Уварова Е.А.

Задачи оптимизации

А) Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.

1. При каком значении параметра t площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x⁴+2x² , касательной к нему, проведенной в точке графика с абсциссой t, и прямой x=t-1, наименьшая?(*)

Решение. Установим, что любая касательная к графику функции лежит не выше графика самой функции. Запишем уравнение касательной к графику данной функции в его точке с абсциссой t: y = (t⁴+2t²)+(4t³+4t)(x-t). Составим разность y(x)-y=x⁴+2x²-((t⁴+2t²)+(4t³+4t)(x-t))=x⁴-t⁴+2(x²-t²)-(x-t)(4t³+4t)=(x-t)(x³+x²t+xt²+t³+2x+2t-4t³-4t)=(x-t)(x³+2x²t-x²t+3xt²-2xt²-3t³+2(x-t))=(x-t)²(x²+2xt+3t³+2)=(x-t)²((x+t)²+2t²+2) 0 для всех х.

Теперь вычислим площадь фигуры

Так как при t=0,25 и меняет в этой точке знак с минуса на плюс, то t=0,25 -точка минимума, и наименьшее значение площадь указанной фигуры достигает при этом значении параметра.

Ответ: при t=0,25.

2. Криволинейная трапеция ограничена параболой y=-x²/3 +4 и осью абсцисс. Рассматривается множество прямоугольников, вписанных в эту трапецию, у которых две вершины лежат на оси абсцисс, а две другие - на параболе. Какой из этих прямоугольников имеет наибольшую площадь?

Ответ: прямоугольник с координатами вершин (2;0),(-2;0),(2;),(-2; ).

Б) Оптимизация расстояния до точки на графике функции.

1. Определите координаты точки графика функции , расстояние от которой до точки В(-2;0) наименьшее.(*)

Ответ:

2. Определите координаты точки графика функции , сумма расстояний от которой до осей координат минимальна.(*)

Ответ: (-1;1).

3. Точка M(x;y), декартовы координаты которой удовлетворяют условиям a²x-y=2a²-2b, x-by=2-2a², лежит на прямой y=2-x. При каких a и b эта точка наиболее близко расположена к точке N(3;-1)?(***) (ВМК, 1993г.)

Решение. Координаты точки М(х;у) удовлетворяют системе

которая имеет решение при условии пропорциональности коэффициентов двух последних уравнений (так как а²+10):

В первом случае получаем при всех а: (поскольку при b=a² из второго уравнения системы получаем учитывая также, что Причем

Во втором случае при подстановке во второе или третье уравнение системы

b= -a²-1 получаем х = 4 и MN²=2(4-3)²=2 для всех а.

Ответ: (0;0); (а;-а²-1), а(-;).

4. Перо графопостроителя вычерчивает график функции y=x-2cos x для всех х из промежутка [-;]. Найти координаты точки графика, наиболее удаленной от оси абсцисс.

Ответ:

В) Планиметрические задачи

1. В треугольнике АВС со стороной АС=8 проведена биссектриса ВК. Известно, что площади треугольников АВК и ВКС относятся как 3:1. Найти биссектрису ВК, при которой высота, опущенная из вершины В на АС, будет наибольшей.(**) (экономический ф-т, 1995 г.)

Решение. Так как площади треугольников АВК и ВКС относятся как 3:1, то АК:КС=3:1. По свойству биссектрисы угла треугольника АВ:ВС=3:1. Пусть эти стороны равны соответственно 3х и х. По теореме косинусов .

Задачу можно переформулировать следующим образом: найти биссектрису угла В треугольника АВС, при которой значение площади данного треугольника будет наибольшим. S_ABC = ABBCsinB/2. Тогда

При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, т.е. -точка максимума функции площади. Так как на интервале (2;4) точка экстремума единственная, то наибольшее значение функции совпадает с ее максимумом.

Для нахождения ВК вычислим косинус угла (учитывая, что С:

Ответ:

2. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равно 15. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

Ответ: 30.

3. Из прямоугольной трапеции с основаниями 80 и 60 и высотой 100 вырезают прямоугольник наибольшей площади. Вычислить эту площадь.

Ответ: 6000.

Г) Стереометрические задачи.

1. Вокруг сферы радиуса r описан прямой круговой конус. Найти наименьшее значение объема конуса и отношение высоты конуса к радиусу сферы при этом объеме. (**) (географический ф-т, 1995 г.)

Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса:

Обозначим BD за х. Из прямоугольного треугольника ОВН выразим

При прохождении через точку x=4r производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, эта точка является точкой минимума, а в силу единственности точки экстремума на области определения в этой точке достигается наименьшее значение функции. Отношение высоты конуса к радиусу сферы равно 4.

Ответ:

2. Найти наибольшее значение объема пирамиды SABC при следующих ограничениях:(**)(мехмат,1994 г.)

Ответ:

3. Заводу поручено изготовить резервуары емкостью 4 м³, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, открытые сверху и покрытые изнутри оловом. Какими следует выбрать размеры резервуара, чтобы израсходовать наименьшее количество олова? (Толщиной стенок пренебречь.)

Ответ: 2м х 2м х 1м.

4. Найдите наибольший объем правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром .

Ответ: .

5. Сумма всех ребер правильной шестиугольной призмы равна 36. Найти сторону основания призмы, при которой объем призмы наибольший.

Ответ: 2.

Замечание. Задачи, помеченные знаком (*), подобраны из сборника заданий для подготовки к экзаменам в классах с углубленным изучением математики. Задачи со знаками (**) и (***) предлагались на вступительных экзаменах в МГУ и. М.В.Ломоносова (количество * отражает уровень сложности). Задачи, не отмеченные знаками, рассчитаны на обязательный уровень обученности учащихся. Их источниками служили учебник Мордковича А.Г. и др. и дидактические материалы по алгебре и началам анализа под редакцией Ивлева Б.М. и др.