Методические рекомендации по выполнению практических заданий. Раздел Интегралы

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И

ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Западный филиал РАНХиГС

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Дисциплина: Математика

Раздел: «Интеграл»

Калининград, 2015г.

Утверждено

Заседанием ПЦК

«Общеобразовательных дисциплин»

Протокол №____ от ______________

Председатель ПЦК

____________Н.В.Горская

Составитель: Горская Наталия Владимировна, преподаватель Западного филиала РАНХиГС

Пояснительная записка

Дидактические материалы в пособии задания снабжены решениями или указаниями сразу после их формулировки.

В главе содержатся:

1)дидактические материалы к теме программы, а так же материалы, позволяющие преподавателю организовать повторение изученного;

2)контрольные работы по теме;

Каждая тема включает:

1)справочные сведения;

2)примеры и задачи с подробными решениями;

3)разноуровневые задачи для самостоятельной работы в двух вариантах, позволяющие организовать «плавную» дифференциацию работы с группой (каждое задание имеет условную балловую оценку степени его сложности).

Используя балловую оценку заданий для самостоятельной работы и для подготовки к экзаменам, преподаватель может организовать:

• «плавную» дифференциацию обучения математике: в зависимости от качества усвоения темы каждому студенту предлагать конкретный балловый диапазон выполняемых заданий, помогая постепенно поднимать уровень своих математических знаний и умений;

• разнообразные виды частично-самостоятельных, самостоятельных и проверочных работ, предложив, например, к выполнению избыточный набор заданий разной степени сложности и указав, сколько баллов нужно набрать для получения той или иной оценки («3», «4» или «5»).

Следует заметить, что обязательному уровню знаний и умений соответствуют задания, оцененные в пособии, в основном, баллами 1,2,3,4.

Студенты, претендующие на отличную оценку, должны справляться с заданиями, оцененными в 1-7 баллов.

Контрольные работы по темам состоят из двух частей. Выполнение первой части работы («до черты») позволяет студенту получить оценку «3». Для получения оценки «4» учащийся должен справиться с первой частью работы и верно решить одну из задач второй части («за чертой»). Чтобы получить оценку 5, помимо выполнения первой части работы, студент должен решить не менее двух заданий из второй части работы.

Содержание

1. Справочные сведения.

2. Примеры с решениями.

3. Задачи для самостоятельной работы.

ИНТЕГРАЛ

Первообразная

Справочные сведения

1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство (x) = f(x)

2. Если F(x) - первообразная функции f(x) на промежутке , то функция F(x) + C, где C - любое число, также является первообразной функции f(x) на промежутке .

3. Если функция f(x) имеет на промежутке первообразную F(x), то любая первообразная F(x) функции f(x) на промежутке имеет вид:

F(x) = F(x) + C,

где С - некоторое число. Графики любых двух первообразных

F₁(x) и F₂(x) функции f(x) получаются один из другого сдвигом вдоль оси O_y (рис. 95).

4. Для того чтобы выделить из совокупности первообразных функцийf(x) какую-либо первообразную F₁(x), достаточно указать точку M₀(x₀;y₀), принадлежащую графику функции y = F₁(x).

Примеры с решениями

1. Показать, что функция F(x) - первообразная функции f(x) на всей числовой прямой, если:

1) 2)

3) 4)

Решение.

1) Применяя правила дифференцирования и учитывая, что , получаем .

2)

3)

4)

2. Для функции f(x) найти такую первообразную F(x), график которой проходит через точку M: 1) f(x) = , М (-1;3); 2) f(x) = , M(4;5)

Решение. 1) Функция - первообразная функции x^p для любого p-1 при x>0.

В частности, для функции =x ^-2 первообразная F(x) имеет вид:

По условию, F(-1) =3, т.е. 3 = 1+C , откуда C=2 и F(x) = 2-

2) Одной из первообразных функции = является функция , а искомая первообразная F(x) имеет вид F(x) = +C

Так как F(4) = 5, то 5 = + C, т.е. 5 = + C, откуда C =,

F(x) =.

Ответ. 1) ; 2)

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

Показать, что функция F(x)-первообразная функции f(x) на всей числовой прямой (1-6):

1. 3 F(x) = , f(x) =

2. 3 F(x) = , f(x) =

3. 3 F(x) = + 2, f(x) =

4. 3 F(x) = , f(x) =

5. 3 F(x) = , f(x) =

6. 4 F(x) = , f(x) = =

Вариант II

Показать, что функция F(x)-первообразная функции f(x) на всей числовой прямой (1-6):

1. 3 F(x) = , f(x) =

2. 3 F(x) = , f(x) =

3. 3 F(x) =+ 3, f(x) =

4. 3 F(x) =, f(x) =

5. 3 F(x) = , f(x) =

6. 4 F(x) =, f(x)=

=

Правила нахождения первообразных

Функция

Первообразная

, p -1

, x > 0

sin x

cos x

+ C

ln x +C

-cos x

sin x

Справочные сведения

Таблица первообразных

Правила нахождения первообразных (правила интегрирования). Если F(x) и G(x) - первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке, то:

1) функция F(x) + G(x) - первообразная функции f(x) + g(x);

2) функция aF(x) - первообразная функции a f(x), a- постоянная;

3) функция F(kx + b), где k, b - постоянные, k 0, является первообразной функции f (kx + b).

Примеры с решениями

Найти все первообразные данной функции:

1) ; 4)

2) sin 2x - ; 5) sin2x

3) 5 cos(3x + 2) - (x - 1) +

Решение.

1) Используя таблицу первообразных и правила интегрирования для функции xпри p=2 и p=-1, находим все первообразные данной функции:

x + 2 lnx + C, x > 0

2) Первообразными функций sin 2x и являются соответственно функции и -, а совокупность всех первообразных данной функции записывается в виде:

3) Первообразными функций cos(3x+2), являются, соответствен- но, функции , и 2, а совокупность всех перво-образных данной функции имеет вид:

.

4) Так как , то совокупность всех первообразных данной функции можно записать в виде:

, x > 2

5) Используя равенство sin2x = , находим искомое множество всех первообразных данной функции:

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

Найти все первообразные данной функции (1-17):

1. 3

2. 3

3. 3

4. 4

5. 4

6. 5

7. 4

8. 4

9. 4

10. 5

11. 5

12. 6

13. 6

14. 7

Вариант II

Найти все первообразные данной функции (1-17):

1. 3

2. 3

3. 3

4. 4

5. 4

6. 5

7. 4

8. 4

9. 4

10. 5

11. 5

12. 6

13. 6

14. 7

15. 7

16. 7

17. 8

Для функции f(x) найти первооб-разную, график которой проходит через точку M (18-21):

18. 4 f(x) = , M (1;-2)

19. 5 f(x) = sin x - cos x, M (;1)

20. 5 f(x) = , M (1;-2)

21. 5 f(x) = , M (0;2)

Найти первообразную F(x) фун-кции f(x), принимающую указанное значение в заданной точке (22-24):

22. 5 f(x) = , F(0)=1

23. 6 f(x) =,

F(0) = 0

24. 7 f(x) =, F(1) = -1.

15. 7

16. 7

17. 8

Для функции f(x) найти первооб-разную, график которой проходит через точку M (18-21):

18. 4 f(x) =, M (2;-1)

19. 5 f(x) = cos x + sin x, M (;-2)

20. 5 f(x) =, M (1;-3)

21. 5 f(x) =, M (0;-2)

Найти первообразную F(x) фун-кции f(x), принимающую указанное значение в заданной точке (22-24):

22. 5 f(x) = , F()=1

23. 6 f(x) =,

F(0) = 1

24. 7 f(x) =, F(-1) = 1.

Площадь криволинейной трапеции

Справочные сведения

1. Криволинейная трапеция - фигура, ограниченная отрезком [a;b] оси O_X, отрезками прямых x = a и x =b (рис. 96) и графиком непрерывной на отрезке [a;b] функции y = f(x), где f(x) 0 при x[a;b].

2. Если S - площадь криволинейной трапеции, F(x) - некоторая

первообразная функции f (x) на [a;b], то

S = F(b) - F(a) (1)

Формулу (1) называют формулой Ньютона-Лейбница.

Примеры с решениями

1. Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную:

1) графиком функции , осью O_X и прямыми x = π и x = ;

2) графиком функции , осью O_X и прямыми x = -1 и x = 2;

3) графиком функции и осью O_X .

Решение. Криволинейные трапеции изображены на рис. 97-99.

Рис. 97

2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками прямых x = a, x = b, осью O_X и графиком функции y = f(x):

1) a = 1, b = 3, f(x) = 6x - x;

2) a = , b = , f(x) = ;

3) a = -2, b = 2, f(x) = .

Решение.

1) Применяя формулу (1), получаем

где F(x) - одна из первообразных функции. Так как 3x и - первообразные функций 6x и x, то в качестве F(x) можно взять функцию F(x) = 3x- . Тогда F(3) = 27 - 9 = 18, F(1) = 3 - =, откуда S = 18 - = .

2) Функция F(x) = является первообразной функции

f(x) = . По формуле (1) находим:

3) Функция является четной, ее график симметричен относительно оси O_y (рис. 100); при x 0 функция принимает вид . кроме того, прямая x = 1 - ось симметрии параболы , а точки (0;0) и (0;2) симметричны относительно прямой x = 1.

Поэтому S = 4S₁ , где S₁ - площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 0, x = 1, y = 0 и графиком функции . Так как

то S = .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью O_X , прямыми x = a, x = b и графиком функции y = f(x)

(1-4):

1. 4 a = 1, b = 3, f(x) = 6x - x

2. 4 a = -4, b = -2, f(x) =

3. 5 a = , b = , f(x)=

4. 6 a = -2, b = 4, f(x) = =

5. 5 Выяснить, какая из кри-волинейных трапеций, изо-браженных на рис. 101, 102, 103 имеет площадь S = 6,5

Вариант II

Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью O_X , прямыми x = a, x = b и графиком функции y = f(x)

(1-4):

1. 4 a = 2, b = 4, f(x) = 5x - x

2. 4 a = -3, b = -1, f(x) =

3. 5 a = , b =, f(x) =

4. 6 a = -6, b = 3, f(x) = =

5. 5 Выяснить, какая из кри-волинейных трапеций, изо-браженных на рис. 104, 105, 106 имеет площадь S = 5,5

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямы-ми x = a, x = b, графиком функции y = f(x) и осью O_X

(6-16):

6. 4 a = -1, b = 2, f(x) = x

7. 4 a = 0, b = 2, f(x) = x- 2x+2

8. 4 a = 3, b = 5, f(x) = 6x - x

9. 5 a = 1, b = 2, f(x) =

10. 4 a = , b = , f(x) =

11. 4 a = 1, b = 27, f(x) =

12. 5 a = 1, b = 4, f(x) =

13. 7 a = 0, b = 3, f(x) =

14. 7 a = -1, b = 1, f(x) =

15. 7 a = , b = , f(x) =

16. 7 a = 1, b = 2, f(x) =

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямы-ми x = a, x = b, графиком функции y = f(x) и осью O_X

(6-16):

6. 4 a = -2, b = 1, f(x) = 2x

7. 4 a = 1, b = 3, f(x) = x- 4x+5

8. 4 a = 2, b = 6, f(x) = 8x - x

9. 5 a = 0, b = 3, f(x) =

10. 4 a =, b =1, f(x) =

11. 4 a = 1, b = 64, f(x) =

12. 5 a = 2, b = 5, f(x) =

13. 7 a = 0, b = 2, f(x) =

14. 7 a = -1, b = 1, f(x) =

15. 7 a =, b =, f(x) =

16. 7 a = 2, b = 4, f(x) =

Найти площадь фигуры, ограни-ченной графиком функции

y = f(x) и осью O_X (17-20):

17. 4 f(x) =

18. 4 f(x) =

19. 5 f(x) =

20. 5 f(x) = ,

Найти площадь фигуры, ограни-ченной графиком функции

y = f(x) и осью O_X (17-20):

17. 4 f(x) =

18. 4 f(x) =

19. 5 f(x) =

20. 5 f(x) = ,

Справочные сведения

Если F(x) - первообразная функции f(x) на промежутке [a;b], то по формуле Ньютона-Лейбница

Примеры с решениями

1. Вычислить интеграл J =

Решение. Так как - первообразная функции , то

J = .

2. Вычислить интеграл J =

Решение. Находим

J =

3. Вычислить интеграл J =

Решение. Пусть f(x) = , тогда f(x) = = -. В качестве первообразной для функции f(x) можно взять функцию F(x) = +. Поэтому J = F(3) - F(1), где F(3) = =, F(1) = . Итак, J = .

4. Вычислить интеграл J =

Решение. Применяя формулу понижения степени, получаем

,

где cos 2x = . Следовательно,

,

а в качестве первообразной для функции можно взять функцию

.

Так как F(0) = 0, F() = , то J = F() - F(0) = .

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

Вычислить интеграл (1-18):

1. 4

2. 5

3. 4

Вариант II

Вычислить интеграл (1-18):

1. 4

2. 5

3. 4

4. 4

5. 5

6. 6

7. 6

8. 6

9. 6

10. 7

11. 7

12. 8

13. 8

14. 8

15. 8

16. 9

17. 9

18. 9

4. 4

5. 5

6. 6

7. 6

8. 6

9. 6

10. 7

11. 7

12. 8

13. 8

14. 8

15. 8

16. 9

17. 9

18. 9

Вычисление площадей

с помощью интегралов

Справочные сведения

Если фигура Ф ограничена отрезками прямых x = a, x = b и графиками непрерывных на отрезке [a,b] функция y = f₁(x), y = f₂(x) таких, что

f₂(x) f₁(x) при x [a,b] (рис. 107), то площадь S фигуры Ф выражается формулой

(1)

Примеры с решениями

1. Найти площадь фигуры Ф, ограниченной параболой y = и прямой y = 3 - x.

Решение. Парабола и прямая пересекаются в точках A и B (рис. 108), абсциссы которых являются корнями уравнения = 3 - x. Запишем это уравнение в виде x+ 4x -12 = 0, откуда найдем

x₁ = -6, x₂ = 2.

Искомую площадь вычислим по формуле (1), где a = -6, b = 2,

f₂(x) = 3 - x, f₁(x) = . Следовательно,

5. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной прямой x = 1, параболой y = и касательной, проведенной к этой параболе в точке ее пересечения с осью ординат:_X

Решение. Парабола пересекает ось O_Y в точке A(0;2) (рис.109), а уравнение касательной к параболе в этой точке имеет вид y - 2 = kx, где k - значение производной функции f(x) = при x = 0, т.е. k =(0) = (2x - 2)| _x=0 = -2 .

Итак, касательная задается уравнением y = 2 - 2x. Эта прямая пересекает ось O_X в точке B(1;0). Поэтому

Задания для самостоятельной работы

Вариант I

Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (1-16):

1. 4 y = 3x + 18 - x, y = 0

2. 4 y = 1 + x, y = 2

3. 5 y = x- x, y = 3x

4. 5 y = x, y = x + 2

5. 5 y = - 2x + 4, y = 10 - x

6. 6 y = 8x - x- 7, y = x + 3

7. 6 y = x, y = 2x - x

8. 6 y = 2 + 4x - x, y = x-2x+2

9. 5 y = , y =

10. 6 y = x, y =

11. 6 y = x, y = 2

12. 6 y = - x + 2, y = x, x = 0

13. 6 y = (x - 1), y = 4(x - 4),

y = 0

14. 6 y = , y = x - 1, x = 1

15. 6 y = sinx, где 0 x и y =

16. 6 y = x- 4x, y = -4, x = 0

17. 7 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = = x+ 12 и касательными к ней, проведенными из точки A(0;3)

Вариант II

Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (1-16):

1. 4 y = 5x + 14 - x, y = 0

2. 4 y = 2 + x, y = 3

3. 5 y = x+ x, y = -3x

4. 5 y = x, y = 2 - x

5. 5 y = + 2x + 4, y = 10 + x

6. 6 y = 8x - x- 2, y = x + 8

7. 6 y = x+ 4, y = 2x + 4 - x

8. 6 y = x+2x+2 , y = 2 - 4x - x

9. 5 y = -, y =

10. 6 y = x+ 1, y = 1 +

11. 6 y = 2 + x, y = 2(1 +)

12. 6 y = + x + 2, y = -x, x = 0

13. 6 y = -4(x + 2), y = (x + 1), y = 0

14. 6 y = , y = -1 - x, x = -1

15. 6 y = sinx, где -x 0 и y =

16. 6 y = 4x - x, y = 4, x = 0

17. 7 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = = x+ 11 и касательными к ней, проведенными из точки A(0;2)

18. 7 Найти площадь фигуры, ограниченной осями коор-динат, параболой y = x+ 3 и касательной к ней в точке A(2;7).

1. 7 Найти площадь фигуры, ограниченной осями коор-динат, параболой y = x+ 3 и касательной к ней в точке A(-2;7).

Контрольная работа № 7

Вариант I

1. Доказать, что функция F(x) = 3x + sinx - eявляется первообразной функции f(x) = 3 + cosx - - 2eна всей числовой оси.

2. Найти первообразную F функции f(x) = , график которой проходит через точку A(0; ).

3. Вычислить площадь фи-гуры F, изображенной на рис. 110.

Вариант II

1. Доказать, что функция F(x) = e + cosx + x является первообразной функции f(x) = 3e - sinx + 1 на всей числовой оси.

2. Найти первообразную F функции f(x) = , график которой проходит через точку A(0; ).

3. Вычислить площадь фи-гуры F, изображенной на рис. 111.

4. Вычислить интеграл:

1)

2)

5. Найти площадь фигуры ограниченной прямой y = 1 - - 2x и графиком функции y = = x- 5x - 3.

1. Вычислить интеграл:

1)

2)

1. Найти площадь фигуры ограниченной прямой y = 3- - 2x и графиком функции y = = x+ 3x - 3.