ГБОУ СПО ПТ № 13 им П.А.Овчинникова

Элементарная геометрия.

Планиметрия.

Учебное пособие.

Москва 2014

Макеева Е.С. Элементарная геометрия. Планиметрия: Учебное пособие для обучающихся технического направления

В учебном пособии представлен теоретический материал по элементарной геометрии на плоскости, рассмотрены примеры решения задач по различным разделам элементарной геометрии на плоскости. Предлагаются задачи для самостоятельного решения, в том числе, встречающиеся в ЕГЭ по математике, а также варианты контрольных работ.

Учебное пособие предназначено для обучающихся технического профиля.

Содержание.

Глава I. Треугольники.

§1. Треугольник ………………………………………………….. 4

§2. Прямоугольный треугольник ……………………………….. 9

§3. Равнобедренный треугольник …………………………….. 17

§4. Произвольный треугольник ………………………………. 23

Глава II. Четырехугольники.

§5. Параллелограмм …………………………………………… 32

§6. Трапеция ……………………………………………………. 40

Глава III. Окружность. Вписанные и описанные многоугольники.

§7. Окружность …………………………………………………. 49

§8. Вписанные и описанные треугольники …………………... 59

§9. Произвольное расположение окружности и

треугольника ……………………………………………….. 67

§10. Окружность и четырехугольник ………………..………. 71

Глава IV. Площади плоских фигур.

§11. Площадь треугольника ………………………………….. 80

§12. Площадь четырехугольника ……………………………. 88

§13. Площадь круга и его частей ……………………………. 97

Контрольная работа №1 …………………………..……………… 101

Контрольная работа №2 ………………………..………………… 103

Задачи из ЕГЭ ……………………………………...……………….. 105

Глава I. Треугольники

§1. Треугольник

Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно их соединяющих.

Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами.

Треугольник с вершинами А, В и С будем обозначать: АВС. Для элементов АВС введем следующие обозначения:

a, b и c - длины сторон ВС, СА и АВ;

,  и  - величины углов при вершинаx А, В, С.

По сравнительной длине сторон различают следующие виды треугольников:

- разносторонние, когда все стороны имеют разную длину (рис. 2);

- равнобедренные, когда две стороны имеют одинаковую длину

(рис.3);

- равносторонние, когда все стороны равны (рис. 4).

По величине углов различают следующие виды треугольников:

• остроугольные (рис. 5), когда все углы острые;

• прямоугольные (рис. 6), когда один из углов прямой;

• тупоугольные (рис. 7), когда один из углов тупой.

Главнейшие линии в треугольнике.

Одну из сторон треугольника иногда называют основанием, тогда вершину противоположного угла - вершиной треугольника.

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на основание или его продолжение, называется высотой треугольника (рис.8).

h - высота треугольника АВС, h - высота треугольника А₁В₁С₁

Рис.8.

Из вершины каждого угла треугольника можно опустить перпендикуляр на противоположную сторону или ее продолжение; следовательно, каждый треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке (ее называют ортоцентром треугольника).

Отрезок, соединяющий вершину какого-нибудь угла треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой (рис.9).

Рис.9

Каждую вершину треугольника можно соединить прямой с серединой противоположной стороны, следовательно, каждый треугольник имеет три медианы.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (ее называют центром тяжести или центроидом треугольника), и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины угла.

О

А

В

С

Отрезок прямой, делящей какой-нибудь угол треугольника пополам, называется биссектрисой (рис.10).

Рис.10

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую ему сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла треугольника.

ВК : КС = АВ : АС

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Сумма углов треугольника равна 180. Следовательно, в любом треугольнике хотя бы два угла острые.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

При каждом угле треугольника можно построить по два внешних угла (продолжив одну или другую сторону). Эти два угла равны, как вертикальные (рис. 11).

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

По сторонам треугольника можно определить вид треугольника. Пусть a, b и c - стороны треугольника, причем с - наибольшая сторона. Тогда:

1. если c² < a² + b², то треугольник остроугольный;

2. если c² = a² + b², то треугольник прямоугольный;

3. если c² > a² + b², то треугольник тупоугольный.

Равенство треугольников.

Два треугольника называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

Однако для того чтобы утверждать, что два треугольника равны, нет необходимости устанавливать равенства их элементов, достаточно убедиться в равенстве только некоторых из них.

Три признака равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть АВС и А₁В₁С₁ - треугольники, у которых А = А₁, АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, тогда АВС = А₁В₁С₁.

2. Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника, соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если в треугольниках АВС и А₁В₁С₁ СВ = С₁В₁, В = В_1, С = С₁, тоАВС = А₁В₁С₁.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁, следовательно АВС = А₁В₁С₁.

§2. Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие - катетами.

Рис.1.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Существует и другая формулировка теоремы Пифагора: сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника.

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (рис. 1):

- катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на синус данного угла:

;

- катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:

;

- катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс данного угла:

;

- катет, прилежащий углу , равен произведению второго катета на котангенс этого угла:

.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы.

Решить прямоугольный треугольник - значит, найти все его элементы, то есть длины сторон и величины острых углов.

Рис.2.

Таблица решений прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Верна и обратная теорема: если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

Рассмотрим свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла (рис.3).

1. 

2. ;

3. ,

где , - проекции катетов a и b на гипотенузу c; - высота, опущенная на гипотенузу.

Сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. Если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то эти треугольники равны;

2. Если катет и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого треугольника, то такие треугольники равны;

3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны;

4. Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого треугольника, то такие треугольники равны.

Задача 1. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 18 и 24 см.

Дано: АВС - прямоугольный (С = 90).

АС = 18 см,

ВС = 24 см,

ВК - биссектриса В,

АD - биссектриса А.

Найти: ВК, АD

Решение:

По свойству биссектрисы АD угла А треугольника АВС имеем:

.

По теореме Пифагора:; см.

 .

Катет , .

Отсюда получаем, что  см, тогда

см.

Из АCD - прямоугольного, находим:

, , см.

Аналогично находим см.

Ответ: см, см.

Задача 2. Катеты ВС и АС прямоугольного треугольника АВС продолжены за вершину прямого угла. На продолжении катета ВС отложена точка D так, что CD = AC, а на продолжении катета АС отложена точка Е так, что СЕ = ВС. Доказать, что медиана СМ треугольника АВС перпендикулярна отрезку DE.

Дано: АВС - прямоугольный,

С = 90, АС = СD, CE=BC,

СМ - медиана АВС.

Доказать: СМ  ЕD.

Доказательство:

- по свойству медианы, проведенной из вершины прямого угла. Следовательно,  СМА - равнобедренный.

По свойству углов при основании в равнобедренном треугольнике

.

(как вертикальные).

АВС = DCE (по двум катетам)  .

Из этих условий имеем, что , .

По теореме о сумме углов в СКD  СК  ED.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота CD. Точки M и N делят соответственно стороны АС и СВ в равных отношениях (начиная от концов А и С). Доказать, что треугольник DMN подобен данному треугольнику.

Дано: АВС - прямоугольный (С = 90).

CD - высота, ,

.

Доказать: MND  ABC.

Решение:

По условию задачи (1).

Из подобия треугольников ABC и ACD заключаем:

Из (1) ,.

Введем обозначения:

ADM = , MDC = ,   = t.

CDN = , NDB = , и используя равенство (1) получим  = t.

 + t = 90   =

Значит  =  и  = .

 + t = 90   =

NDM = NDC + CDM =  +  =  +  = 90  NDM = 90 (2)

MD и DN - соответствующие элементы в ADC и CDB  (3).

Из (2) и (3) получаем, что MND  ABC.

Задача 4. Доказать, что если высота и медиана, проведенные из одной вершины неравнобедренного треугольника, лежат внутри треугольника и образуют с его боковыми сторонами равные углы, то этот треугольник - прямоугольный.

Дано: АВС - неравнобедренный,

CK - высота,

CM - медиана,

.

Доказать: ACB = 90.

Решение.

Введем обозначения ABC = x, CK = h, ACK = BCM = .

Используя соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, имеем:

из ACK: AK = ; (1)

из CKM: KM = ; (2)

из CKB: KB =; (3)

AM = AK + KM (*);

BM = BK - KM (**)

Найдем разность равенств (*) и (**)

AK - BK + 2KM = 0.

Следовательно, 2KM = BK - AK

Подставив выражения (1), (2) и (3) для найденных отрезков, получим:

2 = - ;

;

;

 x = 90  ACB = 90.

Задачи для самостоятельного решения

1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы на 10 см. Найдите длину гипотенузы этого треугольника.

(Ответ: 50 см)

2. В прямоугольном треугольнике длины медиан острых углов и см. Найдите длину гипотенузы треугольника.

(Ответ: 14 см)

3. Длины катетов прямоугольного треугольника равны а и b. Найдите длину биссектрисы прямого угла этого треугольника.

(Ответ: )

4. В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузе АВ взяты точки Е и D так, что АЕ = АС; BD = BC. Доказать, что DСЕ равен 45 или 135.

5. Из середины гипотенузы восстановлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 2:5 (меньшая часть при гипотенузе). Определить этот угол.

(Ответ: )

6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит прямой угол в отношении 1:2 и равна m. Найти стороны треугольника.

(Ответ: m; m; 2m)

7. В прямоугольном треугольнике найти угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины острого угла, равного .

(Ответ:)

8. Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см, а высота, проведенная к гипотенузе равна 12 см. Найти стороны треугольника.

(Ответ: 15; 20; 25 см)

§3. Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Рис.1.

Свойство углов равнобедренного треугольника выражается следующей теоремой.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

На рис.1 в АВС А = В.

Справедлива и обратная теорема. (Признак равнобедренного треугольника).

Теорема 2. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике биссектрисы и медианы, проведенные из вершин углов при основании, равны.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике АВС (рис.1) одна и та же прямая CD обладает четырьмя свойствами: она есть биссектриса угла при вершине; медиана, проведенная к основанию; высота, опущенная на основание и перпендикуляр к основанию, восстановленный из его середины.

Задача 1. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а боковая сторона 18 см. К боковым сторонам проведены высоты. Вычислить длину отрезка, концами которого служат основания высот.

Дано: АВС,

АВ = ВС = 18 см, АС = 12 см,

ADBC, CFAB.

Найти: FD

Решение.

Из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора имеем: AD² = AB² - BD²

С другой стороны, из прямоугольного треугольника ADC:

AD² = AC² - DC²

Следовательно, AB² - BD² = AC² - DC²

Обозначим BD = х, тогда СD = 18 - х. Имеем,

18² - х² = 12² - (18 - х)²

324 - х² = 144 - ­­­324 + 36х -х²

36х = 504, х = 14.

Из подобия треугольников FBD и ABC следует, что ; ; (см)

Ответ: см.

Задача 2. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 4 см. Найти стороны треугольника, если его периметр равен 18 см.

Дано: АВС, АВ = ВС,

DE - средняя линия,

DE = 4 см, Р_АВС = 18 см.

Найти: АВ, ВС, АС

Решение.

, DE - средняя линия АВС. По теореме о средней линии треугольника имеем: DE = AC, AC = 2DE = 8 см.

Р_АВС = АВ + ВС + АС = 2AB + AC.

Отсюда, 2АВ = Р_АВС - АС,

2АВ = 18 - 8,

2АВ = 10см, ВС = АВ = 5 см.

Ответ: АС = 8 см, АВ = ВС = 5 см.

Задача 3. Тангенс угла между медианой и высотой, проведенными к боковой стороне равнобедренного треугольника, равен 1/2. Найти синус угла при вершине.

Дано: АВС, АВ = ВС,

АM - медиана, AD - высота,

tgMAD =

Найти: .

Решение.

Из прямоугольного треугольника АВС: .

AB² = AD² + BD² (по теореме Пифагора),

BD = BM DM(знаки зависят от расположения точки D относительно точек В и М).

Из прямоугольного треугольника АDМ: DМ = АDtgМАD = АD,

ВМ = АВ  АВ² = АD² +

,

4АВ² = 4АD² + АВ² + АD² 2АВАD,

5АD² - 3АВ² 2АВАD = 0.

Разделим обе части последнего равенства на :

 5sin²B 2sinB - 3 = 0 

Ответ: 1 или .

Задача 4. В равнобедренном треугольнике основание равно 8, высота к основанию равна 3. Найти расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис треугольника.

Дано: АВС, АВ = ВС, АС = 8,

BDAC, BD = 3,

O - точка пересечения

медиан АВС,

М - точка пересечения

биссектрис АВС.

Найти: МО

Решение.

В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой. Точка О  BD. По свойству медиан треугольника ВО:ОD = 2:1, т. е. ВО = ВD = 2.

Биссектриса АК угла А пересекает высоту ВD в точке М. АМ - биссектриса угла А в треугольнике АВD. По свойству биссектрисы угла треугольника имеем .

Так как АD = АС = 4 и , то

, значит .

MD = BD - BМ. Отсюда находим: .

Найдем искомое расстояние ОМ: ОМ = ВО - ВМ = .

Ответ: .

Задача 5. Доказать, что треугольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой.

Дано: АВС,

ВМ - медиана и биссектриса

Доказать: АВС - равнобедренный.

Доказательство.

ВМ - медиана АВС: АМ = МС.

На продолжении биссектрисы ВМ отложим

отрезок МD, равный ВМ.

АВМ = СDМ (по первому признаку:

углы при вершине М равны как вертикальные и

АМ = МС, ВМ = МD).

Из равенства треугольников следует: СD = АВ и СDМ = АВМ.

Но ABM = CBM  СDМ = CBM, т. е. в треугольнике ВСD углы при основании равны  ВСD - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника): ВС = СD.

Имеем: СD = АВ и СD = ВС  АВ = ВС  АВС - равнобедренный.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Длина основания равнобедренного треугольника равна а, а величина угла при вершине - . Найдите длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне.

(Ответ: )

2. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной длины 4 см проведена медиана к боковой стороне. Найдите длину основания треугольника, если длина медианы равна 3 см.

(Ответ: см)

3. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании в 3 раза больше косинуса угла при вершине. Найдите синус угла при основании.

(Ответ: )

4. Длина двух сторон равнобедренного треугольника и длина высоты, опущенной на основание, образуют геометрическую прогрессию. Найти тангенс угла при основании треугольника, если известно, что он больше 2.

5. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) медиана АD и биссектриса СЕ перпендикулярны. Определить величину угла АDВ.

6. Основание равнобедренного треугольника 12 см, а боковая сторона 18 см. К боковым сторонам проведены высоты. Вычислите длину отрезка, концами которого служат основания высот.

(Ответ: )

7. Основание равнобедренного треугольника 12 см, а боковая сторона 18 см. К боковым сторонам проведены биссектрисы. Вычислите длину отрезка, концами которого служат основания биссектрис.

(Ответ: 7.2 см)

8. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 36, а основание равно а. Найти боковые стороны треугольника.

(Ответ: )

9. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) на стороне ВС взята точка D так, что BD:DC = 1:4. Найти ВМ:МЕ, где ВЕ - высота треугольника, а М - точка пересечения ВЕ и АD.

(Ответ: 1:2)

10. В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен 110. Внутри треугольника взята точка М так, что МАС = 30, МСА = 25. Найти угол ВМС.

(Ответ: 85)

§4. Произвольный треугольник

Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащих вершинам А, В и С, обозначим a, b и c, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем коротко можно записать так:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

,

где R - радиус окружности, описанной около треугольника.

Теорема Чевы: пусть в треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и АС взяты соответственно точки D, E, F.

Для того чтобы прямые AE, BF и CD пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Решить треугольник - значит, найти длины всех его сторон и величины всех углов.

При решении разносторонних треугольников следует помнить:

1. расчетное значение ;

2. расчетное значение ;

причем, если , то угол острый, и в теореме косинусов

ставится знак «-»; если , то угол тупой, и в теореме

косинусов ставится знак «+»;

3. при переходе от sin к cos следует помнить, что: , и в этом случае задача может иметь два решения.

Таблица решений разностороннего треугольника.

Задача 1. В треугольнике АВС точки M и N лежат на сторонах АВ и АС, при этом ВМ = MN = NC. Найти отношение MN:BC, если АС:АВ = 3:2, и угол А равен 60.

Дано: АВС,

МАВ, NАС,

BM = MN = NC,

АС:АВ = 3:2, А = 60

Найти: MN:BC.

Решение.

Обозначим MN = х, АВ = 2а, тогда

АС = 3а, АМ = 2а - х, АN = 3а - х.

Применим теорему косинусов к треугольнику АMN, получим: , то есть

.

Решая это уравнение, находим .

По теореме косинусов к треугольнику АВС, выразим сторону ВС

через а: .

Теперь находим .

Ответ: MN:ВС = :5.

Задача 2. На стороне ВС правильного треугольника АВС лежит точка D, ВМАD и CNAD. Найти сторону треугольника АВС, если AD = и АМ:АN = 5:4.

Дано: АВС, АВ = ВС = АС,

DBC, BMAD,

CNAD, AD = ,

AM:AN = 5:4

Найти: АВ.

Решение.

Обозначим сторону треугольника АВ = АС = ВС = х, BAD = , тогда .

Из прямоугольного треугольника АВМ имеем:

Из прямоугольного треугольника АВN имеем: .

Отсюда .

Используя формулу косинуса разности двух углов

придем к уравнению .

Значит .

Рассмотрим АВD: ADB = 120 - . По теореме косинусов

;

.

Так как

;

,

то .

Находим теперь х = 3.

Ответ: 3.

Задача 3. Через точку D, взятую на стороне АВ треугольника АВС, проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону ВС в точке Е. Доказать, что АЕ, СD и медиана, проведенная через вершину В, пересекаются в одной точке.

Дано: АВС, DAB, EBC, DE || AC,

BM₁ - медиана.

Доказать: АЕ∩CD∩BM₁ = O.

Доказательство.

Пусть AE∩CD = O. Проведем через точку О отрезок ВМ₁ и докажем, что ВМ₁ - медиана.

Проведем через точку О отрезок MN || AC. Тогда DOM  DCA  .

Аналогично, EON  EAС  .

Но (теорема Фалеса)   OM = ON 

AM₁ = M₁C, так как , что и требовалось доказать.

II способ.

AC || DE (по условию задачи) 

BDE = BAC, BED = BCA, B - общий. Следовательно АВС  DВЕ (по третьему признаку).

Из подобия треугольников имеем:

 ;

(1)

Так как ВМ - медиана треугольника АВС, то АМ = МС (2)

Из (1) и (2) получим .

Таким образом, по теореме Чевы прямые АЕ, DC и ВМ пересекаются в одной точке, так как они не параллельны.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В АВС величина угла А вдвое больше величины угла В, а длины сторон, противолежащих этим углам, равны соответственно 12 и 8 см. Найти длину третьей стороны треугольника.

(Ответ: 10 см)

2. В треугольнике АВС из вершины В проведены высота треугольника BD и биссектриса треугольника ВЕ. Известно, что длина стороны АС = 1, а величины углов ВЕС, АВD, ABE, BAC образуют арифметическую прогрессию. Найти длину стороны ВС.

(Ответ: 0,5)

3. Найти биссектрису угла ВАС треугольника АВС, если АВ = с, АС = b, BAC = .

(Ответ: )

4. В треугольнике АВС дано: ACB = 60, ABC = 45. На продолжении АС за вершину С берется точка К так, что |AC| = |CK|. На продолжении ВС за вершину С берется точка М так, что треугольник с вершинами С, М и К подобен исходному. Найти ВС:МК, если известно, что СМ:МК < 1.

(Ответ: )

5. В треугольнике АВС высоты СD = 7 и АЕ = 6. Точка Е делит сторону ВС так, что ВЕ:ЕС = 3:4. Найти длину стороны АВ.

(Ответ: 2)

6. В треугольнике АВС длина стороны АС равна b, длина стороны ВА равна с, а биссектриса внутреннего угла А пересекается со стороной ВС в такой точке D, что DA = DB. Найти длину стороны ВС.

(Ответ: )

7. Воспользовавшись теоремой Чевы, доказать, что:

   1. медианы треугольника пересекаются в одной точке;

   2. биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

   3. высоты треугольника пересекаются в одной точке.

8. Доказать, что во всяком треугольнике ортоцентр, центроид и центр описанной окружности лежат на одной прямой (прямая Эйлера).

9. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки длиной 2 и 4 см, а высота, проведенная к той же стороне, равна см. Найти стороны треугольника и определить его вид.

(Ответ: 6 см, см, см или 4, 6, 8 см)

Глава II. Четырехугольники

§5. Параллелограмм

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Точки А, В, С и D - вершины параллелограмма (рис.1). Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. (А и С, В и D - противолежащие вершины).

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами (АВ и СD, АD и ВС - противолежащие стороны параллелограмма).

Теорема (признак параллелограмма).

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Отметим свойства параллелограмма:

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;

2. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны;

3. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником (рис. 2).

Диагонали прямоугольника равны.

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 3).

Свойства диагоналей ромба:

1. 1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

2. 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

3. Ромб, как параллелограмм специального вида, обладает всеми свойствами параллелограмма.

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 4).

Свойства квадрата.

Так как стороны квадрата равны, то он является также и ромбом. Следовательно, квадрат обладает свойствами и прямоугольника, и ромба.

1. У квадрата все углы прямые.

2. Диагонали квадрата равны.

3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Задача 1. Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на диагональ, делит диагонали на отрезки 6 и 15 см. Найти стороны и диагонали параллелограмма, если известно, что разность сторон равна 7 см.

Дано: ABCD - параллелограмм,

BHAC; AH = 6 см;

HC = 15 см.

AD - AB = 7 см.

Найти: АВ, AD, AC, BD.

Решение:

Из прямоугольного треугольника ABH, по теореме Пифагора, имеем:

BH² = AB² - AH² ; BH² = AB² - 36 (1)

Из прямоугольного треугольника BCH по теореме Пифагора:

BH² = BC² - HC² ; BH² = BC² - 225 (2)

Из (1) и (2) получим: AB² - 36 = BC² - 225.

Учитывая то, что BC = AB + 7, находим AB = 10 см, BC = 17 см.

Из свойства параллелограмма, следует AC = AH + HC = 21 см.

AC² + BD² = 2AB² + 2AB² + 2BC²,

откуда BD = см.

Ответ: AB = 10 см, BC = 17 см, AC = 21 см, BD = см.

Задача 2. В параллелограмме со сторонами a и b (a > b). Проведены биссектрисы внутренних углов. Определить вид четырехугольника, образовавшегося при пересечении биссектрис, и найти длины его диагоналей.

Дано: ABCD - параллелограмм,

AB = b;

AD = a

Найти: MK, NL;

определить вид MNKL

Решение:

ABCD - параллелограмм  A + B =180.

АЕ - биссектриса A  BAE = EAD = A;

BQ - биссектриса B  ABQ = QBC = B.

Рассмотрим АВМ: BAM + ABM = A + B = (A + B) = 90. Следовательно, AMB = 90.

BEA = EAD - как углы при параллельных и секущей.

Аналогично доказывается, что

BCF =CDF,

BCF = BEA

 EA || CF,

EAD = CFD

Таким образом доказывается, что BQ || ZD и MNKL - параллелограмм, M = K = 90  MNKL - прямоугольник.

MK = LN = a - b.

Задача 3. Точка K - середина AD прямоугольника ABCD. Найти угол между BK и диагональю AC, если AB = .

Дано: ABCD - прямоугольник,

AD:AB = ,

AK = KD.

Найти: AMK.

Решение.

Положим AB = a, тогда AD = a. Выразим через a все стороны треугольника AMK.

AO и BK - медианы треугольника ABD.

Значит, MK =, .Имеем

,

.

В треугольнике АМК: , , .

По теореме косинусов

, где х = AMK.

, откуда  AMK = 90.

Ответ: AMK = 90.

Задача 4. Дан параллелограмм, в котором величина острого угла равна 60. Найдите отношение длин сторон параллелограмма, если отношение квадратов длин диагоналей равно 1/3.

Дано: АВСD - параллелограмм,

BAD = 60,

.

Найти: АВ:AD.

Решение.

Пусть АВ = а, AD = b, BD = d₁, AC = d₂.

Тогда , но по условию , поэтому

, то есть .

По теореме косинусов из треугольника ABD имеем:

,

, .

Следовательно, ,

, ,

.

Получим систему

Решение этой системы a = b =, то есть a:b = 1.

Итак, мы получили, что AB:AD = 1.

Ответ: 1.

Задача 5. Высота ромба делит его сторону на отрезки m и n. Найти диагонали ромба.

Дано: ABCD - ромб,

AHBC, BH = m, HC = n.

Найти: AC, BD.

Решение.

По условию ABCD - ромб, поэтому

AB = BC = CD = AD = m + n.

Из прямоугольного треугольника AHC находим:

,

а из прямоугольного треугольника AHB: .

Приравнивая правые части этих равенств, получим

,

,

, .

Из ВОС - прямоугольного, находим:

,

.

Следовательно .

Ответ: ; .

Задачи для самостоятельного решения

1. В ромбе ABCD точки M и N - середины сторон BC и CD соответственно. Найдите угол MAN, если угол BAD равен 60.

(Ответ: )

2. В квадрате ABCD точка М - середина ВС, а О - точка пересечения DM и АС. Найдите величину угла МОС.

(Ответ: )

3. Параллелограмм с периметром 44 см разделен диагоналями на четыре треугольника. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 6 см. Определите длины сторон параллелограмма.

(Ответ: 14 см, 8 см)

4. Длины диагоналей ромба и длина его стороны образуют геометрическую прогрессию. Найти синус угла между стороной ромба и его большей диагональю, если известно, что он больше 0,5.

(Ответ: )

5. В параллелограмме ABCD точки Е и F лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, М - точка пересечения прямых AF и DE, причем АЕ = 2ВЕ, а BF = 3CF. Найти численное значение отношения АМ:МF.

(Ответ: 4:5)

6. Стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см; биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найти каждую из них.

(Ответ: 3, 2, 3 см)

7. В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и AD отрезки ВЕ = 2 м и AF = 2.8 м. Определить стороны ВС и AD.

(Ответ: 4.8 м)

8. В параллелограмме ABCD высота, которая проведена из вершины В, делит основание AD пополам. Определить диагональ ВD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма содержит 3.8 м и превышает периметр треугольника ABD на 1 м.

(Ответ: AD = BC = 1 м, АВ = ВD = CD = 0.9 м)

9. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит ее в отношении 1:3. Определить длину диагонали, если известно, что точка ее пересечения с другой диагональю удалена от большей стороны на 2 м.

(Ответ: 8 м)

10. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие - на катетах. Определить стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.

(Ответ: 25 и 10 см; или 18.75 и 7.5 см)

11. В прямоугольном треугольнике прямой угол разделен пополам; из точки пересечения биссектрисы и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Доказать, что четырехугольник, образованный этими прямыми и катетами, есть квадрат.

12. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определить стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.

(Ответ:4 м и 8 м)

13. Две высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла, раны соответственно p и q, угол между ними равен . Найти большую диагональ параллелограмма.

(Ответ: )

14. Диагональ прямоугольника делит его угол в отношении m:n. Найти отношение периметра прямоугольного прямоугольника к его диагонали.

(Ответ: )

15. В прямоугольнике ABCD основание AD разделено точками М и Р на три равные части. Доказать, что сумма углов АМВ, АРВ, и ADB равна 90, если известно, что AD = 3AB.

16. Стороны параллелограмма относятся как p:q, а диагонали как m:n. Найти углы параллелограмма.

(Ответ: )

17. Отношение периметра параллелограмма к его большей диагонали равно k. Найти углы параллелограмма, если известно, что большая диагональ делит угол параллелограмма в отношении 1:2.

(Ответ: )

18. Дан квадрат ABCD. Через центр этого квадрата проведены взаимно перпендикулярные прямые, отличные от прямых АС и BD. Доказать, что фигуры, отрезанные этими прямыми от квадрата, равны.

§6. Трапеция

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией (рис. 1).

Параллельные стороны AD и ВС называются основаниями трапеции. Две другие стороны: АВ и CD называются боковыми сторонами трапеции.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной (рис. 2).

Трапеция, у которой один из углов прямой, называется прямоугольной (рис. 3).

У трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых, содержащих основания трапеции, и секущей, содержащей боковую сторону).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции обладает следующими свойствами:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме;

2. Средняя линия делит высоту трапеции на два равных отрезка.

Напомним свойства трапеции, которые часто используются для решения задач:

1. Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника с общей вершиной.

2. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны, лежат на одной прямой (рис. 4).

3. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 5).

4. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии этой трапеции (рис. 6).

5. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 7).

6. В равнобокой трапеции высота опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой - их полусумме. (рис. 8)

7. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 9).

8. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основанием и равен полуразности оснований (рис. 10).

9. Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований.

Приведенные рисунки напоминают доказательства этих свойств.

Задача 1. В трапеции с основаниями a и b через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между боковыми сторонами трапеции.

Дано: ABCD - трапеция,

AD = b, BC = a,

AC∩BD = O,

OKL, KL || AD.

Найти: KL.

Решение.

По условию задачи KL || AD, и, следовательно, ABDКВО, а АВСАКО. Так как в подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам, на которые они опущены, то

, .

 .

 .

Аналогично, из подобия треугольников:

DOL~DBC, OCL~ACD, находим .

Следовательно, .

Ответ: .

Задача 2. непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного продолжениями диагоналей, если длины оснований трапеции равны a и b.

Дано: ABCD - трапеция,

AD = a, BC = b,

AB∩CD = K, KMN,

MN || BC,

BD∩KN = M,

AC∩KM = N.

Найти: MN.

Решение.

Рассмотрим BCL и DAL. У них CBL = LDA, как углы при параллельных прямых AD и ВС и секущей АС, следовательно BCL  DAL.

Из подобия имеем   .

Аналогично, из подобия треугольников КВС и KAD (по двум углам), имеем

  .

KNC ~ DAC

(KCN = ACD - как вертикальные, KNC = CAD - как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых KN, AD и секущей AN).

Из подобия треугольников  .

Перемножая пропорции и , получим   .

Но из подобия треугольников LNM и LCB:  , откуда .

Если бы было , то при вычислениях их роли поменялись, и мы получили бы . Значит,

Ответ: .

Задача 3. Диагонали трапеции равны и взаимно перпендикулярны, высота равна 15 см. Найти длину средней линии трапеции.

Дано: ABCD - трапеция,

AC = BD, BDAC,

KH = 15 см,

MN - средняя линия.

Найти: MN.

Решение.

По условию задачи АС = BD, следовательно АВСD - равнобедренная трапеция. По свойству равнобедренной трапеции

BAD =CDA.

АВС =DCB по трем сторонам

(АВ = CD, ВС - общая сторона, АС = ВD).

Из равенства треугольников имеем: BAC = CDB.

А так как BAD =CDA, то CAD = BDA.

Но BDA = CBO, а BCA = CAD (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущей BD).

Следовательно, ВОС и АОD - равнобедренные, прямоугольные (O = 90).

ОК - высота ВОС  ОК - медиана, опущенная из вершины прямого угла  ; аналогично .

 см.

Ответ: 15 см.

Задача 4. Через точку О пересечения диагоналей равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC) со взаимно перпендикулярными диагоналями проведена прямая МК, перпендикулярная к стороне CD (точка М лежит на АВ, точка К - на CD). Найти МК, если AD = 40 см, ВС = 30 см.

Дано: ABCD - трапеция,

AC = BD,

АСBD, МКCD,

OMK, O = AC∩BD,

AD = 40 см, ВС = 30 см.

Найти: МК.

Решение.

По условию задачи AOD - прямоугольный, так как АСВD   .

Аналогично, ВОС - прямоугольный (ВООС) 

.

По условию задачи ОКСD, ОСОD  ОК - высота, опущенная из вершины прямого угла. Значит, .

Найдем отрезки СК и КD.

из прямоугольного треугольника СОD

 .

.

 .

По признаку равенства прямоугольных треугольников

АОВ = DОС, так как АВ = СD и BAO = CDO.

В АОВ из вершины О опустим перпендикуляр ОР на гипотенузу АВ. В треугольнике АОВ:

ВОР = ОАВ (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами);

ВОР = СОК (как соответствующие углы в равных прямоугольных треугольниках);

СОК = МОА (как вертикальные).

Следовательно, ВАО = МОА.

Значит АМО - равнобедренный и АМ = МО,

.

(см).

Ответ: см.

Задачи для самостоятельного решения

1. В равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC) расстояние от вершины А до прямой СD равно длине боковой стороны. Найдите величины углов трапеции, если АD:ВС = 5:1.

(Ответ: )

2. В прямоугольной трапеции отношение длин оснований равно 4, а отношение длин диагоналей равно 2. Найдите величину острого угла трапеции.

(Ответ: arctg(2/3))

3. Дана равнобедренная трапеция АВСD. Известно, что АD = 10 см, ВС = 2 см, АВ = СD = 5 см. Биссектриса угла ВАD пересекает луч ВС в точке К. Найдите длину биссектрисы угла АВК в треугольнике АВК.

(Ответ: см)

4. Длина диагонали ВD трапеции АВСD равна m, а длина боковой стороны АD равна n. Найдите длину основания СD, если известно, что длины основания, диагонали и боковой стороны трапеции, выходящих из вершины С, равны между собой.

(Ответ: )

5. В трапеции углы при одном из оснований имеют величины 20 и 70, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 2. Найдите длины оснований трапеции, если длина средней линии этой трапеции равна 4.

(Ответ: 2 и 6)

6. В равнобедренной трапеции основания равны a и b, а угол диагонали с основанием равен . Найти длину отрезка, соединяющего точку пересечения диагоналей с серединой боковой стороны трапеции.

(Ответ: )

7. Сумма острых углов трапеции равна 90, высота равна 2 см, а основания - 12 и 16 см. Найти боковые стороны трапеции.

(Ответ: см)

8. В трапеции АВСD (АD - большее основание) диагональ АС перпендикулярна к стороне СD и делит BAD пополам; CAD = 60; периметр трапеции - 2 м. Определить АD.

(Ответ: 0.8 м)

9. В прямоугольной трапеции АВСD острый угол АDС = 45 и сторона АD = а. Из середины Е стороны СD проведен к ней перпендикуляр, который встречает продолжение стороны ВА в точке F. Найти длину BF.

(Указание: продолжить EF до пересечения с продолжением ВС)

10. Прямые, которым принадлежат боковые стороны трапеции, перпендикулярны. Доказать, что длина отрезка, концами которого являются середины оснований трапеции, равна полуразности оснований.

11. Один из углов трапеции равен 30, боковые стороны перпендикулярны. Найти меньшую боковую сторону трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований 8 см.

(Ответ: 2 см)

12. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом ее основании и равны 13 и 15. Найти стороны трапеции, если ее высота - 12.

(Ответ: 12.5; 19.4; 31.9; 14)

Глава III. Окружность.

Вписанные и описанные многоугольники.

§ 7. Окружность.

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности (рис. 1).

Расстояние от окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром (рис. 1).

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Хорды обладают следующими свойствами:

1. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде;

2. Равные хорды окружности равноудалены от ее центра; равноудаленные от центра окружности хорды равны.

Длина окружности радиуса R вычисляется по формуле:

.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре (рис.2).

Дугой называется часть окружности (рис. 2). Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла АВ = АОВ. Длину дуги в п можно вычислить по формуле:

.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность (рис. 2).

Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

.

Свойства углов, вписанных в окружность:

1. Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 3).

C₁ = C₂ = C₃ = C₄.

2. Углы, опирающиеся на диаметр, - прямые.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной (рис. 4). Данная точка окружности называется точкой касания.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (рис. 4).

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 5, 6).

Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис.5). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 6).

Свойства линий в касающихся и пересекающихся окружностях:

1. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания (рис. 5, 6).

2. Общая внутренняя касательная двух внешним образом касающихся окружностей перпендикулярна их линии центров (рис. 6).

3. Общая внутренняя касательная двух внутренним образом касающихся окружностей перпендикулярна их линии центров (рис. 5).

4. Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их линии центров и делится точкой их пересечения пополам.

Рассмотрим свойства касательных, хорд, секущих окружности.

Свойство 1. (свойство касательных).

Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны, и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 7).

АМ = AN, МАО = NАО.

Свойство 2. (угол между касательной и хордой).

Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной мере дуги, заключенной между его сторонами (рис. 8).

; .

Из этого свойства следует важная теорема «о касательной и секущей», которая часто используется при решении задач.

Теорема.

Если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек ее пересечения с окружностью (рис. 9).

МА² = МВМС.

Свойство 3. (свойство пересекающихся хорд)

Если хорды АВ и СD пересекаются в точке М (рис. 10), то .

Свойство 4. (свойство секущих)

Если из точки М к окружности проведены две секущие МВ и МD (рис. 11), то .

Задача 1. Две окружности касаются внешним образом в точке А. Найти радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку А с точками касания одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8 см.

Дано: окружности S(O₁) и S(O₂)

касаются внешним образом,

А - точка касания,

ВС - общая касательная,

В, С - точки касания,

АВ = 8 см, АС = 6 см.

Найти: АО₁, АО₂.

Решение.

Проведем касательную l к окружностям S(O₁) и S(O₂) в точке А,

l∩ВС = D.

Тогда DA = DB (как отрезки касательных, проведенных к окружности S(O₁) из точки D), и DA = DC  ВАС = 90 (медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы).

,

.

AO₂C = 180 - ADC = BDA  ABDАСО₂ - по двум углам, так как AO₂C = BDA, BAD = CАО₂.

Из подобия треугольников следует:



Аналогично .

Ответ: см, см.

Задача 2. Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Определить радиус окружности, касающейся этих окружностей и их общей внешней касательной.

Дано: S₁(O₁, R), S₂(O₂, r),

S₃(O₃, O₃K)

MN - общая касательная

окружностей S₁, S₂

Найти: O₃K.

Решение.

К - точка касания S₃(O₃) и касательной MN. Через точку O₃ проведем прямую LP || MN (L = LP∩O₁M, P = LP∩NO₂),

PKO₁M, PKO₂N, PKO₃K.

Пусть радиус окружности S₃ равен х. Рассмотрим прямоугольный треугольник O₁LO₃: O₁O₃ = R + х, O₁L = R - х.

По теореме Пифагора

.

Аналогично, из прямоугольного треугольника O₂РO₃ находим

O₃Р = 2.

Проведем прямую SO₂ || MN и рассмотрим прямоугольный треугольник O₁SO₂: O₁O₂ = R + r, O₁S = R - r.

По теореме Пифагора находим .

SO₂ = LP, как отрезки параллельных прямых LP и SO₂ заключенных между параллельными прямыми МО₁ и NO₂.

SO₂ = LP = LO₃ + O₃P





 .

Ответ: .

Задача 3. Из внешней точки к окружности проведены секущая длиной 48 см и касательная, длина которой составляет от внутреннего отрезка секущей. Найти радиус окружности, если известно, что секущая удалена от центра на расстояние 24 см.

Дано: окружность S(О),

AD - секущая, AD = 48 см,

АВ - касательная,

В - точка касания,

АВ = СD,

ОК AD, ОК = 24 см.

Найти: R.

Решение.

По теореме о секущей и касательной 

, .

Имеем . Обозначим

; .

Решая квадратное уравнение, получим х = 36, DC = 36,

АС = 48 - 36 = 12, АВ = 36 = 24.

Из прямоугольного треугольника ODK:

.

Ответ: 30 см.

Задача 4. В окружности проведены 3 хорды: МА = 6 см, МВ = 4 см, МС = 1 см. Хорда МВ делит АМС пополам. Найти радиус окружности.

Дано: окружность,

МА, МВ, МС - хорды,

МА = 6 см, МВ = 4 см,

МС = 1 см,

АМВ = ВМС.

Найти: R.

Решение.

По условию АМВ = ВМС  АВ = ВС  центральные углы, опирающиеся на эти дуги, равны, то есть АОВ = ВОС.

ОА = ОВ = ОС - как радиусы окружности  АОВ = ВОС (по двум сторонам и углу между ними)  АВ = ВС.

Обозначим АМВ = , тогда АОВ = 2.

Из АМС и ВМС по теореме косинусов имеем:

.

Вычитая из первого равенства второе, получим:

 .

Тогда   .

Из АОВ по теореме косинусов

 

Ответ: см.

Задача 5. Н а окружности взяты четыре точки. Доказать, что прямые, соединяющие середины противолежащих дуг, взаимно перпендикулярны.

Дано: окружность S(О),

А, В, С, D  S(О),

AK = KB, BL = LC,

CM = MD, DN = NA.

Доказать: KM  LN.

Доказательство.

Пусть точки K, L, M, N - середины дуг АВ, ВС, СD, DА.

,



.

Задачи для самостоятельного решения

1. В круге радиуса 12 см длина хорды АВ равна 6 см, а хорды ВС - 4 см. Найдите длину хорды, соединяющей концы дуги АС.

(Ответ: см)

2. На сторонах АВ и АС угла ВАС равного 2/3, как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть двух образованных полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если АВ = 4, АС = 2.

(Ответ: )

3. В окружности радиуса r проведена хорда длины r/2. Через один конец хорды проведена касательная к этой окружности, а через другой - секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей.

(Ответ: r/8)

4. Через концы дуги окружности, содержащей 120, проведены касательные и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Вычислите длину этой окружности, если радиус исходной окружности равен R.

(Ответ: 2R/3)

5. Две окружности радиусов R и r касаются внешне в точке С. К ним проведена общая внешняя касательная АВ, где А и В - точки касания. Вычислите длины сторон треугольника АВС.

(Ответ: , , ).

6. Даны две внешним образом касающихся окружности радиусов R и r. Найти длину отрезка внешней касательной, заключенной между точками касания.

(Ответ: )

7. Две окружности, радиусы которых равны 4 и 8, пересекаются под прямым углом. Определить длину их общей касательной.

(Ответ: 8)

8. Две окружности радиусов 5 и 3 см касаются внутренним образом. Хорда большей окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в отношении 3:1. Найти длину этой хорды.

(Ответ: 8)

9. Две окружности радиусов R и r касаются внешне в точке А. На окружности радиуса r взята точка В, диаметрально противоположная точке А, и в этой точке построена касательная l. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных окружностей и прямой l.

(Ответ: , R + r)

10. Две окружности пересекаются в точках А и В. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой l, которая пересекает окружности соответственно в точках С, D, Е и М. Доказать, что сумма углов DВЕ и САМ равна 180.

11. Две равные окружности внешне касаются друг друга и третьей окружности, радиус которой равен 8 см. Отрезок, соединяющий точки касания двух равных окружностей с третьей, равен 12 см. Найти радиусы равных окружностей.

(Ответ: 24 см)

12. В окружности с центром О проведены две перпендикулярные хорды АВ и СD, пересекающиеся в точке М. Доказать, что середины хорд АС и ВD, точка М и центр данной окружности являются вершинами параллелограмма.

13. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке А. Их общая касательная касается первой окружности в точке В, а второй в точке С. Прямая, проходящая через точки А и В пересекает вторую окружность в точке С. Прямая, проходящая через точки А и В пересекает вторую окружность в точке D. Известно, что АВ = 5, АD = 4. Найдите СD.

14. Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Прямая l пересекает окружности в точках А, В, С и D так, что АВ = ВС = СD. Найти АD.

15. В окружности даны две хорды: АВ = а, АС = b. Длина дуги АС вдвое больше длины дуги АВ. Найти радиус окружности.

16. АВ и СD - взаимно перпендикулярные пересекающиеся хорды полуокружности радиуса R. Доказать, что .

17. В окружности пересекающиеся хорды АВ и СD перпендикулярны, АD =5, ВС = 11. Найдите радиус окружности.

§ 8. Вписанные и описанные треугольники

Треугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в окружность, а окружность, называется описанной около треугольника (рис. 1).

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 1).

Радиус R описанной около треугольника окружности, вычисляется по формуле

или по формуле

,

где a, b, c - стороны треугольника; , ,  - углы треугольника, лежащие против этих сторон соответственно; S - площадь треугольника.

Окружность, касающаяся всех сторон треугольника, называется вписанной в треугольник (рис. 2).

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника (рис. 2).

Радиус вписанной в треугольник окружности вычисляется по формуле , где - полупериметр треугольника.

Задача 1. Высота и медиана треугольника, проведенные внутри него из одной его вершины, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Определить радиус описанной окружности, если медиана равна т.

Дано: АВС,

ВМ - медиана, ВК - высота,

ВМ = т, ABK = CBM.

Найти: R.

Решение.

Продолжим медиану ВМ до пересечения с окружностью, описанной около АВС, в точке D.

Тогда, CAD = CBD (как вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну дугу DС) 

BAD = CAD + BAC = ABK + BAC = 90  ВСD = 180  BD - диаметр.

А так как центр, описанной около треугольника окружности, является точкой пересечения серединных перпендикуляров, серединный перпендикуляр к стороне АС АВС пересекает диаметр BD в точке М, то М - центр окружности. ВМ = т = R.

Ответ: т.

Задача 2. Доказать, что во всяком треугольнике точки, симметричные с точкой пересечения высот относительно трех сторон треугольника, лежат на описанной окружности.

Дано: АВС,

ADВС, NСАВ,

AD∩СN = О,

L - симметрична О

относительно АС.

Доказать: L лежит на описанной

около АВС окружности.

Доказательство.

СОМ = СLМ, так как СОМ = СLМ = 90, ОМ = МL, МС - общая сторона. Поэтому СОМ = СLМ.

Кроме того, СОМ = САВ (углы с соответственно перпендикулярными сторонами)  СОМ = САВ  точки А, В, С и L лежат на описанной окружности.

Аналогично можно доказать, что точки симметричные с О относительно остальных двух сторон треугольника, лежат на этой же описанной окружности.

Для тупоугольного треугольника доказать самостоятельно.

Задача 3. Вычислить стороны равнобедренного треугольника по высоте h и радиусу вписанной круга r.

Дано: АВС,

АВ = ВС, ВDАС,

ВD = h, OL = r.

Найти: АВ, АС.

Решение.

Обозначим DС = х.

 ОDС = OLC (по гипотенузе и катету)  DС = LC = х.

Из прямоугольного треугольника ВOL:

Из прямоугольного треугольника ВDС:



;

, .

.

Ответ: , .

Задача 4. Найти угол при основании равнобедренного остроугольного треугольника, для которого отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной равно 3/8.

Дано: АВС, АВ = ВС,

r - радиус вписанной окружности,

R - радиус описанной окружности,

.

Найти: ВАС.

Решение.

Угол при основании АС обозначим , АВ = ВС = х.

Из теоремы синусов следует .

Пусть О - центр вписанной окружности, тогда СО - биссектриса С, OD = r. Из прямоугольного треугольника АВD: ; а из прямоугольного треугольника СOD выражаем r:

.

Имеем: .

Преобразуем тригонометрическое выражение:

Получаем уравнение , приводим его к виду

.

Корни этого уравнения и . По условию треугольник остроугольный, значит и  и .

Ответ: .

Задача 5. Доказать, что в прямоугольном треугольнике диаметр вписанного круга равен разности между суммой катетов и гипотенузой.

Дано: АВС, ,

r - радиус вписанного

круга.

Доказать:

Доказательство.

Пусть круг радиуса r касается гипотенузы прямоугольного треугольника АВС в точке М, а катетов АС и СВ - в точках L и К соответственно.

АМ = МL, ВМ = ВК (как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки) Тогда

 .

Задача 6. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, в 4 раза меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника. Найти углы треугольника.

Дано: АВС - равнобедренный,

r - радиус вписанной окружности,

R - радиус описанной окружности,

R = 4r.

Найти: BAC, ABC.

Решение.

Пусть АС = а, BAC = .

Так как АВС - равнобедренный, то биссектриса АD угла АВС является одновременно медианой и высотой АВС.

Рассмотрим AOD: , ODA = 90, OAD = . Следовательно, .

По теореме синусов , где ABC = 180 - 2,

АС = а, и  .

По условию

    .

Обозначая cos = y, получаем квадратное уравнение для неизвестного у:

, , .

Таким образом, составленное тригонометрическое уравнение имеет два решения:

, .

Каждому значению  соответствует свой угол при вершине равнобедренного треугольника

, .

Ответ: , .

Задачи для самостоятельного решения

1. Через центр О окружности, описанной вокруг остроугольного АВС, проведена прямая, перпендикулярная ВО и пересекающая отрезок АВ в точке Р и продолжение отрезка ВС за точку С в точке D. Найдите длину отрезка ВР, если известны длины сторон треугольника АВ = с, ВС = а и длина отрезка BD = р.

(Ответ: )

2. Расстояния от центра окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, до вершин его острых углов равны и . Найти катеты.

(Ответ: 3 и 4)

3. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК (точка К лежит на стороне ВС). Известно, что центры вписанной в треугольник АВК и описанной около треугольника АВС окружностей совпадают. Найдите углы треугольника АВС.

4. Найти радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник с острым углом , если радиус описанного круга равен R.

5. Около треугольника АВС описана окружность. Известно, что АВ = 12, . Найдите радиус окружности.

6. Определите отношение сторон прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанной около него окружности относится к радиусу вписанной в него окружности, как 5:2.

7. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Точка касания с окружностью делит гипотенузу в отношении 2:3. Найдите длины сторон треугольника.

(Ответ: 9, 12, 15 см)

8. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

(Ответ: )

9. Найдите длины сторон прямоугольного треугольника, если R = 15 см, r = 6 см, где R и r - радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

(Ответ: 18, 24, 30 см)

10. В прямоугольном треугольнике один катет равен 48 см, а проекция другого катета на гипотенузу - 3.92 см. Найдите длину вписанной окружности.

11. Около равнобедренного треугольника с основанием b и углом  при основании описана окружность. Вторая окружность касается первой окружности и боковых сторон треугольника. Найти радиус второй окружности.

12. Доказать, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

13. Доказать, что во всяком треугольнике отрезок, соединяющий центры вписанной и описанной окружностей, делится описанной окружностью пополам.

14. Доказать, что радиус описанной около треугольника окружности, проведенный в одну из вершин треугольника, перпендикулярен прямой, соединяющей основания высот, проведенных из двух других вершин треугольника.

15. Прямая l касается окружности, описанной около треугольника АВС, в точке С. Доказать, что квадрат высоты СН треугольника АВС равен произведению расстояний точек А и В от прямой l.

16. В треугольнике АВС с длинами сторон 7, 5 и 3 проведена биссектриса AD. Вокруг треугольника АВD описана окружность, а в треугольник АСD вписана окружность. Найти произведение их радиусов.

§9. Произвольное расположение окружности и треугольника

Задача 1. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС, пересекает стороны ВС и АС в точках М и N соответственно. Известно, что АВ = 4, МN = 2 и АСВ = . Найти радиус окружности.

Дано: АВС, окружность (О, r),

 ∩ ВС = М,

 ∩ АС = N,

АВ = 4, MN = 2,

АСВ = .

Найти: r.

Решение.

Обозначим АСВ = , тогда ,  - острый угол, .

Обозначим NBM = , ANB =  +  (как внешний угол для треугольника BNC).

Если r - радиус окружности, то АВ = и MN = , то есть, получаем систему

Исключая r, придем к уравнению . Так как , то уравнение приводится к виду ,

, .

Находим: , тогда .

Ответ: .

Задача 2. В треугольнике АВС проведены медианы АL и ВМ, пересекающиеся в точке К. Вершина С лежит на окружности, проходящей через точки К, L, М. Показать, что медиана СN образует со сторонами АС и ВС такие же углы, что и медианы ВМ и АL со стороной АВ соответственно.

Дано: АВС,

АL, ВМ - медианы, АL ∩ ВМ = К,

окружность , К, L, М, С.

Доказать: CAN = LAB,

BCN = ABM.

Доказательство.

KCM = KLM (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу),

LM || АВ, так как LM - средняя линия АВС  KLM = NAK (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и LM и секущей АL)  KСM = NAK  CAN = LAB.

Аналогично показывается, что BCN = ABM.

Задача 3. На диаметре АВ полукруга ANB построен прямоугольник, высота которого АС равна стороне вписанного в круг квадрата. Если соединить вершины С и D с произвольной точкой N полукруга прямыми CN и DN, пересекающими диаметр в точках Е и L, то (задача Ферма). Доказать.

Доказательство.

По условию . Проведем хорды NA и NB и продолжим их до встречи в точках К и М с продолже-ниями стороны СD.

Находим: , , но BD = АС,

поэтому

Зная величины пропорциональные КС, DМ и CD, получим:

.

Так как , то

, откуда ,

так как из тождества

следует, что .

Задача 4. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 25 см и АС = 14 см. Вычислить радиус круга, касающегося ВС в точке D - основании высоты АD и проходящего через середину АС.

Дано: АВС, АВ = ВС = 25 см,

АС = 14 см, AD  ВС, АК = КС,

Окружность (О, r),

D, К,

ВС касается  в точке D.

Найти: r.

Решение.

Из прямоугольного треугольника АВК:



Из прямоугольного треугольника АDС:

Положим , тогда по теореме косинусов для АОК:



Ответ: см.

Задачи для самостоятельного решения

1. В прямоугольный треугольник вписан полукруг так, что его диаметр лежит на гипотенузе и центр его делит гипотенузу на отрезки в 15 и 20 см. Найдите длину дуги полуокружности, заключенной между точками касания ее с катетами.

(Ответ: 6 см)

2. Дан треугольник, длины сторон которого 10 см, 12 см, 18 см. Проведена окружность, касающаяся двух меньших сторон, а центр находится на большей стороне. Найдите ее радиус.

(Ответ: )

3. В треугольнике АВС биссектрисы АD и СЕ пересекаются в точке F. Точки В, D, Е, F лежат на одной окружности. Показать, что угол В равен 60.

4. На основании равнобедренного треугольника, как на хорде, построена окружность, касательная к равным сторонам треугольника. Найти радиус окружности, если основание треугольника а и высота h.

(Ответ: )

5. Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе. Найти ее радиус, если катеты равны 3 и 4 см.

6. В ∆АВС проведены высота СD и АЕ. Около треугольника ВDЕ описана окружность. Найти длину дуги этой окружности, лежащей внутри треугольника АВС, если АС = b, АВС = .

7. В треугольнике АВС известны стороны: АВ = ВС = 39 см, АС = 30 см. Проведены высоты АD и ВЕ. Найти радиус окружности, проходящей через точки D и Е и касающейся стороны ВС.

8. На основании АС равнобедренного треугольника АВС расположена точка D так, что АD = а и СD = b. Окружности, вписанные в треугольники АВD и DВС, касаются прямой ВD в точках М и N соответственно. Найти отрезок MN.

9. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника, как на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3. Найти углы треугольника.

10. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник таким образом, что он имеет с треугольником общий прямой угол. Периметр этого прямоугольника равен 4а. Найти катет прямоугольного треугольника и радиус окружности, описанной около этого треугольника.

11. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса а. Окружность радиуса b касается боковых сторон треугольника и вписанной окружности. Найти основание треугольника.

12. В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой и АС:АВ = 4:5. Окружность с центром на катете АС касается гипотенузы АВ и пересекает катет ВС в точке Р так, что РВ:РС = 2:3. Найти отношение радиуса окружности к катету ВС.

13. Доказать, что радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов прямоугольного треугольника, равен сумме длин гипотенузы и радиуса окружности, вписанной в треугольник.

14. Окружность радиуса R проходит через вершину А равнобедренного треугольника АВС, касается основания ВС в точке В и пересекает сторону АС в точке D. Найти длину боковой стороны, если DС = 3АD.

§10. Окружность и четырехугольник

Четырехугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

Теорема. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны.

Задача 1. Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны а и b.

Дано: АВСD - трапеция,

АВ = СD,

АD = а, ВС = b,

(О, R) - окружность,

вписанная в АВСD.

Найти: R.

Решение.

АВСD - равнобокая трапеция, она описана около окружности, следовательно, АВ + СD = АD + ВС.

Отсюда получаем: .

Проведем ВМ  АD, СN  АD.

ВАD = САD, так как трапеция равнобокая  АМВ = DNС  АМ = ND.

МВСN - прямоугольник, МN = ВС = b, поэтому АМ = ND = .

Из прямоугольного треугольника АВМ находим высоту трапеции АВСD:

.

, так как высота трапеции равна диаметру окружности.

Ответ: .

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если окружность проходит через все его вершины.

Теорема. Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна 180.

Из этой теоремы следует:

1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.

Задача 2. Найти радиус окружности, описанной около четырехугольника АВСD, в котором АВ = 3, АD = 5, ВС = СD и АС = 4.

Дано: (О, R),

АВСD - четырехугольник,

вписанный в окружность ;

АВ = 3, АD = 5,

ВС = СD, АС = 4.

Найти: R.

Решение.

ВОС = СОD, так как ОВ = ОС = ОD, ВС = СD.

Следовательно, ВОС = СОD, и поэтому равны вписанные углы ВАС и САD.

Обозначим ВАС = .

Из треугольников ВАС и САD по теореме косинусов получим:

,

.

Приравнивая правые части и преобразовывая, найдем

.

Найдем ВС:  .

По теореме синусов из АВС имеем:

 .

Ответ: .

Задача 3. Доказать, что в четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей (теорема Птолемея).

Дано: АВСD - четырехугольник,

вписанный в окружность.

Доказать: .

Доказательство.

Построим угол DАF = ВАС.

ВСА = ВDА, как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Поэтому АВС  АFD, откуда

, (1)

ВАF  СDА, так как ВАF = САD и АВD = АСD, как углы опирающиеся на одну дугу.

Следовательно, , или (2)

Складывая почленно соотношения (1) и (2), имеем:



 .

Задача 4. В окружность вписан четырехугольник АВСD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает СD в точке М. Найти ЕМ, если АD = 8 см, АВ = 4 см и СDВ = .

Дано: АВСD - четырехугольник,

вписанный в окружность,

АС  ВD, АС ∩ ВD = Е,

МЕ  (АВ), МСD,

АВ = 4 см, АD = 8 см,

СDВ = .

Найти: ЕМ.

Решение.

В СЕD: ЕСD = 90 - , так как СЕD = 90, а СDВ = .

АВD = АСD, как углы, опирающиеся на одну дугу 

АВD = 90 - .

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВЕК:

ВЕК = 90 - КВЕ = ,

ВЕК = МЕD как вертикальные  МЕD = .

Из равнобедренного треугольника МЕD имеем ЕМ = МD

СЕМ = 90 - МЕD = 90 - .

Таким образом, в треугольнике СМЕ: МСЕ = МЕС = 90 -   СМЕ - равнобедренный  СМ = МЕ.

Итак, МЕ=СМ и МЕ=МD  МЕ - медиана прямоугольного СЕD, проведенная из вершины прямого угла  ЕМ = СD.

В прямоугольном треугольнике АЕВ: .

Из прямоугольного треугольника АЕD:

.

Из треугольника СЕD:

, .

Ответ: .

Задача 5. Дана трапеция АВСD, боковая сторона АВ которой перпендикулярна основаниям. В трапецию вписана окружность с центром в точке О. Через точки А, В, С проведена окружность с центром в точке О₁. Найти диагональ АС, если ОО₁ = 1 см, а меньшее основание трапеции ВС равно 10 см.

Дано: АВСD - прямоугольная трапеция,

АВ  АD,

(О, r) - вписана в трапецию,

А, В, С  ₁(О₁, r₁),

ОО₁ = 1 см, ВС = 10 см.

Найти: АС.

Решение.

Пусть MN - средняя линия трапеции.

Окружность ₁, проходящая через точки А, В, С - это окружность, описанная около прямоугольного треугольника АВС  ее центр О₁ - середина гипотенузы АС.

Средняя линия трапеции MN пересекает диагональ трапеции АС в ее середине. Следовательно, О₁ = MN∩АС.

Окружность касается двух параллельных сторон трапеции ВС и АD  ее центр лежит на средней линии трапеции.

В АВС сторона АВ > ВС, так как АВ равна диаметру вписанной окружности, а ВС - меньше диаметра.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол  ВСА > ВАС, а ВСА + ВАС = 90  САВ < 45.

Окружность с центром в точке О касается сторон прямого угла ВАD, точка О лежит на биссектрисе этого угла, следовательно, ВАО = 45.

Таким образом, два угла ВАС и ВАО  луч АО₁ лежит между сторонами ВАО, то есть точка О₁ лежит между точками М и О.

см, см.

В АВС: см,

см.

Ответ: см.

Задача 6. Прямоугольник со сторонами 36 и 48 см разделен диагональю на два треугольника. В каждый из этих треугольников вписана окружность. Найти расстояние между их центрами.

Дано: АВСD - прямоугольник,

АВ = 36 см, АD = 48 см,

О - центр окружности,

вписанной в АВС,

О₁ - центр окружности,

вписанной около АDС.

Найти: ОО₁.

Решение.

Диагональ прямоугольника см.

Пусть радиус окружностей равен х.

Рассмотрим  ОО₁К - прямоугольный,

,

, , как отрезки касательных к окружности, проведенные из точек А и С соответственно.

 .

Тогда ОК = 12, КО₁ = 24. Из прямоугольного треугольника ОКО₁:

см.

Ответ: см.

Задачи для самостоятельного решения

1. Около окружности описана равнобокая трапеция с острым углом 60. Найти отношение длин оснований.

(Ответ: 1:3)

2. В окружность вписана трапеция, средняя линия которой равна 16, боковая сторона больше меньшего основания на 8 и большее основание является диаметром окружности. Определить основания и высоту трапеции.

3. В ромбе АВСD угол ВАD острый. Окружность, вписанная в ромб, касающаяся сторон АВ и СD соответственно в точках М и N, пересекает отрезок СМ в точке Р, а отрезок ВN в точке Q. Найти отношение ВQ:QN, если СР:РМ = 9:16.

4. В полуокружность радиуса R вписан квадрат так, что одна сторона его лежит на диаметре и две вершины - на окружности. Найти длину стороны квадрата.

5. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других сторон на отрезки 2 и 23 см. Найти радиус окружности.

6. В ромб со стороной 4 см и углом ВАD, равным 60, вписана окружность. К ней проведена касательная, пересекающая АВ в точке М и АD в точке Р. Найти МВ и РD, если МР = 2см.

7. В равнобедренную трапецию, длины оснований которой равны а и b, вписана окружность. Определить длину диагонали трапеции.

8. Трапеция описана около окружности. Найти отношение длины средней линии трапеции к ее периметру.

9. В квадрат АВСD со стороной длины а вписана окружность, которая касается стороны СD в точке Е. Найти длину хорды, соединяющей точки, в которых окружность пересекается с прямой АЕ.

10. Доказать, что если для трапеции существуют вписанная и описанная окружности, то высота трапеции есть среднее геометрическое между ее основаниями.

11. Доказать, что диагонали вписанного в круг четырехугольника относятся между собой как суммы произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.

12. На основании ВС трапеции АВСD как на диаметре, построена окружность, которая проходит через середины диагоналей трапеции и касается основания АD. Найти углы трапеции.

13. Окружность, построенная на стороне АD параллелограмма АВСD как на диаметре, проходит через середину диагонали АС и пересекает сторону АВ в точке Н. Найти отношение АМ:АВ, если АС = 3ВD.

14. В ромбе АВСD угол АВС равен 60. Окружность касается прямой АD в точке А, центр окружности лежит внутри ромба. Касательные к окружности, проведенные из точки С, перпендикулярны. Найти отношение периметра ромба к длине окружности.

15. В трапеции АВСD сторона АВ перпендикулярна основаниям АD и АС. Окружность касается стороны АВ в точке К, лежащей между точками А и В, имеет с отрезком ВС единственную точку С, проходит через точку D и пересекает отрезок АD в точке Е (Е ≠ D). Найти расстояние от точки К до прямой СD, если АD = 48 и ВС = 12.

16. В ромб АВСD, у которого АВ = l и ВАD = , вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает сторону АВ в точке М, а сторону АD - в точке N. Известно, что MN = 2а. Найти длины отрезков МВ и ND.

17. В равнобочную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции относится к радиусу как 3:5. Найти отношение периметра трапеции к длине описанной окружности.

18. Около круга описана равнобедренная трапеция, у которой средняя линия имеет длину 5 см. Определите периметр и длину боковой стороны трапеции.

19. В ромб, который своей диагональю делится на два равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом длины 2 см. Найдите длину стороны ромба.

20. Хорда окружности длиной 6 см разбивает окружность на два сегмента. В меньший из них вписан квадрат со стороной 2 см. найти радиус окружности.

21. Около окружности описана трапеция с острыми углами  и . Найти отношение периметра трапеции к длине окружности.

Глава IV. Площади плоских фигур

Геометрическая фигура называется простой, если ее можно разбить на конечное число треугольников.

Площадь - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. Равные фигуры имеют равные площади.

2. Площадь фигуры равна сумме площадей ее частей, являющихся простыми фигурами, на которые она разбивается.

3. Площадь квадрата со стороной равной единице измерения равна единице.

§ 11. Площадь треугольника

Формулы для вычисления площади треугольника (рис.1):

(а - основание, h - высота, проведенная к стороне а).

(a, b - стороны треугольника, С - угол между ними).

- формула Герона (а, b, с - стороны треугольника, р - полупериметр, то есть ).

(а, b, с - стороны треугольника, R - радиус описанной около треугольника окружности).

(р - полупериметр, r - радиус окружности, вписанной в треугольник).

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формулам:

; ,

где a, b - катеты треугольника,

с - гипотенуза,

- высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу (рис. 2).

Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

Задача 1. Медиана АМ и высота СН равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) пересекаются в точке К. Найти площадь треугольника АВС, если СК = 5 и КН = 1.

Дано: АВС, АВ = ВС,

АМ - медиана АВС,

СН  АВ, НАВ,

АМ ∩ СН = К, СК = 5, КН = 1.

Найти: S_.

Решение.

Обозначим ВАС = .

Из прямоугольного треугольника АНС следует, что

; , то есть и .

Пусть DМ  АВ. Так как ВМ = МС и DМ || НС, то по теореме Фалеса DВ = DН.

DМ - средняя линия треугольника НВС, поэтому DМ = НС = 3.

Далее, АНК  АDМ, так как DМ || НК, НК = 1, DМ = 3 

;  АD =3АН, НD = 2АН.

Итак, учитывая, что ВD = DН, получим, что АВ = 5АН, то есть .

АВС - равнобедренный  ; 

 ; .

Угол  - острый, поэтому , и

.

 .

Ответ: 30 ед².

Задача 2. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15 и 60. Найти площадь треугольника.

Дано: АВС,

А = 15, С = 60,

ОА = ОВ = ОС = R.

Найти: S_.

Решение.

По теореме синусов имеем . Отсюда находим , .

По формуле , получаем .

Так как , , то будем иметь

.

Используя тригонометрическое тождество

, получаем:

.

Теперь находим .

Ответ: ед².

Задача 3. На стороне АD ромба АВСD взята точка М, при этом и . Найти площадь треугольника ВМС.

Дано: АВСD - ромб, М  АD,

, .

Найти: .

Решение.

Обозначим длину стороны ромба х, ВАD = . По условию , то есть . Следовательно, .

Из треугольников АВМ и МСD по теореме косинусов получаем:

.

Учитывая, что ВМ = МС, приравниваем правые части.

, .

Подставляем найденное значение cos и ВМ = 11 в правое равенство, находим х = 10.

В равнобедренном треугольнике ВМС основание ВС = 10, находим высоту МК: .

Тогда .

Ответ: см².

Задача 4. Основания высот остроугольного треугольника АВС служат вершинами другого треугольника, периметр которого равен 2р. Найти площадь треугольника АВС, если радиус описанной около него окружности равен R.

Дано: АВС,

АМ  СВ, СК  АВ, BN  АС,

Р_МNК = 2р,

R - радиус окружности,

описанной около АВС.

Найти: S_АВС.

Решение.

Пусть , , , тогда

 .

Около ANOK можно описать окружность, так как сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180.

АО - диаметр окружности. ANK = АОК, как углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну дугу.

  AKN ~ АВС 

(стороны подобных треугольников пропорциональны диаметрам описанных кругов)  .

Аналогично, , 

 .

Ответ: .

Задача 5. Даны два правильных треугольника площадью S, из которых второй получен при повороте первого треугольника вокруг его центра на угол 30. Вычислить площадь пересечения этих треугольников.

Дано: АВС и А₁В₁С₁ - правильные,

О - их общий центр,

А₁В₁С₁ повернут вокруг О

относительно АВС на 30,

.

Найти: S_ф.

Решение.

А₁В₁ ∩ ВС = К, А₁В₁ ∩ АВ = М. Пусть АВ = а.

Тогда МВО = ВОВ₁ = 30  АВ || ОВ₁;

МА₁О = АОА₁ = 30  А₁В₁ || АО.

Итак, АМВ₁О - параллелограмм, причем А₁В₁ ВС, так как АО  ВС  ВМК - прямоугольный,

ВМ = АВ - АМ = АВ - ОВ₁ =  , но , 

, так как .

Так как площадь фигуры, являющейся пересечением АВС и А₁В₁С₁, равна

и , то

Ответ: ед².

Задачи для самостоятельного решения

1. Высоты равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС, пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника АВС, если АО = 5, а длина высоты АD равна 8.

2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) биссектрисы АМ и ВК пересекаются в точке О. Площадь треугольника СОК равна 3, угол ВСА равен . Найти площадь треугольника СОМ и проекцию отрезка АМ на прямую ВС.

3. В треугольнике АВС точка О - центр описанной окружности, точка L лежит на отрезке АВ и АL = LВ. Описанная около треугольника АLО окружность пересекает отрезок АС в точке К. Найти площадь треугольника АВС, если LОА = 45, LK = 8, АК = 7.

4. Основание треугольника АВС равно 10. Высота, опущенная на это основание, равна 8. Через вершину В проведена прямая, параллельная основанию и на ней выбрана точка М так, что прямая АМ пересекает сторону ВС в точке D и сумма площадей треугольников АDС и ВМD является минимальной. Найдите отношение площади треугольника АВМ к площади АВС.

5. Около равнобедренного треугольника описана окружность радиуса R. Угол при основании равен . Найти радиус вписанной окружности и площадь данного треугольника.

6. Через точку М, лежащую внутри треугольника АВС проведены три прямые параллельные его сторонам. При этом образовались три треугольника, площади которых равны S₁, S₂ и S₃. Найти площадь треугольника АВС.

7. Дан правильный треугольник АВС со стороной а. Окружность проходит через центр треугольника и касается стороны АВ в ее середине М. Прямая, проведенная из вершины А, касается окружности в точке Е. Найти площадь треугольника АЕМ.

8. Площадь треугольника АВС равна см². Величина угла ВАС равна 120. Величина угла АВС больше величины угла АСВ. Расстояние от вершины А до центра окружности, вписанной в треугольник АВС, равно 2 см. Найти длину медианы треугольника АВС, проведенной из вершины В.

9. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания с окружностью делит один из катетов треугольника на отрезки 6 и 10 см, считая от вершины прямого угла. Найти площадь треугольника.

10. Длины сторон треугольника пропорциональны числам 5, 12, 13. Наибольшая сторона треугольника превосходит наименьшую на 1.6 м. Определите периметр и площадь треугольника.

11. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса r. Высота, проведенная к основанию, делится окружностью в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника.

12. Вычислить площадь треугольника по двум сторонам а и b и биссектрисе угла между ними l.

13. Вычислить площадь равностороннего треугольника по разности между стороной и высотой, равной d.

14. Через точку М, расположенную на диаметре окружности радиуса 4 см, проведена хорда АВ, образующая с диаметром угол 30. Через точку В проведена хорда ВС, перпендикулярная данному диаметру. Найти площадь треугольника АВС, если АМ:МВ = 2:3.

15. В прямоугольный треугольник АВС (С = 90) вписана окружность, касающаяся его сторон в точках А₁, В₁, С₁. Найти отношение площади треугольника АВС к площади треугольника А₁В₁С₁, если АС = 4 см, ВС = 3 см.

16. Треугольник со сторонами 13, 14 и 15 разделен на три равновеликие части прямыми, перпендикулярными большей стороне. Найти расстояние до этих прямых от ближайших к ним вершин треугольника, находящихся на большей стороне.

17. В равносторонний треугольник со стороной а вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что отрезок ее внутри треугольника равен b. Найти площадь треугольника, отсеченного этой касательной от данного.

18. Площадь треугольника АВС равна S₁, площадь треугольника АОВ, где О - точка пересечения высот, равна S₂. На прямой СО взята такая точка К, что треугольник АВК - прямоугольный. Доказать, что площадь треугольника АВК есть среднее геометрическое между S₁ и S₂.

19. Сторона правильного треугольника равна а. Из его центра описана окружность радиуса . Определить площадь части треугольника, лежащей вне окружности.

20. Площадь треугольника равна S. Каждая сторона треугольника разделена на три части в отношении m:n:m. Определить площадь шестиугольника, вершинами которого служат точки деления.

§ 12. Площадь четырехугольника

Площадь параллелограмма вычисляется по формулам:

;

,

где a и b - стороны параллелограмма, h_a и h_b - высоты к ним,  - угол между сторонами параллелограмма.

Теорема.

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

.

Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле

,

где a и b - смежные стороны прямоугольника.

Площадь квадрата со стороной а вычисляется по формуле

.

Площадь трапеции с основаниями a и b и высотой h вычисляется по формуле

.

Задача 1. В окружности радиуса 13 через точку А, лежащую на диаметре МР, под углом 30 проведена хорда QN. Найти площадь четырехугольника MNPQ, если МА = 3.

Дано: (О, R), R = 13

МР - диаметр ,

АМР, АQN,

NАР = 30,

МА = 3.

Найти: .

Решение.

По теореме площадь четырехугольника MNPQ равна .

Чтобы определить ее, надо найти хорду QN.

Так как МА = 3, то АО = МО - МА = 10.

Проведем ОD  QN. QD = DN (так как QON - равнобедренный, высота ОD, опущенная на основание треугольника, является медианой).

 .

Из прямоугольного треугольника DОN находим DN:

 DN = 24.

.

Ответ:156 кв. ед.

Рассмотрим несколько задач, где определяется или используется площадь трапеции.

Задача 2. Отрезок длины т, параллельный основаниям трапеции, разбивает ее на две трапеции. Найти отношение площадей этих трапеций, если основания трапеции равны а и b (а < b).

Дано: АВСD - трапеция,

MN || АD, MN = т,

ВС = а, AD = b.

Найти: .

Решение.

Проведем СЕ || ВА и NF || ВА, а также СК  MN и NР  АD.

Пусть СК = h₁, NP = h₂.

Так как СЕ || NF, то ЕСN = FND, а из того, что MN || AD следует ENC = FDN. Следовательно, ECN  FND (по двум углам).

Из подобия треугольников имеем .

KCN ~ PND, так как СКN = NPD = 90, CNK = NDP.

Из подобия , поэтому , то есть .

Если площадь трапеции MBCN - S₁, а площадь трапеции АМND - S₂, то , и

.

Ответ: .

Задача 3. Диагонали трапеции пересекаясь, разбивают ее на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны S₁ и S₂.

Дано: АВСD - трапеция,

S_AOD = S₁, S_AOD = S₂.

Найти: S_трап.

Решение.

Пусть ВС = а, АD = b, и пусть h - высота трапеции.

Известно, что диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника с общей вершиной. Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны. Следовательно, (действительно , так как у них общие основания и равные высоты, то есть  ).

Так как и , то

.

ВОС  DОА (так как ВОС = DОА - как вертикальные, ВСО = ВDА - как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей АС). Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит . Таким образом, .

Отсюда находим , и поэтому

Ответ: кв. ед.

Задача 4. В треугольнике АВС биссектрисы АD и BF пересекаются в точке О. Известно, что точки F, О, D и С лежат на одной окружности и что DF = . Найти площадь треугольника ODF.

Дано: АВС,

АD, BF - биссектрисы,

АD ∩ BF = О,

F, O, D, C , DF = .

Найти: S_ODF.

Решение.

Так как и , то

Четырехугольник ODCF вписан в окружность, следовательно, , то есть

,

учитывая, что , получим С = 60.

Заметим, что СО - биссектриса С, следовательно, вписанные углы ОСD и OCF - равны.

ODF = OFD = FСО = OСD (как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги).

Таким образом, ODF = OFD = С = 30  DОF - равнобедренный с основанием DF = и углом при основании 30.

Найдем его высоту, опущенную из вершины С: .

Ответ: кв. ед.

Задача 5. Около окружности радиуса 5 см описана равнобедренная трапеция. Расстояние между точками касания ее боковых сторон равно 8 см. Найти площадь трапеции.

Дано: (О, R), R = 5 см,

АВСD - трапеция,

описанная около ,

АВ = СD,

N, K, L, M - точки касания,

ML = 8 см.

Найти: S_ABCD.

Решение.

(как отрезки касательных к окружности, выходящих из одной точки)  по теореме Фалеса ML || ВС, а так как NК  ВС, то NK  ML 

 .

Рассмотрим МОК - равнобедренный (МО = ОК = R), АЕ - биссектриса МОК и, следовательно, ОЕ - высота, то есть АО  МК  .

Кроме того, NMK = 90, так как он опирается на диаметр NK, АОВ = 90 (биссектрисы двух односторонних углов, образованных двумя параллельными прямыми при пересечении их третьей, пересекаются под прямым углом).

Отсюда, NMK  АОВ  ,

где k - коэффициент подобия треугольников,

 

.

В трапецию АВСD вписана окружность  суммы противолежащих сторон трапеции равны, то есть 2АВ = ВС + АD   .

Ответ: 125 см².

Задача 6. Дан квадрат со стороной равной а. Если на двух противоположных сторонах этого квадрата построить внутри его два правильных треугольника, то боковые стороны треугольников пересекутся и образуют четырехугольник. Определить вид полученного четырехугольника и вычислить его углы, стороны и площадь.

Решение.

Из построения очевидно, что искомый четырехугольник EMFN - ромб с углами, равными 60 и 120.

DМС - правильный:

, .

Тогда большая диагональ ромба

EMF - правильный, так как ЕМ = МF, EMF = 60  ЕМ = EF.

Из прямоугольного треугольника ЕОМ имеем: , но

, , поэтому

 .

Но сторона ромба равна его меньшей диагонали, следовательно, искомая площадь ромба

.

Ответ: кв. ед.

Задачи для самостоятельного решения

1. Точка D лежит на стороне АВ треугольника АВС, точка F - на стороне АС. Отрезки СD и BF пересекаются в точке О. Известно, что AF:FC = 3:1 и АD:DВ = 7:2. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь четырехугольника АDОF?

2. Углы при большем основании трапеции равны 30 и 60. Средняя линия трапеции равна 6, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4. Найти площадь трапеции.

3. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию АВСD, касается большего основания АD в точке К и боковой стороны АВ в точке Р. Отрезок РК пересекает диагональ АС в точке М, так что АМ:МС = 4:3. Периметр трапеции равен 20. Найти ее площадь.

4. В ромбе АВСD, диагонали которого равны 15 м и 20 м, из вершины С тупого угла проведены две высоты: СЕ и CF. Вычислить площадь четырехугольника АЕСF.

5. Диагонали ромба относятся как 3:4. Определить отношение площади ромба к площади круга, вписанного в ромб.

6. Точка М внутри круга радиуса R удалена от центра на расстояние, равное а. Через точку М проведены диаметр и две взаимно перпендикулярные хорды, одна из которых образует с диаметром угол  = 45. Вычислить площадь вписанного в круг четырехугольника, имеющего эти хорды диагоналями.

7. Около окружности радиуса R описан параллелограмм. Площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности и параллелограмма равна S. Найти длина сторон параллелограмма.

8. В полукруге расположен прямоугольник АВСD так, что его сторона АВ лежит на диаметре, ограничивающем полукруг, а вершины С и D - на ограничивающей полукруг дуге. Длина радиуса полукруга равна 5 см. Найти длины сторон прямоугольника АВСD, если его площадь равна 24 см², а длина диагонали больше 8 см.

9. Длина средней линии равнобочной трапеции равна 10. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 7/13. Найти длину высоты трапеции.

10. В четырехугольнике АВСD сторона АВ равна стороне ВС, диагональ АС равна стороне СD, а угол АВС равен углу АСD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВС и АСD, относятся как 3:4. Найти отношение площадей этих треугольников.

11. В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой боковая сторона равна меньшему основанию, а угловая мера дуги, стягиваемой этим основанием, равна . Найдите площадь трапеции.

12. Определите площадь равнобедренной трапеции, у которой длины оснований равны 10 см и 26 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

13. Дана трапеция MNPQ с основаниями MQ и NP. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковую сторону MN в точке А, а сторону PQ - в точке В. S_ANPQ:S_MABQ = 2:7. Найдите АВ, если NP = 4, MQ = 6.

14. В полукруг единичного радиуса вписана трапеция так, что ее основание лежит на диаметре. Найти площадь трапеции, если ее периметр равен 5.

15. Стороны треугольника 20, 34 и 42 см. Найти площадь вписанного прямоугольника, если известно, что его периметр равен 45см.

16. Окружность касается сторон АВ и АD прямоугольника АВСD, проходит через вершину С и пересекает сторону DС в точке К. Найти площадь четырехугольника АВКD, если АВ = 9 см, АD = 8 см.

17. Внутри прямоугольника АВСD взята точка М так, что АМ = , ВМ = 2 и СМ = 6. Найти площадь прямоугольника АВСD, если известно, что АD = 2АВ.

18. В круг радиуса R вписаны равносторонний треугольник и квадрат, имеющие общую вершину. Вычислить площадь общей части треугольника и квадрата.

19. Около окружности радиуса R = 1 см описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 5 см². Найти площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.

20. Из каждой вершины основания равностороннего треугольника со стороной а проведены два луча, образующих с этим основанием углы 15 и 30. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения построенных лучей.

21. В трапецию, у которой меньшее основание равно а, вписана окружность. Одна из боковых сторон трапеции делится точкой касания на отрезки длиной т и п, считая от большего основания. Определить площадь трапеции.

§ 13. Площадь круга и его частей

Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние радиусом круга.

Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис. 1).

Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга (рис. 2, 3).

Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус:

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

,

где R - радиус круга, п - градусная мера соответствующего центрального угла. Если центральный угол  задан в радианах, то:

Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле:

,

где п - градусная мера соответствующего центрального угла, который содержит круговой сегмент; - площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор.

Знак «-» надо ставить тогда, когда (рис. 2).

Знак «+» надо ставить тогда, когда (рис. 3).

Задача 1. В круг радиуса R вписаны три равных круга, касающихся данного и попарно друг друга. Вычислить площадь криволинейной фигуры, заключенной между точками касания этих кругов.

Решение.

Искомая площадь Q равна площади равностороннего треугольника АВС без утроенной площади сектора Аnm. Пусть радиус вписанной окружности равен r, тогда АВ = 2r, откуда:

Найдем r: , , отсюда

, то есть .

Тогда .

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Центры четырех кругов расположены в вершинах квадрата со стороной а. Радиусы этих кругов равны а. Определить площадь их общей части.

2. В круг радиуса R вписаны шесть равных кругов, каждый из которых касается данного круга и двух соседних. Вычислить площадь фигуры, ограниченной этими шестью кругами.

3. Найти радиус круга, если площадь круга на Q квадратных единиц больше вписанного в него правильного двенадцатиугольника.

4. Окружность радиуса R с центром в точке О разделена точками А, В, С, D, Е, F на шесть равных частей. Определить площадь фигуры СОЕ, ограниченной дугой ОС с центром в точке В, дугой ОЕ с центром в точке F и дугой СЕ с центром в точке А.

5. круг с центром на стороне АВ треугольника АВС касается двух других его сторон. Найти площадь круга, если длины сторон треугольника 13, 14 и 15 см.

6. Из точки, взятой на окружности радиуса R, проведены две равные хорды. Угол между хордами равен . Найти площадь части круга, заключенной между этими хордами.

7. Доказать, что площадь круга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре, равновелика сумме площадей кругов, построенных на катетах.

8. На сторонах ромба описаны как на диаметрах полуокружности, обращенные внутрь. Диагонали ромба равны а и b. Определить площадь полученной розетки.

9. Между точками А и В проведены две дуги, обращенные выпуклостью в одну сторону: дуга АМВ содержит 240, дуга АNВ - 120. Расстояние между серединами этих дуг равно а. Определить площадь луночки.

10. Два круга одинакового радиуса расположены так, что расстояние между их центрами равно радиусу. Найти отношение площади пересечения кругов и площади вписанного в это пересечение квадрата.

Контрольная работа №1

«Треугольники. Четырехугольники. Окружности».

Вариант 1

1. В прямоугольном треугольнике CNP из вершины N прямого угла проведены биссектриса NК и медиана NМ. Найти катеты треугольника CNP, если , .

2. Один из углов трапеции равен , а боковые стороны при их продолжении пересекаются под прямым углом. Найти меньшую боковую сторону трапеции, если ее средняя линия и одно из оснований равны соответственно 10 и 8 см.

3. Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника равно k. Найти косинус угла при основании треугольника.

Вариант 2

1. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, делящая гипотенузу на отрезки m и n. Найти высоту, проведенную к гипотенузе.

2. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4 см, а длины непараллельных сторон - 20 и 13см. Найти высоту трапеции.

3. В окружность вписан равнобедренный треугольник, основание которого равно , а угол при основании равен . Кроме того, вне треугольника построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причем точка касания является серединой основания. Найти радиус второй окружности.

Вариант 3

1. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) на стороне ВС взята точка М так, что . Найти отношение ВК к КЕ, если ВЕ - высота треугольника, а К - точка пересечения ВЕ и АМ.

2. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12см и высотой 8см, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между сторонами треугольника.

3. Величина одного из углов параллелограмма равна 60⁰, а меньшая диагональ равна см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к большой стороне, равна см. Найти длины сторон и большей диагонали параллелограмма.

Вариант 4

1. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20см. Найти биссектрису угла при основании треугольника.

2. Основания равнобедренной трапеции a и b, острый угол . Найти радиус описанной окружности.

3. Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окружностей составляет с линией центров угол . Найти отношение радиусов.

Контрольная работа №2.

«Площади фигур».

Вариант 1.

1. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно p, а угол при меньшем основании равен 120 .

2. Отношение величин двух углов треугольника равно 2, а разность длин противоположных им сторон равна 2 см. Длина третьей стороны равна 5 см. Вычислить площадь треугольника.

3. В равносторонний треугольник АВС со стороной 2 см вписан круг. Точка А является центром второго круга с радиусом 1 см. Найти площадь пересечения этих кругов.

Вариант 2.

1. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S, а высота, трапеции в 2 раза меньше ее боковой стороны. Определить радиус вписанного круга.

2. В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов равно 5 см, а расстояние от середины этого катета до гипотенузы равно 4 см. Найти площадь треугольника.

3. Центр равностороннего треугольника со стороной, равной 6 см, совпадает с центром окружности радиуса 2 см. Определить площадь части треугольника, лежащей вне этой окружности.

Вариант 3.

1. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8. Определить стороны трапеции, если угол при основании содержит 30 .

2. В треугольнике АВС известны: АВ=13 см, ВС=15 см, АС=14 см. Найти площадь треугольника, заключенного между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В.

3. Сторона правильного треугольника равна a. Определить площадь части треугольника, лежащей вне круга радиуса a/3, центр которого совпадает с центром треугольника.

Вариант 4.

1. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R. Верхнее основание трапеции в 2 раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции.

2. Стороны треугольника равны 3, 4 и 5 см. Определить площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой и медианой, проведенными к большей по величине стороне.

3. Внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найдите площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.

Задачи из ЕГЭ.

1. Треугольник вписан в окружность радиуса 12. Известно, что и . Найдите .

(Ответ: )

2. Точки , и - основания высот треугольника . Углы треугольника равны 90^о, 60^о и 30^о. Найдите углы треугольника .

(Ответ: или

или или )

3. Высоты треугольника пересекаются в точке H. Известно, что . Найдите угол .

(Ответ: или )

4. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке H. Известно, что отрезок СH равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.

(Ответ: или )

5. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.

(Ответ: 6)

6. Медиана и биссектриса прямоугольного треугольника () пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника , если , .

(Ответ: )

7. На сторонах , и треугольника взяты соответственно точки и , причем , , . В каком отношении отрезок делит отрезок ?

(Ответ 1:1)

8. Около треугольника описана окружность с центром , угол равен 60^о. В треугольник вписана окружность с центром . Найдите угол .

(Ответ: или )

9. В треугольнике проведены высоты и , - центр вписанной окружности. Известно, что , . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника . (Ответ: 24 или )

10. Точки D и E - основания высот непрямоугольного треугольника АВС, проведенных из вершин А и С соответственно. Известно, что , и . Найдите сторону АС.

(Ответ: или )

11. В треугольнике АВС АВ=6, ВС=8, АС=4. Точка D лежит на прямой ВС так, что . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

(Ответ: 5 или 3)

12. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В и углом при вершине А. Точка D - середина гипотенузы. Точка симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол .

(Ответ: , если , , если )

13. Точки K, M и N лежат на сторонах соответственно АВ, ВС и АС треугольника АВС, причем AMKN - параллелограмм, площадь которого составляет площади треугольника АВС. Найдите диагональ MN параллелограмма, если известно, что АВ=21, АС=12 и .

(Ответ: 13 или )

14. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 24, а синус угла при основании равен 0,8.

(Ответ: 18 или 21)

15. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P - точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.

(Ответ: 2,5 или 2)

16. Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом . На двух его сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные треугольники с углами при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами.

(Ответ: или )

17. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так, что . Найдите ВС, если АВ=12.

(Ответ: 44 или )

18. В параллелограмме ABCD известны стороны , и . Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ВСD и DAB.

(Ответ: )

19. Дана трапеция ABCD с боковыми сторонами АВ=36, CD=34 и верхним основанием ВС=10. Известно, что . Найдите BD. (Ответ: 36 или )

20. Основания трапеции равны и . Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как . Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.

(Ответ: или)

21. Периметр равнобочной трапеции равен 52. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причем боковая сторона делится точкой касания в отношении . Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

(Ответ: или )

22. В трапеции известны боковые стороны , и верхнее основание . Известно, что . Найдите .

(Ответ: 28 или )

23. Прямая касается окружностей радиусов и в точках и . Известно, что расстояние между центрами равно , причем и . Найдите .

(Ответ: или)

24. Окружности с центрами и пересекаются в точках и . Известно, что , , . Найдите радиусы окружностей.

(Ответ: или)

25. Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину стороны и пересекает в точке продолжение стороны за точку А, причем . Найдите площадь треугольника АВС, если . (Ответ: )

26. Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке . Через точку проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке , а большую - в точке . Известно, что Найдите

(Ответ: 2 или 6)

27. Окружности и радиусов и соответственно касаются в точке . Через точку , лежащую на окружности , проведена прямая, касающаяся окружности в точке . Найдите , если известно, что .

(Ответ: )

28. Точка - центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса взята точка . Через точку проведена прямая, касающаяся окружности в точке _. Известно, что . Найдите радиус окружности, вписанной в угол и касающейся данной окружности внешним образом.

(Ответ: )

29. Дана окружность радиуса 2 с центром . Хорда пересекает радиус в точке , причем . Найдите радиус окружности, вписанной в угол и касающейся дуги , если .

(Ответ: или )

30. Окружности с центрами и радиуса пересекаются в точке . Радиус окружности с центром перпендикулярен , причем точки и лежат по одну сторону от прямой . Окружность касается меньших дуг и этих окружностей, а также прямой , а окружность касается окружности с центром , прямой и окружности . Найдите отношение радиуса окружности к радиусу окружности .

(Ответ: )

31. Окружности с центрами и пересекаются в точках А и В. Известно, что , , . Найдите радиусы окружностей.

( , или , )