27184. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба.

Пояснение.

Объем пирамиды равен

.Ответ: 2.

Примечание.

Куб состоит из 6 таких пирамид, объем каждой из них равен 2.

B 13 № 77154. Найдите объем параллелепипеда , если объем треугольной пирамиды равен 3.

Пояснение.

Объем параллелепипеда равен , где - площадь основания, - высота. Объем пирамиды равен , где - площадь основания пирамиды, равная половине площади основания параллелепипеда. Тогда объем параллелепипеда в 6 раз больше объема пирамиды .

Ответ: 18.

B 13 № 284351. В правильной треугольной пирамиде - середина ребра , - вершина. Известно, что, а . Найдите площадь боковой поверхности.

Пояснение.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Ответ:3.

B 13 № 284356. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Объем пирамиды равен , . Найдите площадь треугольника .

Пояснение.

Основание пирамиды - равносторонний треугольник, поэтому, является центром основания, а - высотой пирамиды . Ее объем вычисляется по формуле . Тогда

.

Ответ: 3.