Содержание

ПЛАН РАБОТЫ 3

ВВЕДЕНИЕ 5

1.Сравнения по модулю. Свойства сравнений 6

2.Арифметика сравнений 10

3.Арифметика вычетов по модулю m 13

4.Решение линейных диофантовых уравнений 20

ПЛАН РАБОТЫ

Методы работы:

• изучение литературы;

• построение системы аксиом, необходимых для доказательства свойств арифметики вычетов;

• доказательство свойств арифметики вычетов и решение на их основе олимпиадных задач.

Сроки проведения работы: с сентября по февраль 2014-2015 учебного года.

Этапы работы:

• 1 этап - изучение проблемы (сентябрь);

• 2 этап - сбор информации по проблеме (октябрь);

• 3 этап - обработка и анализ информации (ноябрь);

• 4 этап - оформление документации (декабрь, январь);

• 5 этап - презентация учебного проекта (февраль).

Предмет исследования: методы решения задач, связанных с делением целых чисел и решением уравнений в целых числах.

Цель исследования: рассмотрение основных методов решения задач, связанных с делением целых чисел и решением уравнений в целых числах в аспекте их реализации при подготовке к олимпиадам разного уровня.

Гипотеза - изучение свойств арифметики вычетов позволит определить общие методы решения олимпиадных задач, связанных с делением целых чисел и решением уравнений в целых числах.

Задачи исследования:

• построить систему аксиом, необходимых для доказательства свойств вычетов;

• изучить свойства вычетов;

• научиться решать задачи на доказательство делимости целых чисел;

• научиться решать линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными;

• оформить результаты исследования.

Предполагаемые результаты: научиться решать задачи на доказательство делимости целых чисел; научится решать линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными, с помощью арифметики вычетов.

ВВЕДЕНИЕ

Задания, связанные с делением целых чисел и решением уравнений в целых числах присутствуют в качестве заданий практически на каждой олимпиаде по математике. Существует много методов их решения, которые не входят в школьную программу по математике, однако их полезно знать участникам олимпиад.

Делимость чисел и решение управней в целых числах рассматривается в рамках одного из разделов математики - теории чисел. Основы теории чисел зародились еще в Древнем Египте и Вавилоне. Вавилонские клинописные математические тексты включают таблицы умножения и обратных чисел, квадратов и кубов чисел натурального ряда. Самой древней археологической находкой в истории арифметики является обломок глиняной таблички, датируемый 1800 годами до нашей эры. Он содержит список Пифагоровых троек. Весомый вклад в становление теории чисел внесли Евклид, Диофант и пифагорейцы. Пифагорейцы рассматривали только целые положительные числа и полагали число собранием единиц. Единицы были неделимы и располагались в виде правильных геометрических тел. Пифагорейцам характерно определение «фигурных чисел» («треугольных», «квадратных» и других). Изучая свойства чисел, они разбили их на чётные и нечётные, простые и составные. Пифагорейцы нашли бесконечное множество целых решений уравнения a²+b²=c², так называемых пифагоровых троек, и вывели для них общую формулу. Евклид посвятил несколько книг «Начал» теории делимости, в основе этой теории лежит алгоритм Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел. Следствием алгоритма является возможность разложения любого числа на простые сомножители, а также единственность такого разложения. Диофант в своем труде «Арифметика» перечислил задачи по нахождению целочисленных решений для уравнений (называемых сейчас диофантовыми).

Целью моего проекта является рассмотрение основных методов решения задач, связанных с делением целых чисел в аспекте их реализации при подготовке к олимпиадам разного уровня.

Любая научная теория, в том числе и математическая, строится на основе определенной системы аксиом (исходных положений, принимаемых в рамках данной теории истинными без требования доказательства и используемых в основе доказательства других ее положений). Поскольку моя работа затрагивает достаточно узкий круг вопросов, я постарался минимизировать понятийный аппарат, используемый в работе, стараясь сохранить целостность логики теоретического изложения.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Сравнения по модулю. Свойства сравнений

Первая глава является теоретической, в ней рассмотрены понятия, связанные с делимостью целых чисел, которые изучаются в математике младшей и средней школы на интуитивном уровне.

В дальнейшем будем считать известными основные свойства арифметических действий над целыми числами, а также простейшие свойства равенств и неравенств. Под «числом» всегда, если не оговорено противное, далее будет пониматься целое число.

При изучении обстоятельств, связанных с делением целых чисел, одним из первых встает вопрос о выполнимости этого действия для данных двух чисел, т.е. о делимости этих чисел. При рассмотрении остальных арифметических действий над целыми числами подобный вопрос, очевидно, не возникает.

Определение 1.1. Число a делится на число (или, что то же самое, число делит число ), если существует такое число x, что . Например: 6 делится на 3, так как ; 15 делится на 5, так как .

Этот факт называется делимостью числа а на число и обозначается как . Запись означает не какое-то действие, которое надлежит произвести над числами а и b, а некоторое утверждение, касающееся этих чисел. Например:

Деление целых чисел выполнимо не всегда. Поэтому целесообразно наряду с действием деления рассматривать и другое, более общее действие, которое всегда выполнимо, а в случае выполнимости действия деления, по существу, совпадает с ним. Таким действием является деление с остатком.

Определение 1.2. Разделить число а на число b (b>0) с остатком - значит представить число а в виде Число при этом называется неполным частным, а число - остатком от деления a на . Очевидно, тогда и только тогда, когда . В этом случае x равно частному от деления а на b. Например, разделим 17 на 3: , здесь 5 - неполное частное, 2 - остаток от деления 17 на 3.

Можно доказать, что для произвольных чисел a и b (b0) справедлива теорема о делении с остатком.

Теорема 1.1. (о делении с остатком). Для произвольных чисел a и b (b0) существуют и единственны такие числа r и x что , причем .

В связи с ограничениями, по количеству страниц доказательство теоремы о делении с остатком не привожу.

В частности из этой теоремы следует, что если b1, то должно быть r0, откуда xa, если b1, то xa.

Всякое число, делящее одновременно числа a и b, называется общим делителем этих чисел. Наибольший из общих делителей чисел a и b называется их наибольшим общим делителем и обозначают НОД(a, b).

Если наибольший общий делитель чисел а и b равен единице, то эти числа называются взаимно простыми. Иначе говоря, числа a и b называются взаимно простыми, если они одновременно не делятся ни на какое число кроме единицы.

Мы будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на данное целое положительное m, которое назовем модулем. Каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления его на m.

Определение 1.3. Если двум целым а и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются равноостаточными по модулю m или сравнимыми по модулю m. Например: поэтому 17 и 14 сравнимы по модулю 3.

Сравнимость чисел a и b по модулю m записывается так: , что читается: a сравнимо с b по модулю m.

Очевидно, что запись , не имеет смысла, так как нельзя рассматривать остатки от деления числа b на 0 (делить на 0 нельзя).

Из определения сравнимых по модулю чисел следует, что:

1. , для любого числа а, так как любое число делится на 1 без остатка (или остаток от деления a на 1 равен 0);

2. если , то Верно и обратное, если , то .

3. для любого k (остаток от деления km на m равен 0);

4. если r - остаток от деления a на m, то (любое число сравнимо со своим остатком);

5. если , то (свойство симметричности);

6. (свойство рефлективности);

7. если и , то (свойство транзитивности).

Сравнения обладают и другими свойствами. Рассмотрим только некоторые из них, необходимые для понимания дальнейшего изложения, не нарушая целостности теории.

Свойство 1.1. Если число а можно представить в виде, где t - целое, то Верно и обратное утверждение: если , то a можно представить в виде , где t - целое.

Доказательство.

Число b можно представить в виде , тогда r - остаток от деления b на m (Определение 1.2.). Так, как , то подставив в это равенство выражение для b, получим , .

Следовательно, двум целым а и b отвечает один и тот же остаток r от деления на m. Значит .

Докажем обратное утверждение: если , то , где t - целое.

Так, как , то и , (Определение 1.3). Из второго равенства выразим r: . Подставив в первое равенство, получим: , где - целое. Следовательно, если , то , где t - целое.

Что и требовалось доказать.

Пример: так как Так как , то где t - целое (в данном случае t2).

Выражение «верно и обратное утверждение» буду заменять общепринятым «тогда и только тогда», что обозначается "".

Свойство 1.2. .

Доказательство.

Так, как (Свойство 1.1), то , следовательно (Определение 1.1).

Что и требовалось доказать.

2. Арифметика сравнений

Сравнения обладают свойствами, подобными свойствам уравнений и неравенств, позволяющими выполнять над ними арифметические операции.

Свойство 2.1. Сравнения можно почленно складывать. Если и , то .

Доказательство.

Так как , то , где , а так как , то где . Поэтому , где . Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Свойство 2.2. Слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения, можно переносить в другую часть, изменив его знак на обратный.

Доказательство.

Пусть . Сложим его с очевидным сравнением (Свойство 2.1), тогда .

Что и требовалось доказать.

Остальные свойства сравнений доказываются аналогично, поэтому, чтобы не перегружать работу, приведу их без доказательства.

Свойство 2.3. Сравнения можно почленно вычитать. Если и , то .

Свойство 2.4. К любой части сравнения можно прибавить любое число, кратное модулю. Если , то

Свойство 2.5. Сравнения можно почленно перемножать. Если и , то .

Свойство 2.6. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же число. Если , то .

Свойство 2.7. Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень. Если, то .

Свойство 2.8 (следствие Свойств 2.1 - 2.7). Если в выражении многочлена с целыми коэффициентами заменим числами сравнимыми с прежними по модулю m, то новое выражение будет сравнимо с прежним по модулю m.

Свойство 2.9. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем. Если , НОД(a, b)k и НОД(k, m)1, то
.

Доказательство.

Пусть , НОД(a, b)k, НОД(k, m)1, тогда , , поэтому:
(Свойство 1.2). Так, как НОД(k, m)1, то
только в том случае, если , следовательно, , или .

Что и требовалось доказать.

Свойство 2.10. Если сравнение a с b имеет место по нескольким разным модулям, то оно имеет место и по модулю, равному наименьшему общему кратному этих модулей. Если , то , где mНОК(m₁, m₂).

Доказательство.

Если , то делится на m₁ и m₂. Значит делится на mНОК(m₁, m₂). Следовательно .

Что и требовалось доказать.

Поскольку сравнения по модулю m тесно связаны с остатками от деления на m, почти все задачи, в которых речь идет о делимости чисел, можно решать с помощью сравнений.

Пример 2.1. Найдем признаки делимости на 4.

Пусть дано произвольное натуральное число a, десятичная запись которого , где a_n, a_n1,…,a₁, a₀ - цифры числа a.

Запишем a в развернутой форме: .

Так как , если , то . Следовательно, целое число при делении на 4 «ведет себя» так же, как и число, составленное из его двух последних цифр. Поэтому, если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4, то и само число делится на 4.

Так как , то Поэтому, если сумма удвоенной предпоследней и последней цифр данного числа делится на 4, то и само число делится на 4.

3. Арифметика вычетов по модулю m

Пусть m1 - произвольное натуральное число. При делении на m могут получиться m различных остатков: 0, 1, 2, ....m1.

Пусть r - остаток от деления a на m, тогда amxr (Определение 1.2), следовательно, armx, поэтому (Определение 1.1), значит, (Свойство 1.2).

В связи с этим возникает идея рассматривать сравнения не на всем бесконечном множестве целых чисел, а на конечном множестве остатков от деления на m. Тогда любому целому числу a будет соответствовать определенный остаток r из конечного множества остатков, который будем называть вычетом по модулю m, или просто вычетом.

Очевидно, что каждому вычету r соответствует бесконечно много целых чисел, которые при делении на m дают остаток равный r.

Определение 3.1. Введем на множестве остатков от деления на m действия сложения и умножения. Суммой (соответственно, произведением) двух остатков a и b назовем остаток от деления на m обычной суммы (произведения) чисел a и b.

Для любых остатков а, b и c очевидно верны следующие свойства:

1. +;

2. +(+)=(+)+;

3. +0=;

4. =;

5. ()=();

6. ;

7. a(b+c)=ab+ac.

Справедливость этих свойств следует из аналогичных свойств действий над целыми числами и свойств сравнений.

Арифметику остатков от деления на m (арифметику вычетов по модулю m) принято называть m - арифметикой. Таким образом, в m - арифметике, мы ограничили значения чисел, сравнимых по модулю m только возможными остатками от деления этих чисел на m. Следовательно, все теоремы, выполняющиеся для арифметики сравнений, будут выполняться и в m - арифметике. m - арифметика отличается от обычной арифметики, изучаемой в школе, но во многом похожа на нее. Эта новая арифметика оказывается очень полезной при решении многих задач из обычной арифметики и алгебры. Поскольку в m - арифметики все действия выполняются над m - числами, то в дальнейшем будем m - число (вычет по модулю m) обозначать, как a (как в обычной арифметике), во всех случаях, когда это не приведет к путанице.

Используя определение 3.1, можно составить таблицы сложения и умножения для любой m - арифметики. Таблицы сложения и умножения для 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 - арифметик приведены в Приложении 1.

Рассмотрев таблицы сложения в m - арифметиках, замечаем, что:

8. для каждого числа a существует число (a), такое, что a(a)0 (например, в 7 - арифметике: 34, так как 340; 52, так как 520; в 10 - арифметике: 82, 73). Число (a) называют противоположным числу a. Следовательно, в m - арифметике любое число можно записывать в двух разных формах со знаком минус и без него.

Найти число, противоположное числу а в m - арифметике просто: нужно из m вычесть a. Например, найдем число противоположное 7 в 13 - арифметике: 71376. Эта запись не является верной с точки зрения m - арифметики, однако ее удобно использовать при вычислениях. Описанный выше метод нахождения противоположного числа в m - арифметике основывается на Свойстве 2.4. (если , то
).

В Таблице 3.1. приведены противоположные числа в 13 - арифметике.

Таблица 3.1. Противоположные числа в 13 - арифметике

a

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

a

0

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Таблицы противоположных чисел для 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 - арифметик приведены в Приложении 1.

Противоположные числа в m - арифметике обладают свойствами, подобными свойствам отрицательных чисел в обычной арифметике:

1. ;

2. .

Например, в 7 - арифметике: 34, 52, и ; в 10 - арифметике: 82, 73, и ).

Используя свойство 3.8, определим операцию вычитания в m - арифметике:
aba(b).

При вычислении разности в m - арифметике можно использовать следующий прием: из уменьшаемого вычесть вычитаемое и, если результат получился отрицательный, прибавить m. Этот прием основан на Свойстве 2.4. (если , то
). Например, вычислим 719 в 23 - арифметике: 719Эта запись не является верной, с точки зрения m - арифметики, однако ее удобно использовать при вычислениях.

m - арифметика обладает очень важным свойством: если в любом верном числовом равенстве из обыкновенной арифметики, содержащем, кроме чисел, только знаки сложения, вычитания, умножения и скобки, заменить каждое число его остатком от деления на m, то получим равенство, верное в смысле m - арифметики. (Это утверждение следует из Свойства 2.8). Само собой разумеется, что показатель степени не следует заменять остатком от деления на m. Показатель степени играет в формуле другую роль, нежели числа, не являющиеся показателями: он есть просто сокращенное обозначение того, сколько раз надо взять сомножителем основание степени. Пример: из верных равенств: ; мы получаем этим способом верные 10 - арифметические равенства: ; .

Рассматривая таблицы умножения (Приложение 1), замечаем, что для некоторых m - арифметик произведение не нулевых чисел может быть равно нулю (например, в 4 - арифметике: ; в 6 - арифметике: ; в 10 - арифметике:
, ; и т.д.). В таких случаях говорят, что в m - арифметике имеются делители нуля, т.е. такие числа и , что ab0.

Анализируя таблицы умножения (Приложение 1) m - арифметик, замечаем, что:

9. делителями нуля являются числа, не взаимно простые с m (т.е. имеющие с m общие делители отличные от единицы). Например, в 4 - арифметике: ; в 10 - арифметике: ,

10. среди ненулевых остатков по модулю m, взаимно простых с m нет делителей нуля.

Доказательство.

Предположим, что найдутся два остатка a и b по модулю m, такие, что , и НОД(a, m)1, НОД(b, m)1, но ab0 в m - арифметике.

Это значит, что число ab делится на m, поскольку НОД(a, m)1, то , следовательно, . Пришли к противоречию, следовательно, среди ненулевых остатков по модулю m, взаимно простых с m нет делителей нуля.

Что и требовалось доказать.

Из свойства 3.10 следует, что если a - взаимно просто с m, и , то Но тогда все элементы вида a, 2a,…,(m1)a различны и, следовательно, среди них есть только один элемент равный единице. Это значит, что:

11. если и a - взаимно просто с m, то существует такой остаток b, для которого ab1 (например, в 3 - арифметике: ; в 4 - арифметике: ; в 5 - арифметике: ; и т.д.). Такой остаток обозначают или и называют обратным к a. Если же , то остатка обратному к a не существует (делители нуля не имеют обратных элементов).

Очевидно, что если для некоторых двух остатков a и b верно равенство a¹b¹, то ab.

Когда числа маленькие, то для нахождения обратных чисел можно применить простой приём: добавлять к числителю (или вычитать из числителя) величину модуля m, пока числитель не поделится нацело. Частное и будет искомым обратным. Например, найдем 2¹ в 13 - арифметике: . Эта запись не является верной, с точки зрения m - арифметики, однако ее удобно использовать при вычислениях. Описанный выше прием для нахождения обратных чисел основывается на Свойстве 2.4. (если , то ) и Свойстве 2.9.(обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем).

В Таблице 3.2. приведены обратные числа в 13 - арифметике.

Таблица 3.2. Обратные числа в 13 - арифметике.

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

a^-1

1

7

9

10

8

11

2

5

3

4

6

12

Таблицы обратных чисел для 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 - арифметик приведены в Приложении 1.

Обратные числа в m - арифметике обладают следующими свойствами:

1. (a¹)¹=a;

2. (a)¹a¹;

3. (ab)¹a¹b¹.

Используя свойство 3.11, определим операцию деления в m - арифметике: , где и b не является делителем нуля (b взаимно просто с m). В m - арифметике нельзя делить на 0 и на делители нуля, поскольку в последнем случае получим не однозначный результат.

При вычислении частного в m - арифметике можно для малых чисел использовать тот же прием, что и при нахождении обратного: добавлять к числителю (или вычитать из числителя) величину модуля m, пока числитель не поделится нацело. Полученное частное и будет искомым. Например, найдем в 13 - арифметике: . Эта запись не является верной, с точки зрения m - арифметики, однако ее удобно использовать при вычислениях. Этот способ нахождения частного в m - арифметике основывается на Свойстве 2.4 (если , то ) и Свойстве 2.9 (обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем).

При выполнении деления в m - арифметике можно использовать следующее полезное равенство: , где n - взаимно просто с m.

Очевидно, что если модуль - простое число, то в такой арифметике делителей нуля нет (все остатки взаимно просты с модулем), в этом случае деление на любой не равный нулю остаток всегда выполнимо. Такую арифметику принято называть p - арифметикой. Примеры p - арифметик: 2, 3, 5, 7, 11, 13, и т.д. арифметики.

Деление в p - арифметике обладают свойствами, подобными свойствам деления в обычной арифметике.

Арифметику вычетов точно так же, как и сравнения по модулю, можно использовать для решения задач на делимость. Для этого нужно все данные числа заменить остатками и выполнять над ними арифметические действия, по правилам m - арифметики.

Пример 3.1. Вычислим 3¹⁰⁰ в 7 - арифметике:

Следовательно,
. Остаток от деления 3¹⁰⁰ на 7 равен 4.

Пример 3.2. Найдем остаток от деления 2¹⁰⁰⁰ на 5. Вычислим 2¹⁰⁰⁰ в 5 - арифметике: Следовательно, Поэтому остаток от деления 2¹⁰⁰⁰ на 5 равен 1.

Пример 3.3. Делится ли на 2014?

поэтому в 2014 - арифметике число 2013 будет записываться как 1, тогда . Следовательно, делится на 2014.

Пример 3.4. Доказать, что при любом натуральном n число 37ⁿ²16ⁿ¹23ⁿ делится на 7.

Рассмотрим данное выражение в 7 - арифметике. ; , следовательно, данное выражение в 7 - арифметике будет записано так: . Тогда .

Поэтому 37ⁿ²16ⁿ¹23ⁿ делится на 7.

4. Решение линейных диофантовых уравнений

m - арифметику можно использовать для решения уравнений с целыми коэффициентами в целых числах. Эти уравнения называют диофантовыми, по имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который впервые рассмотрел уравнения такого типа и методы их решения в своей работе «Арифметика».

Определение 4.2. Уравнение вида axbyc, где a, b, c - целые, x, y - неизвестные называют линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными. Если НОД(a, b, c)=1 (коэффициенты уравнения взаимно просты), то уравнение называют приведенным. Решить диофантово уравнение, значит найти все целые значения x и y, при которых уравнение обращается в верное равенство, или доказать, что решений нет.

Теорема 4.2. Если в приведенном линейном диофантовом уравнении axbyc (1), (a и b не взаимно простые), то уравнение (1) не имеет решений.

Доказательство.

Пусть , тогда , , тогда, подставив в уравнение (1) получим: . Следовательно, , или .

- целое. Так как уравнение (1) приведенное, то НОД(a, b, c)=1, следовательно - не может быть целым. Пришли к противоречию, поэтому если в приведенном линейном диофантовом уравнении axbyc, a и b не взаимно простые, то уравнение не имеет решений.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим решение линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными в m - арифметике.

Пусть axbyc - приведенное уравнение, , тогда, перейдя к вычетам по модулю b, получим: где - остаток от деления a на b, - остаток от деления c на b, - решение уравнения в арифметике вычетов по модулю b. Согласно определению операции деления в m - арифметике, - всегда существует и, причем только одно, равное частному от деления на , в арифметике вычетов по модулю b, т.е. .

Пусть найдено, тогда (3) (Свойство 1.1), где . Выразим из исходного уравнения y: . Подставив в последнее равенство выражение для x (3), получим: ,

Пример 4.1. Решить уравнение 14x10y6 в целых числах.

Разделим обе части данного уравнения на 2: 7x−5y3 (1).

Запишем полученное уравнение в m - арифметике: в качестве m возьмём один из коэффициентов при переменных, например, 5. Тогда: , или .

Переменные записываем с чертой вверху, поскольку это не переменная, значение которой нужно найти, а ее вычет по модулю 5.

Следовательно, . Поэтому

Выразим из уравнения (1) y: и, подставив в него найденное выражение для x (2), получим:

Ответ: .

Пример 4.2. Решить уравнение 39x 22y 10 в целых числах.

Поступим так же, как и в Примере 4.4. Запишем данное уравнение в m - арифметике: в качестве m возьмём один из коэффициентов при переменных, например 22:
, или .

Следовательно, .

Найдем 17¹ в 22 - арифметике:
913 Следовательно, 17¹13.

Тогда, .

Выразим из исходного уравнения y и подставим в полученное равенство найденное значение x:

Ответ: .

Пример 4.3. Решить уравнение 26x 34y 13 в целых числах.

Данное уравнение приведенное НОД(26, 34, 13)=1. Так как , то оно не имеет решений в целых числах (Теорема 4.2).

Ответ: решений нет.

Пример 4.4. Решить уравнение 43x 37y 21 в целых числах.

Запишем данное уравнение в m - арифметике: в качестве m возьмём один из коэффициентов при переменных, например 43: , или . Тогда, , .

Выразим из исходного уравнения x, и подставим в полученное равенство найденное значение y:

Ответ:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Арифметика вычетов - один из тех разделов математики, которые зарождались как некоторые формальные рассуждения, и только спустя годы нашли свое практическое применение.

В моей работе рассмотрены методы решения задач, связанных с делением целых чисел и решением уравнений в целых числах с помощью арифметики вычетов.

Материалы данной работы могут быть использованы при подготовке к олимпиадам по математике и ЕГЭ, при проведении внеклассных мероприятий с целью развития и расширения познавательного кругозора, развития логического мышления.

Были решены поставленные задачи: построена система аксиом, необходимая для доказательства свойств вычетов, изучены и доказаны свойства вычетов, решены задачи на доказательство делимости целых чисел и получены общие методы решения линейных диофантовых уравнения с двумя неизвестными. Результаты работы оформлены в виде текста проекта и презентации.

Была достигнута цель исследования: рассмотрены методы решения задач, связанных с делением целых чисел и решением уравнений в целых числах в аспекте их реализации при подготовке к олимпиадам разного уровня.

Гипотеза: изучение свойств арифметики вычетов позволит определить общие методы решения олимпиадных задач, связанных с делением целых чисел и решением уравнений в целых числах - подтвердилась.

Работа над этим проектом позволила занять мне второе место в районном этапе Всероссийской олимпиады школьников и стать призером отборочного этапа международной олимпиады «Покори Воробьевы горы!» (Приложение 2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дынкин Е. Б., Успенский В. А. Математические беседы. - М., Л: Государственное издательство технико - теоретической литературы, 1952.

2. Виленкин Н. Сравнения и классы вычетов // Квант - 1978. - №10. С. - 4 - 9.

3. Геронимус А. Сравнения по простому модулю // Квант - 1978. - №11. С. - 6 - 11.

4. Геронимус А. Диофантовы уравнения по простому модулю // Квант - 1978. - №12. С. - 2 - 7.

5. Спивак А. В. Арифметика. - М.: Бюро Квантум, 2007.

6. Спивак А. В. Арифметика - 2. - М.: Бюро Квантум, 2008.

7. Воробьев Н. Н. Признаки делимости. - М., Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1988.

ПРИЛОЖЕНИЕ