Выступление на методическом объединении методика решения геометрических задач

Решение задач как одно из средств повторения геометрии основной школы.

Учитель, который хочет принести пользу всем своим учащимся и тем, которые будут, и тем, которые не будут после школы пользоваться математикой, должен обучать решению задач так, чтобы это е обучение на одну треть было математикой, а на две трети здравым смыслом.

Д. Пойя

В курсе изучения математики особое место занимает систематизация и обобщение учебного материала.

Чтобы обеспечить прочность знаний и навыков, приобретаемых учащимися в процессе изучения математики, нужно правильно организовать повторение, т. е. возвращение к уже пройденному материалу, преследуя две цели, а именно: окончательную доработку программного материала, его, так сказать, отшлифовку, и вместе с тем его закрепление в памяти учащихся.

Поэтому задачи повторения и методика его проведения могут быть выражены в трех следующих вопросах, по существу исчерпывающих смысл повторения:

Что повторять? Как повторять? Когда повторять?

Первый из этих вопросов касается выбора материала для повторения, второй имеет в виду систему и методы повторения, и третий - наиболее важное значение это играет при подготовке к экзаменам по математике.

Различают два вида повторения математического материала:

- частичное повторение (осуществляется через "вкрапливание" повторяемого материала в урок);

- полное повторение (через выделение отдельных часов по программе для подготовки к экзаменам).

В ходе повторения учитель должен:

- помочь учащимся выделить главное и второстепенное в учебном материале;

- научить работать с учебной и дополнительной литературой (конспектирование, цитирование, реферирование, анализ и синтез, выделение смысловых связей, "сворачивание" и "разворачивание" текста и т.д.);

- выработать умение у учащихся пользоваться формулами, теоремами в различных нестандартных ситуациях;

- сформировать готовность ответить на любой дополнительный вопрос, научить прогнозировать вопросы;

- научить самостоятельно добывать знания;

- научить пользоваться справочниками различного вида и т. д.

Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Планиметрия, как известно, не изучается в 10-11 классах, и для того, чтобы успешно справиться с задачами, включенными в ЕГЭ, нужно выделить достаточное время на повторение курса планиметрии, которое не предусмотрено действующей программой, в11 классе для обобщающего повторения и систематизации знаний и умений учащихся по математике всего 30 уроков. Весьма важно решать планиметрические задачи в течение всего учебного года. При этом необходимым условием эффективности повторения является связь решаемых планиметрических задач с текущим, изучаемым геометрическим материалом.

Известно, что геометрические задачи включены как в группу В по планиметрии и по стереометрии и в группу С задача на комбинацию тел.

Задачи по планиметрии, включаемые в КИМы ЕГЭ, можно сгруппировать по следующим основным темам:

1. Треугольники

2. Четырехугольники (параллелограмм и трапеция)

3. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около

треугольника.

4. Окружности, вписанные в четырехугольник и описанные около четырехугольника.

В КИМы включены 2 задачи по стереометрии. Разумеется, для успешного решения стереометрических задач учащиеся должны хорошо решать планиметрические задачи.

Заключительное повторение курса планиметрии преследует цель систематизировать и обобщить ранее изученные свойства плоских фигур. Как правило, при организации повторения я выделяю несколько этапов:

1. повторение свойств основных фигур геометрии -где повторяются теоремы о свойствах различных фигур, в результате чего систематизируются и обобщаются умения обучающихся проводить доказательства, умения анализировать и рассуждать;

2. решение устных задач, задач с пропусками в решениях;

3. решение задач практического характера;

4. решение задач по текстам ЕГЭ

Простейший из многоугольников - треугольник играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на «трёх китах» - трёх признаках равенства треугольников. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

Вопросы, связанные с определениями, свойствами и признаками треугольников и четырехугольников повторяю при изучении тем «Теорема о трех перпендикулярах» затем в 11 классе при изучении тем «Призма и пирамида», «Тела вращения» Повторение тем «Окружность, круг и углов, связанных с ней» осуществляем при изучении темы «Тела вращения». Ранее пройденный материал должен служить фундаментом, на который опирается изучение нового материала, который в свою очередь, должен обогащать и расширять ранее изученные понятия.
"Старое должно подпирать новое, а новое обогащать старое".
Правильно организованное повторение помогает ученику увидеть в старом нечто новое; помогает установить логические связи между вновь изучаемым материалом и ранее изученным; обогащает память ученика; расширяет его кругозор; приводит знания ученика в систему; дисциплинирует ученика; приучает в нем уменье находить необходимого для ответа на поставленный вопрос материал; воспитывает в ученике чувство ответственности.
Вначале повторения провожу обзорную лекцию по выбранной теме При проведении лекции обращаю внимание учащихся на выполнение чертежей. В результате повторения теории, все фиксируется на классной доске в виде чертежей, рисунков.

Вот пример записей получающихся у обучающихся в тетрадях и на

классной доскe по теме «Треугольники»

Таблица 1

Виды углов

Название треугольника по углам

чертеж

острый

Остроугольный

Тупой

Тупоугольный

прямой

прямоугольный

Название треугольника по сторонам

Разносторонний

Равнобедренный

Равносторонний

Элементы треугольника: высота, биссектриса, медиана.

Таблица 2. Признаки равенства треугольников.

Таблица3. Признаки подобия треугольников.

Таблица4 Прямоугольный треугольник и его решение

Таблица5 Решение любого треугольника по трем его элементам

по двум сторонам и углу

По стороне и прилежащими к ней углам

По трем сторонам

Дано

Найти

Дано

Найти :

Дано:

Найти:

_{Угол между данными сторонами}

I способ

Пусть а наибольшая сторона

Iспособ

II способ

Одно решение

Одно решение

Одно решение

Дано: ;

Найти :

значит

Существуют два угла

Нет решения

Одно решение

Одно решение

Два решения

Напоминаем схему работы с геометрической задачей:

Сначала мы отвечаем на вопросы:

Какая фигура? Что известно?

Что надо найти? Какая формула?

затем мы выбираем метод решения, поэтому отвечаем на вопрос:

Какой метод?

Геометрический метод используется тогда, когда в формуле, которую хотим применить, уже известны какие-то данные, а другие можем вычислить, важно только выделить, фигуры, из которых это можно сделать.

Алгебраический метод используем тогда, когда сразу из формулы не можем найти неизвестную величину, в этом случае вводят переменную.

Для того чтобы вспомнить решение задач я сделала подборку задач по геометрии, где условие сформулировано разнообразно

Представляю вашему вниманию некоторые из них

Реши задачу, заполняя пропуски.

(Презентация « Реши задачу заполняя пропуски»).

Далее, предлагаю решать задачи которые дают нам еще дополнительные сведения, решив которые я задаю вопрос, что можно взять для решения задач в последующем( Презентация «Важные задачи»).

После этого предлагаю задачи практической направленности (Презентация « Практико-ориентированные задачи».

При подготовке к ЕГЭ для обобщающего повторения в конце года должен быть отобран самый важный материал с точки зрения общеобразовательной ценности, упражнения комплексного характера. Наиболее целесообразным является распределение повторяемых вопросов по содержательно- методическим линиям курса, порядок следования которых позволяет эффективно реализовать связи между темами.

В соответствии с назначением и особенностями задач высокого уровня сложности и требованиями к математической подготовке учащихся, достижение которых проверяется этими заданиями, в решениях фиксируются следующие моменты, характеризующие полноту и правильность решения:

· Конечный результат, полученный при верном ходе решения,

· выполнение промежуточных преобразований, вычислений,

· обоснование выводов (шагов), приводящих к правильному ответу,

логика решения.

Задача считается выполненной верно, когда получен правильный ответ при достаточно полном объеме обоснований, которые потребовались при переходе от исходных данных к конечному ответу.

Первое требование к организации повторения, исходящее из его целей, это определение времени: Когда повторять? Самый общий ответ на поставленный вопрос таков: повторение следует проводить в течение всего учебного года. Оно должно осуществляться по принципу:

«Учить новое, повторяя, и повторять, изучая новое».

ЗАПОВЕДИ для решения геометрических задач

1. Сразу же начинай чертить по заданным условиям - размышлять будешь потом!

2. Хороший чертеж - хороший помощник, с ним идея решения «придет сама». Плохой же чертеж не только затруднит решение, но еще и заведет тебя в тупик при попытке «доказать» то, чего нет в действительности. Делай четкий чертеж в середине листа - линейка, треугольник, циркуль, транспортир помогут тебе и в «задачах на построение». Если условия позволяют - черти (хотя бы примерно) в масштабе!

3. Избегай чертить частные случаи (прямоугольный, равнобедренный, равносторонние треугольники, равные окружности и т.п.), если они не предусмотрены условием задачи - глядя на такой чертеж, ты скоро «поверишь», что так будет всегда, и твоя мысль будет направлена на ложный след!

4. В стереометрии делай большой чертеж на всю страницу с пунктирными невидимыми линиями! Так ты не погрязнешь в наслоениях линий и обозначений, и будет где «раскинуть мозгами» - формулы и очевидные зависимости ты сможешь писать на самом чертеже (рядом с отрезками) без лишних буквенных обозначений!

5. Наноси на чертеж все данные! Что-то забудешь - решить задачу не сможешь!

6. В условии задачи введи упрощения - в разумных, конечно, пределах.

7. Вспомни и выпиши рядом с рисунком все геометрические определения, аксиомы, теоремы, свойства и следствия по данному вопросу - это тоже необходимая информация для твоих мозговых ячеек к моменту, когда они начнут логическое конструирование решения задачи!

8. Если задача сложная - найди «логику» решения задачи, напиши план решения задачи. В запутанной и особо «неподдающейся» задаче план решения обязателен.

9. Не волнуйся!

10. Дай полную волю своей интуиции! - кто-то сказал, что интуиция - это разрыв в логике, но разрыв плодотворный; что это возможность к неожиданному шагу в непредсказуемом направлении; что это мерило таланта! Зачем же его подавлять? Интуиция поможет тебе наметить кратчайший путь к решению задачи.

11. Мысль способна незаметно «уйти в сторону» - следи за ней (а, точнее, за собой) !

12. Удачное вспомогательное построение подчас сразу же раскрывает «секреты « условия задачи. Если проведенная вспомогательная линия все же окажется ненужной, то сразу же сотри ее - все лишнее мешает мыслительному процессу.

13. Если не сможешь найти геометрическое выражение длины «искомого» отрезка, то попытайся сделать это для его отдельных частей и просуммируй их!

14. Подобные треугольники можно построить переносом параллельных линий с помощью линейки и треугольника.

15. Искаженное в объемном рисунке сечение построй рядом в натуральном виде - прямой угол станет действительно прямым, подобие треугольников станет явным и т.п.

16. Если не сможешь найти геометрическое выражение длины «искомого» отрезка, то попытайся сделать это для его отдельных частей и просуммируй их!

17. Подобные треугольники можно построить переносом параллельных линий с помощью линейки и треугольника.

18. Искаженное в объемном рисунке сечение построй рядом в натуральном виде - прямой угол станет действительно прямым, подобие треугольников станет явным и т.п.

19. Если твой рисунок «безмолвствует», то поверни его и посмотри снова - при новом ракурсе могут появиться новые мысли, а затем и правильное решение!

20. Не забывай, что тригонометрия служит для облегчения решения геометрических задач. Однако не увлекайся и не переходи границы ее разумного сочетания с планиметрией. В 11 классе ты уже подзабыл планиметрию, но подменять ее тригонометрией не всегда разумно - это может привести к очень громоздким решениям. При косоугольных треугольниках большую помощь тебе окажет теорема косинусов.

21. Рациональный выбор неизвестного при решении задач - дело тонкое и деликатное!

22. При составлении системы уравнений необходимо, чтобы были использованы все соотношения, вытекающие из условия геометрической задачи.

23. Не бойся применять в геометрии системы уравнений с тремя и более неизвестными - алгебра хорошо поможет!

24. Из-за возможных упрощений не торопись заменять буквенные обозначения числами из условия, однако эти числа так «подобраны», что именно они определяют кратчайший путь к решению, а некоторые подобные задачи в общем виде вообще не имеют однозначного решения.

25. Не делай «в уме» одновременно несколько сложных алгебраических преобразований - сделай их последовательно в «лишней строчке»! Ход твоего великолепного решения может быть «сведен на нет» из-за одного только забытого знака минус …

26. Уважай проверяющего твою работу: пиши чисто, аккуратно, все формулы - столбиком, не экономь бумагу! Умей и зачеркнуть аккуратно, тогда не придется тратить много времени на оформление чистовика! В конце после слова ОТВЕТ четко напиши итог решения задачи. Все это - лучшая гарантия того, что проверяющий твою работу разберется в твоих записях и не поставит низкий бал «не найдя» решения задачи!

Рекомендации по решению нестандартных задач

Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:

1. Сделать к задаче рисунок или чертеж; подумай, может быть, нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи.

2. Ввести вспомогательный элемент (часть).

3. Сделай выносной чертеж.

4. Использовать для решения задачи способ подбора.

5. Переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной и знакомой.

6. Разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям.

7. Начать решение задачи «с конца».