Повторение. Свойства тригонометрических функций

Зам.Дир по УВР_______________ Утверждаю

№ 3 Дата 05.09.14

Предмет Алгебра

Класс 10

Тема урока: Повторение. Свойства тригонометрических функций

Цели урока: повторить знаки тригонометрических функций в каждой координатной четверти, периодичность, четность и нечетность тригонометрических функций

Тип урока: повторение, закрепление материала.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2Этап актуализации.

Задачи: обеспечение мотивации учения школьников, включение в совместную деятельность по определению целей урока. Актуализировать субъективный опыт учащихся. Содержание этапа.№274,275,276, 278. №279,280, 284

3. Из определения тригонометрических функций следует, что знаки ("+" и "-") каждой функции зависят от знаков координат конца подвижного радиуса, т.е. от того, в какой координатной четверти лежит его конец.

На рис. 48 указана нумерация координатных четвертей.

Предположим, что при повороте начального радиуса ОА в положительном направлении получен подвижный радиус ОВ и он . сделал полный оборот. Здесь мы видим, как изменяются координаты точки В, являющейся концом подвижного радиуса. Нетрудно заметить, что когда точка В находится в верхней полуокружности, координата у положительна, а при переходе точки В на нижнюю полуокружность координата у отрицательна. Так как знак синуса угла по определению зависит от знака у, поэтому в I и II четвертях sina >0, а в Ш и IV четвертях sina <0 (рис. 49). Из определения знак косинуса угла зависит от знака координаты х. Поэтому, когда точка В находится в правой полуокружности, абсцисса х имеет положительный знак, а когда точка В находится в левой полуокружности, абсцисса х имеет отрицательный знак. Следовательно, в I и IV четвертях cosa >0, а в III и II четвертях cosa <0 (рис. 50).

Поскольку tg а = , ctg а=, то знаки этих функций будут положительны в тех координатных четвертях, когда координаты точки В имеют одинаковые знаки, и отрицательны в тех четвертях, когда координаты точки В имеют противоположные знаки. Следовательно, в I и III четвертях tg а > О, ctg а > 0, а во II и IV четвертях tg а < 0, ctg а < 0 (рис. 51).

Результаты исследования знаков тригонометрических функций можно указать также в виде таблицы.

Известно, что если подвижный радиус и дальше продолжает свое круговое движение, то его конец снова займет одно из предыдущих положений. Другими словами, тригонометрические функции снова принимают те же значения, которые имели от 0 до 2л. И эти их значения не изменяются при повторении полных оборотов несколько раз.

Функции, обладающие таким свойством, называются периодическими функциями.

Если к аргументу тригонометрических функций прибавить полный оборот (2л) целое число раз, то их значения не изменятся. При повороте радиуса ОА на угол а и на угол а + 360 , и на угол а + 2 • 360° и т.д. получится один и тот же радиус ОВ, т.е. для углов а, а + 360 °, а + 2 • 360° и т.д. тригонометрические функции имеют одни и те же значения.

Следовательно, функции у = sin а, у = cos а, у = tg а, у = ctg а являются периодическими функциями.

Исследованные свойства тригонометрических функций позволяют свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего 360°.

Рассмотрим примеры. Найдем sin 1470°, cos 1845°.

1. sin 1470° = sin (4 • 360°+ 30°) = sin 30° = 0,5

2. cos 1845° = cos (5 • 360° + 45°) = cos 45° = .

До сих пор тригонометрические функции мы рассматривали в основном для случаев а> 0. Теперь перейдем к рассмотрению формулы, которая выражает тригонометрические функции отрицательного аргумента через значения тригонометрических функций с положительным аргументом. Для этого, как и прежде в прямоугольной координатной системе, возьмем окружность с центром в начале координат и с радиусом О А (рис. 52).

Предположим, что при повороте радиуса О А на угол а он переходит в радиус ОВ, а при повороте радиуса ОА на угол -а он займет положение ОВ₁ Если соединить точки В и B₁ то получим равнобедренный треугольник ОВВ₁ . ОР является биссектрисой угла ВОВ₁ этого треугольника. Поэтому точки В и В₁ будут симметричны относительно оси Ох.

Вам известно, что точки, симметрично расположенные относительно оси Ох, имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Поэтому, если координаты точки В обозначим через х и у, то координатами точки В₁, будут х и -у.

Значит, sin(-a) = = - sin a; tg(-a) = = -tg a;

cos(-a) = = cos a; ctg(-a) = = -ctga.

Эти равенства записываем в виде формулы следующим образом:

(1)

Если изменение знака аргумента влечет за собой и изменение знака функции, то функция называется нечетной, а если изменение знака аргумента не влечет изменения знака функции, то функция называется четной. Следовательно, из приведенной выше формулы (1) можно сделать вывод о том, что синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией.

Например: sin(-120°) = -sin 120°; cos(-160°) = cosl60°;

tg(-45°) = -tg 45°; ctg (-330°) = -ctg 330°.

4. Применение. Формирование умений и навыков.

Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного.

Содержание этапа: №287(а,б,в), 288(а,б), 289(а,б,в)290

5.Этап информации о домашнем задании.

Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания. Содержание этапа: №287(г,д,е), 288(в,г), 289(г,д,е) Учебник Алгебра 9 класс стр.106. выучить таблицу значении тригонометрических функций.

7.Подведение итогов урока.

Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.