КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДАН ТҰРАТЫН ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ

КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДАН ТҰРАТЫН ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ.

Әдетте кері тригонометриялық функциялармен байланысты есептер жоғарғы сынып оқушыларына жоғары дәрежеде қиындықтар туғызады, себебі қолданыстағы оқу құралдарында жеткілікті дәрежеде көңіл бөлінбейді, ал кері тригонометриялық функциялардың теңдік пен теңсіздіктері жоқтың қасы деуге болады. Сонымен қатар олардың уақыттарының көбі ҰБТ-ға дайындалуға арналады да, көбінесе трафаретті, стандартты есептерді шығарумен шектеледі. Оқушылардың шығармашылық қабілетін дамытып, математикаға деген сүйіспеншілігін арттыру үшін кері тригонометриялық теңдеу пен теңсіздіктерді шығаруға дағдыландыру олардың танымдылық қызығушылығын қалыптастырып, зерттеушілік қабілетіне оң әсер етеді. [1]

Көп жағдайда есептердің шешімдері «функционалдық» деңгейде іске асырылады, яғни, графиктік әдіспен немесе қатынастың екі жағындағы функциялардың қасиеттерін салыстыру, функциялардың композициясын, монотондығын, шектелгендігін, туындысын т.с.с. логикалық сараптауды қажет етеді. Сөзіміз дәлелді болуы үшін бірнеше жаттығулардың шешу жолдарын көрсетейік.

1- мысал. Теңдеуді шеш: [2]

Шешуі: , , , мұндағы .

Жауабы: .

2-мысал. Теңдеуді шеш:

Шешуі:

, ал оң жағы теріс, сол себепті бөгде түбір.

Жауабы: -1.

3-мысал. Теңдеуді шеш:

Шешуі:

. +

жүйенің шешімі болмайтынын көреміз.

Жауабы: .

4-мысал. функциясының ең үлкен, ең кіші мәндерін табайық.

Шешуі:

және функция әрқашанда өспелі, олай болса сол себепті ең кіші мәні ең үлкені

Жауабы:

5-мысал. теңдеулер жүйесін шешейік.

Шешуі: функциялардың шектелген қасиеттері бойынша және болғандықтан жүйенің бірінші теңдеуінен аламыз, онда Екінші теңдеуіне апарып қойсақ, онда немесе бұдан шығады.

Жауабы:

6-мысал. теңсіздігін шешейік.

Шешуі: Мүмкін мәндер жиынын қос теңсіздігінен анықтаймыз, онда .

Берілген теңсіздік теңсіздігіне эквивалентті, (себебі немесе . Мүмкін мәндер жиынын ескеріп аламыз. Сол жағы немесе теңсіздіктерін қанағаттандырса, оң жағының шешімі қос теңсіздігі. Ең соңында аламыз.

Жауабы: .

7-мысал. k-ның бүтін мәндерінде жүйенің барлық шешімдерін анықтайық.

Шешуі: Кері тригонометриялық функциялардың анықтамаларынан

бірінші теңдеуден Бұдан k-ның мүмкін мәндері болып тек қана 0 және 1 табылады.

болса жүйенің шешімі болмайтыны өзінен - өзі түсінікті. Егер болса деп белгілесек, онда бірінші теңдеуден Екі мәндерінен бізді шешімі қанағаттандырады, себебі

Жауабы:

8-мысал. теңсіздігін шешейік. [3]

Шешуі: Функция сегментінде анықталған, сол себепті Егер , ал анықтама бойынша , яғни Сонымен, . Берілген теңсіздіктің сол жағы ден артпайтынын көреміз, мини - макс принципі бойынша тек қана қатынастары орындалғанда шешімі бар, сонымен ,

Жауабы: (0; 0).

9-мысал. теңдеуін шешейік.

Шешуі: функциясының қасиетінен және

Сондықтан олай болса немесе Сонымен қатар бұл теңсіздіктер бір мезгілде тек және мәндерінде орынды.

Жауабы: және

10-мысал. функциясының ең үлкен, ең кіші мәндерін табайық.

Шешуі: болғандықтын,

, онда Функция өз анықталу облысында кемімелі болғандықтан Cондықтан функцияның ең үлкен мәні , ал ең кіші мәні тең.

Жауабы:.

11-мысал. теңсіздігін шешейік.

Шешуі: Теңсіздікті түрінде жазайық, анықталу облысы болғандықтан Олай болса берілген қатынастың оң жағының ең кіші мәнінді болғанда қабылдайды. Ал қасиетінен сол жағынын ең үлкен мәніне ді ие болады. Олай болса мини - макс принципінен берілген жүйенің жалғыз шeшімінің бар болатынын көреміз.

Жауабы: (0; 1).

12-мысал. теңсіздігін шешейік.

Шешуі: функциясын енгізіп теңсіздігін шешу үшін интервалдар әдісін қолданайық.

Алдымен функцияның анықталу облысын тауып алайық, кері функциялардың анықтамасынан

= тің нөлдерін анықтайық.

Ол үшін теңдеуін шығарамыз.

бөгде түбір, себебі болғандықтан интервал әдісінен орынды болатынын көреміз.

Жауабы:.

Ескерту: Интервал әдісіне жүгінбей анықталу облысында

ал болатынын ескеріп берілген теңсіздіктің шешімі кесіндісі екеніне көз жеткізуге болады. Дегенмен, интервал әдісі әмбебап, функцияның монотондық қасиеті болмаған жағдайына да қолдануға болады.

Қарастырылған есептер негізінен стандартты емес әдістермен шешілетін жаттығуларға жатады, сол себепті әрбір мысалда шешу тәсілдері бір-біріне көп ұқсамайтыны көрініп тұр. Келешекте аналитикалық және графиктік әдістердің комбинациясымен қалай шешілетінін және параметрден тәуелді кері тригонометриялық функциялардың теңдеулері мен теңсіздіктерін зерттеу туралы ой қозғалады.

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ:

1. Серікболқызы Н., Апышев О.Д. Интеграл және тригонометриялық функциялар. «Ғылым мен бизнестің кооперациясы: мәселелері мен болашағы» атты жас ғалымдар мен студенттердің ІІІ Республикалық ғылыми-тәжірибелік конференция. 2013, 3-5 сәуір. Өскемен. С. Аманжолов атындағы ШҚМУ баспасы, 1 бөлім, 105-109 б.

2. Серікболқызы Н., Апышев О.Д., Мадияров М.Н. Кері тригонометриялық функция және интеграл. «Қазіргі кезеңдегі жоғарғы кәсіби білім берудің дәстүрлері мен жаңартулары». «Уәлиев оқулары-2013» Республикалық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдарының жинағы. Өскемен. С. Аманжолов атындағы ШҚМУ баспасы, 2013ж, 26-27 қараша, 2 бөлім, 218-222 б.

3. Арлазаров В.В. и др. Лекции по математике для физико-математических школ, часть II, Учебное пособие, М. Изд. ЛКИ,2008.,264с.