Конспект урока по математике на тему: Теорема Пифагора (8 класс)

МБОУ «СОШ №31»

Открытый урок - проект

по геометрии

8 класс

по теме: «Теорема Пифагора»

учитель Морозова Л. С.

г. Симферополь

Проект «Теорема Пифагора»

Предмет: геометрия, 8 класс (2 урока)

Педагогический девиз проекта:

«Очень хорошо помогать своим ученикам и направлять их на верный путь. Но всё это нужно делать так, чтобы ученик не заметил помощи и подсказки и верил, что всё это он сделал сам» (Ф. Нейман).

За неделю до проведения урока класс разделён на две группы, каждая из них получила задания:

Задания 1 группы («Историковеды»): изучить биографию Пифагора, результаты представить в виде буклета.

Задания 2 группы («Теоретики»): подготовить обзор доказательств теоремы Пифагора в виде презентаций и публикаций.

Задания 3 группы («Литературоведы»): выучить отображение теоремы Пифагора в литературе: легендах, стихах, песнях, анекдотах; результаты представить в виде презентаций.

Задания 4 группы («Практики»): собрать исторические задания, в решении которых используется теорема Пифагора, результат оформить в виде презентации.

Задания 5 группы («Философы»): изучить достижения Пифагора, его философские высказывания, их связь с современностью, результат оформить в виде презентации.

Результаты этой работы были представлены на уроках.

Тема урока: теорема Пифагора.

Цель урока: ознакомить учеников с содержанием и разными доказательствами теоремы Пифагора; формировать умения применять теорему Пифагора к решению задач; обобщить знания о прямоугольном треугольнике; расширить круг геометрических заданий которые решаются учениками; ознакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора; реализовать межпредметные связи геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, литературой; развивать исследовательские и коммуникативные способности детей, прививать навыки сотрудничества с другими людьми, развивать умения, собирать информацию и мотивировано излагать выводы.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Не делай никогда того, что не знаешь.

Но учись всему, что нужно знать,

И тогда будешь вести спокойную жизнь.

Пифагор

Ход урока

1. Организационная часть.

• Вступительное слово учителя.

Прямоугольный треугольник - одна из первых геометрических фигур, о свойствах которой человечество узнало ещё в древности. Задачи о треугольнике находят древнеегипетских папирусах, древних индийских книгах. В папирусе Ахмеса упоминается о свойствах равнобедренного и прямоугольного треугольников, древние вавилоняне 4000 лет тому назад уже знали об углах у основания равнобедренного треугольника. Однако равенства треугольников были сформулированы Эвдемом Родосским и Фалесом Милетским. В древней Греции и ионической математической школе (основанной в VI веке до нашей эры Фалесом) и в школе Пифагора знали виды и свойства треугольников. Систематизировал эти знания Эвклид в первом трактате по геометрии «Началах».

Почему же треугольник интересовал людей с древних времён? Жёсткость треугольника использовали во время строительства и конструирования.

2. Актуализация опорных знаний учеников.

* Технология «Микрофон».

Ученик даёт ответ на один вопрос и передаёт микрофон следующему ученику.

1. Треугольник, у которого есть прямой угол … (прямоугольный).

2. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла … (гипотенуза).

3. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к противоположной стороне или её продолжению … (высота).

4. Отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике … (косинус угла).

5. Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной … (проекция).

6. Какие проекции имеют равные наклонные? (Равные).

7. Какая проекция была наклонной? (большая).

8. Сформулируйте неравенство треугольника … (В каком-либо треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон).

3. Мотивация учебной деятельности.

В 1974 году к созвездию Геркулес был отправлен мощный радиосигнал, который содержал в себе 1679 разных сообщений о человечестве, его научные и культурные достижения, планете Земля, её химический состав и размеры. Среди них была зашифрована и теорема Пифагора. Узнать о том смогли ли другие существа во вселенной расшифровать и понять эту теорему, мы сможем только через 5 тысяч лет (именно через этот промежуток времени вернётся сигнал на Землю). А сможете ли вы, мы узнаем в конце урока.

Эту теорему называют вечной. Ей более 2-х тысяч лет. В эпоху Средневековья её называли «ослиным мостом», потому, что доказать её было тяжело для учёных того времени. Так попробуем и мы перейти этот «ослиный мостик».

4. Сообщения учеников.

В VI ст. до н. э. в семье золотаря Мнесарха родился сын. По легенде, в Дельтах, куда приехали Мнесарх с женой Парфенисью, - то ли по делам то ли в семейное путешествие, - оракул напророчил им рождение сына, который прославится в веках своей мудростью, делами и красотой. Пророчество сбывается - в Сидоне Парфениса родила мальчика. И тогда, по давней традтции, Парфинеса берёт имя Пифиади, в честь Аполлона Пифийского, а сына называет Пифагором. В легенде ничего не сказано о годе рождения Пифагора; исторические исследования датируют его появление на свет приблизительно 580 годом до нашей эры на острове Самос.

Возможности дать сыну хорошее образование и воспитание у Мнесарха были. Будущий математик и философ уже в детстве проявил тягу к наукам. Первый учитель Гермодамаса научил Пифагора основам музыки и живописи. Через несколько лет, воспользовавшись советом своего учителя, Пифагор решает продолжить обучение в Египте, у жрецов. Попасть в Египет в то время было очень сложно, так как страна была практически закрыта от греков. С помощью учителя Пифагор оставляет остров Самос и живёт на острове Лесбос у своего родственника Зойла. Там происходит знакомство Пифагора с философом Ферекидом - другом Фалеса. У Ферекида Пифагор учится астрологии, тайнам чисел, медицине и другим обязательным в то время наукам. Пифагор прожил на Лесбосе несколько лет, оттуда пиреехал в Милеет к известному Фалесу, основателю первой в истории философской школы. Но Фалес советует ему ехать в Египет, чтобы продолжить обучение.

И Пифагор отправляется в дорогу. На какое-то время он останавливается в Финикии, где, по легенде, учится у известных жрецов. А потом ему удаётся попасть в египетские храмы, куда чужеземцев не пускали. Поэтому Пифагор принял посвящение в сан жреца. Обучение Пифагора в Египте способствует тому, что он становится одним из наиболее образованных людей своего времени.

В это время умер фараон Амазис, а его приемник трона не оплатил ежегодную дань Камбизу, персицкому, что послужило достаточным поводом для войны. Персы разрушили даже священные храмы. Подверглись гонениям и жрецы; их убивали или брали в плен. Поэтому Пифагор создаёт собственную философскую школу. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное товарищество. Учёные этой школы обязались вести так называемый пифагорейский способ жизни.

Школа Пифагора, как и другие школы того времени, была не похожа на сегодняшние. Пифагор разговаривал с учениками, прогуливаясь по улицам, по саду, по берегу реки. Говорили про всё, что встречали на пути: о торговцах, о животных, о загадочных явлениях природы.

Нелегко было стать учеником Пифагора. Учитель не сразу допускал новичков к участию в своих беседах. По два-три года они должны были молчать, без права заговорить с учителем, задать ему вопрос. Только пройдя через такие испытания, они становились полноправными учениками.

Каждый член кружка отрекался от своего имущества и давал клятву сохранять тайну учения основателя. В школе существовал декрет, согласно которому авторство математических работ приписывалось Пифагору.

Пифагор брал участие в кулачных боях на 58 олимпиаде в 548 г. до. н. э. Он был чемпионом по этому виду спорта и удерживал этот титул ещё несколько олимпиад. Существует версия, что Пифагора не хотели допускать к соревнованиям, говорили, что у него «ни роста, ни силы, ни внешности». « Да, - говорил Пифагор, - но я буду наносить удары с математической точностью».

Пифагора убили в уличной сутолоке во время народного восстания. После его смерти ученики связывали с именем своего учителя много легенд, поэтому установить правду о Пифагоре невозможно.

Геометрическими достижениями Пифагора считают доказательство теоремы о сумме углов треугольника, трактат о многоугольниках и, конечно, теорему, которая носит его имя.

5. Изучение нового материала.

Формулирование теоремы по Пифагору: сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равняется площади квадрата, построенного на гипотенузе a² + b² = c²

2. Современное формулирование теоремы Пифагора (ученики записывают в тетрадь): в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.

a² + b² = c²

3. Историческая справка о теореме Пифагора.

Учитель. О теореме Пифагора знали давно, ещё 2000 лет назад. Её использовали ещё в Древнем Египте для треугольника с сторонами 3, 4 и 5 отрезков (проверьте оправдывается теорема для таких сторон прямоугольного треугольника).

Сегодня существует около 300 доказательств этой теоремы, и возможно Пифагор был не первым, кто доказал её. Но благодаря ему эта теорема перешла из практической сферы в научную.

Другое название теоремы «Гекатомба», что в переводе означает сто быков, каких якобы принёс Пифагор в жертву богам в честь доказательства этой теоремы.

Докажем и мы эту теорему.

«Теоретики» (2 группа) с разными доказательствами теоремы Пифагора

1. Дано Δ АСВ - прямоугольный, ∟С = 90°, СD﬩AB.

Доказать АВ² = АС² + ВС².

6. Закрепление новых знаний.

1. Решение устных упражнений по готовым рисункам.

Учитель. Теперь, перейдя «ослиный мостик», перейдём к сложным задачам.

«Практики» (4-я группа) с историческими и древними задачами, в которых использовалась теорема Пифагора

1. На противоположных берегах реки стоят двое стрелков. Рост одного 180 см, второго 120 см. Ширина реки 500 см. Оба стрелка одновременно выпускают стрелу из лука, попадая в один момент в мишень на поверхности воды, которая лежит на прямой, которая соединяет ступни стрелков. Найти, длинны путей стрел и место нахождения мишени.

2.

Над озером тихим,

С полфута размером,

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко,

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водою,

Нашёл же рыбак

Его ранней весною

В двух футах

От места, где рос,

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода

Здесь глубока?

3. Могут ли увидеть один другого космонавты, которые летят над поверхностью Земли на высоте 200 км, если расстояние между ними равняется 2000 км? Радиус Земли приблизительно равняется 6000 км.

• Интерактивное упражнение «Аквариум».

Учитель предлагает решить задачу и показывает рисунок к ней на плакате. Ученики 4 группы садятся в центре класса. Эта группа сначала читает вслух задачу, а потом обговаривает её. За 3 - 5 минут они должны найти общее решение. Ученики, которые находятся во внешнем круге, слушают не вмешиваясь в ход обсуждения. После решения задачи место в «аквариуме» занимает другая группа и обговаривает решение задачи.

Задача 1. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна к боковой стороне, их длины относятся 4 : 3. Большее основание трапеции равняется 50 см. Найдите диагональ трапеции, сторону, к которой она перпендикулярна и высоту трапеции (40 см, 30 см, 24 см).

Задача 2. На берегу реки рос тополь высотой 15 м. Буря сломала дерево на высоте 6 м от земли так, что вершина оказалась на противоположном берегу реки. Найдите ширину реки, если считать, что ствол тополя перпендикулярен течению (6,7 м).

7. Важность теоремы Пифагора.

Учитель. Теорема Пифагора - это, наверно единственная теорема, которую помнят все ученики. Те, что хорошо учатся, знают формулирование, доказательство, а другие - название. Но наверно, каждый помнит выражение: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

«Литературоведы» (3-я группа) о важности теоремы Пифагора и описание её в легендах, стихах, песнях, и т. п.

В конце XIX веке были открыты на Марсе «каналы», которые длительное время считали искусственными, сделанными жителями Марса. В это время популярной была песня «Утверждают космонавты и мечтатели, что на Марсе будут яблони в цвету». Для налаживания связи с марсианами предложили на огромном просторе Западно-Сибирской низменности построить гигантскую геометрическую фигуру, которая бы светилась, - рисунок теоремы Пифагора, так как считали, что эта теорема общеизвестна и жители какой-либо планеты должны понять такой сигнал. Считали, что, увидев это изображение, марсиане сделают вывод о нахождении на Земле разумных существ, и дадут ответ также языком математики. Ведь математику считают языком Вселенной.

В 1995 году в Греции была выпущена почтовая марка, которая иллюстрирует теорему Пифагора. Глядя на неё, можно убедится в том, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Тема теоремы Пифагора звучит и в таких двух стихах.

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдём:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путём

К результату мы придём.

Гимн гипотенузе

Как символ великого союза,

Как верной дружбы знак простой,

Связала ты, гипотенуза,

Навеки катеты собой.

Скрывала тайну ты, но скоро

Явился некий мудрый грек,

И теоремой Пифагора

Тебя прославил он навек.

Хранит тебя безмолвно, чинно

Углов сторожевой наряд,

И копья - острые вершины

По обе стороны грозят.

И если двоечник, конфузясь,

Немеет пред твоим лицом,

Пронзи его, гипотенуза,

Своим отточенным копьём.

8. Значение теоремы Пифагора.

Учитель. Теперь подумайте, почему землемеры Древнего Египта для построения прямого угла использовали такой способ: брали верёвку, делили её узлами на 12 равных частей и концы связывали. Потом верёвку натягивали на колышки, чтобы получить треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Так за 1500 лет до Пифагора, жители Древнего Египта знали, что треугольник с сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным и пользовались этим для построения прямоугольников. Такой треугольник назывался египетским. Информацию о прямоугольном треугольнике также знали люди, которые строили до Пифагора чудесные храмы в Египте, Вавилоне, Китае, Мексике. Ещё раньше теорема была известна в Индии.

Так древние египтяне, вавилоняне и другие народы Древнего Востока ещё за 2000 лет до нашей эры знали, что треугольник с сторонами 3, 4, 5 - прямоугольный.

Древние египтяне обратили внимание, что квадрат числа 5 равняется сумме предыдущих двух чисел: 5² = 4² + 3². Из этого был сделан псевдо-научный вывод про божественные свойства числа 5.

Как видим, Пифагор не открыл сформулированное в теореме свойство прямоугольного треугольника, а заметил, обобщил и доказал, проверив на практике в практической сфере в науке. Возможно, что Пифагор дал первое полноценное доказательство этой теоремы.

Интересно, что именно такие пропорции 3:4:5 археологи находят в размерах тёсанных плит пирамиды Хефрена в Египте.

Древний способ построения прямых углов с использованием отношения сторон в египетском треугольнике иногда используется на строительстве и сейчас.

«Философы» (5-я группа) о вкладе Пифагора в создание научной базы

Пифагор первым из греческих математиков изучал пропорции и простейшие прогрессии. Пифагорейцы рассматривали три вида прогрессий: арифметическую, геометрическую, гармоническую. Другой выдающейся геометрической теоремой, которую историки приписывают Пифагору, является теорема о сумме углов треугольника, что равно мере двух прямых углов.

Пифагор первый использовал метод доказательства от противного, он создал элементарные принципы построения правильных многогранников, которые назвал космическими фигурами. Впервые разработал математическую теорию, музыки. Он считал, что шар - совершеннейшее из всех геометрических тел и, что Земля должна иметь форму шара.

Особое внимание Пифагор уделял числам. Он считал, что 1 - обозначена началом всего; 2 - означает протяженность; 1, 2, 3, 4 - отвечают точка, прямая, квадрат и куб; число 5 символизирует цвет; 6 - холод; 7 - разум, здоровье и свет; 8 - любовь, дружбу; 9 - постоянность; 10 = 1+2+3+4 - идеальное число, 10, согласно пифагорейскому учению, - такое число, на которое можно перевести все предметы и явления природы с его противоположностями; 13 и 14 были ненавистными числами. Пифагорейцы различали такие виды чисел: хорошие числа - непарные; злые числа - парные; числа совершенные - числа, которые равняются сумме своих множителей (6 = 1+2+3); дружеские числа - такие числа, одно из которых равняется сумме всех делителей другого, но без самого числа (220 = 1+2+4+71+142 248) и наоборот (220 и 248 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110); числа пирамидальные числа многоугольные и другие.

Они выяснили, что сумма нескольких последовательных непарных чисел, начиная с единицы, равняется квадрату их количества (1 + 2 = 2² = 4)

Наистрашнейшей клятвой у пифагорейцев считается клятва числом 36, которое имеет такие свойства 36 = 1³+2³+3³, 36 = (1+3+5+7)+(2+4+6+8)

Прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются натуральными числами, называются пифагоровыми треугольниками. Пифагоровых треугольников есть множество. Это, например, прямоугольные треугольники с сторонами: 5, 2, 13; 7, 24, 25; 13, 14, 15; 12, 16, 20 и т. д.

Из-за чертежей, сопровождавших теорему Пифагора учащиеся называли её также «ветряной мельницей», составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны во все стороны равны», рисовали карикатуры.

Теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько не смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c² = a² + b².

Зато это соотношение между соответствующими площадями геометрических фигур становится очевидным из построения на рисунках:

Из них мы видим два различных разбиения одного и того же квадрата со стороной а + b. На первом из них квадрат Q слагается из квадрата со стороной с и четырёх треугольников; на втором такой же квадрат слагается из квадратов со сторонами a и b и таких же четырёх треугольников. Исключив на обоих рисунках треугольники, видим, что c² = a² + b². В этом и состоит самый лучший математический стиль: посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным.

Пифагор прославился как философ. Ему принадлежат высказывания, которые и сегодня не утратили своего содержания и значения.

• Живи с людьми так, чтоб твои друзья не стали недругами, а недруги стали друзьями.

• Твори великое, не обещая великого.

• Когда хочешь спать, не закрывай глаз, пока не проанализируешь все свои поступки за прошедший день.

• Временная неудача лучше, чем временная удача.

• Не делай ничего позорного ни в присутствии других, ни тайно.

• Только неблагодарный человек способен в глаза хвалить, а за глаза ругать.

• Делай только то, что в бедующем не расстроит тебя.

• Всё упорядочивается с помощью чисел.

9. Итог урока.

• Оценивание работы учеников с аргументацией.

• Выходная рефлексия.

  1. Что сегодня на уроке было наиважнейшим?

  2. Что на уроке было интересным?

  3. Что вызывало сложности, и трудности?

  4. Над чем следует поработать дома?

Учитель. Впереди у вас ещё много разных жизненных и геометрических теорем, но сегодня вы стали взрослее на целую теорему - теорему Пифагора - интересную, могучую, вечную.

10. Домашнее задание.