- Преподавателю
- Математика
- Урок повторения в XI классе по теме «Методы решения уравнений»
Урок повторения в XI классе по теме «Методы решения уравнений»
| Раздел | Математика |
| Класс | - |
| Тип | Конспекты |
| Автор | Рабцун Л.В. |
| Дата | 02.06.2015 |
| Формат | doc |
| Изображения | Есть |
Урок повторения в XI классе по теме «Методы решения уравнений»
Цели урока:
-
Учить учащихся решать уравнения, используя следующие методы: метод разложения на множители, метод введения новых переменных, формируя ключевые умения преобразовать формулу, транспортировать учебную информацию.
-
Развивать логическое мышление учащихся, самостоятельные навыки работы с учебником, таблицей, формулой.
Ход урока:
-
Организационный момент.
Сегодня мы поговорим об общих целях, общих методах, которые пронизывают всю школьную линию уравнений с VII по XI класс. При решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего внимания (вопрос о проверке корней следует рассмотреть отдельно, на других уроках).
Мы рассмотрим два метода: метод разложения на множители и метод введения новых переменных.
Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в следующем: пусть надо решить уравнение 
и пусть 
Тогда уравнение можно заменить совокупностью более простых уравнений:
Найдя корни уравнений этой совокупности и отобрав из них те корни, которые принадлежат области определения уравнения , мы получим корни исходного уравнения.
-
Актуализация знаний учащихся
Решить уравнение:
1. 
Решение.
или 
Ответ: -3; 
; 
2. 
Решение:
или 
D=25
Ответ: -1; 
; 
.
3. 
Решение:
или 
Ответ: 
; 
; 1; 3.
4. 
Решение:
или 
а) 
б) 
Ответ: -2; 
; 0; 
; 2.
5. 
О.Д.З. 
Решение:
или 
или
Ответ: 0; 1; 7.
6. 
Решение:
или 
Ответ: -3; 1; 2.
7. 
Решение:
Прибавим и отнимем 
. Число 63 представим как 63=64-1.
или 
D<0. D<0
Ответ: нет действительных корней.
8. 
Решение:
или 
D=121, 
9. 
Решение:
- корень уравнения 
: 
или 
Ответ: 
.
10. 
Решение:
или 
или 
Ответ: 
.
11. 
Решение:
или 
Ответ: 
12. 
Решение:
или 
Ответ: -4 и 4.
13. Решить систему уравнений 
Решение:
Пусть 
и учитывая, что
запишем исходную систему иначе:
Отсюда 
и тогда 
Таким образом, исходная система равносильна системе 
Эта система распадается на две:
и 
Ответ: (4;3); (3;4).
Метод введения новых переменных
Суть метода очень проста: если уравнение удалось преобразовать к виду 
, то нужно ввести новую переменную 
, решить уравнение 
, а затем рассмотреть совокупность уравнений:
, где 
- корни уравнения
Умение удачно ввести новую переменную - важный элемент математической культуры. Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить лишь в процессе каких-либо преобразований.
Бывает полезно так же ввести не одну, а две переменные.
Решить уравнение:
1. 
Решение:
при 
Ответ: нет корней.
2. 
Решение:
1) 
2) 
Ответ: -4;-1;1;4.
3. 
Решение::
Пусть 
, тогда уравнение примет вид:
4. 
Решение:
Пусть 
D=9, 
- посторонний корень
1) 
,
Ответ: 
5. 
Решение:
Пусть 
, тогда уравнение примет вид: 
-9 - посторонний корень
1) 
Ответ: -1 и 2.
Рассмотрим несколько уравнений, где применение метода введения новых переменных не так очевидна.
6. 
Решение:
Данное уравнение - симметричное, оно является уравнением четвертой степени. Разделим обе части уравнения на 
. Получим
Пусть 
, тогда уравнение примет вид:
1) 
2) 
D=5 D<0
Ответ: 
7. 
Решение:
Пусть 
Уравнение примет вид: 
Значит, 
Ответ: 
8. 
Пусть 
, тогда уравнение примет вид:
1) 
2) 
D<0 
или 
Ответ: -5;0
9. 
Решение:
:
Пусть 
, тогда уравнение примет вид:
1) 
2) 
Ответ: 
10. 
Решение:
- посторонний корень
1) 
или 
Ответ: 6; 8.
11. Решить уравнение
:
Пусть 
, тогда уравнение примет вид:
1) 
. 2) 
D=9
Ответ: 0,5; 2.
12. 
Решение:
Пусть 
, тогда уравнение примет вид:
1) 
D=76
2) 
D=400-720<0
Ответ: 
13. 
Решение:
Пусть 
, тогда уравнение примет вид:
(разложим на множители)
или 
1) 
2) 
D=1 
Ответ: -1; 0,5; 2; 4.
Можно решить иначе: разделить обе части уравнения на 
Получим: 
Пусть 
, тогда уравнение примет вид:
и т.д. (дальнейшее очевидно)
14. 
Решение:
Заметим, что 
Пусть 
Тогда 
и
, но 
, 
Уравнение не имеет корней
D/4=
Ответ: 3; 143.
15. 
Решение:
. Тогда уравнение примет вид:
Итак, исходное равенство будет верным, если выполняется система
1) 
2) 
D=4
Если 
, то 
Если 
, то 
1) 
; 
2) 
и 
Ответ: 2; 28.
Решение иррациональных уравнений также можно упростить с помощью удачно выбранной тригонометрической подстановки, т.е. переменные уравнения заменяются на значения каких-либо тригонометрических функций.
16. 
Решение:
Пусть 
. Замена возможна, т.к. 
. Тогда 
Значит, 
1) 
2) 
Тогда корни: 
Откуда имеем: 
Ответ: 
17. 
(1)
Решение:
Полагая 
, преобразуем систему (1) к виду
(2)
1) 
, тогда
Значит, 
И 
Ответ: (2;3), (3;2).
Задания для самостоятельной работы. Домашнее задание
Решить уравнение:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
-
Итог урока
За два часа работы учащиеся углубили свои знания и умения по решению уравнений двумя способами: способом разложения на множители и способом замены переменных, что способствует формированию умений решать уравнения различного типа высокого уровня сложности.
Предложенные задания как устные, так и письменные способствовали развитию логического мышления и познавательной деятельности.
Выполнение заданий формировали ответственность, глубину мысли, самостоятельность, аккуратность, требовательность в работе.