Задание пространственных геометрических фигур уравнениями и неравенствами

Геометрия 10 класс 14.02.15

Задание пространственных геометрических фигур уравнениями и неравенствами.

Цели урока:
Образовательные: формирование знаний о задании пространственных геометрических фигур уравнениями.
Развивающие: Способствовать развитию пространственного воображения учащихся; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.
Воспитательные: Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Ход урока

1. Организационный момент.

2Актуализация знаний

Как найти середину отрезка в пространстве?

Как вычислить расстояние между точками в пространстве?

3. Изучение нового материала.

Плоскость в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:

где нормаль к данной плоскости

Сфера в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:

где R ее радиус

Эллипсоид в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением

Коническая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:

Эллиптический параболоид в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:

Однополостный гиперболоид в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:

Двуполостный гиперболоид в трехмерном евклидовом пространстве задается уравнением:

Неравенствами трехмерные поверхности не задаются, неравенства задают лишь область либо внутри поверхности, либо снаружи

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0, A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁ ) и M ₂ (x ₂, y ₂, z ₂ ), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁ ), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Закрепление

Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60^о.

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

.

Решая квадратное уравнение 3m² + 8m - 3 = 0, находим его корни
m₁ = 1/3, m₂ = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Домашнее задание