ОГБОУ СПО «Смоленский техникум железнодорожного транспорта, связи и сервиса»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для реализации программы дисциплины

«Математика»

Задание на контрольную работу №1

по специальности 190623 «Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог».

Смоленск, 2013

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной, формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин.

После изучения материала каждого раздела студент должен выполнить домашнюю контрольную работу. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условие задачи переписывается полностью. Решение примеров сопровождается краткими и чёткими пояснениями.

Для подготовки к зачёту необходимо ответить на вопросы, которые указаны в конце методических рекомендаций.

Дисциплина «Математика» изучается на 1 курсе по заочной форме обучения. По учебному материалу выполняется одна контрольная работа.

Контрольная работа выполняется в соответствии с заданным вариантом в сроки, обусловленные учебным планом. Вариант контрольной работы определяется двумя последними цифрами шифра студента по таблице вариантов, которые помещены перед каждым заданием на контрольную работу.

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клеточку черной или синей пастой. На контрольную работу наклеивается титульный лист с номером работы; наименованием предмета; фамилией, именем и отчеством студента и преподавателя; полным шифром студента и основой обучения. На первом листе контрольной работы записывается вариант студента и перечисляются соответствующие ему задания контрольной работы. Каждое задание выполняется с нового листа через клетку. В конце контрольной работы приводится список используемой литературы, а также дата выполнения и подпись студента.

После проверки работы преподавателем, студент должен выполнить работу над ошибками (если они имеются в работе). Работа над ошибками выполняется в той же тетради после рецензии преподавателя и сдается на повторную проверку.

ТАБЛИЦА ВАРИНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

Задание на контрольную работу №1 составлено в 50 вариантах. Каждый вариант состоит из 9-и примеров.

В соответствии с таблицей 1 необходимо по двум последним цифрам шифра выбрать номера контрольных вопросов, на которые необходимо дать ответы.

Таблица 1

Две последние цифры шифра

Вариант

Номера примеров

Две последние цифры шифра

Вариант

Номера примеров

1

2

3

4

5

6

01 или 51

1

4,58,66,91,122,

155,182,212,243

26 или 76

26

29,38,87,116,147,156,209,241,267

02 или 52

2

5,53,67,92,130,

161,189,216,250

27 или 77

27

28,31,73,117,150,

160,211,217,268

03 или 53

3

6,49,75,93,127,

157,183,220,244

28 или 78

28

26,37,79,118,148,157,207,227,269

04 или 54

4

7,57,68,94,132,

162, 190,215,252

29 или 79

29

22,43,84,119,151,

153,210,218,270

05 или 55

5

11,48,77,95,126,

154,184,222,254

30 или 80

30

19,53,80,120,149,161,208,230,271

06 или 56

6

17,59,69,96,133,

160,191,225,245

31 или 81

31

25,52,74,91,122,

158,211,224,270

07 или 57

7

2,56,76,97,131,

163,185,221,255

32 или 82

32

20,51,81,92,132,

154,208,219,242

08 или 58

8

3,52,70,98,128,

156,192,214,251

33 или 83

33

26,44,75,93,123,159,206,228,243

09 или 59

9

9,47,78,99,124,

159,186,223,246

34 или 84

34

10,37,76,94,133,

155,210,220,272

10 или 60

10

12,55,71,100134,

153,193,217,253

35 или 85

35

28,36,77,95,124,

180,205,229,271

11 или 61

11

18,51,72,101,129,

164,187,224,247

36 или 86

36

16,54,83,96,134,

152,209,240,270

12 или 62

12

10,54,74,102,125,

158,194,218,249

37 или 87

37

15,36,82,97,125,

181,204,223,266

13 или 63

13

8,50,79,103,135,

165,195,219,248

38 или 88

38

11,55,78,98,135,

176,207,239,267

14 или 64

14

1,60,73,104,123,

152,188,213,242

39 или 89

39

24,35,66,99,126,

178,197,228,268

15 или 65

15

13,42,64,105,138,164,196,234,256

40 или 90

40

29,45,68,100,136,173,196,237,269

16 или 66

16

14,39,61,106,143,

169,199,212,257

41 или 91

41

22,56,67,101,127,

175,203,221,265

17 или 67

17

16,47,63,107,145,

165,201,233,258

42 или 92

42

17,34,72,102,137,

177,195,229,264

Продолжение таблицы 1

Две последние цифры шифра

Вариант

Номера примеров

Две последние цифры шифра

Вариант

Номера примеров

1

2

3

4

5

6

18 или 68

18

21,38,62,108,139,

170,204,214,259

43 или 93

43

21,33,69,103,128,

174,202,238,263

19 или 69

19

24,41,65,109,142,166,197,213,260

44 или 94

44

30,60,63,104,138,170,194,227,262

20 или 70

20

25,32,90,110,137,

163,205,225,261

45 или 95

45

14,32,70,105,129,

171,201,230,261

21 или 71

21

15,40,86,111,144,

171,202,232,262

46 или 96

46

12,59,64,106,139,

167,193,236,260

22 или 72

22

30,48,88,112,141,167,198,215,263

47 или 97

47

13,58,71,107,130,

172,200,222,259

23 или 73

23

20,39,89,113,146,

162,203,226,264

48 или 98

48

23,57,65,108,140,168,192,231,258

24 или 74

24

23,49,85,114,140,172,200,216,265

49 или 99

49

18,46,62,109,131,

169,199,235,257

25 или 75

25

27,50,90,115,136,

168,206,231,266

50 или 100

50

27,32,61,110,141,

166,190,226,256

ПРИМЕРЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1

Системы уравнений 1-30

Пользуясь формулами Крамера, решить систему уравнений.

№1. x+y-z=36 №2. 2x-4y+9z=28 №3. x+y+z=36 №4. 3x+5y+3z=16

x+z-y=13 7x+3y-6z=-1 2x -3z=-17 x+2y+z=8

y+z-x=7 7x+9y-9z=5 6x -5z=7 x-7y-2z=5

№5. 4x+y-3z=-1 №6. 4x-3y+z=43 №7. 3x+y+2z=11 №8. 2x+3y+4z=15

8x+3y-6z=-1 x+y-z=3 2x+2y-3z=9 x+y+5z=16

x+y-z=-1 2x+y =13 x-5y-8z=23 3x-2y+z=1

№9. 5x-19y-z=26 №10. 6x+3y-5z=0 №11. x+2y+z=4 №12. 2x+y=5

2x-5y-z=6 9x+4y-7z=3 3x-5y+3z=1 x+3z=16

8x-31y-4z=35 14x+6y-11z=6 2x+7y-z=8 5y-z=10

№13. 7x+2y+3z=15 №14. 2x-y+5z=27 №15. x-4y-2z=0 №16. 3x+y-2z=6

5x-3y+2z=15 5x+2y+13z=70 3x-5y-6z=-21 5x-3y+2z=-4

10x-11y+5z=36 3x-z=-2 3x+y+z=-4 4x-2y-3z=-2

№17. 5x+6y-2z=12 №18. 12x-13y-4z=-10 №19. 8x-y+3z=22 №20 . 7x-2y=-24

2x+5y-3z=9 7x-9y-11z=0 4x+y+6z=-1 6x-4y-5z=-37

4x-3y+2z=-15 12x-17y-15z=-7 13x+y+16z=5 4x+3y+6z=13

№21. 3x+2y-4z=8 №22. 2x-5y+3z=4 №23. 3x-3y+2z=2 №24. 3x+2y-4z=8

2x+4y-5z=11 4x+3y-5z=2 4x-5y+2z=1 2x+4y-5z=11

4x-3y+2z=1 5x+4y-2z=18 5x-6y+4z=3 4x-3y+2z=1

№25. 4x-2y-z=3 №26. x+y+z=4 №27. 2x+y-2z=1 №28. x-y+3z=-4

2x+y=8 x+2y+3z=7 x-y+3z=4 2x+y-2z=5

1,5x=4,5 x+y+5z=8 3x+y+z=4 3x+3y+z=6

№29. 4x-y+2z=8 №30. 2x+y-2z=4

3x-2y+5z=14 3x-y-5z=12

5x+3y-3z=2 4x+3y+2z=3

Функции. Последовательности. 31-121

Пределы. Найти пределы.

№31. lim (x+3)² -9

x→0 x

№32. lim x²+3x

x→0 x²+x

№33. lim x²+x-6

x→2 x-2

№34. lim x²-25

x→5 x+5

№35. lim x²-121

x→11 x-11

№36. lim x²+3x-10

x→-5 x+5

№37. lim x²-1

x→1 2x²-x-1

№38. lim x²+3x+2

x→-1 x+1

№39. lim 49-x²

x→-7 x+7

№40. lim x²-x-6

x→3 x-3

№41. lim x²+x-12

x→3 x-3

№42. lim x²-64

x→8 8-x

№43. lim x³+27

x→-3 2x²-3x-27

№44. lim 2x²+3x-35

x→-5 3x²+16x+5

№45. lim x²-5x+6

x→2 x²-12x+20

№46. lim x²+5x+6

x→-2 x²+x-2

№47. lim x²-4

x→2 x²-2x

№48. lim 2x²+7x+6

x→-2 x+2

№49. lim x²-6x+9

x→3 x²-3x

№50. lim x²-5x+6

x→2 x-2

№51. lim x²-4x

x→0 x²+x

№52. lim x²-5x+6

x→3 x-3

№53. lim (x+4)²-16

x→0 x

№54. lim x²-x-6

x→-2 x+2

№55. lim x²+3x+2

x→-2 x+2

№56. lim x²+2x

x→0 x²+x

№57. lim (x+2)²-4

x→0 x

№58. lim x²-4x+4

x→2 x-2

№59. lim 36-x²

x→-6 x+6

№60. lim x²-5x+25

x→5 x²-5x

№61. lim 10-3x²

x→∞ 2x²+7

№62. lim x+x³

x→∞ x³+2x²

№63. lim 2x²-x+1

x→∞ x+4x² -3x

№64. lim 6x²+x³

x→∞ 4x³-7

№65. lim 5x²-7x+3

x→∞ 4x²+3x-1

№66. lim x²-1

x→∞ 2+x²

№67. lim 9x²+3x-1

x→∞ x²

№68. lim 3x²-2x³-4

x→∞ 7x³+x²-5x

№69. lim 3x²-4

x→∞ 5x³+x²

№70. lim 8x³-16x

x→∞ 2x+2x³

№71. lim 5x²-3x+6

x→∞ 3-10x²

№72. lim 8x³+16x⁴-3

x→∞ 2+x-8x⁴

№73. lim 10x+8x²-4x

x→∞ 2x²-5x+3

№74. lim 6x²+3

x→∞ 2x²-2

№75. lim 8x³-4x²+1

x→∞ 4x³-3

№76. lim 3x²+4x-1

x→∞ 3+6x²-3x

№77. lim x²+1

x→∞ x²

№78. lim 2x

x→∞ x-1

№79. lim x⁴+x⁵

x→∞ 3x^2-2x⁵

№80. lim 1-x²

x→∞ 1+2x²

№81. lim x³-3

x→∞ x³

№82. lim 2-x²

x→∞ 3+3x²

№83. lim 8-x+x²

x→∞ 3+2x²

№84. lim 3-x+x³

x→∞ 16+4x³

№85. lim 5+x

x→∞ x²-1

№86. lim x²-1

x→∞ x²+1

№87. lim 3x²+2x³

x→∞ 2x³-5

№88. lim x+x²

x→∞ 3x+2x²

№89. lim x²+x-3

x→∞ 2x²-1

№90. lim -3x²+4x³

x→∞ 2x³+5

№91. lim 3

x-2 x+2

№92. lim 5

x→4 2x-8

№93. lim 2

x→1 x-1

№94. lim 8

x→3 2x-6

№95. lim 5

x→∞ x-2

№96. lim 4

x→∞ x²+x

№97. lim 8

x→∞ x-1

№98. lim 2

x→4 8-2x

№99. lim 3

x→∞ 2x+1

№100. lim 5

x→∞ x+1

№101. lim 3

x→∞ x-1

№102. lim 2

x→∞ 2x+3

№103. lim 3

x→5 10-2x

№104. lim 2

x→5 2x-10

№105. lim 5

x→∞ 6x+1

№106. lim 2

x→3 6-2x

№107. lim 8

x→1 x-1

№108. lim 5

x→3 21-7x

№109. lim 3

x→4 12-3x

№110. lim 3

x→∞ 2x-4

№111. lim 5

x→∞ 6x-8

№112. lim 8

x→1 1-x

№113. lim 4

x→∞ 2x+1

№114. lim 2

x→3 9-3x

№115. lim 3

x→∞ 3x+1

№116. lim 5

x→∞ 2x-4

№117. lim 8

x→∞ 3x+1

№118. lim 3

x→∞ 4x-1

№119. lim 5

x→4 8-2x

№121. lim -3x²+4x³

x→∞ 2x³+5

№120. lim 2

x→6 12-2x

Производная функция. 122-151

Найти производную функцию.

№122. a) y=5x⁴+3sin x -cos x+9

б) f (x)=(x³-2x+7) ⁴f ′ (2)-?

№123. а) y=x³_*⁴√x^-3_* ³√x^-2

б) f (x)=3sin²x f ′ ( П/6)-?

№124. а) 3x²-8/3x²+8

б) f (x)=arcos 2x f ′ (1/4)-?

№125. а) y=(5x³-3)_*(6x²+1) y′(2)-?

б) f (x)=cos(3x²-1)

№126. а) y=⁴√x³_*x²_*√x^-1_* ⁵√x^-2

б) f (x)=sin²3x f ′ (П/18)-?

№127. а) y=x³_*√x²/⁴√x³_*√x

б) y=sin²5x y′(П/20)-?

№128. а) y=(x³+4)_*(x²+x-1) y′(2)-?

б) f (x)=cos(x³-2)

№129. а) y=x⁴-3/x⁴+3

б) f(x)=cos3x_*(sin3x+1) f ′ (П/24)-?

№130. а) y=x⁴-3cos x+3sin x-ln x+29

б) f (x)=sin x_*tg x f ′ (П/4)-?

№131. а) y=3√x+2/3_*³√x²-3/³√x+25

б) y=ctg x-sin3x y′(П/6)-?

№132. а) y=4ln x+x³ y′(2)-?

б) y=5sin³x

№133. а) y=x⁵+2ln x y′(-2)-?

б) f (x)=3sin(2x²-1)

№134. а) y=(2+sin x)/sin x y′(П/4)-?

б) y=(x²+3)_*√(x²-3)

№135. а) y=arcos x+arcsin x y′(1/√2)-?

б) y=ln(4x³+x)⁵

№136. а) y=2arcsin x+3arccos x y′(1/2)-?

б) f (x)=ln (x²+3)/(x²-3)

№137. а) y=(ln x+2)/(2-ln x)

б) y=5^2x-1

№138. а) y=(e^x-1)/(e^x+1)

б) y=tg²4x

№139. а) y=(2-sin x)/(2+sin x) y′(П/3)-?

б) y=ln(3x²-2)⁶

№140. а) y=cos x-sin x y′(П/4)-?

б) y=ln((x³-3)/(x³+3))

№141. а) y=cos x_*(2+sin x)

б) f (x)=3_*⁵√(3x²-1)³ f ′(0)-?

№142. а) y=5x⁴-3sin x+6cos x-ln x+11

б) f (x)=(x³+1)_* ³√(x²-1)² f ′(1)-?

№143. а) y=(3+sin x)_*(3-sin x) y′(П/4)-?

б) y=ln(x³+5)⁴

№144. а) f (x)=(e ^x+2)/(e^x-2)

б) y=sin x_*cos x

№145. а) f (x)=2sin x_*(1-cos x) f ′(П/3)-?

б) y=ln(x²-4)/(x²+4)

№146. а) f (x)=(x²-3x+1)/(x²+1) f ′(-1)-?

б) y=(sin x+2)_*cos x

№147. а) y=10x⁴-e^2x+√2

б) y=(x³-1)/(x³+1) y′(0,5)-?

№148. а) y=x²_*e^x*x+3xy′(0)-?

б) f (x)=ln ⁷√x³/(x-1)

№149. а) y=⁵√(4x²-3)

б) y=5^sin2x y′(0)-?

№150. а) y=sin³ (8x²-1)

б) y=(3x²-1)/(2x+1) y′(0)-?

№151. а) y=(8x²-1)_*(4x-3) y′(1)-?

б) y=ln (3-x²)/(3+x²)

Дифференциал функции. 152-181

Найти приближенное значение функции.

№152. y=3x²-x+2 при x=2, x=0,01

№153. y=2x²+3x-2 при x=3, x=0,002

№154. y=3x²+2x+10 при x=5, x=0,001

№155. y=3x²+4x при x=10, x=0,001

№156. y=4x²-5x при x=5, x=0,001

№157. y=2x³-x+10 при x=2, x=0,001

№158. y=5x²-3x+5 при x=5, x=0,02

№159. y=4x³-2x при x=5, x=0,001

№160. y=6x²+2x-1 при x=10, x=0,001

№161. y=6x³-2x при x=10, x=0,01

№162. y=4x²+2x при x=2, x=0,001

№163. y=5x³-2x при x=2, x=0,002

№164. y=4x²-3x при x=3, x=0,001

№165. y=5x³-2x при x=2, x=0,002

№166. y=7x³-x при x=2, x=0,002

№167. y=3x²+5x+1 при x=3, x=0,001

№168. y=x³+2x при x=2, x=0,1

№169. y=x²-2x при x=1, x=0,01

№170. y=2x³+5 при x=2, x=0,001

№171. y=x³ при x=10, x=0,03

№172. y=2x²-3x при x=5, x=0,01

№173. y=3x²-2x+4 при x=4, x=0,02

№174. y=2x²+2x-1 при x=3, x=0,02

№175. y=3x²+2x-3 при x=2, x=0,01

№176. y=3x³-2x при x=2, x=0,01

№177. y=2x²-x+3 при x=1, x=0,1

№178. y=3x²+2x-2 при x=3, x=0,02

№179. y=5x³+2x при x=2, x=0,001

№180. y=3x²+2x-1 при x=5, x=0,02

№181. y=2x²+3x-4 при x=3, x=0,01

Дифференциал функции. 182-211

Найти дифференциал функции.

№182. y=7x⁴-cos(x³+2)+ln x №205. y=e ^3x*x-1+sin 4x

№183. y=√(5x³-x+1) +sin(1-10x) №206. y=3x_*sin 5x

№184. y=ln(x⁶-3)+tg x² №207. y=e ^cos2x-tg 3x

№185. y=arccos 7x-3ln sin x №208. y=√(3x²-1)+cos 6x

№186. y=e ^{cos x}+√(3x²-1) №209. y=√3_*x³+sin 3x²

№187. y=cos⁴3x №210. y=e ^{sin x}+cos(8x²-1)

№188. y=x⁴_*ctg 2x №211. y=3x⁴+cos 7x³

№189. y=e ^{sin 3x}-ln sin x

№190. y=0,5 arcsin 4x+cos7x

№191. y=√(9x³-x)+4e ^√x

№192. y=√2_*x⁴+cos 4x²

№193. y= 5x²+sin 8x²

№194. y=√(3x²-1)+cos 8x

№195. y=arctg 2x+5^{sin x}

№196. y=arcsin 3x+3x²-ln x

№197. y=x³_*tg 3x

№198. y=sin⁵6x

№199. y=ln(x⁵+2)+sin 2x

№200. y=3^x*x-1+ln cos x

№201. y=3^√x+sin 6x

№202. y=tg(3x-1)+ln 2x

№203. y=3^{sin x}+sin 6x²

№204. y=ctg 3x-2^{tg x}

Неопределенный интеграл. 212-241

Найти неопределенный интеграл.

№212. a) ∫(1-6√x +9 ⁵√x⁴)dx; б) ∫x_*dx/√(1-4x²); в) ∫cos 2x_*dx/(5+sin 2x).

№213. a) ∫e ^x_*dx/³√(1+e ^x); б) ∫x_*sin(x²+1)dx; в) ∫x_*e ^xdx.

№214. a) ∫e ^xdx/(e ^x-2); б) ∫x³_*³√(1-3x⁴)dx; в) ∫cos(3-7x)dx.

№215. a) ∫(x³-1/√x)dx; б) ∫dx/sin²3x; в) ∫x_*sin x dx.

№216. a) ∫(5/cos²(5x+2))dx; б) ∫(3x²-4x³+3)dx; в) ∫ln x dx.

№217. a) ∫(x/√(1+3x²))dx; б) ∫(sin x+3x²-2)dx; в) ∫(sin x_*cos³x)dx.

№218. a) ∫(2x+1)²dx; б) ∫cos x_*e ^{sin x}dx; в) ∫cos²x_*sin x dx.

№219. a) ∫sin⁵x_*cos x dx; б) ∫x_*cos x dx; в) ∫(x+√x-2^x)dx.

№220. a) ∫√(3x-1)dx; б) ∫x_*ln x dx; в) ∫(7x⁶-1/x+e ^x)dx.

№221. a) ∫(5x⁴-³√x²+1)dx; б) ∫(sin 3x/(cos3x-2))dx; в) ∫6x(x²-1)⁴dx.

№222. a) ∫(5x³-8/x-sin x)dx; б) ∫sin 6x dx; в) ∫sin³x_*cos x dx.

№223. a) ∫(2sin x+3cos x)dx; б) ∫x³_*sin 3x⁴ dx; в) ∫(e ^x/1+e ^x) dx.

№224. a) ∫((x²+x+5)/2x)dx; б) ∫x²_*³√(7+x³) dx; в) ∫sin 2x/(4-cos 2x)dx.

№225. a) ∫(3x+1)²/x dx; б) ∫sin4x/(1+cos 4x)³dx; в) ∫(2x³-2)⁵_*x² dx.

№226. a) ∫((2+x)/x)² dx; б) ∫ e ^x+2dx; в) ∫x_*ln x dx.

№227. a) ∫x²_*cos x³ dx; б) ∫(x³+2x)/x dx; в) ∫(3x³-2)⁵_*x²dx.

№228. a) ∫(3√x-3/4 ³√x²)dx; б) ∫x²_*cos(3-x³)dx; в) ∫(2x+1)/(x²+x+1)dx.

№229. a) ∫(x³+2^x+3sin x)dx; б) ∫x³_*sin3x⁴dx; в) ∫(ln x)/x²dx.

№230. a) ∫(e ^x+3^x-2√x)dx; б) ∫x/(5-x²) dx; в) ∫(ln x)/x⁴ dx.

№231. a) ∫(4^x-3_*³√x²) dx; б) ∫e ^{cos x}_*sin x dx; в) ∫(ln x)/x³dx.

№232. a) ∫(3x²+⁴√x³-2)dx; б) ∫x³/(1+x⁴)dx; в) ∫sin⁴x_*cos x dx.

№233. a) ∫2/√(1-x²)dx; б) ∫cos x/(7-3sin x)dx; в) ∫x⁹_*³√(x¹⁰-5)dx.

№234. a) ∫(4x⁴-2x³+x²)/x²dx; б) ∫sin x/(2-5cos x)dx; в) ∫(3x⁴-5)⁶_*x³dx.

№235. a) ∫x³_*(1+7x)dx; б) ∫(x²+1)/(x³+3x)dx; в) ∫(sin √x)/√x dx.

№236. a) ∫(arctg³x)/(1+x²)dx; б) ∫x⁵/(1+x⁶)dx; в) ∫(e ^x+4^x+4sin x)dx.

№237. a) ∫(arcsin²x)/√(1-x²)dx; б) ∫(4x³+3x²+x)/x dx; в) ∫(6x-1)/(3x²-x)dx.

№238. a) ∫x³/(x⁴+2)dx; б) ∫x⁴(5x⁵+5)³dx; в) ∫(³√x+2^x-sin x) dx.

№239. a) ∫(cos²x+3)/cos²x dx; б) ∫sin³x_*cos x dx; в) ∫(1+x⁵)⁷_*x⁴dx.

№240. a) ∫(5^x-1/x⁵+3/cos²x)dx; б) ∫sin x_*cos⁵x dx; в) ∫tg x dx.

№241. a) ∫(2_*sin³x+3)/sin²x dx; б) ∫x²/√(x³-1)³ dx; в) ∫ctg x dx.

Определенный интеграл. 242-271

Вычислить определенные интегралы.

0 0

№242. a) ∫(3x²+1)dx; б) ∫sin²x_*cos x dx.

-1 -П/2

1 3Π/2

№243. a) ∫(1/2x+4x²)dx; б) ∫ cos x/3 dx.

-1 0

1 1

№244. a) ∫(2x+1)dx; б) ∫x²_*e ^x*x*xdx.

0 0

0 1

№245. a) ∫(√x+1/√x)dx; б) ∫√(1-x) dx.

1 0

1 0

№246. a) ∫(3x²-³√x)dx; б) ∫sin x _* e ^{cos x} dx.

-1 -П/2

4 П /4

№247. a) ∫(3x²-2x+4)dx; б) ∫sin 8x dx. 1 -П/8

2 2

№248. a) ∫2dx/5x; б) ∫e ^x/(e ^x-1) dx.

1 0

8 2

№249. a) ∫(2+x)/x²dx; б) ∫ x⁴ dx/(1+x⁵).

2 0

2 П/4

№250. a) ∫(2x²+1)/x dx; б) ∫sin x_*cos⁵ x dx.

1 -П/2

1 0

№251. a) ∫(1-³√x²) dx; б) ∫sin(4x+ П/4) dx.

-1 -П/4

4 2

№252. a) ∫x+1/√x dx; б) ∫(x⁵-x)/(1-3x²+x⁶)dx.

1 0

2 2П

№253. a) ∫dx/ ³√x²; б) ∫sin x/(cos x+1) dx.

1 3/2П

4 П/4

№254. a) ∫(0,5x³-3√x) dx; б) ∫ dx/sin²2x.

1 П/8

3 П/3

№255. a) ∫(x²-3x) dx; б) ∫cos(3x-П/3) dx.

0 0

2 2

№256. a) ∫2x(1+x²) dx; б) ∫е ^2x-1dx.

1 0,5

8 2

№257. a) ∫(x-³√x)/x dx; б) ∫x √(5x²+1) dx.

1 1

2 П/4

№258. a) ∫(x-1)²/x² dx; б) ∫е ^{sin x}cos x dx.

1 0

П/2 3

№259. a) ∫(3cos x+2sin x) dx; б) ∫е ^2x /(10-е ^2x) dx.

0 0

0,5 П/3

№260. a) ∫2 dx/√(1-x²); б) ∫cos⁴x_*sin x dx.

0 0

П √П

№261. a) ∫(x_*cos x+1)/x dx; б) ∫x_*sin x² dx.

П/2 0

П/3 П/2

№262. a) ∫(2/cos²x +sin x) dx; б) ∫sin(П -4x) dx.

0 0

П 0

№263. a) ∫(е ^x-cos x) dx; б) ∫3x³/⁴√(1+x⁴) dx.

0 -1

1 0

№264. a) ∫3 dx/(1+x²); б) ∫x²_*е^x*x*x-1 dx.

√3/3 1

√3/2 1

№265. a) ∫ dx/2√(1-x²); б) ∫x³/(1+x⁴) dx.

√2/2 -3

4 2

№266. a) ∫[(x-3)²-4] dx; б) ∫5 dx/√(5x-1).

1 1

1 1

№267. a) ∫(2x+4x²-5) dx; б) ∫(2x³+1)⁴_*x² dx.

-1 0

2 П/2

№268. a) ∫(3x³-2x+8) dx; б) ∫sin x_*cos²x dx.

0 0

1 П/2

№269. a) ∫(2- √x³) dx; б) ∫cos x dx/(2-sin x).

0 0

9 П/6

№270. a) ∫(1-x)/√x dx; б) ∫е ^{sin x}_*cos x dx.

1 0

4 П/3

№271. a) ∫(2x+3x²-5) dx; б) ∫sin x dx/(3-cos x).

0 0

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОРАБОТЫ №1

Системы линейных уравнений

Определителем третьего порядка называется число, которое может быть найдено следующими способами:

1. .

2. .

Решение системы уравнений

методом Крамера осуществляется по формулам:

где

.

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

Решение. , , , .

Ответ.

Вычисление пределов функций

Число называется пределом последовательности x₁,х₂,…,x_n , если для всякого сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число N, что при . В этом случае пишут: .

Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется такое , что при . Это записывают так:

Аналогично , если при .

Условно записывают , если при , где М - произвольное положительное число. В этом случае функция называется бесконечно большой при . Если , то функция называется бесконечно малой при .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.

Если существуют и , то

1. 

2. ;

3. ;

4. 

5. (при ).

Путем элементарных рассуждений, основанных на свойствах пределов, можно получить следующие наиболее часто встречающиеся пределы (постоянная ):

1)

2)

3)

4)

5)

6)

(первый замечательный предел);

(второй замечательный предел) ,

Функция называется непрерывной в точке если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности и точки ;

2) существует предел ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

При нахождении пределов часто используется тот факт, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях , для которых они определены.

Пример 1. Вычислить .

Решение.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Здесь и . Так как , то

.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. Здесь и . Так как , то

Неопределенность .

Неопределенности такого вида возникают при вычислении пределов типа: , если

При этом возможны частные случаи:

1. Числитель и знаменатель дроби  многочлены.

Для вычисления предела необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

Пример 4. Вычислить предел .

Решение. Здесь и . Имеем неопределенность . Разложим числитель и знаменатель на множители.

Пример 5. Найти

Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

2. Числитель или знаменатель дроби, или оба содержат иррациональность. Для решения примера необходимо освободиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

Пример 6. Вычислить

Решение. При числитель и знаменатель стремятся к нулю. Так как то теорему о пределе частного применять нельзя. Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, получим:

Пример 7. Найти

Решение. При числитель и знаменатель стремятся к нулю. Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю по формуле разности кубов. Тогда получим:

=

3. Выражение содержит тригонометрические функции. Для решения примера необходимо путем тригонометрических и алгебраических преобразований свести его к первому замечательному пределу.

Пример 8. Найти

Решение. Подстановкой предельного значения убедимся, что имеем неопределенность . Применяем тригонометрическую формулу , преобразуем полученное выражение, сводим к первому замечательному пределу.

Неопределенность вида

1. Числитель и знаменатель дроби при - полиномы.

Для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу.

Пример 9. Найти

Решение.

Пример 10. Найти

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень (выбираем из двух вариантов и ), т.е на

Тогда

Неопределенность вида

Неопределенности такого вида появляются при решении примеров вида: , где , или , где , .

Преобразуя выражения, сводим их ко второму замечательному пределу.

Пример 11. Найти .

Решение.

Дифференциальные исчисления функций одной переменной

Функция описывает зависимость между двумя переменными ве­личинами и . Если независимая переменная в точке получила прираще­ние (т.е. ), то переменная получит приращение .

Предел отношения , если стремится к нулю, называется производной функции в точке и обозначается или .

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Производная сложной функции

Пусть , где является не независимой переменной, а функцией независимой переменной , т.е. . Таким образом, . В этом случае функция называется сложной функцией , а переменная  промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной .

Эта теорема распространяется и несложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Формулы дифференцирования

С - постоянная, и функции аргумента

1.

4.

7.

2.

5.

3.

6.

Основные элементарные функции

Сложные функции

8а

9а

10а

11а

12а

13а

14а

15а

16а

17а

18а

19а

20а

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5 и 8:

Пример 2. Найти производную функции .

Решение: применив последовательно формулы 4, 3, 5 и 8, имеем

.

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим:

Пример 4. Найти производную функции и вычислить ее значение при

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Используя формулы 8а и 13, имеем: .

Вычислим значение производной при .

.

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Используя правило дифференцирования произведения и соответствующие формулы нахождения производных, получим

.

Пример 6. Найти производную функции .

Решение: используя правило дифференцирования частного и соответствующие формулы нахождения производных, получим

Пример 7. Найти производную функции .

Решение: полагая , получим .

Пример 8. Найти производную функции.

Решение.

Производные высших порядков

Производная функции в общем случае является функцией от . Если от этой функции вычислять производную, то получим производную вто­рого порядка или вторую производную функции .

Второй производной функции называется производная от ее пер­вой производной .

Вторая производная функции обозначается одним из символов: , , .

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка: , , .

Пример 10. Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем первую производную:

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

Пример 11. Найти вторую производную функции

Решение. Сначала найдем первую производную этой сложной функции:

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

Неопределенный интеграл.

Определение: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):

.

Определение: совокупность первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом . Таким образом, .

Здесь f(x)- подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, С - произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Если функция имеет первообразную, то , .

2. Если - дифференцируемая функция, то , .

3. Если функция имеет первообразную, то при верно равенство .

4. Если функция и имеют первообразные, то .

Таблица неопределенных интегралов.

1. ;

8. ;

2.

9. ;

3. ;

10.

4. ;

11.

5. ;

12.

6. ;

13.

7. ;

Пример 1. Для функции , найти первообразную F(x), график которой проходит через точку (2;2).

Решение: так как при всех верно равенство то - одна из первообразных функции . Следовательно, С - некоторая постоянная. Постоянную С находим из условия F(2)=2, то есть откуда .

Значит, .

Пример 2. Найти интеграл .

Решение: .

Пример 3. Найти интеграл .

Решение:

Пример 4. Найти интеграл .

Решение: так как , то .

Пример 5. Найти интеграл.

Решение: так как , то .

Пример 6. Найти интеграл .

Решение: так как , то .

Пример 7. Найти интеграл .

Решение:

Определенный интеграл.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и обозначим через длину каждого такого отрезка.

Определение. Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида .

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: .

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл .

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона - Лейбница: , то есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки в определенный интеграл относительно новой переменной . При этом старые пределы интегрирования и , которые находятся из исходной подстановки: , . Таким образом, имеем .

Пример 1. Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

.

Пример 2. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: .

Пример 3. Вычислить определенный интеграл: .

.

Пример 4. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: .

Пример 5. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: положим , тогда , . Вычисляем новые пределы интегрирования: , .

Поэтому

.

Пример 6. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: преобразуем подкоренное выражение: . Положим , откуда . Найдем новые пределы интегрирования: , . Следовательно,

.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1. Определение функции. Способы задания функции. Основные элементарные
   функции.

2. Определение предела функции. Основные теоремы о пределах.

3. Определение непрерывности функции. Точки разрыва.

4. Производная функции. Определение. Геометрический смысл производной.

5. Уравнение касательной и нормали к кривой.

6. Производная функции. Физический смысл производной.

7. Производные высших порядков.

8. Производная второго порядка и её механический смысл.

9. Производная. Правила дифференцирования.

10. Формулы дифференцирования.

11. Сложная функция. Правило дифференцирования сложных функций.

12. Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл дифферен­циала.

13. Приложение дифференциала к приближённым вычислениям.

14. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

15. Точки экстремума. Необходимое условие существования экстремума.

16. Экстремумы функции. Достаточные условия существования экстремума.

17. Выпуклость и вогнутость кривой.

18. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие существования точки
    перегиба.

19. Схема исследования функций и построения графиков.

20. Первообразная. Неопределённый интеграл. Геометрическая интерпретация.

21. Основные свойства неопределённого интеграла.

22. Таблица основных интегралов.

23. Непосредственное интегрирование.

24. Методом замены переменных.

25. Метод интегрирования по частям.

26. Определённый интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла.

27. Основные свойства определённого интеграла. Формула Ньюто­на - Лейбница.

28. Вычисление определённого интеграла методом замены переменной.

29. Вычисление площадей плоских фигур.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. «Математика», М., «Высшая школа», 1991 г.

2. Зайцев И.Л. «Элементы высшей математики для техникумов»,

3. М., «Высшая школа», 1974 г.

4. Мордкович А.Г. «Математический анализ», М., «Высшая школа», 1990 г.

5. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. «Элементы дискретной математики», М., «Инфра-М», 2002 г.

6. Яковлев Г.Н. «Алгебра и начала анализа для техникумов», ч. 2, М., «Высшая школа».

7. Цыпкин А.Г. «Справочник по математике», М., «Высшая школа», 1983г.

8. Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», М., «Роскнига», 2001 г.