- Преподавателю
- Математика
- «Решение квадратных уравнений с параметром в соответствии с требованиями ФГОС»
«Решение квадратных уравнений с параметром в соответствии с требованиями ФГОС»
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Андреенко С.С. |
Дата | 12.11.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Пояснительная записка
ФИО (полностью)
Андреенко Светлана Сергеевна
Должность
Учитель математики
Предмет
Алгебра
Класс
8-9
Тема
«Решение квадратных уравнений с параметром в соответствии с требованиями ФГОС»
Базовый учебник
Алгебра. 8,9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. - 18-е изд.-М.: Просвещение, 2011.-271 с
-
Цель: обучение умению решать квадратные уравнения, с параметрами алгебраическим и функционально - графическим методом при подготовке к ГИА.
-
Задачи:
- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, переформулировать условие, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;
-
-развивающие: целеполагание, планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, саморегуляция, через решение задач, развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, интеллектуальные качества: способность к "видению" проблемы, оценочным действиям, самостоятельности, гибкости мышления;
-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.
Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:
№
Этапы решения задач
Формируемые УУД
Анализ условия (введение буквенных обозначений)
-
целеполагание;
-
выделение существенной информации;
-
формулирование задачи и прогнозирование способов решения;
-
абстрагирование;
-
аналогия;
-
классификация (типологизация);
-
знакосимволические действия.
Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями
-
планирование;
-
систематизация;
-
знакосимволические действия;
-
моделирование.
Составление модели (поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона)
-
создание способа решения задачи;
-
корректировка условия;
-
моделирование в графическом виде.
Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного)
-
анализ и выявление существенной информации;
-
выведение следствий;
-
построение цепи рассуждений;
-
выдвижение и проверка гипотез;
-
преобразование модели.
Интерпретация модели (проверка и оценка решений, корней)
-
анализ;
-
выведение следствий;
-
конкретизация;
-
знакосимволическое действие (интерпретация).
Исследование (обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению)
-
анализ;
-
синтез;
-
поиск аналогов;
-
построение цепи рассуждений;
-
умение сжато передать содержание;
-
умение схемы, символы, модели;
-
создание способов решения проблем поискового, творческого характера.
Рефлексия
-
смыслообразование;
-
планирование;
-
контроль;
-
коррекция;
-
оценка;
-
волевая саморегуляция;
-
готовность к саморазвитию, к самообразованию;
-
умение самостоятельно определять цели своего обучения;
-
ставить и формулировать для себя новые задачи;
-
развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.
1.Базовые задачи по квадратичной функции
Рассмотрим следующие методы: метод сведения задачи к равносильной, перебор различных значений параметра, замена переменной, выявление необходимых и достаточных условий или необходимых условий.
-
Функция y = a+bx+c (a≠0) задает параболу с вершиной в точке С(xB;yB).
-
Функция y = a(x-m)2+n(a≠0) задает параболу с вершиной в точке
С(m; n).
Пустьf(x) = a+bx+c (a≠0).
-
Квадратное уравнение ax2+bx+c=0 (a≠0) (1)
не имеет решений тогда и только тогда, когда D<0.
-
Квадратное уравнение (1) имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D>0.
-
Квадратное уравнение (1) имеет два (может быть кратных) корня тогда и только тогда, когда D≥0.
-
Квадратное уравнение (1) имеет два различных положительных корня тогда и только тогда, когда
или
-
Квадратное уравнение (1) имеет два различных отрицательных корня тогда и только тогда, когда
или
-
Квадратное уравнение (1) имеет корни разных знаков тогда и только тогда, когда <0
-
Квадратное уравнение (1) имеет корень, равный нулю тогда и только тогда, когда с=0.
-
Квадратное уравнение (1) имеет два разных корня x1, x2 < тогда и только тогда, когда
-
Квадратное уравнение (1) имеет два корня x1<<x2 тогда и только тогда, когда
-
Квадратное уравнение (1) имеет два разных корня x1, x2 >x0 тогда и только тогда, когда
-
Квадратное уравнение (1) имеет различные корни, принадлежащие интервалу
(M;A), где М<Aтогда и только тогда, когда
12. Квадратное уравнение (1) имеет различные корни x1<M<x2<Aтогда и только тогда, когда
-
Квадратное уравнение (1) имеет различные корни M<x1<A<x2 тогда и только тогда, когда
-
Квадратное уравнение (1) имеет различные корни x1<M<A<x2 тогда и только тогда, когда
Рис. 7
-
Квадратное уравнение (1) имеет один корень внутри интервала (M;A), а другой вне этого интервала тогда и только тогда, когда f(M)∙f(A)<0.
1.1. Примеры решений уравнений с параметром
1. Базовые задачи
Задачи этого блока решаются либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение
x2+x+=0
не имеет решений?
Решение.(Базовая задача 1).
При а=-5 уравнение не имеет смысла.
-
D= b2-4ac=1-4==.
Квадратное уравнение не имеет корней при D<0<0>0-7а+9=0;а=;
а;+∞).
Ответ:;+∞).
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
(3а-1)x2+2аx +3а-2=0
имеет два действительных различных корня?
Решение. (Базовая задача 2).
1. Если 3а-1=0, т. е. 3а=1; а=, то уравнение х+1-2=0; х-1=0имеет единственный корень.
-
При а≠=k2-ac=a2-(3a-1)(3a-2)= a2- 9a2+3a+6a-2=-8a2+9a-2,
квадратное уравнение имеет два различных корня, если >0,
-8а2+9а-2>0 8а2-9а+2<0, а1,2==.
Ответ:( ;)().
Пример 3. Найти все значения a, при которых уравнение
имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).
Решение: (Базовая задача 15).
Квадратное уравнение имеет один корень внутри интервала (M;A), а другой вне этого интервала тогда и только тогда, когда f(M)∙f(A)<0.
f(M)=f(1)=a-5, f(A)=f(7)=7+a,получим неравенство(a-5)(a+7)<0,решая его методом интервалов, получим: -7<a<5.
Ответ:-7<a<5.
Пример 4. При каких а уравнение имеет единственное решение?
Решение: естественно начать решение со случая, а = 0. Итак, если а = 0, то очевидно, что данное уравнение имеет единственное решение. Если же а 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 - 2а принимает значение, равное нулю, при а = .
Ответ: а = 0 или а = .
Пример 5. При каких а уравнение имеет более одного корня?
Решение: при а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант - положительный. Отсюда получаем: . Однако в полученный промежуток (- 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.
Ответ: или .
Пример 6. При каких значениях параметра b уравнение имеет:
а) два положительных корня;
б) два отрицательных корня;
в) единственный корень?
Решение:
если b 1, то
а) согласно теореме Виета , b (- ; - 1) ( - 1; + )
б) , решений нет
в) если b = 1, то -2х + 2 = 0
х = 1
b 1; .
Ответ: а) b (- ; - 1) ( - 1; + );
б) таких b не существует;
в) х = 1.
Пример 7. Решить уравнение x2 - bx + 4 = 0
Решение: D = b2 - 16.
а) если |b|> 4, т.е. b < - 4 и b > 4, то D >0 и уравнение имеет 2 корня
б) если |b|= 4, т.е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x = b/2
в) если |b|< 4, т.е. - 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет.
Ответ: если b < - 4 и b > 4, то 2 корня
если b = ± 4, то 1 корень x = b/2.
если - 4 < b < 4, то корней нет.
2. Модифицированные задачи
В задачах этого блока требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра. Они видоизменены за счёт:
-
Увеличения технической сложности и трудности
-
Переформулирование условия задачи и создания способов её решения
-
Необычной формы представления условия задачи
Пример 1. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты a, b , c уравнения
ax4+bx2+c=0
чтобы уравнение имело четыре различных действительных корня?
Решение. (Модифицированная задача 4)
Данное уравнение имеет четыре различных действительных корня тогда и только тогда, когда уравнение имеет два различных положительных корня. Это выполняется в том и только в том случае, когда выполняются условия b2-4ac>0, <0, >0.
Последние два условия равносильны следующим ab<0, ac>0.
Ответ:
Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых среди корней уравнения
ах2+x(а+4)+а+1=0
имеется ровно один отрицательный.
Решение. (Модифицированная задача 6).
1. При а=0 уравнение линейное 4х+1=0х=- - удовлетворяет условию задачи.
2. При а≠0 D=b2-4ac=(a+4)2-4a(a+1)=a2+8a+16-4a2-4a=-3a2+4a+16;
а) D=0-3a2+4a+16=0;3a2-4a-16=0;
a===.
Пусть а=, тогда х=
Пусть a=, тогда х= - удовлетворяет условию задачи.
б) Уравнение имеет корни разных знаков тогда и только тогда, когда ас<0, т.е. <0, a(-1;0).
в) Один из корней равен нулю, если c=0a+1=0,a=-1, тогда
-x2+3x=0, x2-3x=0, x(x-3)=0.
x2=3-не удовлетворяет условию задачи.
Ответ:(-1;0).
Пример 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
х2-(|а+5|-|а-5|)х+(а-12)(а+12)=0
имеет два различных отрицательных корня.
Решение. (Модифицированная задача 5).
Квадратное уравнение имеет два разных отрицательных корня, если
Рассмотрим систему из второго и третьего условий:
1.(a-12)(a+12)>0приa(-∞;-12)(12;+∞).
2. |a+5|-|a-5|<0.
Решив второе неравенство методом интервалов, получимa<0, решение системы неравенств: a(-∞;-12).
Решим систему:
(a+5)2-2|a-5||a+5| +(a-5)2-4a2+576>0;
a2+50-4a2+576-2(a2-25)=2a2-2a2-4a2+676=-4a2+676;
-4a2+676>0;a2-169<0; (a-13)(a+13)<0, отсюдаa(-13;-12)
Ответ:-13а<-12.
Пример 4.Найти все значения a , при которых уравнение
имеет два действительных корня и такие, что.
Решение.(Модифицированные задачи 6 и 11).
Квадратное уравнение имеет корни разных знаков, принадлежащие интервалу (-4; 4), тогда и только тогда, когда выполняются условия:
Решая систему, получаем .
Ответ:
Пример 5.Найти все значения a, при которых уравнение
имеет только целые корни.
Решение:
Пусть , тогда уравнение линейное: 3x+3=0, x=-1. Поэтому удовлетворяет условию задачи.
Пусть , тогда уравнение равносильно уравнению .
Если x1, x2- целые корни уравнения, то, по теореме Виета, их сумма -4-
их произведение 2a+4+3/a - целые числа, откуда следует, что их сумма, т.е. -целое число.
Пусть , где , тогда , причем - целое число. Отсюда следует, что n- делитель числа 6, т.е. n может принимать значения из множества чисел .
Проверка. При n=1 a=,уравнение x2+10x+11=0,корни иррациональные;
приn= - 1 a= - , уравнение x2 - 2x - 3=0, x1=-1, x2=3 - целые корни;
при n=2 a=1, x2+7x+9=0, корни иррациональные; при n=-2 a=-1, x2+x-1=0, корни иррациональные; при n=3 a=, x2+6x+9=0, x=-3-целый; при n=-3
a= - x2+2x -1=0- корни иррациональные.
Проверка показывает, что только при n=-1 и n=3 все корни являются целыми числами. Ответ:.
Пример 6. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения минимальна?
Решение.
По условию задачи уравнение имеет корни, значит .
.
. Это неравенство выполняется при любом значении m,
т. е. исходное уравнение при любом значении m имеет корни.
Если х1 и х2 - корни уравнения , то по теореме Виета , .
.
.
Из условия задачи следует, что нам необходимо узнать, при каком значении m квадратный трехчлен принимает наименьшее значение. Т. к. графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, то наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины параболы: .
Итак, сумма квадратов корней уравнения минимальна при .
Ответ: при .
Пример 7. При каком значении q один корень уравнения равен квадрату второго?
Решение: Если корни уравнения связаны соотношением , то по теореме Виета
.
Тогда , ,
;
; .
Ответ: ; .
Пример 8. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения
лежат по разные стороны числа от числа 3?
Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен . Графиком является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1).
Изобразим геометрическую модель задачи.
y
х1 3 x2 x
у(3)
Перейдем от геометрической модели к аналитической.
-
Замечаем, что у(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях D>0 автоматически.
Поэтому система неравенств будет содержать одно неравенство: у(3)<0, т.е. 9-6а-3+4-а<0, -7а<-10, а>.
Ответ:
3. Нестандартные задачи
Задачи для которых требуется найти все те значения параметра при которых указанная задача имеет заданное число решений. Они носят исследовательский характер. Их решение основывается на :
1.Методе выдвижения гипотез
2. Видения нового ракурса решения
3.Подключения новых идей и новых комбинаций
Пример 1. При каких значениях параметра а только больший корень квадратного уравнения принадлежит промежутку [-1;0).
Решение. Рассмотрим квадратный трехчленГрафиком является парабола. Ветви направлены вверх. Изобразим геометрическую модель задачи. Пусть х2 - больший корень уравнения. По условию задачи только больший корень принадлежит промежутку.
y(х)
y(0)
x1 -1 х2 0 х
y(-1)
Замечаем, что у(0)>0, а у(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях D>0.
Составим систему неравенств и решим ее.
Ответ: .
Пример 2. При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трёхчлена ?
Решение. Чтобы число 1 находилось между корнями квадратного трёхчлена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
.
,
,
.
+ - +
-1 2
-1 2 а
.
При число 1 находится между корнями квадратного трёхчлена .
Ответ: при .
Пример 3. Определите количество разных корней уравнения |х2-4х+3|=3а-2а2 в зависимости от параметра а.
Решение. В одной системе координат построим графики функций
f(x)=| х2-4х+3|; g(x)=3a-2a2=A-прямая; f(x)=;х2-4х+3≥0х2-4х+3<0;х2-4х+3=( х2-4х+4) -1=(x-2)2-1;(2;-1)
у=| х2-4х+3|
у=A
у=A
При А<0 корней нет;
При А=0 и при А>1 два корня;
При А(0;1)0<А<1 четыре корня;
При А=1 три корня.
1 случай. 3a-2a2<0 а(3-2а)<0; (-∞;0)(1,5;+∞)
2 случай. 3a-2a2=0;а=0 или а=1,5; 3a-2a2>12а2-3а+1<0
Это неравенство второй степени, решим его графически
2а2-3а+1=0; а1=1 или а2=0,5 (0,5;1).
3 случай. 0<3a-2a2<1
1)3a-2a2>0 2) 3a-2a2<1;
а(3-2а)>0 2а2-3а+1>0;
а1=0 или а2=1,5 а1=1 или а2=0,5;
(0;1,5) (-∞;0,5)(1;+∞)
(0;0,5)(1;+∞).
4 случай. 3а-2а2=1;а1=1 или а2=0,5
Ответ: если (-∞;0)(1,5;+∞) уравнение корней не имеет;
если (0;1)уравнение имеет два корня;
если а=1, а=0,5 уравнение имеет три корня;
Если а(0;0,5)(1;1,5) уравнение имеет четыре корня.
Пример 4. Определить значения параметра а, при которых уравнение
|(x+а)2-9|+2|х|-х2-2ах-а2+5=0 будет иметь наибольшее число корней.
Решение. Приведем уравнение к следующему виду:
2-9)=4-2 (*).
Рассмотрим два случая:
|(x+а)2-9|=
1 случай.
(x+а)2-902|х|-4=0|х|=2х=±2. Для того, чтобы найденные значения x являлись решениями уравнения (*) должны выполняться условия:
если х=2, (2+а)2-9≥0 (2+а)2≥9 |а+2|≥3ри а(-∞;-;+∞).
если х=-2,(а-2)2-9≥0 (а-2)2≥9 |а-2|≥3
(-∞;-;+∞).
2 случай.(x+а)2-9<0;то уравнение (*) будет иметь вид:
9-(x+a)2-(x+a)2+9=4-2(x+а)2=|х|+7;
у=|х|+7
у=(x+а)2
у=(x+а)2 у=(x+а)2
т.к. должно выполняться условие (x+а)2<9,то для существования корней должно быть и |х|+7<9,т.е. парабола y=(x-a)2 должна пересечь «угол»-y=2х. Это возможно только при а, причем решение при этих значениях a будет одно. При a=-1и a=5 получим x=-2; при a=-5иa=1получим x=2; при а(-5;-1)(1;5) решением будет некоторое число x(-2;2).
Сравнивая полученные решения в первом и втором случаях, имеем
при а(-1;1)-уравнение не имеет корней;
при а=-1 и а=1-уравнение имеет одно корень;
при а(-∞;-1)(1;+∞)-два корня;
Проиллюстрирую полученные выводы графически.
1.Пусть а(-1;1), например, a=0, уравнение (*) примет вид
y=|x2-9|-(x2-9)
y=-2|x|+4
Рисунок наглядно показывает, что при а(-1;1) корней нет.
2.Пусть а=-1, уравнение принимает вид 2-9)=4-2
y=│(x+1)2│-((x+1)2-9)
y=-2│x│+4
Уравнение имеет один корень x=-2.
3.Пусть а(-∞;-1),например, a=-2, получим уравнение
2-9)=4-2
y=│(x-2)2│-((x-2)2-9)
y=-2│x│+4
Уравнение имеет два корня: x1=-2, x2(-2;2)
Пусть а(1;+∞),например, a=5,получим уравнение
2-9)=4-2
y=│(x+5)2│-((x+5)2-9)
y=-2│x│+4
Из рисунка видно, уравнение имеет два корня:x1=-2,x2=2
Ответ: при а(-∞;-1)(1;+∞)-уравнение имеет два корня.
Пример 5. При каких значениях параметра а отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения ?
Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен Графиком является парабола. Геометрическая модель данной задачи представлена на рисунке.
х1 -1 0 3 x2 x
у(-1)
у(3)
При этих условиях D>0, так как ветви параболы направлены вверх.
Ответ: а .
Пример 6. При не равно . Найти а.
Решим двумя способами.
Решение.
Способ 1:
Пусть тогда
Корни имеют разные знаки, так как
Уравнение имеет корень, если
условие, когда
Ответ: .
Способ 2:
Пусть
функция возрастает, значит если имеет корень , то он единственный
При имеет решения, значит при
Не имеет корней.
Ответ: .
.
Литература
-
Родионов Е.М. Справочник для поступающих в вузы. Решение задач с параметрами.
-
Мордкович А.Г. «Алгебра 9 класс».
-
Семёнов А.В, Ященко И.В. ГИА - 2013; ГИА - 2014 «Математика».
-
Кузнецова Л.В. «Алгебра 9 класс» сборник заданий.
-
Лысенко Ф.Ф. Математика. Подготовка к ГИА - 2013
-
Макарычев Ю.Н. «Алгебра, учебник для 9 класса с углубленным изучением математики».