Занятие математического кружка Построение на клетчатой бумаге

" ВЫ СПРАШИВАЛИ ОБ ЭТОМ"

8 КЛАСС

Тема занятия : Построения на клетчатой бумаге.

Цели занятия :

• вскрыть достоинства и возможности "листа в клетку";

• учить пользоваться подручным материалом;

• прививать интерес к математике.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Сообщение темы занятия и его целей.

3. Вступительное слово учителя.

С бумагой в клетку каждый из вас имеет дело практически с первых дней изучения математики, а может быть и раньше. Однако вы вряд ли представляете себе, насколько мощным инструментом для геометрических построений является наличие на бумаге квадратной сетки.

Условимся, пользуясь вольностью речи, разделять линии сетки на два вида горизонтальные и вертикальные. Горизонтальными будем считать все параллельные линии сетки, имеющие какое-то фиксированное направление, а вертикальными - все остальные параллельные линии сетки, перпендикулярные горизонтальным линиям.. Точки пересечения линий сетки будем называть узлами, а расстояние между соседними узлами на одной линии - шагом сетки, причем по определению длину шага примем за единицу.

Важную роль при построениях играет возможность расположить фигуру так, все её вершины или как можно большее их количество оказались в узлах сетки. В таких случаях построение можно выполнить без каких-либо чертёжных инструментов, а лишь с помощью подсчёта числа шагов вдоль линий сетки.

При решении задач стоит задуматься о том, чтобы предложенные вами способы построения использовали минимум технических средств. Линейка используется для проведения прямых линий между двумя заданными точками, но никак не для измерения расстояний между этими точками.

4.Практическая часть.

• Середина отрезка.

На клетчатой бумаге нарисован отрезок, концы которого находятся в узлах сетки. Вас нужно найти его середину. Укажите, при каких положениях отрезка это можно сделать, не проводя дополнительных линий, а используя лишь точки пересечения отрезка с линиями сетки?

Как с помощью линейки найти середину отрезка при других его положениях?

• Решение. Если хотя бы одна из проекций данного отрезка АВ - горизонтальная АС или вертикальная АD- имеет чётную длину, не равную однако нулю, то середина Е отрезка АВ лежит на его пересечении с линией сетки проходящей через середину F этой проекции перпендикулярно ей (рис.1).Если обе указанные проекции имеют чётную длину, то середина отрезка даже совпадает с некоторым узлом сетки (рис. 2). Если же ни одна из проекций не имеет чётной положительной длины, то можно отступить от одного конца отрезка АВ на несколько клеток в одну сторону , от другого конца на столько же клеток в противоположную сторону и провести прямую через полученные точки С и D (рис.3). Точка Е пересечения этой прямой с исходным отрезком и будет его серединой. Это вытекает из того факта что четырёхугольник ADBC является параллелограммом, ибо имеет пару равных и параллельных противоположных сторон AC и DB (точки C и D, конечно, всегда можно выбрать не лежащими на прямой AB).

D В

D B

D N B

Е

E E

A F C А F C A C

Рис.1 Рис.2 Рис.3

• Медианы треугольника.

В данном треугольнике с вершинами в узлах сетки проведите медианы, пользуясь одной лишь линейкой.

Обязательно ли точка пересечения медиан является узлом сетки?

• Решение. Пользуясь методами, изложенными в решении предыдущей задачи можно построить середины сторон треугольника ABC а затем провести его медианы. Точка Е пересечения медиан не обязательно попадёт в узел, даже если середины всех трёх сторон треугольника являются узлами сетки (рис.4). Можно доказать, что это попадание произойдёт тогда и только тогда, когда сумма горизонтальных, равно как и сумма вертикальных проекций отрезков AB и AC, кратно 3.

В

F C

Рис. 4 А

• Вершины квадрата.

Докажите, что если две заданные соседние вершины квадрата находятся в узлах сетки то и остальные две его вершины находятся в узлах сетки.

Найдите эти вершины, не проводя никаких линий.

• Решение. Рассматриваются равные прямоугольные треугольники. Доказывается их равенство. Следовательно, получен четырехугольник ABCD -ромб. Доказывается, что градусная мера угла А равна 90⁰. Итак, ABCD-квадрат (рис. 5).

C

D

B

A Рис. 5

5.Итог занятия.

Использование подручного материала и имеющихся знаний при выполнении построений на бумаге и на местности.

4