- Преподавателю
- Математика
- Решение иррациональных уравнений, сводящихся к квадратным
Решение иррациональных уравнений, сводящихся к квадратным
| Раздел | Математика |
| Класс | - |
| Тип | Конспекты |
| Автор | Куц Ф.И. |
| Дата | 17.02.2014 |
| Формат | docx |
| Изображения | Есть |
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
дополнительного образования детей дом детского творчества
г. Зверева Ростовской области
Решение иррациональных уравнений,
сводящихся к квадратным
Работа педагога дополнительного
образования
Куца Фёдора Ивановича
г. Зверево
2014г.
1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй
степени:
I способ решения (метод подстановки);
II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).
2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени:
Iспособ решения (метод подстановки);
II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).
III способ решения (уединение корня).
3) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких
степеней
4) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней
1) Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй степени.
Iспособ решения(метод подстановки)
Пример 1. 2х2 + 3х - 5 
+ 3 = 0. (1)
Решение. Если обозначить у = (у ≥ 0), тогда 
= у2 - 9, то уравнение (1)
превратится в квадратное:
у2 - 9 - 5у + 3 = 0, у2 - 5у - 6 = 0.
у1 = - 1, у2 = 6.
у1 = - 1 не удовлетворяет условию у ≥ 0
Возвращаясь к переменной х, имеем: = 6,
2х2 + 3х + 9 = 36,
2х2 + 3х - 27 = 0,
х1,2 = 
= 
= 
.
х1 = 
= - 
= - 4,5; х2 = 
= 3.
Корни исходного уравнения: х1 = - 4,5, х2 = 3.
Пример 2. 
- 
= 1.
Решение. Если обозначить у =
, то исходное уравнение превратится в квадратное:
у2 - 
,
2у2 - 3у - 2 = 0, корни которого у1 = 2, у2 = - 
.
.
Далее решаем уравнения: 1)
= 2, 
= 4, х = 4 - 4х, 5х = 4, х = 
.
2) = - , нет корней в силу неотрицательности арифметического квадратного корня.
Корень исходного уравнения: х = .
Пример 3. 
= 3х + 8.
Решение. Пусть у = , где у ≥ 0, тогда х = 2 - у2, имеем уравнение у = 3(2 - у2) + 8.
3у2 + у - 14 = 0,
у1,2 = 
= 
= 
, у1=2, у2= -
.
у2 = - не удовлетворяет условию у ≥ 0, следовательно х = 2 - 22 = -2.
Корень исходного уравнения: х = -2.
IIспособ решения(возведение обеих частей уравнения в квадрат)
Пример 4. 
= х.
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем:
= х2, х + 2 = х2, х2 - х - 2 = 0.
х1 = -1, х2 = 2.
Проверка.
При х = - 1: 
= 
= 1, но 1 ≠ - 1, следовательно, корень х = - 1 - посторонний.
При х = 2: 
= 
= 2. Так как 2 = 2, то проверяемое число является корнем исходного уравнения.
Корень исходного уравнения: х = 2.
2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени.
Iспособ решения (метод подстановки).
Пример 5. 
- 
= 2.
Решение. Если обозначить у = 
, где у > 0, то получим уравнение 3у - 
= 2, которое при
умножении на у принимает вид: 3у2 - 2у - 1= 0.
Корни уравнения: у1 = 1, у2 = -
.
у2 = - не удовлетворяет условию у > 0. Возвращаясь к переменной х, имеем:
= 1, 
= 1, х - 1= 2х + 1, х = - 2.
Корень исходного уравнения: х = - 2.
II способ решения (возведение обеих частей уравнения в квадрат).
Пример 6. 
-
= 1.
Решение. Возводим обе части уравнения в квадрат:
= 12,
- 2 ∙ + 
= 1,
3х + 1 - 2 
+ х + 4 = 1,
4х + 4 = 2 ,
2х + 2 = .
Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:
= 
4х2 + 8х + 4 = 
),
4х2 + 8х + 4 = 3х2 + 13х + 4,
х2 - 5х= 0,
х (х - 5)= 0.
х1 = 0, х2 = 5.
Проверка.
При х = 0: 
= 
= - 1, но -1≠ 1, следовательно, х = 0 - посторонний корень.
При х = 5: =
= 
= 4 - 3 = 1. Так как 1 = 1 - тождество, то х = 5 - корень исходного уравнения.
Корень исходного уравнения: х = - 5.
III способ решения (уединение корня).
Пример 7. 
= 1.
Решение. Уединим один из радикалов:
= 
+ 1.
Возводим обе части уравнения в квадрат:
=
,
3 - 2х = 
- 2
1 + 1,
3 - 2х = 1 - х - 2 + 1,
2= х - 1.
Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:
=
,
4(1 - х) = х2 - 2х + 1,
4 - 4х = х2 - 2х + 1.
х2 + 2х - 3 = 0.
х1= 1, х 2 = - 3.
Проверка.
При х = 1: 
= 
= 1. Так как 1 = 1 - тождество, то х = 1 - корень исходного уравнения.
При х = -3: =
= 
= 3 - 2 = 1. Так как 1 = 1 - тождество, то х = -3 - корень исходного уравнения.
Корни исходного уравнения: х1 = 1, х2 = -3.
3) Уравнения, содержащие радикалы третьей степени.
Пример 8. 5
+ 
- 6 = 0.
Решение. Пусть у =
, тогда 5у2 + у - 6 = 0, откуда у1 = 1, у2 = - 
.
Переходя к переменной х, имеем:
= 1, х = 1.
= - , х = - 
.
Корни исходного уравнения: х1 = 1, х2= - .
4) Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней.
Пример 9. 
- 
+ 2 = 0.
Решение. Введем новую переменную у = , где у ≥ 0.
Получим уравнение: у - у2 + 2 = 0; у2 - у - 2 = 0; корни которого: у1 = -1, у2 = 2.
у1 = -1 не удовлетворяет условию у ≥ 0.
Возвращаясь к переменной х, имеем: = 2; 2х + 32 = 64; 2х = 32, х = 16
Корень исходного уравнения: х = 16.
Литература:
Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. М."Дрофа",1999г.
Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов. Новочеркасск. НГМА,2003г.
Алгебра и начала анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень / Ш.А. Алимов и др/-М. просвещение,2010г.
Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом /А.А. Черняк, Ж.А.Черняк,- Волгоград: Учитель,2012.
Математика. ЕГЭ- 2006,вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки. Ростов-на-Дону, Легион, 2005.