Конспект урока по теме Формула суммы первых членов арифметической прогрессии

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

«Кулужбаевская основная общеобразовательная школа»

Конспект открытого урока

в 9 классе

«Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

подготовила учитель

Шарипова Ляля Ураловна

2015-2016учебный год

Цель: обеспечить усвоение учащимися формул суммы n первых

членов арифметической прогрессии, решение задач по теме

Задачи:

- обеспечить усвоение учащимися формул суммы n первых членов арифметической прогрессии; формирование умений и навыков находить сумму n первых членов арифметической прогрессии, применяя формулы; контроль ранее изученного;

- развитие умений учебного труда, внимания, речи, слушать, участвовать в коллективном обсуждении проблемы;

- воспитание активности, самостоятельности, ответственности, умения доводить начатое дело до конца.

Оборудование:

Тип урока: комбинированный

Технологии: проблемное обучение, тестовая, дифференцированное обучение.

Формы работы учащихся: самостоятельная, фронтальная

Прогнозируемый результат: в результате изучения материала учащиеся смогут применить полученные знания для решения стандартных задач по данной теме.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация ранее изученного и постановка цели урока.

3. Изучение нового материала.

4. Формирование умений.

а) работа по учебнику

б) самостоятельная работа - тест

5. Итог урока, сообщение домашнего задания.

ХОД УРОКА

I Организационный момент.

Проверка готовности класса к уроку.

II. Актуализация ранее изученного и постановка цели урока.

Учитель.

На предыдущих уроках мы с вами познакомились с последовательностями и способами их задания. Среди всего разнообразия мы особо выделили одну, называемую «Арифметической прогрессией». Вспомним, что мы знаем о ней.

Определение арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Математический диктант

Цель: контроль и коррекция ранее изученного, проверка осознанного выполнения домашнего задания, введение в новую тему.

1. Какая из последовательностей заданных формулой n-го члена, является арифметической прогрессией?

а) х_n= 2n +5 б) х_n = 3n(n + 2); в) х_n =

2. Дана арифметическая прогрессия (с_n): с_1; с₂; с₃; 29; 32; с₆; ….

Найдите: а) d; (3)

б) с_3; (26)

в) с₆; (35)

г) с₁; ( 20)

д) с₂; (23)

е) найдите сумму шести первых членов арифметической прогрессии. (165)

ж) найдите сумму 30-первых членов арифметической прогрессии. (1905)

(Здесь возникает вопрос: неудобно, громоздко)

Проблема: Нельзя ли решить эту задачу проще? Можно! Но для этого нужно познакомиться с формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Учитель Итак, тема урока «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии». Сформулируйте цели урока.

III. Изучение нового материала.

Учитель.

С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии связан эпизод из жизни немецкого ученого Карла Гаусса ( портрет). Это было в 18 веке. Существует предание о маленьком вундеркинде Карле Гауссе, будущем немецком математике, решившем в третьем классе очень быстро задачу о нахождении суммы чисел от 1 до 100.

Учитель математики должен был уйти и дал задание учащимся:

Найти сумму чисел от 1 до 100.Но не успел он уйти, как один мальчик поднял руку и дал ответ-5050.

-Как же ты это сосчитал?- спросил учитель

-Очень просто- ответил мальчик- я сложил 1 и 100 получил 101, потом сложил 2 и 99 снова получи 101 и т .д.

1 + 2 + 3 +…+ 98 + 99 + 100 = S.

100 + 99 + 98 +…+ 3 + 2 + 1 = S

101 + 101 + 101 +… + 101 +101 +101 = 2 S;

101 · 100 = 2 S; S = = 5050.

Нужно сложить 101 50 раз,т.е 101* 50= 5050.

Изумлённый учитель понял , что встретил самого способного ученика в своей жизни.

Это был Иоганн Фридрих Карл Гаусс.

Фридрих Гаусс родился в 1777 году в бедной семье: отец его перебивался случайными заработками. Но учителя в школе заметили способности ученика и помогли ему получить образование.

Это открытие маленького мальчика и дало толчок к выводу формулы суммы n первых членов ариф.прогрессии.

Учитель

Используя эти рассуждения найдем сумму n-первых членов арифметической прогрессии. (Вывод формулы S_n = .

Учитель.

Есть еще одна формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

S_n= ∙n

Как получить эту формулу из первой? (Выслушать предложения)

- Что должны знать, чтобы применить первую формулу? А вторую? А знаем формулу n-го члена арифметической прогрессии? Какие будут предложения? (Идет вывод второй формулы).

Примеры

1. Из диктанта вернемся к заданию №2 (е,ж). Найдите применяя формулу S₆ и S_30. ( 1 ученик-находит 1 сумму-165, 2 ученик-2 сумму-1905).

2. Из диктанта №1 рассмотрим формулу (а). Найдите S₄₀. (1880)

Пример 1. Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии

4; 5,5; … (712,5)

Пример 2. Найти сумму первых сорока членов последовательности (а_n),

заданной формулой а_n=5n-4. (3940)

Физминутка для снятия напряжения

• Сядьте так, как вам удобно, закройте глаза и слушайте своё дыхание.

• Следите за воздухом, как он проходит через нос при вдохе и выдохе

• Не пытайтесь сдерживать или направлять дыхание

• Произнесите про себя «вдох» и «выдох»

• Пусть ваше тело расслабится

• Расслабьте глаза, нос, щеки и рот

• Расслабьте шею и плечи Почувствуйте, как расслабление идет вниз по рукам.

• Вы ощущаете, как расслабляется ваш живот, ваши бедра, таз

• Вы ощущаете, как напряжение ослабляет в ваших бедрах, коленях, ваши лодыжки,

ступени и пальцы ног расслаблены

• Теперь вернитесь к своему дыханию. Вдохните и выдохните.

• Когда вы вдыхаете, вдохните в себя позитивные мысли и приятные чувства.

• На выдохе выдохните всё отрицательное, гнев, разочарование

• Вдохните и выдохните

• Сосчитайте от 1 до 10. Ощутите пространство и класс.

• Медленно откройте глаз.

IV.Формирование умений.

1.Установите порядок действий для вывода формулы суммы S_n n-первых членов арифметической прогрессии:

Записать сумму S_n членов арифметической прогрессии от первого до

n-го, расположив слагаемые в порядке убывания их номеров под

аналогичным равенством.

Выразить сумму S_n из последнего равенства.

Обратить внимание на то, чему равна сумма каждой пары членов

прогрессии, расположенных друг под другом, и сколько таких пар.

Сложить почленно оба равенства.

Записать сумму S_n членов арифметической прогрессии от первого до

n-го, расположив слагаемые в порядке возрастания их номеров.

2. Выбрать формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии:

а) S_n = б) S_n=; в) S_n= ∙n; г) S_n =

3. Найти сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии, если а₁ = 10;

а₃₀ =25.

а) 17,5; б) 525; в) 35; г) 1050

а) Работа по учебнику: № 603 (б); №604 (а); №606 (а);

V. Первичная проверка знаний.

Вариант 1

Вариант 2

1. а_n = 3n + 11.

Найдите а₁₀

1. с_n = 4n - 9.

Найдите с₁₀

2. Найти сумму первых восемнадцати

членов арифметической прогрессии

4; 7; …

2. Найти сумму первых семнадцати

членов арифметической прогрессии

5; 9; …

3. Найти S₂₅ арифметической

прогрессии (а_n), если а₅ = 12; а₁ = 4.

3. Найти S₃₅ арифметической

прогрессии (а_n), если а₃ = 18; а₁ = 8.

V. Итог урока, сообщение домашнего задания.

а) Рефлексия:

Ответить на вопросы.

Как мы выполнили свою учебную задачу?

Как мы можем оценить свою работу на уроке? Почему?

С каким настроением мы заканчиваем урок?

Что вы запомнили?

Что было легко?

Что было трудно?

Оцените свою активность на уроке по шкале от 0-5

Какую отметку вы себе поставили за работу?

б) Сообщение и разбор домашнего задания:

п. 26; №603(а); №606 (б); № 610 (разобрать).

в) Всех поблагодарить за работу на уроке.

Вариант 1

Вариант 2

1. а_n = 3n + 11.

Найдите а₁₀

1. с_n = 4n - 9.

Найдите с₁₀

2. Найти сумму первых восемнадцати

членов арифметической прогрессии

4; 7; …

2. Найти сумму первых семнадцати

членов арифметической прогрессии

5; 9; …

3. Найти S₂₅ арифметической

прогрессии (а_n), если а₅ = 12; а₁ = 4.

3. Найти S₃₅ арифметической

прогрессии (а_n), если а₃ = 18; а₁ = 8.

Литература

1. М.Р. Леонтьева, С.Б. Суворова. Упражнения в обучении алгебре. Книга для учителя. Москва «Просвещение» 1985.

2. Ю.Н. макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под редакцией С.А. Теляковского. Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Москва «Просвещение», 2010.

3. И. Шальнов, С. Шальнова. Тесты к школьному учебнику: Алгебра. 9 класс: справочное пособие. Москва «АСТ-ПРЕСС» 1998.