Зачет № 1 по геометрии 10 класс

Тема: Параллельность в пространстве

Билет № 1

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2. Сформулируйте и докажите теорему № 1(о прямой и точке).

3. Задача. Через прямую а и точку А можно провести две различные плоскости. Каково взаимное расположение прямой а и точки А ? Ответ объясните.

4. Задача. Вершина С плоского четырехуголиника АВСD лежит в плоскости L,а точки А, В и D не лежат в этой плоскости. Прямые АВ и АD пересекают плоскость L в точках В₁ и D₁ соответственно. Каково взаимное расположение точек С, В₁ и D₁? Ответ объясните.

Билет № 2

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2. Сформулируйте и докажите теорему № 2 (о прямой и плоскости).

3. Задача. Прямые а в и с попарно пересекаются. Верно ли, что данные лежат в одной плоскости? Ответ объясните.

4. Задача. Точка D не лежит в плоскости L. Прямые а и в проходят через точку D и пересекают плоскость L в точках А и В соответственно. Прямая l не проходит через точку D, пересекается с а и в и пересекает L в точке М. Каково взаимное расположение точек А , В и М? Ответ объясните.

Билет № 3

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2. Сформулируйте и докажите теорему № 3 (о трех точках).

3. Задача. Через точки А, В и С можно провести две различные плоскости. Каково взаимное расположение точек А, В и С? Ответ объясните.

4. Задача. Пусть точки А,В,С,D не лежат в одной плоскости, точки К и М -середины отрезков АВ и ВС соответственно. Докажите, что прямые:

1. АD и КМ, 2) АС и DК - не пересекаются.

Билет № 4

1. Дайте определение параллельных и скрещивающихся прямых.

2. Сформулируйте и докажите свойство параллельности прямых.

3. Задача. Прямая с пересекает параллельные прямые а и в. Докажите,что прямые а, в и с лежат в одной плоскости.

4. Задача. Дан параллелограмм АВСD плоскость L, не пересекающая его. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость L в точках А₁ , В₁ , С₁ , D₁. Найдите DD₁ , если АА₁ = 12 см, ВВ₁ = 7 см, СС₁ = 6 см.

Билет № 5

1. Дайте определение параллельных и скрещивающихся прямых.

2. Сформулируйте и докажите свойство параллельности прямых.

3. Задача. ∆ АВС и квадрат АЕFC не лежат В

в одной плоскости. Точки К и М -середины К М

отрезков АВ и ВС соответственно.

Докажите, что КМ ||ЕF. А С

Е F

4. Задача . Отрезок АВ пересекает плоскость L в точке О. Через концы отрезка и его середины М проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А₁ , В₁ и М₁. Найдите длину отрезка ММ₁, если АА₁=8,3 см , ВВ₁ = 4,1 см.

Билет № 6

1. Дайте определение параллельных прямой и плоскости .

2. Сформулируйте и докажите признак параллельности прямой и плоскости.

3. Задача. Докажите, что если через две параллельные прямые проходят пересекающие плоскости, то линия их пересечения параллельна каждой из двух данных прямых или совпадает с одной из них.

4.Задача. Плоскость L пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N cоответственно, причем АМ : МВ = 3:4 , CN : DC = 3:7. Найдите АС, если MN = 16 см?

Билет № 7

1. Дайте определение параллельных прямой и плоскости..

2. Сформулируйте и докажите свойство параллельных прямой и плоскости.

3. Задача. Через середины К и М сторон треугольника АВС (К є АВ ,М є ВС) проведена плоскость. Какое положение занимает проведенная плоскость относительно стороны АС ? Ответ объясните.

4. Задача Дан треугольник АВС. Плоскость L, параллельная прямой АВ, пересекает стону АС этого треугольника в точке А₁, а сторону ВС в точке В₁; плоскость β, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС в точке А₂ , а сторону ВС в точке В₂ . На какие фигуры делится треугольник АВС плоскостями L и β ? Вычислите периметры этих фигур, если АВ=ВС=АС=18 см и СВ₁=В₁В₂=В₂В.

Билет № 8

1. Дайте определение параллельных плоскостей.

2. Сформулируйте и докажите признак параллельности плоскостей.

3. Задача. Параллелограммы АВСD и А₁В₁СD не лежат в одной плоскости. Докажите параллельность плоскостей (ВСС₁ ) и (АDD₁).

4.Задача. Постройте сечение куба плоскостью параллельной плоскости (ВА₁С₁) и содержащей точку К. Вычислите площадь построенного сечения, если ВС=а, КВ=КВ₁.

D₁ С₁

А₁

С

А В

Билет № 9

1. Дайте определение параллельных плоскостей.

2. Сформулируйте и докажите теорему о существовании плоскости, параллельной данной..

3. Задача. Постройте сечение куба АВСDА₁В₁С₁D₁ плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, ВС и А₁В₁ и параллельной диагональному сечению АА₁С₁С. Вычислите площадь полученного сечения, если АВ=12.

D₁ С₁

А₁

С

А В

4. Задача. Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁, стоящий на плоскости L. Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости L и (А₁КС₁). Найдите площадь сечения куба плоскостью (А₁КС₁), если АВ=15 и ВК:ВВ₁=1:4.

D₁ С₁

А₁

С

А В

Билет № 10

1. Дайте определение параллельных плоскостей.

2. Сформулируйте свойства параллельных плоскостей и докажите одно из них по выбору.

3. Задача. Даны две параллельные плоскости. Через точки М и N одной из плоскостей проведены две параллельные прямые до пересечения с другой плоскость в точках М₁ и N₁. Чему равен периметр четырехугольника МNN₁M₁, если MN=MN₁=8см?

4. Задача. Из точки О, лежащей вне двух параллельных плоскостей L и β, поведены три луча, пересекающие плоскости L и β соответственно в точках А,В,С и А₁,В₁,С_1, причем ОА < ОА₁. Найдите периметр ∆ А₁В₁С₁, если ОА=m, AA₁=n, AB=c, AC=в, ВС=а.