ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОЛОГИИ НЛП В ОБУЧЕНИИ ДЕТЕЙ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОЛОГИИ НЛП В ОБУЧЕНИИ ДЕТЕЙ

Здесь рассмотрены вопросы применения методов НЛП к диагностике и коррекции трудностей, связанных в основном с усвоением математики.
Примеры и задачи по математике ориентированы на учащихся начальной школы. Для учащихся среднего и старшего звена учитель и психолог, основываясь на рассмотренных принципах и методах НЛП, может подобрать собственные задания.
Методы НЛП дают возможность нашему образованию сделать скачок в области обучения, и упустить такой шанс было бы непростительной ошибкой.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НЛП

Репрезентативные системы

Модальность (репрезентативная система) - форма восприятия и представления информации в мышлении и памяти. Различают визуальную (В), аудиальную (А, Д), кинестетическую (К, тактильные, мышечные ощущения, чувства), вкусовую и обонятельную модальности.
Основная модальность - модальность, чаще других используемая человеком сознательно, в его речи. Для ее определения необходимо, слушая речь человека, выделить предикаты (глаголы, прилагательные, наречия) и определить, предикатов какой модальности используется больше.
Примеры зрительных (визуальных) предикатов: увидеть, смотреть, яркий, перспектива, точка зрения и т.д.
Примеры аудиальных предикатов: слушать, созвучный, громко, тихий и т.д.
Примеры кинестетических предикатов: чувствовать; ощутимый; тяжело; грустный; ухватить и т.д.
Ведущая модальность (глазные ключи доступа) - модальность, используемая человеком при извлечении информации из памяти. Определяется путем наблюдения за глазодвигательными сигналами в соответствии с указанной ниже схемой при ответах человека на различные вопросы.

Вв - визуальные вспоминаемые образы.
Вк - визуальные конструируемые образы.
Ав - аудиальные вспоминаемые образы.
Ак - аудиально конструируемые образы.
К - кинестетические образы.
Д - внутренний диалог.

Взгляд прямо с расширением зрачков указывает на визуальный доступ к информации.
Схема действительна для правши, для левши нужно использовать инвертированную схему.
Референтная модальность - модальность, используемая человеком для определения истинности чего-либо. Определяется путем выделения предикатов в речи и наблюдения за ключами доступа при ответах на соответствующие вопросы (см. далее), а также наблюдением за мимикой и реакциями тела.
Стратегия - последовательность модальных переходов при выполнении мыслительных операций.

Полушарная модель мозга

Согласно новейшим психологическим исследованиям, левое полушарие отвечает за речь, логику, анализ, обработку знаковой информации.
Правое полушарие отвечает за обработку образной информации, интуицию, синтез, воображение, чувства и эмоции.

Соответствие полушарий и глазных ключей доступа

Визуальные знаки

Визуальные образы

Аудиальные знаки

Аудиальные образы

(внешняя речь, внутр. диалог)

(звуки)

Кинестетика

Для визуального типа характерно:
1. Основная модальность - визуальная.
2. Визуальные ключи доступа.
3. В общении соблюдает дистанцию, часто смотрит на собеседника.
4. Любит порядок на столе, парте, соблюдает порядок в комнате.
5. Красивый, аккуратный почерк.
6. Мало отвлекается на шум.
7. Возможны трудности при восприятии аудиальной информации.

Для аудиального типа характерно:
1. Основная модальность - аудиальная.
2. Аудиальные ключи доступа.
3. При чтении и письме шевелит губами, проговаривая слова.
4. Может хорошо имитировать речь других людей, звуки природы. Хорошо декламирует.
5. Сильно отвлекается на шум.

Для кинестетического типа характерно:
1. Основная модальность - кинестетическая.
2. Кинестетические ключи доступа.
3. При общении стоит близко к другому человеку, может часто до него дотрагиваться.
4. Характерна живая мимика, выраженная жестикуляция.
5. На столе, парте, в комнате возможен беспорядок.
6. Возможен неряшливый почерк.
7. Часто вертит в руках какой-либо предмет.
8. Возможны проявления различных эмоциональных реакций.
9. Чувствителен к эмоциональным методам обучения.

Большинство детей, успешно обучающихся в школе, имеют достаточно хорошо развитые все три модальности. Трудности в обучении чаще всего возникают у «крайних» визуалов и кинестетиков, то есть у детей с недостаточно развитыми остальными модальностями.
Чаще всего это дети «правополушарного» типа.

Моделирование

НЛП - это прежде всего дисциплина, занимающаяся моделированием, т.е. выявлением, формализацией и передачей успешного опыта в самых различных областях (в том числе и в образовании). А техники являются всего лишь результатом моделирования и удобным способом передачи опыта.
Моделированием называется процесс, в ходе которого то или иное сложное событие или явление разбивается на достаточно мелкие элементы, позволяющие воспроизвести или определенным образом использовать это событие или явление.
Механизм моделирования в НЛП подразумевает выявление психических стратегий («нейро») данного человека путем анализа его речевых паттернов («лингвистическое») и невербальных реакций. Из результатов подобного анализа шаг за шагом складываются стратегии и приемы («программирование»), которые могут быть использованы для передачи данного навыка другим людям.
Под стратегией в НЛП понимается последовательность мыслей и действий, направленных на получение конкретного результата. Стратегия - это детальный план достижения цели.
В практике нашей работы на семинарах моделирование осуществлялось путем осознания человеком своих внутренних психических процессов. В случае их слабого осознания партнер помогал человеку путем наблюдения за глазодвигательными сигналами, мимикой, жестами, а также за речевыми паттернами и постановкой соответствующих вопросов: «Как ты узнаешь, что...?», «Что ты сейчас себе представил?», «Что ты себе говоришь?», «Что означает твой жест?» и т.п.
В некоторых случаях моделирование, или выявление стратегий, основывалось на анализе речевых паттернов в книгах крупных специалистов.

Глубинные и поверхностные структуры

Известно, что человеческий мозг перерабатывает информацию двумя сигнальными системами. Первая - доречевая, или (в терминах НЛП) модальная (визуальная, аудиальная, кинестетическая), и вторая - посредством слов, речи, символов и знаков того или иного языка (разговорного, научного, художественного и т.д.).
Обычное речевое мышление человека, выполняемое с помощью логических рассуждений, подготавливается деятельностью подсознательных, доречевых механизмов переработки информации. Всякая мысль, прежде чем обрести словесное оформление, проходит через этапы работы первой сигнальной системы, ближайшего проводника действительности.
В НЛП лингвистический уровень (вторая сигнальная система) назван поверхностной структурой, а уровень сенсорных репрезентаций (первая сигнальная система) - глубинной структурой.
Согласно Н. Хомскому, основателю трансформационной грамматики, глубинные структуры не являются неразрывно связанными с каким-либо конкретным языком, но могут быть выражены различными лингвистическими средствами (поверхностными структурами).
Именно на этом положении основана работа переводчика-синхрониста. Он преобразует поверхностные структуры иностранного языка в свою глубинную структуру, а уже из нее строит поверхностную структуру родного языка (и наоборот - родного в иностранный язык).
Совокупность глубинных и поверхностных структур человека как сложная иерархическая система составляет его модель мира, или его репрезентацию, которая хранится в мозге человека в виде сложной иерархической нейронной системы.
В процессе развития мышления человека, начиная с младенчества происходит формирование системы связей между поверхностными структурами (речь) и соответствующими им глубинными структурами, которые есть результат переработки сенсорного опыта восприятия и деятельности человека в окружающем мире.
Процесс соотнесения поверхностной структуры с соответствующей ей глубинной структурой в НЛП называется трансдеривационным поиском. Этот процесс возвращает человека от слов и знаков в недра своей модели мира с целью прочувствования опыта.
Когда мы видим сочетание букв собака, мы осуществляем трансдеривационный поиск своего прошлого опыта, который связан с сочетанием букв (словом) собака.
Если мы сумеем извлечь из модели мира картины, звуки, ощущения и запахи в ответ на это слово, мы узнаем, что означает собака. Если не сумеем, то мы не поймем этого слова. Наоборот, если мы хотим что-то высказать, мы начинаем со своих глубинных структур (картинок, звуков, ощущений, вкусов и запахов), находим соответствующие им слова и строим нужное предложение.

В, А, К, Д - совокупность визуальных, аудиальных и кинестетических образов каких-то реальных собак, на которых мы обращали внимание в процессе своей жизни. В дальнейшем такое множество визуальных, аудиальных и кинестетических образов мы будем называть полимодальным В, А, К, Д-фильмом.
Когда ребенок только начинает формировать понятие «собака», он совершает обратный процесс, процесс связывания своего сенсорного опыта со словом собака (вначале как набором звуков, а в дальнейшем и с набором картинок-букв).
Для понятий высокого уровня обобщенности этот процесс трансдеривационного поиска может оказаться намного сложнее. Так, для слова растение он может иметь следующий вид (схема дана в частичном виде):

По всей видимости, информация об этом понятии хранится в памяти человека в виде иерархической древовидной структуры (дерево - одна из форм представления информации в математике и теории информации). Эта структура имеет несколько уровней, на самом низшем, или глубинном, уровне она представлена полимодальным фильмом нашего сенсорного опыта восприятия множества различных видов растений.
В дальнейшем мы будем различать следующие информационные уровни:
а) уровень родного языка (речи письменной и устной);
б) уровень символов и знаков той или иной области;
в) уровень сенсорного опыта В, А, К, Д - глубинная структура.
Уровни а и б тесно связаны с работой левого полушария мозга человека, уровень в - правого полушария. Часто уровни а и б называют синтаксическим уровнем, а уровень в - семантическим.
Обучение ребенка должно опираться на установление прочных связей между поверхностными структурами изучаемого предмета и глубинными структурами, иначе говоря, на реальный жизненный опыт ребенка (сенсорный и деятельностный).
По моему мнению, в обучении детей сейчас преобладает акцент на овладение поверхностными структурами (синтаксис, левое полушарие), а не на формирование глубинных структур (семантика, правое полушарие), что приводит к поверхностному, механическому овладению предметом.
Остановимся еще на одном важном моменте. До настоящего времени в отечественной психологии господствовала идея, что мышление человека - это в первую очередь процесс функционирования его внутренней речи. Поэтому большинство методов обучения детей основано на вербализации информации, зачастую игнорируя процесс формирования глубинных структур, лежащих в основе этой вербализации.
В новой парадигме обучения, которая уже начинает пробивать себе дорогу, я думаю, будет значительно усилена работа с глубинными структурами мозга ученика, иными словами, будет сделан шаг в направлении гармонизации работы обоих полушарий головного мозга.
Традиционный подход к формированию навыка действий в умственном плане (например, теория поэтапного формирования умственных действий Гальперина) в большей степени ориентирован на формирование поверхностных структур путем «комментирования» внешних действий вначале вслух, а затем про себя. При этом предполагается, что глубинные структуры возникнут сами по себе (функция сознания - отражение!).
Но это происходит не всегда и не у всех детей. Поэтому в нашей системе этапу перехода внешних действий и восприятий во внутренний план отводится особая роль.
Делается это следующим образом. Перед началом выполнения тех или иных действий во внешнем плане детям дается установка, что их глаза и мозг будут работать как фотоаппарат или видеокамера, и они могут как бы снимать свои (или других людей) действия на пленку. Причем в фильм должны заноситься не только зрительные, но и аудиальные и кинестетические образы. Фильм может комментироваться вслух и/или про себя.
После выполнения действий детей просят вспомнить весь фильм и только через него давать вербальные формулировки.
Таким образом, особый акцент делается на сознательном формировании вначале глубинных структур знаний, а уже через них на «связывании» этих структур с поверхностными структурами (речью).
Такой подход неизбежно приводит к повышению уровня осознанности, улучшению внимания школьника, формирует навык самоконтроля, развивает различные виды памяти, гармонизирует работу обоих полушарий головного мозга.

Линии времени

Одной из важнейших функций нашего мышления является упорядочивание событий и процессов во времени. Можно сказать, что время есть один из важнейших системообразующих факторов целостной системы мышления человека. И от того, насколько хорошо сформирована эта функция мышления, во многом зависит его эффективная работа.
НЛП уделяет большое внимание способам, которыми наш мозг кодирует субъективное восприятие времени. В НЛП выяснено, что, каким бы на самом деле ни было время, наше субъективное восприятие его, оказывается, имеет пространственную структуру.
Мы используем метафоры «предвидеть будущие события», «вернуться в прошлое», «отдаленное будущее», «незаметно пролетело время» и т.д. Кажется, мы думаем о времени как о линии.
И на самом деле - выявление способов кодирования субъективного восприятия времени большого числа людей показало, что наш мозг кодирует это восприятие в виде пространственной линии.
Временные линии можно разделить на две большие категории. Первая называется «вдоль времени», или «включенное время».
У людей с такой линией времени она начинается сзади и, пройдя сквозь них, уходит вперед, так что прошлое оказывается в буквальном смысле слова сзади, а будущее впереди. Они живут в той части своей временной линии, которая связана с настоящим, и поэтому обычно не осознают течение времени. Эти люди, как правило, находятся в ассоциированном состоянии сознания.
Вторая категория - линия типа «поперек времени», или «сквозное время». У людей с такой линией времени прошлое, настоящее и будущее находятся перед ними.
Обычно прошлое находится слева, будущее уходит вправо (для левши может быть наоборот). Люди с такой временной линией обычно хорошо планируют, умеют ставить цели, бывают организованными и пунктуальными. Они чаще всего находятся в диссоциированном состоянии сознания, как бы наблюдая за собой со стороны.
Многие жизненные проблемы людей имеют корни в способах кодирования своей линии времени. Об этом достаточно полно сказано в литературе по НЛП.
Анализ первых результатов, полученных нами при работе над темой, показал, что некоторые способы кодирования времени детьми (или отсутствие такого кодирования) резко снижают их мыслительные способности.
Так, в частности, если ученик не может отстраниться от своей линии времени (находится во включенном времени), то это может создать определенные трудности в установлении причинно-следственных связей, решении обратных задач, понимании функциональных процессов, последовательном и связном воспроизведении материала по тому или иному предмету.
Изучение способов кодирования детьми своей линии времени и связи этих способов с их успеваемостью, уровнем развития интеллекта представляется мне очень перспективным.

Информационные позиции

В НЛП считается важным умение сочетать различные точки зрения на одно и то же событие. Это называется тактикой множественного описания. В НЛП различают три основные точки зрения, или три описания.
Первая позиция - это наша собственная реальность, наша собственная позиция, с которой мы воспринимаем событие.
Вторая позиция - это переход на точку зрения другого человека, восприятие ситуации с его позиции.
Третья, или метапозиция, - это способность стать на внешнюю, отстраненную точку зрения или позицию не вовлеченного в ситуацию наблюдателя.
Сочетание всех трех позиций, трех точек зрения на ситуацию называется тройным описанием.
Умение переходить из одной позиции в другую характерно для лучших коммуникаторов, лидеров, гибких и творческих людей - всех тех, кто обычно добивается успеха.
Множественное описание можно сравнить со стереограммой, построенной из большого количества мелких цветных деталей, в совокупности дающих возможность увидеть объемный образ.
Существует также четвертая позиция восприятия, которая подразумевает рассмотрение ситуации с точки зрения целой системы. Четвертая позиция предполагает своего рода интуитивный синтез всех трех ракурсов с целью получить полный «гештальт», или голографический образ.
Умение интегрировать множественное описание в единый голографический образ является необходимым элементом так называемого системного мышления.
На важность умения ребенка децентрироваться, входить в ситуацию другого человека для развития его интеллекта указывал французский психолог Пиаже, и это положение принято в настоящее время практически всеми психологическими школами.

СТРАТЕГИИ МЫШЛЕНИЯ
В МАТЕМАТИКЕ

Особенности эффективных мыслительных
стратегий в математике

Анализ различной литературы по математике, моделирование мыслительных стратегий людей, успешных в математике, позволяют сделать вывод, что ведущей модальностью в математике является визуальная.
Характерно, что очень часто математики употребляют слово «показать» вместо «доказать». По словам многих крупных математиков, они в своем мышлении избегают употребления не только слов, но также точных математических знаков, в большей степени они используют зрительные образы, зачастую довольно расплывчатые, а также кинестетические ощущения.
Некоторые из них используют слова, чаще всего в виде вопросов, которые они сами себе ставят для стимуляции идей. Чаще всего слова и знаки используются математиками на заключительной стадии мыслительного процесса, когда надо изложить результаты на бумаге или сообщить другим.
Таким образом, мыслительные стратегии математиков в большей степени основаны на глубинных структурах мозга. Поверхностные структуры фигурируют в основном в начале творческого процесса, в период постановки задачи, и на заключительной стадии, при оформлении полученных результатов.
Моделирование стратегий решения задач одаренными в математике людьми показало, что они владеют следующими умениями.
1. Ясно представить все объекты задачи и связанные с ними величины и их меры в визуальной модальности.
2. Визуально и кинестетически определить основные соотношения между объектами и величинами.
3. Ориентируясь (зрительно) на вопрос задачи как цель, составить визуальный план решения, чаще всего аналитический (от конца к началу).
4. В случае затруднений в процессе решения задачи стимулировать свой эвристический мыслительный процесс вопросами (внутренняя речь) типа: «Что неизвестно?», «Что дано?», «В чем состоит условие?», «Какие существуют взаимоотношения между данными и неизвестными?» и т.д.
5. Переходить от образного представления задачи к визуальной схеме, отражающей данные и неизвестные взаимосвязи и иерархию между ними (глубинная структура).
6. Для более ясного и четкого осознания взаимосвязей между объектами и величинами мысленно «отождествляться» с ними и телесно «прочувствовать» эти объекты и взаимосвязи.
7. Для задач динамического типа - визуально представить весь процесс изменений (трансформаций) объектов и величин во времени в едином поле зрения (в виде В, А, К, Д-фильма). Увидеть процесс в обратном порядке, от конца к началу (обратные трансформации) для задач обратного типа.
8. «Отойти» от конкретных объектов, величин и их мер, оперируя только обобщенной абстрактной схемой.
9. Для сильных в математике учащихся характерна сформированность внутреннего плана действий, умение оперировать математическими объектами в уме.
Соответственно, если мы хотим научить ребенка хорошо решать математические задачи и глубоко понимать математику в целом, мы должны помочь ему сформировать указанные выше умения.

Примеры использования модальных
стратегий в математике

Рассмотрим некоторые примеры возможных подходов учителя к развитию указанных способностей. Прежде всего детей нужно научить глазами и мозгом как бы фотографировать или снимать на кино-, видеопленку статическую и динамическую информацию в виде В, А, К, Д-фильмов, а затем воспроизводить ее в умственном плане.

Запоминание состава числа

Многие дети делают это аудиально, что затрудняет как вспоминание, так и ответы на вопросы типа: «Какое число нужно прибавить к 4, чтобы получить 10?», «Сколько будет 10 отнять 7?» и т.д. Аудиальный способ запоминания особенно затруднен для учеников визуального типа. Их надо попросить «сфотографировать» картинки:

1 + 9 = 10
2 + 8 = 10

и т.д. по отдельным строчкам и весь столбик сразу, а затем мысленно «достать эту фотографию». Если их затем спросить, сколько будет 1 + 9, 2 + 8, или попросить назвать состав числа 10, то это будет даваться им намного легче.
Удерживание во внутреннем взоре картинки (строчки) позволяет намного легче, чем аудиально, выполнять как прямые действия (1 + 9 =, 2 + 8 = и т.д.), так и обратные (десять - это 1 + 9, десять - это 2 + 8, к трем нужно прибавить семь, чтобы получить десять, и т.д.).
Очевидно, что на всю таблицу может уйти не один день. Желательно учителю иметь такую таблицу на видном месте в классе и регулярно акцентировать внимание детей на ней, пока дети ее не запомнят визуально. Родители могут отдельные строки написать цветным фломастером на крупных листах бумаги и вывесить их в тех местах квартиры, куда часто обращается взгляд ребенка.
Очень важно, чтобы при вспоминании состава числа или ответах на различные вопросы, связанные с ним, ученик направлял глаза вверх, в область визуальных воспоминаний. Учителю и родителю нужно регулярно напоминать ему об этом, иногда помогая движением своей руки вверх и поднятием вверх собственных глаз.
Необходимо также, вслед за визуальным вспоминанием,
озвучить его и повторить про себя, а затем и записать в тетради.
Аналогичная стратегия может быть применена и при запоминании таблицы умножения.

Сложение чисел с переходом через десяток

7 + 5 = ? Успешные ученики мысленно разбивают число 5 на 3 и 2, 3 добавляют к 7, получают 10 и к 10 добавляют 2, получая 12.
Обычно вначале такие действия делаются учителем на доске (а детьми в тетради), и многие ученики запоминают процесс этих действий в виде фильма, который в дальнейшем может «свернуться» и перейти в подсознательную область.
Для учеников, которым трудно даются такие примеры, необходима работа по сознательному созданию нужного
мысленного фильма. Это можно сделать следующим образом.
В тетради (или на доске) ученик пишет: 7 + 5. Вопрос учителя: «На какие числа можно разбить число 5, чтобы тебе было легче посчитать?» Если ученик затрудняется, подсказать: «К семи прибавить три - ты уже легко считаешь. Сколько это будет? (Обычно это не вызывает затруднений.) Если мы взяли от пяти три, сколько останется? (Два.)». Делается запись: . Сложи 7 и 3.
Делается запись:
Далее: (7 + 3) + 2, 10 + 2 = 12. Попросить ребенка вспомнить (воспроизвести в умственном плане) весь фильм и озвучить его: «Разбиваем 5 на 3 и 2, тройка идет к семерке, будет 10, и остается еще 2, всего будет 12». Записать пример полностью: 7 + 5 = 12.
Дать еще несколько примеров, вначале с записью фильма в тетради, затем с созданием такого фильма сразу в уме. Как и ранее, отслеживать и направлять движение глаз вверх.

Сложение чисел

В математике сложению двух чисел соответствует объединение двух непересекающихся множеств. Так, поверхностной структуре 2 + 4 = 6 соответствует глубинная структура, которая может быть представлена в памяти в виде следующего В, К, Д-фильма: «Вижу два предмета - объект № 1, рядом справа - четыре предмета - объект № 2» (первый кадр). «Далее объект № 2 двигается к объекту № 1, при этом возникает кинестетическое ощущение в правой руке, и я вижу, как она перемещает объект № 2, при этом произношу про себя: «Соединяю» (второй кадр).
«Далее предметы соединяются, образуя один объект» (третий кадр). Затем идет подсчет предметов: «Вижу и чувствую свою руку, последовательно указывающую на объединенные предметы (одновременно взгляд фокусируется на этих предметах), при этом произношу соответствующие числа: «Один, два, три, четыре, пять, шесть», делая на последнем предмете жест, объемлющий всю группу предметов, и говоря: «Всего шесть» (четвертый кадр).
Схематично этот фильм можно изобразить следующим образом:

На данной схеме овал соответствует границе поля внимания, выделяющего предметы, черные кружки - каким-либо предметам.
Очевидно, чтобы научить ребенка действию сложения двух чисел, необходимо начинать с действий с реальными предметами, затем переходить к созданию в памяти соответствующего В, К, Д-фильма (глубинной структуре) и затем к поверхностной, в данном примере 2 + 4 = 6, или словами: «К двум прибавить четыре получится шесть». Для более глубокого освоения действия сложения необходимо давать и обратные задания - перейти от поверхностной структуры, заданной с помощью математических знаков и слов, вначале к глубинной структуре (рассказать о соответствующем фильме в голове), а затем и к выполнению реальных действий с предметами.
Очевидно, что выполнение действий с предметами в обратном порядке и создание соответствующей глубинной структуры (прокручивание фильма в обратном порядке) соответствует действию вычитания чисел.
Обобщенный алгоритм обучения детей арифметическим действиям сложения и вычитания может иметь следующий вид.
1. «Установка на киносъемку» В, К, Д-фильма о собственных действиях с предметами (осознание своих действий).
2. Действия с реальными предметами и словесное их комментирование, вначале вслух, затем шепотом, затем про себя.
3. Вспоминание и рассказывание глубинной структуры (или В, К, Д-фильма). Если не вспоминается правильно, вновь проделать пункт 2.
4. Проговаривание и запись поверхностной структуры с помощью математических знаков и слов устной и письменной речи.
5. Обратный процесс - переход от поверхностной структуры примера к рассказыванию глубинной структуры (или В, К, Д-фильма) примера и затем к действию с реальными предметами.
Важно отметить следующее. Если в приведенном выше примере двигать объект № 1 к объекту № 2 (слева направо), то соответствующая математическая запись будет иметь другой вид: 4 + 2 = 6 (к четырем прибавить два). Поэтому желательно варьировать порядок действий с предметами, обращая внимание ученика на изменения как в В, К, Д-фильме, так и в соответствующей ему математической и словесной записи.
Вначале, возможно, для ученика потребуется образец в виде предметных действий самого учителя, затем совместные действия и в конце самостоятельные действия ученика (но начинать с действий самого ребенка!).

Вычитание чисел

В методической литературе по математике отмечается, что значительная часть учащихся при выполнении предметных действий, связанных с вычитанием, фиксируют скорее пространственное отделение, разъединение двух множеств, чем вычленение и удаление части из целого, что затрудняет усвоение и понимание ими смысла решения примеров типа 8 - 2 = 6.
Происхождение различных ошибок при освоении понятия вычитания путем выполнения предметных действий объясняется так: «В психологии установлено, что дошкольникам свойственно не удерживать одновременно во внимании целое и его части: когда они оперируют частями, то уже не видят перед собой целого, и наоборот. Преодоление этих ошибок происходит постепенно и обычно в возрасте 7-8 лет. Поэтому так важно продумать психологический аспект изучения этого вопроса» (Истомина, с. 40).
Я думаю, что осознание глубинной структуры действия вычитания поможет прояснению этого психологического аспекта. Рассмотрим, как я сам осознаю свою глубинную структуру (для такого самоосознания необходимо сильно замедлить «прокрутку» фильма глубинной структуры).
Когда я решаю пример 8 - 2 = , происходит примерно следующее:
1. Я выделяю взглядом число 8.
2. Создается в уме первый кадр - 8 предметов.
3. Произношу в уме «восемь».
4. Выделяю взглядом - 2. 1-й кадр
5. Создается в уме второй кадр, как бы проводится линия, отделяющая два предмета от общей группы.

6. «Кусок» с двумя предметами отодвигается в сторону. Произношу в уме «вычесть».

7. Пересчитываются оставшиеся предметы (6).

8. Я вижу в уме все четыре кадра рядом, в едином поле зрения:

Смотрю на них слева направо и озвучиваю: «Восемь (1-й кадр) вычесть два (2-й и 3-й кадры) будет шесть (4-й кадр)».
9. Записываю в виде ответа 8 - 2 = 6 и проговариваю про себя или вслух.
Очевидно, что если весь этот процесс (фильм) свернуть во времени, то кадры наложатся в умственном плане друг на друга, что, по сути дела, и означает одновременное удержание во внимании целого и части.
Практика коррекционной работы с детьми показала, что выполнение предметных действий с одновременным созданием и запоминанием глубинной структуры по описанному алгоритму устраняет трудности в понимании действия вычитания у «слабых» учащихся.
Легко видеть, что прокручивание описанного выше фильма в обратном порядке приводит к поверхностной структуре 6 + 2 = 8, что делает очевидным взаимообратный характер операций сложения и вычитания.
У меня не вызывает сомнения, что изучение этих, как и всех других взаимообратных операций, должно происходить одновременно, так как для них используется практически одна и та же глубинная структура (фильм, просматриваемый в прямом или в обратном порядке).

Устный счет

Устный счет лучше всего выполняют люди с хорошей визуальной памятью. Алгоритм формирования навыка устного счета может быть примерно следующим.
1. Ученик выполняет действия на бумаге, как бы снимая В, К, Д-фильм о своих действиях, и заносит его в память. При этом он комментирует свои действия вслух и про себя.
2. Воспроизводит фильм в уме, рассказывая о своих образах. Если на каком-то этапе фильма возникает ошибка, то необходимо вновь вернуться к шагу 1.
3. Попробовать выполнить действия с числами в уме, сразу создавая нужные образы фильма и комментируя их с помощью речи. Если не получается, то необходимо выполнять шаги 1 и 2 до формирования нужного навыка (возможно, в другое время).
4. Затем можно усложнять примеры, увеличивая число цифр.

Задачи на динамические отношения

Многочисленные отношения между объектами, возникающие в реальности, являются «динамическими отношениями» в том смысле, что они связывают ее последовательные, а не одновременные состояния. В математике о таких отношениях говорят как о последовательных трансформациях (преобразованиях во времени).
Общая модель такой последовательности трансформаций имеет вид:

Пример 1. В автобусе ехали 6 человек. На остановке вошли еще 5. Всего стало 11.

Пример 2. У мальчика было 7 фишек. В первой партии какой-то игры он выиграл 4 фишки, а во второй проиграл 3.

Умение решать различные задачи, связанные с последовательностью трансформаций, во многом зависит от способности ученика визуализировать всю последовательность событий на временной линии, а также обращать эту последовательность во времени (просмотр фильма от конца к началу).
Рассмотрим несколько задач этого типа.
Задача 1. В автобусе ехали 6 человек. На остановке в автобус вошли еще 5. Сколько всего человек стало в автобусе? Соответствующая схема:

У большинства учащихся эта задача не вызывает больших трудностей, но обратная ей задача может вызвать определенные трудности у многих учеников.
Обратная задача 1. На остановке в автобус вошли 5 человек, и всего стало 11. Сколько человек ехали в автобусе вначале, до остановки?

Чтобы научить детей решать такие задачи, можно проделать следующие шаги:
1. Нарисовать на листе (доске) последовательные кадры событий фильма образов.

2. Прокрутить этот фильм в умственном плане.
3. Прокрутить фильм в обратном порядке, начиная от третьего кадра к первому. При этом решение задачи для детей становится очевидным. Дети обычно говорят: «Автобус едет задом наперед, на остановке люди выходят, значит, надо отнять (11-5), и остается в автобусе до остановки 6 человек».
4. Прокрутить фильм опять в прямом направлении, проверяя, так ли решена задача: «Ехали 6 человек, на остановке вошли еще 5, значит, надо прибавить. Шесть прибавить пять будет одиннадцать, как и в условии. Значит, решили правильно».
5. Перейти с помощью учителя к обобщенной схеме, например:

При этом важно попросить детей наложить рисунок из п. 1 на эту схему. На месте квадратиков как бы смутно будет виден образ автобуса, а посередине остановка и входящие в автобус люди. Такое наложение способствует переходу от частных задач к обобщенной задаче.
Затем необходимо прокрутить такой наложенный на схему фильм с автобусами в обратном порядке. Далее попросить детей придумать задачу, аналогичную задаче с автобусом. Рассмотреть вместе с детьми придуманные задачи, просматривая фильмы сквозь схему и определяя, соответствует ли придуманная задача этой схеме. Решить придуманные задачи.
6. Перейти к общей схеме:

Если раньше в задачах что-то добавлялось, то сейчас нужно придумать похожие задачи, в которых что-либо уменьшается. Решить эти задачи в соответствии с пп. 2, 3 и 4. Обратить внимание детей, что если в прямом фильме что-либо уменьшалось, то в обратном увеличивается на столько же (действие «сложение»).
7. Переход к пространственным трансформациям.
Спросить детей, может ли что-то изменяться, только уменьшаясь или увеличиваясь. Будут ли изменениями перемещения, повороты, растяжения и сжатия объектов? Обратить внимание на обратимость таких действий: поворот направо - поворот налево; подъем - спуск, движение вперед - движение назад и т.д.
Разобрать вместе с детьми, что для того, чтобы вернуться в исходное состояние, нужно выполнить обратное действие. Проделать это практически: стать, например, лицом к какой-либо стене (исходное состояние), повернуться направо под прямым углом (изменение или трансформация положения тела), оказавшись лицом к другой стене. Выполнить обратное изменение (поворот налево) и вернуться при этом в исходное положение.
Затем вспомнить все эти действия, прокрутив их В-К-фильм как в прямом, так и в обратном порядке. Придумать и разобрать вместе с детьми другие аналогичные задачи.
Можно порешать с детьми задачи на пространственные перемещения. Например: «Я стоял лицом к какой-то стене, затем повернулся под прямым углом налево и оказался лицом к окну. Как я стоял вначале?»
Обратить внимание детей, что задачи легче всего решаются, начиная с конца (аналитический способ), путем прокручивания фильма о совершенных действиях в обратном порядке.
Перед мысленным решением таких задач, возможно, некоторым детям нужно будет проделать все описанные в задаче действия практически. Желательно также, чтобы дети попробовали решать такие задачи, начиная от данных (синтетический метод), при этом они легко поймут, что сделать это очень трудно, так как требуется перебор очень большого числа различных вариантов.
По окончании цикла решения задач на трансформации вместе с детьми необходимо сделать вывод, что все такие задачи имеют одну общую визуальную схему:

Для их решения нужно просмотреть фильм изменения состояний в обратном порядке, применяя при этом обратную трансформацию. Желательно также проделать аналогичную работу с задачами на две и более трансформации. Все они имеют общую схему:

для прямой задачи (по исходному состоянию и двум трансформациям определить конечное состояние)

и для обратной (по известным трансформациям и конечному состоянию определить начальное состояние).
Пример прямой задачи: В классе было 12 учеников. На перемене в класс вначале зашло еще 3 ученика, а затем вышло 5 учеников. Сколько учеников стало в классе?
Пример обратной задачи: Мальчик сыграл 2 партии в фишки. В первой он проиграл 6 фишек, а во второй выиграл 8. Всего у него осталось 10 фишек. Сколько фишек было у мальчика до игры?
Задачи на две (и более) трансформации решаются аналогично задачам с одной трансформацией. Важно уметь «сделать фильм» по задаче, а для обратной - прокрутить его в обратном порядке, применяя при этом обратные трансформации.
Желательно также, чтобы дети сами составляли по общей схеме аналогичные задачи, давая их друг другу для решения.

Статические задачи

В задачах этого типа изменений состояния объектов во времени не происходит. В таких задачах важно выделить объекты, связанные с ними величины и их меры, а также выявить все отношения (взаимосвязи) между ними и на основании этого определить неизвестные.
Рассмотрим следующую задачу.
Первая книга стоит 6 рублей, вторая на 7 рублей больше, а третья стоит столько же, сколько первая и вторая книги вместе. Сколько стоят три книги вместе?
Основной причиной трудностей при решении такой задачи является неумение визуально представить себе эту задачу, выделить объекты, величины и меры, а также увидеть отношения между известными и неизвестными.
Предлагаемая ниже последовательность действий при решении этой задачи позволяет преодолеть эти трудности (предполагается, что работа по формированию навыка визуализации с детьми уже проведена).
Этап 1. Осмысление или восприятие задачи
1. Попросить детей визуально представить объекты задачи. «О каких предметах говорится в задаче?» - «О книгах». - «Изобразите каждую на рисунке квадратом. Сколько таких книг?» - «Три».
Делается рисунок (первый раз учитель рисует на доске).
2. «Какие величины связаны с книгами?» - «Стоимость, или цена». - «Про какие книги известно, сколько они стоят?» - «Про первую». - «Поставим цену на рисунке».
3. «Что известно про стоимость второй и третьей книг?» - «Вторая стоит на 7 рублей больше». - «Изобразим взаимосвязь стоимостей второй и первой книг стрелкой, идущей от второй книги к первой. Над ней напишем, что про эту связь говорится в задаче».
4. Аналогично разбирается вся задача и составляется ее графическая схема, которая может иметь такой вид:

На этой схеме прямая стрелка указывает связи, фигурная - объединение, или сумму (слово «вместе» в задаче). Знак «?» соответствует вопросу задачи.
Пп. 1-4 относятся к этапу восприятия или осмысления задачи, в котором вычленяются объекты (книги) и отмечаются взаимоотношения величин, связанных с этими объектами, как с данными (известными), так и с величинами, которые нужно определить (неизвестными).
Построение визуальной схемы задачи позволяет ученику увидеть задачу как целостную единую структуру, создать ее ясный, целостно расчлененный образ, что, в свою очередь, создает умение «схватывать» задачу в целом, не теряя из виду всех ее данных.
Такое умение («схватывать») психологи и математики относят к одному из важных аспектов математической одаренности.
2-й этап. «Прочувствование» задачи
Этот этап тесно связан с информационными позициями НЛП и предполагает «вхождение в роль» каждого элемента задачи.
5. Графическая схема задачи рисуется на полу. Затем ученик поочередно входит в позицию каждой книги.
Будучи первой книгой, он говорит: «Моя стоимость 6 рублей», затем он переходит в позицию второй книги и смотрит, в соответствии со схемой, на первую книгу и говорит: «А я, вторая книга, стою на 7 рублей больше».
Затем вновь переходит по соединяющей стрелке в позицию первой книги и говорит: «А я, первая книга, стою на 7 рублей меньше».
Затем ученик выходит в третью позицию, или метапозицию, и мысленно отмечает взаимоотношение между стоимостями второй и первой книг. Затем ученик становится на фигурную скобку, объединяющую вторую и первую книги, делает объемлющий жест руками, представляет, как стоимости этих книг складываются, и говорит: «Вместе».
Затем он переходит в позицию третьей книги, проходит по стрелке, соединяющей третью книгу с фигурной скобкой, говоря при этом: «А я, третья книга, стою столько же, сколько вторая и первая вместе».
Затем ученик переходит в позицию фигурной скобки, соединяющей все три книги, делает объемлющий жест руками и, представляя себя знаком вопроса, говорит:
«Сколько же я, все три книги вместе, стою?» При этом ученик визуально и кинестетичеки представляет, что стоимости всех трех книг как бы объединяются в его теле.
6. Затем ученик осмысливает условие задачи, смотря на всю схему на полу и как бы оживляя в памяти свои визуальные образы и кинестетические ощущения. Здесь же важно попросить ученика повторить условие задачи. Если он не сможет этого сделать, вновь проделать этапы 1 и 2.
3-й этап. Составление плана решения
Здесь мы рассмотрим только аналитический метод (от вопроса к данным) как наиболее продуктивный.
7. Учитель на доске, а дети в тетради рисуют прямую линию, на которой будут отмечаться этапы решения. Далее учитель может сказать: «Дети, на этой линии - дороге, ведущей к нашей цели, решению задачи, - мы наметим отдельные шаги, которые приведут нас к этой цели, решению задачи, ответу на ее вопрос. Итак, какова наша цель, что мы должны узнать в задаче?» - «Наша цель - ответить на вопрос, сколько стоят три книги вместе».
На прямой линии справа ставится точка, обозначающая цель.

Учитель спрашивает: «Что мы должны знать, чтобы ответить на этот вопрос?» - «Сколько стоит каждая книга в отдельности». Учитель: «По условию, что мы об этом знаем?» - «Стоимость первой книги». - «А стоимость второй и третьей книг известна?» - «Нет». - «Следовательно, что мы должны узнать, чтобы ответить на вопрос задачи?» - «Мы должны узнать стоимость второй и третьей книг». - «Стоимость какой книги, второй или третьей, мы должны узнать раньше?» - «Второй».
Далее ставятся аналогичные необходимые вопросы и определяется нужная последовательность шагов. Получаем следующую временную линию шагов (последовательности) плана:

8. Пройти по позициям схемы задачи (на полу или мысленно в тетради) в соответствии с пунктами плана, начиная от цели - вопроса задачи. Фигурная скобка с вопросом, далее стрелка от третьей книги к фигурной скобке, объединяющей первую и вторую книги, далее по стрелке от второй книги к первой.
9. Ученик затем проходит по схеме в обратном порядке, начиная от первой книги, к фигурной скобке с вопросом задачи и соотносит эти шаги с этапами на временной линии, мысленно намечая свои действия по реализации плана. При этом он может вслух комментировать свои будущие действия по решению задачи.
Это может примерно выглядеть следующим образом: «К 6 прибавлю 7, узнаю стоимость 2-й книги». Став в позицию фигурной скобки, объединяющей 1-ю и 2-ю книги: «Сложу стоимости 1-й и 2-й книг», далее, проходя от этой фигурной скобки по связывающей стрелке к 3-й книге: «Получу стоимость 3-й книги». Став в позицию фигурной скобки с вопросом задачи: «Сложу стоимости всех трех книг, ответив на вопрос задачи». (При этом дети с очевидностью осознают. что достаточно только прибавить стоимость 3-й книги к уже вычисленной ранее сумме стоимостей 1-й и 2-й книг.)
4-й этап. Реализация плана
10. На этом этапе оформляются соответствующие записи в тетради. Порядок записи действий соответствует порядку, выявленному в п. 8 (от начала к концу). Этот этап обычно не вызывает затруднений у детей, если правильно проделаны предыдущие этапы.
Выполнение описанных выше действий при решении задачи позволяет включить в процесс решения все модальности: визуальную, кинестетическую и аудиальную, а также обеспечить гармоничную работу левого и правого полушарий головного мозга.
Естественно, что такой алгоритм достаточно выполнить вначале на нескольких задачах, в дальнейшем его можно проделывать мысленно, а со временем он «свернется» и перейдет в подсознательную область, став автоматическим навыком.

Формирование способностей к обобщению

Способность человека «схватывать» структурные соотношения в обобщенном виде математики и психологи выделяют как ключевой фактор математических способностей, математического мышления. Возможную стратегию по развитию этой способности рассмотрим на примере все той же задачи о книгах.
После того как задача решена, необходимо вместе с детьми еще раз выделить в ее условии объекты (книги), величины (стоимость), их меры (стоимость 1-й книги - 6 рублей) и взаимосвязи (отношения) между величинами, как известными, так и неизвестными.
Отметить, что объекты на графической схеме обозначены квадратиками (можно использовать и кружки, а в дальнейшем и точки), меры величин - конкретными числами, а взаимосвязи - прямыми стрелками и фигурными скобками, над которыми пишется фраза о соотношении.
Затем учитель стирает на доске обозначения объектов, числа и фразы, оставляя только графическую схему задачи (дети рисуют ее в тетради).
Далее учитель вместе с детьми составляет новую задачу, аналогичную задаче о книгах, задачу, имеющую ту же графическую схему.

При составлении новых задач желательно проводить обобщения, меняя и объекты, и величины и их меры, начиная с простых обобщений (например, с объектов или чисел), заканчивая изменением всех элементов задачи.
Например, одна из аналогичных задач, предложенная детьми, имела вид: «Размер обуви Геры - 38. Размер обуви Феди на 4 меньше, чем у Геры, а размер обуви Саши на 10 больше, чем у Геры и Феди вместе. Какова сумма размеров обуви всех мальчиков?»
После составления и решения задач по данной обобщенной графической схеме необходимо подвести детей к выводу о том, что все эти задачи тождественны, так как имеют общую схему и структуру решения.
Данная стратегия решения задач, в отличие от традиционного подхода, ориентированного на эмпирическое обобщение, позволяет эффективно развивать у учащихся теоретическое мышление, являющееся важнейшей целью развивающего обучения.
Видение и прочувствование визуальной схемы задачи позволяет ученику легче сделать переход от поверхностной структуры или схемы задачи (текст) к ее глубинной структуре (схема) и далее к глубинной структуре целого класса задач, обобщенной схемой которого является формальная, обобщенная глубинная схема задачи.

Задачи на родственные отношения

Решение задач этого типа с помощью составления их графических схем и их В, А, К, Д-«прочувствования» способствует развитию у детей математического мышления, более четкому и ясному пониманию таких важных понятий, как отношение (или взаимосвязь) объектов, структура целой сети отношений, их уровни, что в конечном счете ведет к развитию целостного, системного мышления.
Кратко рассмотрим следующую задачу: «На лавочке сидели: бабушка, две мамы, две дочки и внучка (для мальчиков лучше задача с дедушкой, отцами и внуком), всего три человека. Как это может быть?»
Вначале у детей складывается впечатление, что всего должно быть шесть человек. Но составление графической схемы делает понимание этого кажущегося парадокса очевидным.

На схеме буквы Д, М, В и Б обозначают отношения: дочка, мама, внучка и бабушка. Эту схему можно нарисовать на полу и затем пройти по ней, прочувствовав все отношения (лучше использовать на схеме имена собственных родных).
Находясь в позиции 1, ученик смотрит на позицию 2 (маму) и говорит: «Она моя мама», далее смотрит на позицию 3 и говорит: «Она моя бабушка». Далее он (она) переходит в позицию 2 (мамы), смотрит вниз на позицию 1 и говорит: «Она (имя) моя дочка». Затем поворачивается и смотрит на позицию 3, говоря: «Она (имя) моя мама». Из позиции 3 ученик смотрит вначале на позицию 2, говоря: «Она (имя) моя дочка», а затем на позицию 1, говоря: «Она (имя) моя внучка». (Вот тут-то у большинства детей возникает ясное понимание, что их бабушка - это мама их мамы!)
Затем ученик выходит в метапозицию (взгляд со стороны) и еще раз анализирует схему и соответствующие ей родственные отношения. Находясь в позиции мамы (как бы играя ее роль), ученик вспоминает как можно больше того, что связано с этим понятием (роды, вскармливание, уход, воспитание и т.д.).
Затем детям можно предложить самим придумать похожую задачу на родственные отношения по следующей схеме:

Позиции 1, 2 и 3 соответствуют предыдущей схеме. Ими могут быть, например, дедушка, папа и внук. Кто же может быть в позиции 4, на том же уровне, что и позиция 2? Если дети не догадаются, подсказать, что это, например, тоже сын дедушки, родной брат папы (или дочь дедушки и сестра папы и т.д.).
Задача может быть сформулирована следующим образом: «В комнате находились дедушка, внук, два отца и три сына, всего четыре человека. Как это может быть?»
При прохождении всех четырех позиций добавится еще и понимание родственных отношений племянник (племянница) - дядя (тетя).
После проработки ряда задач этого типа можно предложить детям составить вместе с родителями схему родственных отношений своей семьи и проработать ее, как описано выше.

Задачи "Ходы конем"

Задачи этого типа направлены на развитие способностей детей к действиям в умственном плане с образами и представлениями и мысленного планирования. В них развивается способность переключать ход мысли с прямого направления на обратное и решать задачу, начиная с цели (требования задачи).
Решение задач этого типа рассмотрим на примере девятиклеточного поля.

Каждая клетка поля имеет свое название, которое состоит из буквы и цифры. Например, нижняя клетка слева - А 1, в центре поля - Б 2 и т.д. Шахматная фигура «конь» может ходить только буквой «Г»: две клетки по прямой и одну в сторону.
В задачах этого типа требуется определить:
1. Куда может попасть конь, сделав только один ход из какой-либо клетки.
2. Откуда может прийти конь, если он, сделав только один ход, оказался на определенной клетке (обратная задача).
3. Тот же вопрос, но конь может сделать два хода (и более).
4. Двухходовые задачи, в которых нужно определить промежуточную клетку, на которую должен пойти конь, чтобы оказаться в какой-то конечной клетке.

Пример задачи 1-го вида
Конь находится на клетке Б 1. Куда он может сделать ходы? (На клетки А 3 и В 3.)

Соответствующая запись:

Пример задачи 2-го вида
Где ранее находился конь, если, сделав один ход, он оказался на клетке В 2?
(На клетке А 1 или А 3.)

Соответствующая запись имеет вид:

Пример задачи 3-го вида

Пример задачи 4-го вида

Освоение задач этого типа предполагает четыре постепенно усложняющихся этапа.
1. Выполнение ходов учениками на игровом поле в тетради с помощью пальца или карандаша.
2. «Прошагивание» ходов на игровом поле на полу.
3. Выполнение ходов мысленно, ориентируясь на игровое поле, нарисованное на доске.
4. Выполнение ходов (мысленное решение задачи) без опоры на внешнее поле.
При решении обратных задач необходимо начинать с действенного и мысленного «прокручивания фильма» о ходах коня в обратном порядке. Например, ученик может сделать два шага вперед и шаг в сторону на реальные или представляемые клетки на полу, а затем вернуться в исходную позицию, сделав шаг в сторону, противоположную прямому ходу, и два шага назад, вернувшись в начальную позицию коня. Затем он должен перейти в метапозицию и мысленно представить прямой и обратный ходы коня.
Решение задач на нахождение промежуточных клеток предполагает сочетание проб от начальной клетки в прямом направлении и с конечной клетки в обратном направлении (обратные ходы) и нахождение как бы их «пересечения».
После освоения решения задач на девятиклеточном поле можно предложить детям попробовать свои силы и на 16-клеточном (и более). Естественно, при этом задачи значительно усложняются и могут быть недоступны для «слабых» учеников.