Факультативное занятие в 8 классе «Задачи с параметрами»

План факультативного занятия

в 8 (9) классе:

«Задачи с параметрами»

учитель: Л.К. Семенская

Факультатив в 8(9)^-ом классе.

Тема: «Задачи с параметрами».

Решение уравнений (неравенств, систем) с параметрами является одним из самых сложных разделов курса школьной математики. При решении задач этого типа необходимо, прежде всего, умение проводить - порой довольно разветвленные - логические построения. Вместе с тем решение такого рода задач на вступительном экзамене в ВУЗ является необходимым условием получения высокой оценки.

Где мы на уроках встречаемся с параметрами?

 функция прямая пропорциональность у = кх;

 линейная функция у = кх + b;

 линейное уравнение ах + b = 0;

 уравнение первой степени ах + b = 0, ;

 квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, .

Что же такое параметр? Чаще всего под параметрами понимают переменные, которые в условиях данной задачи считаются постоянными. Другими словами параметр - это буквенный коэффициент.

При рассмотрении одного уравнения (неравенства) с параметрами мы имеем дело одновременно с бесконечным множеством уравнений (неравенств). При этом бывает, что при одних значениях параметров уравнение не имеет корней, а при других имеет. Многие учащиеся делают ошибки, воспринимая параметр, как «обычное» число, не задумываясь о том, что параметр, в действительности являясь числом, может принимать различные значения.

При решении уравнений и неравенств с параметрами чаще всего встречаются две задачи:

1. найти формулы для решения уравнений (неравенств), выражающие эти решения как функции от параметров;

2. исследовать решения уравнения (неравенства) в зависимости от значения параметров.

Первая задача: для каждого значения параметра найти все корни заданного уравнения (все решения заданного неравенства). При решении этой задачи обычно действуют в следующем порядке:

 сначала находят область допустимых значений параметров и переменных;

 решают уравнения (неравенства) относительно неизвестных;

 выясняют, при каких значениях параметра найденные корни уравнения (решения неравенства) допустимы.

В задачах этого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения (неравенства).

Вторая задача: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения (неравенства) удовлетворяют заданным условиям. В задачах этого типа ответ выглядит так: перечисляют все значения параметра, при которых выполняются условия задачи.

Начинать надо с простых примеров.

1. Решите уравнение: ах = 1.

Решение: (см. приложение 1)

2. Решите уравнение: (а²1)х = а + 1.

Решение: (см. приложение 2)

3. Решите неравенство: ах < 1.

Решение: (см. приложение 3)

4. При каких значениях параметра а неравенство имеет единственное решение?

Решение: (см. приложение 4)

рис. 1

5. При каких значениях параметра а решением неравенства будет отрезок?

Решение: (см. приложение 5)

6. При каких значениях параметра а уравнение ах² х + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение: (см. приложение 6)

7. При каких значениях параметра а уравнение (а  2)х² + (4 - 2а)х + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение: (см. приложение 7)

8. При каких значениях параметра а уравнение ах²  4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?

Решение: (см. приложение 8)

рис. 2

9. При каких значениях параметра а уравнение а(а + 3)х² + (2а + 6)х  3а  9 = 0 имеет более одного корня?

Решение: (см. приложение 9)

10. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет два различных действительных корня.

Решение: (см. приложение 10)

рис. 3

11. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство (а + 4)х²  2ах + 2а - 6 > 0 не выполняется ни при каком действительном х.

Решение: (см. приложение 11)

12. Найдите все значения параметра b, при которых функция f(х) = bх² + 4х + 5 имеет наибольшее значение, и это значение больше 5,5.

Решение: (см. приложение 12)

13. Для каждого значения параметра а решите неравенство: .

Решение: (см. приложение 13)

рис. 4

14. При каких значениях параметра b система не имеет решений?

Решение: (см. приложение 14)

рис. 5

15. Найдите все значения параметра а, при которых квадратный трехчлен 0,5х² - 2х  5а + 1 имеет два различных корня, сумма кубов которых меньше 40.

Решение: (см. приложение 15)

16. Для каждого значения параметра а решите неравенство: .

Решение: (см. приложение 16)

рис. 6

рис. 7

17. Для каждого значения параметра а решите неравенство: х²  (3а+6)х + 2а² + 11а + 5 < 0 .

Решение: (см. приложение 17)

18. При каких значениях параметра а уравнение имеет четыре различных корня?

Решение: (см. приложение 18)

ЛИТЕРАТУРА:

1. Журнал «Математика в школе» №5, 1993г.

2. В.В. Амелькин. В.Л. Рабцевич «Задачи с параметрами» Минск: «Асар», 2004г.

3. «Параметр против абитуриента» Курган, 1999г.

4. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами» Москва - Харьков, 1998г.

и др.