СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (математика и информатика))

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Хочу поделиться своими наработками в изучении учащимися темы «Системы счисления». Мною предлагается учебно-методический комплекс по данной теме. В процессе подготовки и разработки комплекса на первом этапе была разработана карта , в которой отражены основные понятия и определения предлагаемой темы. На следующем этапе дано алгоритмическое описание всех видов действий. Разработана итоговая трехуровневая контрольная работа с учетом требований подготовки к ЕГЭ. Составлен комплект из 6 срезовых работ, дифференцированных по 3 уровням сложности. Создана система уроков , ориентированная на достижение прогнозируемых результатов.

Основные обобщенные прогнозируемые результаты изучения темы:

1. Учащиеся должны знать основные понятия и определения темы.

2. Учащиеся должны уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.

3. Учащиеся должны уметь производить арифметические действия над числами в двоичной системе счисления Учащиеся должны уметь производить арифметические действия над числами в двоичной системе счисления.

Алгоритмы

Алгоритм перевода из десятичной системы счисления в любую другую.

Десятичное число в свернутом виде представлено следующим образом:

А10= аn an-1 an-2….a1 a0, a-1…. am-1 am

В развернутом виде данное число представлено в виде:

А10= аn* 10ⁿ+an-1*10^n-1+ an-2*10^n-2…+a1*10¹ +a0 +a-1*10^-1…. +a-m*10^-m

Алгоритм перевода целого десятичного числа в другую систему счисления основан на том, что любое десятичное число можно представить в виде ряда с другим основанием q:

А10= bn* qⁿ+bn-1* q^n-1+ bn-2* q^n-2…+b1* q ¹ +b0

1) при первом делении А10 на основание q получим bn* q^n-1+bn-1* q^n-2+ bn-2* q^n-3…+b1 и остаток b0 ;

2) при втором делении А10 на основание q получим bn* q^n-2+bn-1* q^n-3+ bn-2* q^n-4…+b2 и остаток b1 .

При каждом следующем делении А10 на основание q получим последовательно остатки деления b2 , b3 ….. bn-2, bn-1, bn. .

Таким образом получим последовательность цифр в числе А10 по основанию q и число в свернутом виде :

А10 = bn bn-1 bn-2 …… b3 b2 b1 b0

.

Алгоритм перевода десятичной дроби в другую систему счисления основан на том, что десятичную дробь можно представить в виде ряда с основанием q:

А10= b-1* q ^-1+ b-2* q ^-2…+b-m* q ^-m

1) при первом умножении А10 на основание q получим = b-1+ b-2* q ^-1…+b-m* q ^-m+1

Таким образом , b-1 является значением первого дробного разряда числа с основанием q

2) при втором умножении А10 на основание q получим = b-2…+b-m* q ^-m+2

Таким образом , b-2 является значением второго дробного разряда числа с основанием q

При каждом следующем умножении А10 на основание q получим последовательно остатки умножении b-3…. b-m. .

Таким образом получим последовательность цифр в числе А10 по основанию q

и число в свернутом виде :

А10 = b-1 b-2 …… b-m

Алгоритм перевода двоичного числа в восьмеричную и шестнадцатиричную системы счисления основан на следующем:

для записи двоичного используются цифры 0 и 1 , любой разряд двоичного числа содержит один бит информации(2¹=2);

для записи восьмеричного числа используются цифры от 0 до 7 , любой разряд двоичного числа содержит три бита информации(2³=8);

для записи шестнадцатеричного числа используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F , любой разряд двоичного числа содержит четыре бита информации(2⁴=16).

Таким образом, для перевода в восьмеричную систему счисления целое двоичное число надо разбить на триады справа налево (при нехватке слева дополняем нулями) и преобразовать в восьмеричное согласно таблице 1:

Для перевода в восьмеричную систему счисления дробное двоичное число надо разбить на триады слева направо (при нехватке справа дополняем нулями) и преобразовать в восьмеричное согласно таблице 1:

Таблица 1

Для перевода в шестнадцатеричную систему счисления целое двоичное число надо разбить на тетрады справа налево (при нехватке слева дополняем нулями) и преобразовать в восьмеричное согласно таблице 2:

Для перевода в шестнадцатеричную систему счисления дробное двоичное число надо разбить на тетрады слева направо (при нехватке справа дополняем нулями) и преобразовать в восьмеричное согласно таблице 2:

Таблица 2

Для перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную надо цифры восьмеричного числа надо преобразовать в триады двоичных чисел согласно таблице 1.

Для перевода из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную надо цифры шестнадцатеричного числа надо преобразовать в тетрады двоичных чисел согласно таблице 2.

Двоичная арифметика

В двоичной арифметике справедливы все законы позиционных систем счисления:

-справедливы ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный законы;

-справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком.

Правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения, вычитания и умножения:

Таблица сложения Таблица вычитания Таблица умножения

0

1

0

0

0

1

0

1

+

0

1

0

0

1

1

1

10

-

0

1

0

0

11

1

1

0

В таблице вычитания дополнительная 1 означает заем из старшего разряда.

При делении столбиком в качестве промежуточных операций выполняются действия умножения и вычитания на основании приведенных таблиц.

Итоговая работа

Задания первого уровня

Задания второго уровня

Задания третьего уровня, творческого

1. Сколько единиц в двоичной записи числа 195?

2. Запишите в развернутом виде числа: А8=143511 А₁₆=1435,11 А₁₀=143,511

3. Выполните

арифметические

действия в двоичной системе счисления:

а) 1110+1001

б) 1110-1001

в) 1110*1001

г) 1010/10

4. Когда 2*2=100?

5. Чему равно значение выражения 10₁₆+10₈*10₂?

6. Вычислить сумму чисел

X и Y при X= 1D16 Y=728 Результат представить в двоичной системе счисления.

7. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3.

Урок № 1

Тема: Системы счисления. Непозиционные системы счисления.

Прогнозируемые результаты урока.

Знать:

1 определение понятий: цифра, число, система счисления, непозиционная система счисления

2 запись числа в непозиционных системах счисления

этапы

Упражнения первого уровня

Упражнения второго уровня

Упражнения третьего уровня

1

2

Какое число записано с помощью римских цифр MMIX

Запишите число 555 в римской системе счисления.

Исправьте неверные равенства, переложив одну палочку:

1) VII-V=XI

2) VI-I=III

3) IX-V=VI

Выполните действия:

1. MMMD+LX

2. DI-S

Домашняя работа

Запишите в римской системе счисления дату своего рождения

Напишите свою биографию, используя для записи дат римскую систему счисления

Придумайте свою непозиционную систему счисления

Урок № 2

Тема : Позиционные системы счисления.

Прогнозируемые результаты урока.

Знать:

1 примеры чисел различных позиционных систем счисления.

2 определения основных систем счисления.

3 запись числа в развернутой форме.

этапы

Упражнения первого уровня

Упражнения второго уровня

Упражнения третьего уровня

1

2

Записать в развернутом виде число:

А10=4718,63

А8=7764,1

Запишите первые пятнадцать чисел в:

троичной,

пятеричной,

шестнадцатеричной

системах.

Сравните числа:

510. и 58

Запишите в развернутом виде следующее число:

ACF3,B16

Решите задачу:

В саду 100q плодовых кустарников, из них 33 куста малины, 22 куста красной смородины, 16 кустов черной смородины, 17 кустов крыжовника. В какой системе счисления посчитаны деревья.

Домашняя работа

Выучить основные определения

Знать развернутую запись числа

Решите задачу:

Было 53q груши, после того, как каждую разрезали пополам, получили 136 половинок. В системе счисления с каким основанием посчитаны груши.

Урок № 3

Тема: Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную.

Прогнозируемые результаты урока.

1 знать: развернутую форму записи числа.

2 уметь: переводить числа из любой системы счисления в десятичную

этапы

Упражнения первого уровня

Упражнения второго уровня

Упражнения третьего уровня

1

Перевести число в десятичную систему счисления:

11012

0,1255

16,48

Представить в десятичной системе счисления число:

101,12

101,13

101,14

101,15

101,16

101,17

101,12

101,19

В коробке лежат 318 шаров. Среди них 128 красных и 178 желтых. Докажите, что здесь нет ошибки.

Домашняя работа

Выучить правила перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.

Перевести число в десятичную систему счисления:

1100112

345

1АВС16

В классе 11112

девочек и 10102

мальчиков. Сколько учеников в классе.

Сформулируйте критерий четности в двоичной системе счисления.

Урок № 4

Тема: Перевод чисел из десятичной в любую другую систему счисления.

Прогнозируемые результаты урока.

Знать:

1 целочисленное деление в системах счисления;

2 алгоритм перевода числа из десятичной в любую другую систему счисления.

этапы

Упражнения первого уровня

Упражнения второго уровня

Упражнения третьего уровня

1

Перевести число:

9710 в двоичную систему счисления;

12610 в восьмеричную систему счисления;

18010 в шестнадцатеричную систему счисления.

Перевести число:

0,62510 в двоичную систему счисления;

0,6562510 в восьмеричную систему счисления;

Перевести число:

18,3410 в двоичную систему счисления;

Кол-во значащих нулей в двоичной заприси десятичного числа132 равно?

А) 1;

Б) 2;

В) 3;

Г) 0;

Домашняя работа

Знать алгоритм перевода числа из десятичной в любую другую систему счисления.

Заполните таблицу

А2

А8

А10

А16

110101

217

261

4АС

Как представлено число 7510 в двоичной системе счисления:

1) 10010112

2) 1001012

3) 11010012

4) 1111012

Урок № 5

Тема: Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием 2ⁿ).

Прогнозируемые результаты урока.

Знать:

1 алгоритм перевода числа из двоичной в систему счисления с основанием 2ⁿ и обратно. 2 использование понятия триады и тетрады .

этапы

Упражнения первого уровня

Упражнения второго уровня

Упражнения третьего уровня

1

Перевести число:

1) 3616 в А2 ;

2) 34,58 в А2 ;

3) 1010,00111012 в А16 ;

4) 1010,00111012 в А8 .

Перевести число из восьмеричной в шестнадцатиричную:

1) 7778

2) 0,12348

Вычислить сумму чисел

X и Y при X= А716 Y=588 . Результат представить в двоичной системе счисления.

Домашняя работа

Выучить алгоритм перевода числа из двоичной в систему счисления с основанием 8 и 16 и обратно, используя триады и тетрады.

Перевести число:

1) EF16 в А8 ;

2) 4778 в А16 ;

3) 204 в А2 ;

4) 12,34 в А2 .

Урок № 6

Тема: Двоичная арифметика.

Прогнозируемые результаты урока.

Знать:

1 причины использования двоичной системы счисления в вычислительной технике;

2 алгоритм выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления.

этапы

Упражнения первого уровня

Упражнения второго уровня

Упражнения третьего уровня

1

Выполните

арифметические

действия в двоичной системе счисления:

а) 1001+1010

б) 1111+1

в) 1011-111

г) 1100-10

д) 1011*111

е) 11110/110

Выполните

арифметические

действия:

а) 12345+12345

б) 1023+2223

В классе 110002 учеников. Из них 110010% учатся на хорошо и отлично. Сколько учеников учатся на хорошо и отлично?

Домашняя работа

Выучить правила выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления.

Выполните

арифметические

действия:

а) 110010+111,01

б) 11110001111-110110001

в) 10101,101*111

г) 1010111/101

Оценка результативности изучения темы

Итоговые результаты можно оценить используя следующую таблицу: