Методические указания к проведению практических работ по теме: Производная функции

Комитет по образованию

СПб ГБПОУ «Колледж судостроения и прикладных технологий»

Комплект практических работ

по теме «Производная функции»

Разработаны преподавателем СПб ГБПОУ

«Колледж судостроения и прикладных технологий»

Каракашевой И.В.

Санкт - Петербург 2015

Пояснительная записка

Методические указания направлены на оказание методической помощи учащимся при выполнении практических работ.

Практические работы разработаны в соответствии с учебной программой.

По учебной программе на тему «Производная и ее геометрический смысл» отводится 19 часов, включая 8 часов на выполнение практических работ.

Содержание учебного материала

1. Предел функции

2. Вычисление пределов

3. Производная функции

4. Таблица производных

5. Производная степенной функции

6. Правила дифференцирования

7. Геометрический смысл производной

8. Зачет

Практические работы

1. Раскрытие неопределенностей вида

2. Раскрытие неопределенностей вида

3. Первый замечательный предел

4. Вычисление производной по определению

5. Вычисление производной суммы, произведения

6. Вычисление производной дроби

7. Вычисление производной сложной функции

8. Геометрический смысл производной

Они служат связующим эвеном между теорией и практикой. Практические работы используются как для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, так и для получения практических знаний и умений. Кроме того, они могут быть использованы и для самостоятельного изучения данной темы, так как содержат необходимый теоретический материал и разобранные примеры.

Практические работы выполняются учащимся самостоятельно на уроках с применением полученных умений и навыков, с использованием рекомендаций к каждой работе, и, в случае необходимости, с пояснениями учителя. На каждую практическую работу отводится 45 минут.

Выполнение практических работ учащимися в процессе изучения курса является важнейшим этапом обучения, который способствует систематизации и закреплению полученных теоретических знаний и практических умений; развитию познавательных способностей и активности обучающихся, формированию таких качеств личности, как самостоятельность мышления, способность к самосовершенствованию и самореализации.

Цели выполнения практических работ- формирование навыков:

• решения практических задач;

• закрепления, углубления, расширения и систематизации знаний, полученных во время аудиторных занятий.

Общие рекомендации по выполнению

практических работ

1. Внимательно изучите письменные методические рекомендации по выполнению практической работы («методичку»).

2. Ознакомьтесь со списком литературы и источников по заданной теме.

3. Повторите весь теоретический материал по конспектам и другим источникам, предшествовавший практической работе, ответьте на вопросы самоконтроля по изученному материалу.

4. Подготовьте все необходимое для выполнения задания, рационально (удобно и правильно) расположите на рабочем месте. Не следует браться за работу, пока не подготовлено рабочее место.

5. Не отвлекайтесь во время выполнения задания на посторонние, не относящиеся к работе, дела.

6. При выполнении самостоятельного практического задания соблюдайте правила техники безопасности и охраны труда.

7. В процессе выполнения работы обращайтесь за консультациями к преподавателю, чтобы вовремя скорректировать свою деятельность, проверить правильность выполнения задания.

8. По окончании выполнения самостоятельной работы сдайте готовую работу преподавателю для проверки.

Алгоритм самостоятельной подготовки к практическому занятию.

1. Ознакомьтесь с темой практического занятия, его целями и задачами.

2. Изучите перечень знаний и умений, которыми должен овладеть обучающийся в ходе практического занятия.

3. Ознакомьтесь со списком рекомендуемой основной и дополнительной литературы и источников и подготовьте их для работы.

4. Изучите рекомендации к практической работе и получите консультацию преподавателя.

5. Прочитайте теоретический материал по теме занятия в своем конспекте, стараясь акцентировать внимание на основных понятиях, важных определениях.

6. Почитайте материал, касающийся темы практического занятия не менее чем в трех рекомендованных источниках.

7. Ответьте на контрольные вопросы в учебнике или на вопросы для самопроверки в методических указаниях к практической работе.

8. Выпишите формулы.

9. Сформулируйте свои вопросы и проблемы, желательные для обсуждения на занятии.

Список используемой литературы

1. Алгебра и начала мат. анализа, 10-11 кл. Алимов Ш.А. и др.

2. Математика (СПО) Башмаков М.И.

3. Математика (комплект из 2 книг) Юрий Колягин, Геннадий Луканкин, Геннадий Яковлев

4. Высшая математика в упражнениях и задачах (часть 1)
   Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.
   
   

Вопросы для самопроверки

1. Что называется пределом функции?

2. Назовите основные свойства пределов.

3. Напишите первый замечательный предел.

4. Как раскрываются неопределенности вида ?

5. Как раскрываются неопределенности вида

6. Дайте определение производной функции в точке.

7. Напишите таблицу производных.

8. Назовите правило вычисления производной суммы.

9. Назовите правило вычисления производной произведения.

10. Назовите правило вычисления производной дроби.

11. Назовите правило вычисления производной сложной функции.

12. Дайте определение линейной функции и ее графика.

13. Что такое угловой коэффициент прямой?

14. Дайте определение секущей и касательной к графику функции.

15. В чем состоит геометрический смысл производной?

16. Написать уравнение касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой.

17. В чем состоит механический смысл производной?

Критерии оценки практической работы.

В зависимости от темы, каждая практическая работа содержит от 8 до 12 разноуровневых заданий, из которых 5-7 заданий базового уровня, остальные - задания, требующие уверенного владения всем пройденным материалом. Каждое задание оценивается в 1 балл.

Для получения удовлетворительной оценки за практическую работу требуется получить:

Практическая работа №1 - 5 баллов

Практическая работа №2 - 5 баллов

Практическая работа №3 - 5 баллов

Практическая работа №4 - 5 баллов

Практическая работа №5 - 6 баллов

Практическая работа №6 - 6 баллов

Практическая работа №7 - 5 баллов

Практическая работа №8 - 7 баллов

Для получения оценки «4» требуется дополнительно решить еще 2 задания, для «5» - 4 задания.

Работа считается невыполненной, если выполнено менее половины заданий.

Критерии получения зачета по теме.

Для получения зачета требуется выполнить не менее 5 практических работ.

Практическая работа № 1

Раскрытие неопределенностей вида

Алгоритм решения.

1. Подставить в выражение предельное значение аргумента.

2. Определить есть или нет неопределенность. Если нет, дать ответ.

3. Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать одно из правил устранения этой неопределенности.

4. Преобразовать выражение согласно выбранному правилу, и к новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с п.1.

Правило №1

Если числитель и знаменатель дроби равны 0 (принято говорить, что получается неопределенность вида ), то, раскладывая на множители числитель и знаменатель , сокращаем дробь и снова подставляем предельное значение.

Пример:

Правило №2

Если числитель или знаменатель дроби содержат выражение с корнями, то домножаем их на сопряженное выражение и, учитывая формулу разности квадратов, упрощаем, после чего снова подставляем предельное значение.

Пример:

Правило №3

Если числитель и знаменатель дроби равны (говорят, что имеет место неопределенность вида ), то делим числитель и знаменатель на максимальную степень х, после чего подставляем предельное значение.

Пример:

Вычислить пределы:

Практическая работа № 2

Раскрытие неопределенностей вида

Алгоритм решения.

1. Подставить в выражение предельное значение аргумента.

2. Определить есть или нет неопределенность. Если нет, дать ответ.

3. Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать одно из правил устранения этой неопределенности.

4. Преобразовать выражение согласно выбранному правилу, и к новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с п.1.

Неопределённость устраняется двумя способами:

Правило №4

Выражения под знаком предела приводим к общему знаменателю, после чего подставляем предельное значение.

Пример:

Правило №5

Выражение под знаком предела умножением и делим на сопряжённое выражение и учитывая формулу разности квадратов, получаем или неопределенность вида которую устраняем согласно правилам 1-3, или сразу подставляем предельное значение.

Пример:

Вычислить пределы:

Практическая работа № 3

Первый замечательный предел.

_{Правило №6}

Для приведения выражения под знаком предела к нужному используем формулы тригонометрии,

,

основное свойство дроби (дробь не меняется если ее числитель и знаменатель домножить на одно и то же выражение) и свойствами пределов.

Пример:

Вычислить пределы:

Практическая работа № 4

Вычисление производной по определению.

Производной от функции по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Пример:

Найти производную по определению:

Практическая работа № 5

Производная суммы

Таблица производных

Правила дифференцирования:

1. Константа выносится за знак производной:

2. Производная суммы равна сумме производных где

Пример:

Вычислить производную суммы:

Практическая работа № 6

Производная произведения и дроби

Таблица производных

Правила дифференцирования:

3. где

4. где

Если в знаменателе дроби стоит то после вычисления производной дробь сокращается, так чтобы в знаменателе осталось

Если в знаменателе дроби стоит то после вычисления производной дробь сокращается, так чтобы в знаменателе осталось

Примеры:

Вычислить производную:

Практическая работа № 7

Производная сложной функции

Таблица производных

Правила дифференцирования:

Важно:

1. В правой части будет столько сомножителей, сколько функций входило в функцию левой части (удобно вычеркивать функцию после вычисления ее производной)

2. Аргумент функции при дифференцировании не меняется

3. Если в суперпозицию входит степенная функция то начинаем дифференцировать с нее; если нет - слева направо.

Примеры:

Вычислить производные:

1.

2.

Практическая работа № 8

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции

Геометрический смысл производной

Угловой коэффициент касательной к графику функции(тангенс угла наклона),проведенной в точке х, равен значению производной функции в этой точке.

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции в точке.

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки - известная функция x ( t ) времени t. Скорость точки в любой момент времени

Примеры:

1) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой

Решение:

Ответ:

2) . Найти координаты точек ее графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс.

Решение:

Т.к касательные к графику параллельны оси OX, то ∝=0 => tg∝=0 = > k =0

Ответ:

3) К функции проведены касательные в точках с абсциссами и. Являются ли эти касательные параллельными прямыми?

Решение:

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, т.е

Ответ: касательные не параллельны

4) Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью OX

Решение:

, где α - угол наклона касательной к оси OX

y'(x)=4x³-6x²

Ответ: α=135⁰

Выполнить задания:

1) Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой

1.

2.

2) Найти координаты точки графика функции , в которой угловой коэффициент касательной равен числу к

1.; к=5

2. к=-7

3)Составить уравнение касательной к графику функции , проведенной в точке с абсциссой

1.

2.

4)Механический смысл производной

1. .Через какое время тело остановится?

2. .Через какое время скорость тела окажется равной 12м\с?

5) Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .Найти координаты всех точек графика, касательные в которых параллельны найденной касательной.

6) Составить уравнение касательной к графику функции параллельной прямой

7) В каких точках касательные к графику функции параллельны оси абсцисс?

8) Найти координаты точек пересечения с осями координат касательных к графику функции , имеющих угловой коэффициент 25.