- Преподавателю
- Математика
- Лекция по математике тема: Логарифмические уравнения
Лекция по математике тема: Логарифмические уравнения
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Оверченко Г.Л. |
Дата | 17.11.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Лекция
Тема: Логарифмические уравнения
План
1. Определение логарифмического уравнения
2. Решение простейших уравнений
3. Потенцирование.
4. Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.
5. Уравнения вида Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.
6. Введение новой переменной
Определение логарифмического уравнения
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение вида loga x = b (где а>0, и а ≠1).
Функция у=log a x является возрастающей (или убывающей) на промежутке
(0; +∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне) для любого b это уравнение имеет корень, и только один.
Решение простейших уравнений
Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:
log a x = b, a > 0, a 1.
log a f(x) = b, a > 0, a 1.
log f(x) b = c, b > 0.
Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:
если logb a = c, то a = bc.
Пример 2.1.
Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 23, x = 8 принадлежит области определения уравнения.
Ответ: x = 8.
Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.
Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе
Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = ab проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.
Пример 2.2. log3(5х - 1) = 2.
Решение: ОДЗ: 5х - 1 > 0; х > 1/5. log3(5х- 1) = 2, log3(5х - 1) = log332, 5х - 1 =9,
х = 2. Ответ: 2.
Пример 2.3.
Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 - 2х - 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:
Применим правила действий со степенями, получим 2х2 - 2х - 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = -1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х2 - 2х - 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.
Ответ. х1 = -1, х2 = 2.
Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.
Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе
Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))c = b или равносильного уравнения
проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.
Пример 2.4. logx-19 = 2.
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Ответ. x = 4.
Потенцирование.
Суть метода заключается в переходе от уравнения
log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно
не равносильно исходному.
Уравнения вида loga f(x) = loga g(x) , а > 0, а 1.
На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).
Переход от уравнения loga f(x) = loga g(x) к уравнению f(x) = g(x) называется потенцированием.
Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.
Пример 3.1 log3 (x2 - 3x - 5) = log3 (7 - 2x).
Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств
Потенцируя данное уравнение, получаем х2 - 3х - 5 = 7 - 2х,
х2 - х - 12 = 0, откуда х1 = -3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств. Ответ. х = -3.
Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.
Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов:
-
logb a + logb c = logb (ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,
-
logb a - logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,
-
m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0, b 1; mR.
Пример 4. 1. log6 (x - 1) = 2 - log6 (5x + 3).
Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств
Применяя преобразования, приходим к уравнению
log6 (x - 1) + log6 (5x + 3) = 2,
log6 ((x - 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению
(х - 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = -2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3. Ответ. х = 3.
Пример 4.2.
Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство
(3x - 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.
Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма
(х + 3) 2 = 1, х = -4, х = -2. Число х = -2 посторонний корень.
Ответ. х = -4.
Пример 4. 3. log2 (6 - x) = 2log6 x.
Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 - x = x2, откуда х = -3, х = 2. Число х = -3 посторонний корень.
Ответ. х = 2.
Уравнения вида Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.
Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:
Пример 5.1.
Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим
Так как 3 = log28, то на области определения получим равносильное уравнение (2-x)/(x-1) = 8, откуда x = 10/9. Ответ. x = 10/9.
Пример 5.2.
Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).Ответ. х = 6.
Пример 5. 3.
Решение. Область определения уравнения x > -1, x 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).
Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1) 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)-1)2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и
x = 2. Ответ. x = 2..
Введение новой переменной
Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.
Уравнения видагде a > 0, a 1, A, В, С - действительные числа.
Пусть t = loga f(x), tR. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.
Пример 6. 1. lg 2 x - lg x - 6 = 0.
Решение. Область определения уравнения - интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, tR.
Уравнение примет вид t 2 - t - 6 = 0. Его корни t1 = -2, t2 = 3.
Вернёмся к первоначальной переменной lg x = -2 или lg x = 3,
х = 10 -2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).Ответ. х = 0,01; х = 1000.
Пример 6. 2.
Решение. Найдём область определения уравнения
Применив формулу логарифма степени, получим уравнение
Так как х < 0, то | x | = -x и следовательно
Введём новую переменную t = log3 (-x), tR. Квадратное уравнение
t 2 - 4t + 4 = 0имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log3 (-x) = 2, отсюда -х = 9, х = -9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения. Ответ. х = -9.
Уравнения вида где a > 0, a 1, A, В, С - действительные числа , A0, В0.
Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на loga f(x) 0. Учитывая, что loga f(x) logf(x) a=1
(свойство logb a = 1/ loga b), получим уравнение
Замена loga f(x)=t, tR приводит его к квадратному At2 + Ct + B = 0.
Из уравнений loga f(x)= t1 , logb f(x)= t2 найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения: f(x) > 0, f(x) 1.
Пример.6.3
Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 1, т.е. x >-2, x -1.Умножим обе части уравнения на log5 (x+2) 0, получим
или, заменив log5 (x+2) = t, придем к квадратному уравнению t 2 - t - 2 = 0, t1 = -1, t2 =2.
Возвращаемся к первоначальной переменной:
log5 (x+2) = -1, x+2 = 1/5, x = -9/5,
log5 (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.
Оба корня принадлежат области определения уравнения.
Ответ: x = -9/5, x = 23.
Упражнения для закрепления материала
Решить уравнения
1); 2); 3);
4); 5);
Контрольные вопросы
1. Сформулировать определение логарифмического уравнения.
2. Назвать основные методы решения логарифмических уравнений
Литература
1.Ш.А.Алимов, стр.105-111 2 О.Н.Афанасьева, стор.2753-279 3.А.Г.Мерзляк, стор.202-2