Научно-исследовательская работа на тему Гипотеза Пуанкаре

Научно-практическая конференция

Номинация «Шаги в науку»

Секция: математика

«Пластилиновая» гипотеза или доказательство на миллион.

Выполнила: Асланбекова Марьям, ученица 9 А класса.

Научный руководитель: Асланбекова Лида Сайдаровна,

учитель математики МБОУ «СОШ №50» г. Грозного.

Оглавление:

1.Введение...................................................................................3

1.1.Актуальность работы…………………………………...4

1.2.Выдвижение гипотезы…………………………………..5

1.3.Цели и задачи проекта……………………………….….5

1.4.Социологический опрос………………………………...6

2.Основная часть:

2.1.Немного истории………………………………………..9

2.2.Гипотеза Пуанкаре…………………………...................11

2.3.Кружка, пончик и немного топологии………………...13

2.4.Доказательство длиною в век…………….....................14

2.5.Григорий Перельман.

Как не стать миллионером…………………………………16

2.6.Значение гипотезы Пуанкаре…......................................17

2.7.Семь величайших математических

загадок тысячелетия………………………….....................18

3.Заключение……………………………………………….…21

3.1.Выводы……………………………………………….….21

3.2.Практическое применение работы…………………….21

4.Литература………………………………………………….22

5.Приложение (Буклет)……………………………………...23

1.Введение

Хорошая теория - самая практичная вещь на свете.

Оглянитесь вокруг. Окружающие нас предметы, как и мы сами, представляют собой набор частиц, перемещающихся в трехмерном пространстве, которое простирается во всех направлениях на многие миллиарды световых лет. Ученые, благодаря трудам которых произошли колоссальные сдвиги в естествознании ХХ века, также отдавали должное математическому устройству мира. Анри Пуанкаре всеобщий характер математических законов выразил во фразе: «Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем». Арнольд Зоммерфельд, один из творцов квантовой механики и современной математической физики, утверждал: «Мы все яснее видим, что наиболее общая математическая формулировка одновременно является и физически наиболее плодотворной». Схожим образом рассуждал и Поль Дирак: «Ситуацию, вероятно, можно было бы описать, сказав, что Бог является математиком очень высокого ранга и что он при построении Вселенной использовал математику высшего уровня». О необыкновенной силе и красоте математики размышлял Юджин Вигнер: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов, это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им». Представление о том, что мир живет по законам математики, характерно и для Средневековья. В это время широкое распространение получило сочинение Клавдия Птолемея «Великое математическое построение по астрономии в 13 книгах», созданное во II веке, более известное под своим арабским названием «Альмагест». В нем утверждалось, что небосвод имеет идеальную форму - форму сферы^***, форма Земли также идеальна, это шар, помещенный в центр мира; с помощью набора идеальных круговых движений объясняется

***Главная идея гипотезы Пуанкаре

видимое движение планет. Форма, выбранная для описания законов неба, умозрительная, она предложена из соображений красоты и симметрии, а не получена экспериментально.

1.1.Актуальность работы

Часто, беседуя со старшеклассниками об исследовательских работах по математике, слышу следующее: "Что можно нового открыть в математике?". А действительно: может быть все великие открытия сделаны, а теоремы уже доказаны?

Проблема, о которой пойдет речь, выбивается из ряда других проблем математики 2000 года: лишь она одна считается уже решенной. Приоритет Григория Перельмана - нашего соотечественника, доказавшего гипотезу Пуанкаре, - неоспорим, его доказательство признано ведущими экспертами мира.

Об этой почти детективной истории я узнала недавно. Стала спрашивать у друзей и учителей, к сожалению, многие даже не слышали о гипотезе Пуанкаре, а в Интернете об этом пишут мало и непонятно. Таким образом, я стала читать и разбираться в гипотезе, и к своему великому удивлению, узнала, что в мире математики существует определенный ряд загадок, которые ждут своего часа. Очень жаль, что телевидение и средства массовой информации, которые уделяют столько внимания кино, искусству, литературе и всяким развлечениям, так мало проливают свет на такие необходимые для человека науки как математика, физика, на их проблемы и достижения.

1.2.Выдвижение гипотезы

Неужели гипотеза Пуанкаре (доказательство Перельмана) подтверждает теоретические предположения ученых о строении Вселенной со времен создания мира!

Гипотеза Пуанкаре настолько сложна для понимания простому обывателю, что я взяла на себя смелость изучить самой и рассказать о ней и других математических задачах тысячелетия своим сверстникам.

Таким образом, ко мне пришла идея о создании этого проекта.

Все ли великие открытия в математике сделаны, а теоремы доказаны?

1.3.Цели и задачи проекта

Итак, целью моей работы является познакомиться с величайшими математическими задачами тысячелетия, в том числе с гипотезой Пуанкаре и поделиться информацией со своими сверстниками, создать информационный продукт в виде презентации, буклета.

А для того, чтобы достичь поставленную цель мне следует решить следующие задачи:

• Изучить гипотезу Пуанкаре.

• Познакомиться с топологией.

• Рассмотреть доказательство Перельмана.

• Исследовать роль гипотезы Пуанкаре в изучении космоса и строении мироздания.

• Провести социологический опрос среди учащихся СОШ №50.

• Изготовить информационный буклет.

1.4.Социологический опрос.

Во время исследований я провела социологический опрос, чтобы понять, насколько мои сверстники знакомы с данной темой.

Было проведено анкетирование среди учащихся МБОУ «СОШ №50».

А также на сайте я разместила онлайн-анкету «Задачи Тысячелетия», на которую ребята могут ответить по ссылке:

anketolog.ru/s/118101/qjlOsbIs

Анкета состояла из следующих вопросов:

1. Есть ли в математике до конца не исследованные области?

2. Каков список великих математических задач тысячелетия?

3. Знаете ли Вы, за что хотели наградить миллионом долларов Григория Перельмана?

Результат превзошел все ожидания.

1. Вопрос: Есть ли в математике до конца не исследованные области? Скорее нет, чем да- 55%

Скорее да, чем нет- 20%

Нет- 10%

Да- 15%

Диаграмма №1

2. Вопрос: Каков список великих математических задач тысячелетия?

Не знаю-83%

Слышал, что существует, но не знаю-10%

Не слышал, что существует- 7%

Да-0%

Диаграмма №2

3. На вопрос: знаете ли Вы, за что хотели наградить миллионом долларов Григория Перельмана, ответили так.

Нет-70%

Знаю, но не понимаю суть-22%

Да-8%

Диаграмма №3

Анализ анкетирования. Судя по результатам анкетирования, многие практически не посвящены в вопросы, математических задач тысячелетия. Но порадовали ответы оптимистично настроенных и заинтересованных ребят. Это дает мне стимул для дальнейших исследований.

2.1.Немного истории

Начнем с 19 века. В 1887 году Пуанкаре представил работу на математический конкурс, посвященный 60-летию короля Швеции Оскара II. В ней обнаружилась ошибка, которая привела к появлению теории хаоса.
Вообще говоря, в математике можно сформулировать большое количество сложных утверждений. Однако, что делает ту или иную гипотезу великой, отличает ее от остальных? Как это ни странно, но великую гипотезу отличает большое количество неправильных доказательств, в каждом из которых есть по великой ошибке - неточности, которая зачастую приводит к возникновению целого нового раздела математики.
Так, изначально Анри Пуанкаре, который отличался помимо всего прочего умением совершать гениальные ошибки, сформулировал гипотезу немного в другом виде, чем пишут сейчас. И в 1904 году он сформулировал гипотезу уже в современном виде.
Надо сказать, что особого ажиотажа среди коллег гипотеза тогда не вызвала. Так было до 1934 года, когда британский математик Джон Генри Уайтхед представил свой вариант доказательства гипотезы. Очень скоро, однако, он сам нашел в рассуждениях ошибку.
После этого за гипотезой постепенно закрепилась слава крайне сложной задачи. Многие великие математики пытались взять ее приступом. Например, американский Эр Аш Бинг (R.H.Bing), математик, у которого (абсолютно официально) вместо имени в документах были записаны инициалы. Он предпринял несколько безуспешных попыток доказать гипотезу.
Были среди ученых и люди, положившие жизнь на доказательство этого математического факта.

Работа многих ученых, пытавшихся доказать гипотезу Пуанкаре, привела к возникновению целого направления в математике и может считаться в этом смысле успешной и значимой, доказать гипотезу Пуанкаре окончательно удалось только россиянину Григорию Перельману.
Анри Пуанкаре был одним из двух сильнейших математиков начала XX в. (другим был Давид Гильберт). Его называли последним универсалом - он успешно работал во всех разделах как чистой, так и прикладной математики. Кроме того, Пуанкаре внес огромный вклад в развитие небесной механики, теорию электромагнетизма, а также в философию науки, о которой написал несколько популярных книг.

Жюль Анри Пуанкаре (1854 - 1912) французский математик, физик, астроном и философ. Занимался решением задач небесной механики: изучение возмущённого движения, теория устойчивости, вопрос о фигурах равновесия жидких масс, что способствовало развитию теории происхождения звёзд путём деления одиночных вращающихся звёзд. Независимо от Эйнштейна выдвинул основные положения специальной теории относительности. Он считается учёным, способным охватить все математические результаты своего времени. Его перу принадлежат более 500 статей и книг.

Среди его самых крупных достижений:

• Создание топологии.

• Разработка новых, чрезвычайно эффективных методов небесной механики.

• Создание математических основ теории относительности.

• В 1900 г. сформулировал топологическую характеристику объекта, названную гомотопией^*.

^*Чтобы определить гомотопию многообразия, нужно мысленно погрузить в него замкнутую петлю, затем следует выяснить, всегда ли можно стянуть петлю в точку, перемещая ее внутри многообразия. Для тора ответ будет отрицательным: если расположить петлю по окружности тора, то стянуть ее в точку не удастся, т.к. будет мешать «дырка» бублика. Гомотопия* - это количество различных путей, которые могут воспрепятствовать стягиванию петли.

2.2.Гипотеза Пуанкаре

Последним великим достижением чистой математики называют доказательство петербуржцем Григорием Перельманом в 2002-2003 годах гипотезы Пуанкаре, высказанной в 1904 году и гласящей: «всякое компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно^* сфере S³».

Простыми словами гипотезу Пуанкаре можно изложить так: если трехмерная поверхность в чем-то похожа на сферу, то ее можно расправить сферу.

Главным "действующим лицом" гипотезы является трехмерная сфера.

Оказывается, что любое замкнутое кривое пространство ведет себя при такой эволюции подобным же образом, т.е. превращается, в конце концов, в сферу.

Объясняя гипотезу Пуанкаре, начинают так: представьте себе двухмерную сферу - возьмите диск и натяните его на шар. Так, чтобы окружность диска оказалась собранной в одной точке.

Аналогичным образом, к примеру, можно стянуть шнуром спортивный рюкзак. В итоге получится сфера: для нас - трехмерная, но с точки зрения математики - всего лишь двухмерная. Затем предлагают натянуть тот же диск на бублик. Вроде бы получится. Но края диска сойдутся в окружность, которую уже не стянуть в точку - она разрежет бублик.

Так вот, легко видеть, что на сфере любая петля стягиваема (как это примерно выглядит, можно посмотреть), а вот для тора это уже не так: на бублике есть целых две петли - одна продета в дырку, а другая обходит дырку "по периметру", - которые нельзя стянуть.

На этой картинке примеры не стягиваемых петель показаны красным и фиолетовым цветом соответственно.

Грусть на лице этого животного является следствием осознания того, что желаемый кусочек сыра находится на нестягиваемой петле.

В формулировке гипотезы я думаю не все понятно обычному школьнику. Постараюсь объяснить общий смысл некоторых понятий.

Начнем с понятия гомеоморфизма, центрального в топологии^*.

2.3.Кружка, бублик и немного топологии

Топологию^* часто определяют, как «резиновую геометрию», т.е. как науку о свойствах геометрических фигур, которые не меняются при плавных деформациях без разрывов и склеек.

Чтобы глубже понять гипотезу Пуанкаре и доказательство Перельмана, следует поближе познакомиться с топологией. В этом разделе математики форма объекта не имеет значения, как будто он сделан из теста, которое можно как угодно растягивать, сжимать и изгибать. Зачем же нам задумываться о вещах или пространствах из воображаемого теста? Дело в том, что точная форма объекта - расстояние между всеми его точками - относится к структурному уровню, который называют геометрией. Рассматривая объект из теста, топологи выявляют его фундаментальные свойства, не зависящие от геометрической структуры. Изучение топологии похоже на поиск наиболее общих черт, присущих людям, методом рассмотрения «пластилинового человека», которого можно превратить в любого конкретного индивида.

Главную идею проще всего объяснить на классическом примере кружки и бублика. Кружку можно превратить в бублик непрерывной деформацией:

Эти рисунки наглядно показывают, что кружка гомеоморфна бублику (т.е. можно продеформировать в....), причем этот факт верен как для их поверхностей (двумерных многообразий, называемых тором), так и для заполненных тел (трехмерных многообразий с краем).

2.4.Доказательство длиною в век…

Григорий Яковлевич Перельман родился и вырос в Ленинграде, учился в знаменитой 239-й школе. В 1982 году выиграл Международную математическую олимпиаду, набрав максимально возможное количество баллов. Получил степень кандидата наук, затем некоторое время работал в Петербургском отделении математического института РАН, в конце восьмидесятых уехал в США, где работал до середины девяностых, а затем вернулся в Россию.

Перельман на долгих семь лет (с возвращения в Россию до 2002 года) практически перестал публиковаться и вообще почти ничем не напоминал о себе. Никто не знал, над чем он работал. Затем, как гром среди ясного неба появились статьи, содержащие доказательство гипотезы Пуанкаре, в ноябре 2002 года. В 2003 году Григорий Яковлевич дополнил первый препринт еще одним, в котором подробнее изложил технические подробности доказательства. Кроме того, он выступил с лекциями, где комментировал свои идеи. Казалось бы, больше ничего не нужно: проверяйте доказательство и платите миллион. Первые результаты проверки идей российского математика появились в 2006 году - крупные геометры Брюс Кляйнер и Джон Лотт из Мичиганского университета опубликовали работу, по размерам больше напоминающей книгу - 213 страниц. В этой работе ученые тщательно проверили все выкладки Перельмана, подробно пояснив различные утверждения, которые в работе российского математика были лишь вскользь обозначены. Вердикт исследователей был однозначен: доказательство абсолютно верное.

2.5.Григорий Перельман. Как не стать миллионером.

В 2002-2003 годах русский математик Григорий Перельман опубликовал в интернете доказательство гипотезы Пуанкаре, которое не давалось ни одному из его коллег в течение почти ста лет. Перельмана ждали слава, многочисленные награды и приз в $1 млн, назначенный за решение этой задачи благотворительным Институтом Клэя. Перельман, однако, отказался и от почестей и от денег, а через несколько лет и вовсе ушел из математики. Заместитель главного редактора проекта «Сноб» Маша Гессен написала книгу, посвященную математику. Первоначально книга вышла на английском языке в США, теперь перевод книги «Безупречная строгость. Григорий Перельман: гений и задача тысячелетия» выходит на русском языке в издательстве CORPUS (в переводе Ильи Кригера).

Это не первый случай отказа Перельмана от премий:

• 1996 год - премия Европейского конгресса математиков

• 2006 год - Филдсовская премия

• 2010 год - Премия тысячелетия

Российский математик Григорий Перельман не прибыл на церемонию награждения в Париж, где ему должны были вручить премию в 1 млн долларов, присужденную ему американским Математическим институтом Клэя.

В отсутствие Перельмана символический сертификат премии был передан другому российскому математику - Михаилу Громову, работающему во Франции, и Франсуа Пуанкаре, внуку создателя топологической гипотезы, предполагающей, что пространство является трехмерной сферой с точностью до деформации.

Григорий Перельман живет затворником вместе с мамой в обычной панельной многоэтажке на окраине Санкт-Петербурга. Ничем, кроме математики, не интересуется, контакты с окружающим миром сводит к минимуму и с прессой категорически не общается.

Похоже, что Михаил Громов, российский геометр, - понял логику Перельмана: «Чтобы сделать великую работу, вы должны иметь чистый разум. Вы можете думать только о математике. Все остальное - человеческие слабости. Принятие премий показывает слабость».

Кинокомпания «Президент-фильм» с согласия Перельмана планирует снять о нем художественную ленту «Формула Вселенной». Математик и пошёл-то на контакт ради этого фильма, который будет не о нём, а о сотрудничестве и противоборстве трех основных мировых математических школ: российской, китайской и американской, наиболее продвинувшихся по стезе изучения и управления Вселенной. На вопрос о миллионе, который так волновал всех удивлённых и любопытных, Перельман ответил: «Я знаю, как управляют Вселенной. И скажите - зачем же мне бежать за миллионом?»

2.6.Значение гипотезы Пуанкаре.

"Формулой Вселенной" утверждение Пуанкаре называют из-за его важности в изучении сложных физических процессов в теории мироздания и из-за того, что оно дает ответ на вопрос о форме Вселенной. Играет свою роль это открытие и в развитии нанотехнологий.

И здесь уместно сказать об одной особенности современной математики: она изучает искусственно изобретенные объекты. Нет в природе четырехмерных пространств, нет групп, полей и колец, свойства которых усиленно изучают математики. И если в технике постоянно создаются новые аппараты, всевозможные устройства, то в математике создаются их аналоги - логически возможные устройства, логические приемы для мыслительной деятельности человека, для аналитиков в любой области науки. И всякая математическая теория, если она строгая, рано или поздно находит применение. К примеру, многие поколения математиков и философов пытались аксиоматизировать философию. В результате этих попыток была создана теория булевых функций, названных по имени ирландского математика и философа Джорджа Буля. Эта теория стала ядром кибернетики и общей теории управления, которые вместе с достижениями других наук привели к созданию компьютеров, современных морских, воздушных и космических кораблей. Таких примеров история математики дает десятки.

Крупномасштабная геометрия Вселенной представляет собой фундаментальную проблему космологии, особенно важны ее пространственная кривизна и топология. Уравнения Эйнштейна для гравитационного поля определяют лишь локальные свойства пространства-времени, но не глобальную структуру Вселенной в целом. Гипотеза Пуанкаре предполагает, что пространство Вселенной в больших масштабах обладает тривиальной топологией и при этом подразумевается, что она имеет бесконечный объем. При рассмотрении различных сценариев инфляционного расширения эти свойства нашего космоса определяются начальными условиями, возникшими в момент Большого взрыва.

Из доказательства Перельмана следует, что Вселенная имеет форму сферы и стремится в точку, следовательно, гипотеза о Большом взрыве вполне имеет место быть. Поэтому доказательство гипотезы Пуанкаре играет роль не только в описании формы Вселенной, но и помогает сделать прорыв в развитии теории происхождения Вселенной.

2.7.Семь величайших математических загадок тысячелетия.

8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма, с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным.
По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю. В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем - по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems.

Институт математики Клея объявил о награде в $1 млн за решение каждой из этих главных математических проблем.

1. Уравнение Навье-Стксао о турбулентных потоках, 1822 [гидроаэродинамика]. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Это позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.

2. Гипотеза Римана, 1859 [теория чисел]. Считается, что распределение простых чисел среди натуральных не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

3. Гипотеза Пуанкаре^***, 1904 [топология или геометрия многомерных пространств]: всякое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере [т.е. наша Вселенная - трехмерная сфера?].

4. Гипотеза Ходжа, 1941 [алгебра, топология]. В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов - использование вместо самого объекта простых "кирпичиков", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.

5. Теория Янга-Миллса, 1954 [связь геометрии с квантовой физикой]. Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга-Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков, несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.

6. Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера, 1960 [алгебра и теория чисел]. Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x² + y² = z².

7. Гипотеза Кука, 1971 [математическая логика и кибернетика]. Эта проблема - также одна из нерешенных задач логики и информатики. Ее решение революционно изменило бы основы криптографии [также как и доказательство гипотезы Римана].

***Гипотеза Пуанкаре считается доказанной на сегодняшний день.

3. Заключение

3.1.Выводы.

Гипотеза подтвердилась: действительно, в математике есть много нерешенных задач и недоказанных теорем.

Впереди нас ждут уникальные эксперименты, научные открытия, прорывы в самых современных научных сферах. Главное, чтобы это давало дополнительный стимул развития нашей стране.

Как бы ни сложилось мое будущее, какую бы профессию не выбрала, я уверена, что работа над этим проектом является для меня первым, но уже уверенным шагом в мир большой науки.

Мы надеемся, что задачи тысячелетия будут решены в ближайшее время и это принесет мировой науке только пользу!!!

Итак, к концу своего исследования, я пришла в следующим выводам:

1. Математика является необъятной наукой.

2. В школе нужно всячески повышать познавательный интерес учащихся к математике.

3. Все средства массовой информации должны способствовать появлению интереса к математике у молодежи, как к самой перспективной науке.

4. Не все открытия в математике сделаны и не все теоремы доказаны.

5. Спешите их осталось еще 6!!!

3.2.Практическое применение работы

Моя работа может быть

1. Интересна учащимся увлеченным математикой.

2. Использована на факультативных занятиях.

3. Применена в работе математического кружка.

4. Наглядным материалом на уроках для активации познавательного интереса к математике у учащихся.

4.Литература.

• Болтянский В.Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. - М.: Наука, 1982.

• Васильев В.А. Введение в топологию. - М.: ФАЗИС, 1997.

• Вербицкий М. Лекции и задачи по топологии. - 2009.

• Виро О.Я., Иванов О.А., Харламов В.М., Нецветаев,Н.Ю. Элементарная топология. - 2007.

• Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. - М.: Мир, 1983.

• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. - М.: Мир, 1972.

• Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. - М.: Мир, 1979.

• Прасолов В.В. Наглядная топология. - М.: МЦНМО, 1995.

• Стюарт Я. Топология. // Квант, № 7, 1992.

• Топология, видео.

• Интернет-ресурсы.

5.Приложение

Изготовлен информационный буклет.

~ 24 ~