Российская Федерация

Кемеровская область

Администрация Топкинского района

Управление образования

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 1»

Физико-математические науки

«ЗАЧЕТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ

В 10-11 КЛАССАХ»

Составитель:

Михайлова Галина Владимировна

Учитель математики

Топки 2013

Зачеты по геометрии

В целом охвачен основной программный материал курса по следующим темам:

1. Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей.

2. Перпендикулярность прямых и плоскостей.

3. Многогранники и площади их поверхностей.

4. Тела вращения и площади их поверхностей.

5. Объемы тел.

Предлагаемый геометрический материал ориентирован на учебник Л.С. Атанасяна и др.

Исходя из особенностей содержания курса геометрии и целей его изучения в школе, целесообразно выделить открытый вид проверки знаний - зачет. Его можно проводить в устной и полуустной форме. При подготовке к зачету учащихся знакомят с перечнем вопросов, теорем, выносимых из него. Такие списки вопросов приводятся в разделе «Подготовка к зачету». Целью проведения зачета является проверка усвоения учащимися теоретического материала курса.

Каждая карточка «Задания к зачету» содержит три вопроса. Некоторые из первых вопросов служат для проверки понимания учащимися сущности определения понятия, т.е. наличия родовых и видовых признаков, их полноты; другие направлены на выявления умения находить пример конкретной математической модели в реальной жизни. Имеются задания, с помощью которых проверяется сформированность простейших навыков логического мышления ученика (в результате обоснования своего ответа).

Первые задачи-вопросы карточек зачетов предназначены также на выявления степени понимания учащимися смысла аксиом и основных теорем курса. Выполнение заданий требует умения выделить в утверждении условие, сопоставить его с условием известной аксиомы или теоремы и сделать вывод о выполнимости или невыполнимости заключения утверждения.

Последний, третий вопрос карточки зачета - это доказательство изученной теоремы. В качестве дополнительных вопросов учитель может предложить сформулировать определение понятия, дать формулировку теоремы для уточнения некоторых моментов при ответе.

Правильно выполненные первые два задания карточек к зачету №№ 1,2,4,5, как относящиеся к обязательным результатам обучения, оценивается баллом «3». Ученик, успешно справившийся и с третьим заданием, получает оценку «5».

Третье задание зачета №3 по теме «Многогранники и площади их поверхностей» построены иначе, чем для других четырех зачетов. Это задание уровневое. В пункте а) предлагается сформулировать теорему, записать известную формулу, ответить на вопрос, позволяющий судить о понимании учащимся смысла определения. В пункте б) ученику предлагается воспроизвести доказательство известной теоремы или доказать утверждение, требующее трех и более логических ходов. Правильное выполнение первых двух заданий карточки и задания 3 оценивается баллом «3»; при верном выполнении всех заданий карточки ученик получает оценку «5».

Зачет рекомендуется проводить сразу же после изучения теоретической части темы. Тем самым преподаватель выясняет степень теоретической подготовки учащихся, их готовность к осмысленному применению теоретического аппарата на практике, при решении задач.

Некоторые задания к зачетам носят прикладной, в частности профессиональный, характер.

После проведения зачетов полезно провести анализ их результатов с указанием типичных ошибок, недочетов, выяснения их причин. В процессе анализа результатов знания учащихся корректируются.

Учащимся, не сдавшим зачет, дается дополнительное время на переподготовку. За это время возможны консультации с преподавателем. Пересдающему зачет учащемуся высшая оценка ставится только тогда, когда предыдущая оценки за зачет была не ниже трех баллов.

Тема 1: Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2. Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и притом только одну.

3. Перечислите случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.

4. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

5. Какие прямые называются скрещивающимися?

6. Какие прямые в пространстве называются пересекающимися?

7. Докажите, что через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

8. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

9. Докажите, что через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

10. Докажите свойство транзитивности параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

11. Перечислите случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

12. Какие прямая и плоскость называются пересекающимися?

13. Какие прямая и плоскость называются параллельными?

14. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

15. Перечислите случая взаимного расположения двух плоскостей.

16. Какие плоскости называются параллельными?

17. Какие плоскости называются пересекающимися?

18. Докажите признак параллельности двух плоскостей.

19. Докажите, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

20. Докажите, что отрезки параллельных, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

21. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

23. Докажите, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

25. Докажите признак скрещивающихся прямых.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2. Через две прямые и нельзя провести одну плоскость. Могут ли они пересекаться? Ответ обоснуйте.

3. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

КАРТОЧКА 2

1. Перечислите случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Приведите примеры соответствующих прямых на модели куба.

2. Прямые и пересекаются. Могут ли прямые и быть скрещивающимися? Ответ обоснуйте.

Ответ: нет, так как прямые и лежат в одной плоскости.

3. Докажите признак параллельности двух плоскостей.

КАРТОЧКА 3

1. Какие прямые в пространстве называются параллельными? Приведите примеры таких прямых в классной комнате.

2. На каком теоретическом утверждении основан принцип проверки теодолитом вертикальности стеновых панелей к горизонту (рис. 1).

Ответ: на свойстве транзитивности параллельных прямых.

3а. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

КАРТОЧКА 4

1. Какие прямые в пространстве называются пересекающимися? Приведите примеры таких прямых на модели тетраэдра.

2. Даны параллельные прямые и и плоскость , проходящая через прямую . Пересекает ли прямая плоскость ? Ответ обоснуйте.

Ответ: нет, так как согласно признаку параллельности прямой и плоскости .

3. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

КАРТОЧКА 5

1. Перечислите случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Приведите соответствующие примеры из реальной ситуации.

2. При распиливании бруса плотник обычно намечает плоскость распила двумя прямыми ( и на рис. 2) на смежных гранях. Затем пилит так, чтобы полотно пилы было направлено по этим прямым. Обоснуйте правильность выполнения приема.

Ответ: правильность выполнения приема гарантирована, поскольку две пересекающиеся прямые определяют плоскость.

3. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

КАРТОЧКА 6

1. Какие прямые в пространстве называются скрещивающимися? Приведите примеры таких прямых на модели параллелепипеда.

2. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общих точки; в) только одну общую прямую? Ответ обоснуйте.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

3. Докажите, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

КАРТОЧКА 7

1. Какие прямая и плоскость называются пересекающимися? Продемонстрируйте данное отношение, используя спицу и плоскость стола.

2. Точка не лежит в плоскости прямоугольника . Как расположена прямая по отношению к плоскости ? Ответ обоснуйте.

Ответ: параллельна согласно признаку параллельности прямой и плоскости.

3. Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

КАРТОЧКА 8

1. Какие прямая и плоскость называются параллельными? Приведите примеры параллельной прямой и плоскости на модели куба.

2. Верно ли утверждение: две прямые, параллельные некоторой плоскости, параллельны между собой? Ответ обоснуйте.

3. Докажите, что через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

КАРТОЧКА 9

1. Перечислите случаи взаимного расположения двух плоскостей. Приведите примеры соответствующих плоскостей в интерьере классной комнаты.

2. На практике при распиливании бруса так, чтобы плоскости распилов были параллельны, часто используется следующий прием. На двух смежных гранях бруса (рис. 3) прочерчивают и по ним направляют движение пилы. Обоснуйте правильность выполнения приема.

Ответ: правильность приема гарантирована признаком параллельности двух плоскостей.

3. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

КАРТОЧКА 10

1. Какие плоскости называются параллельными? Приведите примеры таких плоскостей на моделях геометрических тел.

2. Могут ли скрещивающиеся прямые и быть параллельны прямой ? Ответ обоснуйте.

Ответ: не могут, так как если предположить, что прямые и параллельны прямой , то они должны быть параллельны между собой, что противоречит условию.

3. Докажите, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

КАРТОЧКА 11

1. Какие плоскости называются пересекающимися? Приведите примеры таких плоскостей на модели параллелепипеда.

2. Прямая , не лежащая в плоскости параллельна основанию трапеции . Выясните взаимное расположение прямых и .

Ответ: и скрещиваются.

3. Докажите признак скрещивающихся прямых.

Тема 2: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

2. Какие прямая и плоскость называются перпендикулярными?

3. докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Докажите, что через любую точку пространства можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.

5. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

6. Докажите, что если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

7. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

8. Что называется наклонной, проведенной из данной точки к плоскости? Что такое основание и проекция наклонной на данную плоскость?

9. Докажите теорему о трех перпендикулярах.

10. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах.

11. Дайте определение угла между прямой и плоскостью.

12. Как найти угол между двумя пересекающимися плоскостями? Какая фигура называется двугранным углом?

12. Какой угол называется линейным углом двугранного угла?

14. Какие плоскости называются перпендикулярными?

15. Докажите признак перпендикулярности двух плоскостей.

16. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

17. Докажите, что две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один.

18. Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Дайте определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Чему оно равно?

19. Какая фигура называется кубом? Что представляют собой грани куба?

20. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

21. Дан куб . Докажите, что плоскости и перпендикулярны.

22. Докажите, что все линейные углы двугранного угла равны.

23. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной.

24. Докажите, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными? Приведите примеры таких прямых на модели куба.

2. Чему равен угол между диагональю куба и плоскостью его основания? Ответ поясните на рисунке куба.

3. Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

КАРТОЧКА 2

1. Какие прямые и плоскость называются перпендикулярными? Приведите соответствующие примеры в классной комнате.

2. Может ли угол между прямой и плоскостью быть равным: а) 52°; б) 90°; в) 120°? Ответ обоснуйте.

Ответ: а) да; б) да, тогда прямая перпендикулярна плоскости; в) нет, так как по определению это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, он не больше прямого.

3. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

КАРТОЧКА 3

1. Что называется расстоянием от точки до плоскости? Поясните ответ, используя спицу и плоскость.

2. Сколько пар взаимно перпендикулярных граней имеет куб?

Ответ: 12.

3. Докажите, что если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

КАРТОЧКА 4

1. Как найти угол между двумя пересекающимися плоскостями? Ответ поясните рисунком.

2. Прямые и пересекаются. При каком условии через можно провести плоскость, перпендикулярную ?

Ответ: если .

3. Докажите теорему о трех перпендикулярах.

КАРТОЧКА 5

1. Дайте определение угла между прямой и плоскостью. Поясните ответ рисунком.

2. Чтобы распил деревянного бруса был перпендикулярен ребру, через точку ребра проводят перпендикулярно ребру прямые и (рис. 4). Затем пилят так, чтобы распил был направлен по этим прямым. Верно ли это? Ответ обоснуйте.

Ответ: выполнение операции верно, что подтверждается признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Докажите, что через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой.

КАРТОЧКА 6

1. Какие плоскости называют перпендикулярными? Приведите примеры таких плоскостей в классной комнате.

2. Прямая проходит через вершину треугольника перпендикулярно сторонам и . Как она расположена относительно любой прямой плоскости , проходящей через вершину ? Ответ обоснуйте.

3. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной.

КАРТОЧКА 7

1. Что называется наклонной, проведенной из данной точки к плоскости? Что такое основание и проекция наклонной на данную плоскость? Ответ поясните рисунком

2. Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны третьей прямой, то эти прямые параллельны?

3. Докажите, что все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

КАРТОЧКА 8

1. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей. Поясните ответ рисунком.

2. Почему отвес параллелен вертикальной стене, если при выполнении строительных работ не допущен брак (рис. 5)? Ответ обоснуйте.

Ответ: отвес, как и вертикальная стена, должен быть перпендикулярен плоскости пола и, значит, должен быть параллелен вертикальной стене.

3. Докажите, что если две прямые перпендикулярны, то они параллельны.

КАРТОЧКА 9

1. Какая фигура называется двугранным углом? Приведите примеры двугранных углов на модели пирамиды.

2. Что моделирует в классе признак перпендикулярности прямой и плоскости? Ответ обоснуйте.

3. Докажите, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

КАРТОЧКА 10

1. Какой угол называется линейным углом двугранного угла? Поясните ответ рисунком.

2. Три луча попарно перпендикулярны. Как расположен каждый из лучей по отношению к плоскости, определяемой двумя другими лучами? Ответ обоснуйте.

Ответ: перпендикулярен этой плоскости на основании признака перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Точка не лежит в плоскости . Сколько наклонных заданной длины можно провести из этой точки к данной плоскости?

Ответ: бесконечное множество.

КАРТОЧКА 11

1. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Ответ поясните рисунком.

2. При ремонте сверлильного станка слесарь с помощью угольника должен выверить перпендикулярность оси сверла к плоскости стола, на котором крепится деталь. Как это сделать (рис. 6)? Ответ обоснуйте.

3. Докажите теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах.

КАРТОЧКА 12

1. Дайте определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Чему оно равно? Приведите пример, используя спицу и плоскость стола.

2. Как определить перпендикулярность угла дома к плоскости его основания (рис. 7)?

3. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде прямые и перпендикулярны.

КАРТОЧКА 13

1. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей. Ответ поясните рисунком.

2. Прямая перпендикулярна плоскости квадрата . Какой вид имеет треугольник ? Ответ обоснуйте.

Ответ: треугольник - прямоугольный с гипотенузой (используется теорема о трех перпендикулярах).

3. Дан куб . Докажите, что плоскости и перпендикулярны.

КАРТОЧКА 14

1. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Ответ поясните рисунком.

2. Обоснуйте правильность проверки оштукатуривания усенка* (лузга**) (рис. 8) с помощью угольника с передвижной планкой.

3. Докажите признак перпендикулярности двух плоскостей.

*Усенок - наружный угол в местах сопряжения двух стен.

**Лузг - внутренний угол в местах примыкания двух стен, стены и потолка.

Тема 3: Многогранники и площади их поверхностей

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Назовите элементы многогранника и дайте их определения.

2. Что называется основанием боковой гранью, ребром призмы?

3. Какая призма называется прямой (наклонной)?

4. Какая призма называется правильной?

5. Что принимается за боковую (полную) поверхность призмы?

6. Докажите, что площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

7. Какой многогранник называется параллелепипедом?

8. Докажите, что у параллелепипеда противоположные грани равны и параллельны.

9. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения пополам.

10. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

11. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

12. Что такое куб?

13. Назовите элементы пирамиды и дайте их определения.

14. Какая пирамида называется правильной?

15. Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

16. Докажите, что площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

17. Дайте определение тетраэдра. Какое наименьшее число ребер (граней, вершин) имеет многогранник?

18. Какие многогранники называются правильными? Перечислите известные вам виды правильных многогранников.

19. Докажите, что у прямой призмы все боковые грани - прямоугольники.

20. В пирамиде все боковые грани равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

21. В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что они составляют с плоскостью основания равные углы.

22. Докажите, что у правильной призмы все боковые грани - равные прямоугольники.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Нарисуйте многогранник. Что является основанием и боковыми гранями многогранника? Назовите элементы многогранника и дайте их определения. Ответ поясните рисунком.

2. Почему все высоты призмы равны между собой? Ответ обоснуйте.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды.

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 2

1. Сколько вершин, граней, ребер имеет шестиугольная призма? Ответ поясните на модели призмы.

2. Дан прямоугольный параллелепипед с высотой . Найдите величину двугранного угла , если четырехугольник - квадрат со стороной .

3. а) Каким свойством обладают противоположные грани параллелепипеда?

б) Докажите свойство, сформулированное в п. а).

КАРТОЧКА 3

1. Дайте определение тетраэдра. Какое наименьшее число ребер (граней, вершин) имеет многогранник?

2. В основании пирамиды лежит семиугольник. Сколько граней, вершин, ребер, апофем имеет эта пирамида? Ответ поясните рисунком.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания , боковое ребро .

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 4

1. Нарисуйте призму, назовите ее элементы. Что является основанием, боковыми гранями призмы?

2. Боковое ребро пирамиды перпендикулярно одной из сторон основания. Можно ли принять это ребро за высоту пирамиды? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

3. а) Каким свойством обладают диагонали параллелепипеда?

б) Докажите свойство, сформулированное в п. а).

КАРТОЧКА 5

1. Что называется основанием, боковой гранью пятиугольной призмы? Ответ поясните рисунком.

2. Основанием треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Одна из ее боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Является ли данная пирамида правильной? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности прямой призмы.

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 6

1. Какая призма является прямой (наклонной). Ответ поясните рисунком.

2. Дан прямой параллелепипед , в основании которого лежит ромб с углом . Выпишите большие диагонали параллелепипеда. Ответ обоснуйте.

3. а) Запишите формулу площади боковой поверхности наклонной призмы.

б) Выведите, формулу для п. а).

КАРТОЧКА 7

1. Какой параллелепипед называется прямоугольным? Ответ поясните рисунком.

2. Призма имеет 20 граней. Какой многоугольник лежит в ее основание? Сколько вершин и ребер имеет эта призма?

3. а) Что принимается за площадь боковой поверки правильной усеченной пирамиды?

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 8

1. Какая призма называется правильной? Ответ поясните рисунком.

2. Сколько граней, ребер, вершин имеет пятиугольная пирамида? Ответ поясните рисунком.

3. а) Сформулируйте утверждение о высоте пирамиды, в которой все боковые ребра равны между собой.

б) Докажите утверждение п. а).

КАРТОЧКА 9

1. Какая призма называется параллелепипедом? Ответ поясните рисунком.

2. Сколько плоскостей симметрии можно провести через вершину правильного тетраэдра? Ответ поясните рисунком.

3. а) Чему равен квадрат любой диагонали прямоугольного параллелепипеда?

б) Докажите теорему о квадрате диагонали правильного параллелепипеда.

КАРТОЧКА 10

1. Всякий ли параллелограмм может быть основанием правильного параллелепипеда? Ответ обоснуйте.

2. В правильной треугольной пирамиде проведено сечение через ее высоту и апофему. Как расположена плоскость сечения по отношению к стороне основания? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

Ответ: плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей.

3. а) Что принимается за площадь полной поверхности правильного тетраэдра?

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 11

1. Нарисуйте пирамиду, назовите ее элементы. Что является основанием и боковой гранью пирамиды?

2. Сравните здания: Московский цирк на проспекте Вернадского, здания мэрии на Калининском проспекте, Колизей в Риме (рис. 9), ваш дом. Какое из этих тел имеет форму призмы? В каких случаях, и какой из признаков, определяющих призму, не выполняется?

3. а) Докажите, что боковые грани прямой призмы - прямоугольники.

б) Можно ли утверждать, что боковые грани правильной призмы равны? Ответ обоснуйте.

КАРТОЧКА 12

1. Какие многогранники называются правильными? Перечислите известные виды правильных многогранников?

2. Можно ли использовать формулу площади боковой поверхности призмы для нахождения расхода:

а) клеевого колера, идущего на окраску потолка и фриза* (рис. 10);

б) плиток, требуемых для облицовки стен операционной комнаты;

в) материала, идущего на покрытие купола Московского цирка на Цветном бульваре?

Ответ обоснуйте.

3. а) Что принимается за площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда?

б) Выведите формулу для п. а).

*Фриз - окрашиваемая поверхность стен между потолком и гобеленом или между потолком и панелью (при отсутствии гобелена) с минимальной высотой 50 мм.

КАРТОЧКА 13

1. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная пирамида?

2. Дан наклонный параллелепипед . Известно, что угол основания, . Какое из диагональных сечений параллелепипеда больше? Ответ поясните рисунком и обоснуйте.

3. а) Как найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, не применяя формулу?

б) Выведите формулу для п. а).

КАРТОЧКА 14

1. Сколько центров симметрии имеет параллелепипед? Ответ поясните рисунком.

2. Будет ли сечение, перпендикулярное боковому ребру призмы, перпендикулярно ее боковой грани? Ответ обоснуйте.

3. а) Запишите формулу для площади полной поверхности куба по его ребру .

б) Выведите формулу полной поверхности куба, зная его диагональ .

КАРТОЧКА 15

1. Какая призма называется кубом? Ответ поясните рисунком.

2. Дана правильная треугольная пирамида. Можно ли утверждать, что ее апофемы равны? Ответ обоснуйте.

3. а) Что принимается за площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы?

б) Выведите формулу для п. а).

Тема 4: Тела вращения и площади их поверхностей

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Что такое боковая поверхность основания, образующие, ось, радиус и высота цилиндра?

2. Что представляет собой сечение цилиндра, если секущая плоскость проходит через ось цилиндра? Как называется такое сечение?

3. Объясните, что такое развертка боковой поверхности цилиндра. Что принимается за площадь боковой поверхности цилиндра?

4. Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

5. Что называется площадью полной поверхности цилиндра? Как ее вычислить, если даны радиус и высота цилиндра?

6. Что такое боковая поверхность, основание, образующие ось и высота конуса?

7. Что представляет собой осевое сечение конуса? Как называется такое сечение?

8. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса?

9. Объясните, что представляет собой развертка боковой поверхности конуса. Что принимается за площадь боковой поверхности конуса?

10. Докажите, что площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

11. Что принимается за площадь полной поверхности конуса? Как ее вычислить, если даны радиус основания и образующая?

12. Что такое боковая поверхность, основания, образующие усеченного конуса?

13. Докажите, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

14. Что называется сферой или шаровой поверхностью?

15. Какое тело называется шаром? Что такое центр, радиус, диаметр шара?

16. Что представляет собой сечение шара плоскостью? Что такое большой круг шара?

17. Докажите, что пересечение шара плоскостью есть круг.

18. Что такое касательная плоскость к сфере? Какая точка называется точкой касания сферы и плоскости?

19. Докажите, что плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

20. Какая прямая называется касательной к шару?

21. Докажите, что через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечное множество касательных прямых, причем все они лежат в касательной плоскости шара.

22. Выведите уравнение сферы данного радиуса с центром в точке с данными координатами.

23. Исследуйте взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.

24. Докажите, что радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен касательной плоскости.

25. Докажите, что если радиус сферы перпендикулярен плоскости, проходящей через его конец лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Сделайте рисунок цилиндра. Что называется образующими, основанием, осью, высотой цилиндра?

2. Объясните, как получить конус вращением прямоугольного треугольника.

3. Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра равна площади боковой поверхности другого цилиндра того же радиуса, высота которого равна сумме радиуса и высоты данного цилиндра.

КАРТОЧКА 2

1. Какой фигурой является развертка боковой поверхности цилиндра? Ответ поясните рисунком.

2. Объясните, как получить усеченный конус вращением прямоугольной трапеции.

3. Выведите формулу площади боковой поверхности цилиндра.

КАРТОЧКА 3

1. Что представляет собой сечение цилиндра, если секущая плоскость проходит через ось цилиндра? Как называется такое сечение? Ответ поясните рисунком.

2. Перечислите случаи взаимного расположения сферы и плоскости. Ответ поясните рисунком.

3. Выведите формулу площади боковой поверхности конуса.

КАРТОЧКА 4

1. Имеет ли цилиндр: а) центр симметрии; б) ось симметрии; в) плоскость симметрии? Ответ обоснуйте.

2. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса? Ответ поясните рисунком.

3. а) Исследуйте взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.

б) Докажите, что всякое сечение шара плоскостью представляет собой круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного центра шара на секущую плоскость.

КАРТОЧКА 5

1. Сделайте рисунок конуса. Что называется образующими, вершиной, высотой, основанием конуса?

2. Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью: а) параллельной основанию; б) параллельной оси? Ответ поясните рисунком.

З. Выведите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.

КАРТОЧКА 6

1. Имеет ли шар: а) оси симметрии; б) плоскость симметрии? Ответ поясните.

Ответ: а) бесконечное множество; б) бесконечное множество.

2. Какой фигурой является: а) осевое сечение конуса; б) сечение конуса плоскостью, параллельной основанию? Ответ поясните рисунком.

Ответ: а) равнобедренным или равносторонним треугольником: б) кругом или точкой.

3. Выведите формулу площади поверхности сферы.

КАРТОЧКА 7

1. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса? Ответ поясните рисунком.

2. Может ли касательная плоскость иметь со сферой несколько общих точек? Ответ обоснуйте.

3. а) Докажите, что радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен касательной плоскости

б) Докажите, что через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечное множество касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.

КАРТОЧКА 8

1. Какая плоскость называется касательной к сфере? Ответ поясните рисунком.

2. Можно ли использовать формулу площади боковой поверхности призмы для нахождения примерного расхода: а) раствора, идущего на побелку стен и фриза; б) плиток, требуемых для покрытия цоколя жилого здания; в) материала, идущего на покрытие купола планетария (рис. 11)?

3. Выведите уравнение сферы.

КАРТОЧКА 9

1. Какая фигура получается при вращении равнобедренного треугольника вокруг его оси симметрии? Ответ поясните рисунком.

2. Имеет ли конус: а) ось симметрии; б) центр симметрии; в) плоскость симметрии?

3. а) Докажите, что если радиус сферы перпендикулярен плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

б) Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

КАРТОЧКА 10

1. Объясните, как получить цилиндр вращением прямоугольника.

2. Какой фигурой является: а) осевое сечение сферы; б) сечение сферы плоскостью, находящейся от центра на расстоянии, меньшем радиуса сферы? Ответ поясните рисунком.

Ответ: а) окружность; б) окружность.

3. Дано:; -ось вращения треугольника (рис. 12). Доказать: .

КАРТОЧКА 11

1. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра? Ответ поясните рисунком.

2. Объясните, как получить сферу вращением полуокружности. Приведите примеры покрытий зданий сооружений, имеющих: а) призматическую; б) цилиндрическую; в) сферическую поверхность.

3. Дано: - ромб, (рис.13), , - ось вращения ромба . Доказать:

КАРТОЧКА 12

1. Сделайте рисунок сферы. Что называется центром, радиусом, диаметром сферы?

2. В каком случае осевым сечением цилиндра является квадрат, а осевым сечением конуса - равносторонний треугольник? Ответ поясните рисунком.

3. Докажите, что полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара имеющего диаметром высоту конуса.

Тема 5: Объемы тел

Подготовка к зачету

Вопросы

1. Сформулируйте основные свойства объемов тел.

2. Как найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная длины трех ребер, выходящих из одной вершины?

3. Докажите, что объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

4. Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

5. Докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

6. Докажите, что объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

7. Докажите, что объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

8. Докажите, что объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

9. Докажите, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

10. Докажите, что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

11. Выведите формулу объема усеченной пирамиды.

12. Выведите формулу объема шара.

13. Выведите формулу объема шарового слоя.

Задания к зачету

КАРТОЧКА 1

1. Запишите формулы объемов конуса и его пятой части.

2. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна , высота пирамиды равна . Чему равен объем пирамиды?

3. а) Зная формулу объема прямоугольного параллелепипеда, докажите, что объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

б) Зная формулу объема прямоугольного параллелепипеда, докажите, что объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

КАРТОЧКА 2

1. Запишите формулу объемов пирамиды и ее третьей части.

2. Чему равен объем шара, если площадь его сферической поверхности равна ?

3. а) Зная формулу объема прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, выведите формулу объема прямой треугольной призмы.

б) Зная формулу объема любого параллелепипеда, докажите, что объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

КАРТОЧКА 3

1. Запишите формулы объемов цилиндра и его двадцатой части.

2. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. Чему равна образующая конуса, если радиус основания равен ?

3. а) Зная формулу объема прямой треугольной призмы, докажите, что объем прямой призмы равен произведению площади основании на высоту.

б) Зная формулу объема треугольной призмы, докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

КАРТОЧКА 4

1. Запишите формулы объемов шара и его двенадцатой части.

2. Во сколько раз нужно увеличить диаметр шара, чтобы его объем увеличился в два раза?

3. а) Докажите, что объем треугольной наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

б) Докажите, что объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

КАРТОЧКА 5

1. Запишите формулы объемов куба и его десятой части.

2. Осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник. Чему равен диаметр основания конуса, если его образующая равна см?

3. а) Зная формулу объема наклонной треугольной призмы, докажите, что объем произвольной наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

б) Зная формулу объема любой треугольной пирамиды, докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

КАРТОЧКА 6

1 Куб пересечен диагональной плоскостью, Чему равен объем каждой части куба?

2. Как вычислить объем цилиндра, зная диаметр его основания и высоту ?

3. Выведите формулу объема конуса.

КАРТОЧКА 7

1. Прямоугольный параллелепипед пересечен диагональной плоскостью. Чему равен объем каждой его части?

2. Радиус шара равен радиусу основания равностороннего конуса. Какое из тел имеет больший объем?

Ответ: объем шара больше, так как при данном условии объем конуса можно рассматривать как часть объема шара, описанного около конуса.

3. а) Зная формулу объема треугольной пирамиды, докажите, что объем произвольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

б) Выведите формулу объема шарового слоя.

КАРТОЧКА 8

1. Чему равен объем правильной четырехугольной призмы, если сторона основания равна м, высота призмы м?

2. Угол между образующей конуса и радиусом основания равен , образующая конуса равна . Чему равен объем конуса?

3. Выведите формулу объема цилиндра.

КАРТОЧКА 9

1. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен . Радиус основания равен . Запишите формулу для объема конуса.

2. Радиус шара равен радиусу основания равностороннего цилиндра. Какое из тел имеет больший объем?

З. Выведите формулу объема шара.

КАРТОЧКА 10

1. Запишите формулу объема для правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно .

2. Даны равносторонние цилиндр и конус с равными радиусами оснований. Объем, какого тела больше? Ответ обоснуйте.

Ответ: объем цилиндра больше, так как при данном условии объем конуса можно рассматривать как часть объема цилиндра, описанного около конуса.

3. Дана наклонная треугольная призма с боковым ребром, равным . Сечение, перпендикулярное боковым ребрам, треугольник с катетами и . Докажите, что объем призмы вычисляется по формуле .