- Преподавателю
- Математика
- Цикл уроков по математике: «Квадратные уравнения»
Цикл уроков по математике: «Квадратные уравнения»
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Костенко С.В. |
Дата | 26.10.2012 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Урок №1 Класс 8-А Дата 23.01
Тема: Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.
Цель: - ввести понятие квадратного уравнения и неполного квадратного уравнения; научить учащихся решать неполные квадратные уравнения;
- развивать познавательный интерес;
- воспитывать аккуратность, самостоятельность.
Тип урока: урок усвоения новых знаний.
Ход урока.
-
Вступительное слово учителя:
Квадратные уравнения умели решать близко 2 тыс лет до н.э. в Вавилоне по правилам, что по сути совпадают с современными. Умели решать квадратные уравнения и в давней Индии, индийский ученый Брахмагупта дал общее правило решения уравнений ах2 +вх=с. Умел решать квадратные уравнения в XVIII веке и среднеазиатский математик Аль-Хорезми. Трактат ал-Хорезми - это первая книга, которая дошла до нашего времени, в которой предложены формулы решений квадратных уравнений.
Есть задачи, которые приводят к квадратным уравнениям и в известной «Арифметике» греческого математика Диофанта.
Выведение корней квадратного уравнения общего вида встречается у Виета. С XVII века благодаря трудам Декарта, Ньютона, Жирара решение квадратных уравнений приобретает современный вид.
-
Мотивация. Создание проблемы.
Задача. У прямоугольника длина на 4 см. больше его ширины. Найти его стороны, если площадь равна 60 см2.
х(х+4)=60
х2+4х-60=0
-
Изучение нового материала.
- Ввести понятие квадратного уравнения или уравнения второй степени с одной неизвестной.
ах2 +вх+с=0.
а, в, с - числа, а≠0, х - переменная.
- Закрепление: Какие из уравнений квадратные?
х2 -5х+3=0
3-х=0
3х-1=0
-х2 +2х=0
3х2 -1=0
х2 =0
В данных уравнениях найти 1-й , 2-й коэффициенты и свободный член.
3х2 +5х+7=0
-х2 -2х+3=0
х2 -х+5=0
-0,5х2 +6х-8=0
7х -8+ х2=0
- Ввести понятие неполного квадратного уравнения. Предложить детям самим составить неполные квадратные уравнения. В ходе эвристической беседы подвести детей к решению 3-х видов неполных квадратных уравнений.
ах2 +вх+с=0, а≠0
с=0
в=0
в=0, с=0
ах2 +вх=0
х(ах+в)=0
х=0 или ах+в=0
ах=-в
х=-
Ответ: х1=0
х2=-
ах2 +с=0
ах2 =-с
х2=-
Ответ: если - >0, то х1,2=±;
если -<0, то решений нет.
ах2 =0
х2=0
х=0
Ответ: х1=х2=0
-
Закрепление:
№ 293 (а, г), № 294 (б, в), №295 (б, в), № 296 (б, в), № 298, № 200, № 309 (б).
№ 293 а) 2х(х-3)=50, г) (1-х)(3х-2)=2х+х2,
2х2-6х-50=0 -4х2+3х-2=0.
№ 294 б) у2=0, в) -z2=0
у2=0, у=0 z=0
Ответ: 0 Ответ: 0
№295 б) 3z2-z=0 в) 2c=c2
3z(z-2)=0 c2-2c=0
z1=0 или z2=2 c=0 или c=2
Ответ: 0; 2. Ответ: 0; 2.
№ 296 б) 2х2-8=0 в) -х2+1=0
2(х-2)(х+2)=0 -х2=-1
х-2=0 или х+2=0 х1,2=±1
х1=2, х2=-2
Ответ: 2; -2. Ответ: 1; -1.
№ 298 а) (z+2)(z-2)=0 б) (х+2)(х-2)=4
Ответ: z=±2 х2=8
х1,2=±=±
Ответ: ±
№ 300 а) 4х2-2х=х(х-2) б) 8-6z=2z(z-3)
3х2=0 2z2-8=0
Ответ: 0 Ответ: ±
№ 309 б) х2-=0,81
х=±0,9, -0,9 не удовлетворяет условию
Р=40,9=3,6 (м)
Ответ: 3,6 м.
-
Итоги урока. Рефлексия.
- С каким видом уравнений мы познакомились?
- Какие уравнения называются неполными?
- Какими способами мы можем решить неполные квадратные уравнения?
-
Домашнее задание.
§39, № 293(д, е), № 295 (а), № 296 (а), № 297, № 299.
Урок № 2 Класс 8-А Дата 24.01
Тема: Решение неполных квадратных уравнений.
Цель: - формировать умения и навыки при решении неполных квадратных уравнений и уравнений, которые сводятся к ним;
- развивать память, мышление;
- воспитывать культуру, активность, трудолюбие.
Тип урока: урок формирования умений и навыков.
Ход урока.
-
Проверка домашнего задания.
-
Наличие проверяют консультанты.
-
Все учащиеся класса выполняют математический диктант. Один из учеников - на откидной доске. В конце самопроверка.
Математический диктант.
Решите уравнения:
а) 3х2-9х=0; б) 3х2-48=0; в) (х-1)(х+1)=2(х2-5)
Ответ: 0; 3. Ответ: ±4. Ответ: ±3.
-
Актуализация опорных знаний.
Упражнение «Микрофон».
Вопросы, которые необходимо осветить:
-
Определение квадратного уравнения. Пример.
-
Как называются числа а, в, с?
-
Определение неполного квадратного уравнения.
-
Виды этих уравнений и их решение. Примеры.
-
Устно.
-
Решить уравнения:
-
х2-36=0; 2х2=18; х2+2х=0; х2+16=0; 3х2=0.
-
Назвать числовые коэффициенты и свободный член квадратных уравнений:
5х2 -3х+7=0 х2 -х-1=0
-3х2 +х+5=0 х2 -7=0
3х2 -х-11=0 х2 -4х=0
х2 +5х-7=0 х2 +9х=0
-х2 -2х+1=0 5х2 +25=0
0,5х2 +3х-2=0 -х2 +х=0
-
Формирование умений и навыков решать неполные квадратные уравнения.
-
По 2 человека - на доске.
а) х2=3х б) (х+5)(х-1)=4х
х(х-)=0 х2-5=0, х2=5
Ответ: 0; Ответ: ±
в) (2х+1)=4(х-2) г) =, х≠-3
4х2=-9 х2 -9=5
х2=- х2 =14
Ответ: решений нет. Ответ:±
д) 3(у2-1)=(у-1)(у+3) е) (3х+1)2=6(х-4)
2у2 -2у=0 9х2=-25
2у(у-1)=0
Ответ: 0; 1. Ответ: решений нет
ё) , z≠1 ж)
z2-1=8 4(8х2+2)-5(9х2-5)=40
z2=9 -13х2 =7
z=±3 х2=-
Ответ: ±3 Ответ: решений нет
-
Самостоятельное решение с взаимопроверкой.
№ 301 (а), № 302 (б), № 303 (а), № 304 (а).
№ 301 (а)
5х2+3х+7=7(х+1)
Ответ: 0;
№ 302 (б)
3(х2+5)=4х2+х(1-х)
Ответ: 15
№ 303 (а)
2(х2-1)=(х-1)(х+1)
2х2-2= х2-1
х2=1
Ответ: ±1
№ 304 (а)
4(4-х2)=3(3х2 -2)
16-4х2=9х2-6
13х2=22
х2=
Ответ: ±
-
Итог урока.
На уроке познакомились с решениями неполных квадратных уравнений; выяснили, что уравнение может иметь два равные по модулю, но противоположные по знаку корни, и не иметь совсем корней. Вспомнили формулы сокращенного умножения, приведение дробей к общему знаменателю и основное свойство пропорции.
-
Домашнее задание.
§39, № 301 (а), № 302 (б), № 304 (б), № 309 (б).
Урок № 3 Класс 8-А Дата 28.01
Тема: Решение неполных квадратных уравнений.
Цель: - закрепить и проверить знания и умения учащихся решать неполные квадратные уравнения;
- развивать умения учебно-познавательной деятельности;
- воспитывать настойчивость у учащихся для достижения конечных целей.
Тип урока: урок проверки и коррекции знаний.
Ход урока.
-
Проверка домашнего задания.
-
Наличие проверяют консультанты.
-
«Работа в парах». Вначале 1-й ученик выполняет, 2-й проверяет. Затем ролями меняются.
Для 1-го ученика: Для 2-го ученика:
а) а)
б) (5х+1)2=10(х-2) б) (3х+2)2=12(х-1)
Решение Решение
а) 3(3х2-5х)=2(х2+х) а) 5(5х2-х)=4(4 х + х2)
7 х2-17х=0 29 х2-21х=0
х(7х-17)=0 х(29х-21)=0
х=0 или 7х-17=0 х=0 или 29х-21=0
7х=17 29х=21
х=17/7 х=21/29
х= х=
Ответ:0, Ответ: 0,
б) 25 х2=-21 б) 9 х2=-16
х2=- х2=-
Ответ: решений нет Ответ: решений нет
-
Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос.
-
Сформулировать определение полного квадратного уравнения
-
Примеры неполных квадратных уравнений.
-
Сколько корней имеет полное квадратное уравнение?
-
Устно решить уравнения:
а) 1-4 х2=0; б) 4 х2-4х=0; в) 5 х2=0;
г) 6 х2-2=0; д) х2-5х=0; е) .
-
Решение уравнений и задач.
№ 315. Запись на доске. Упражнение «Аквариум».
Решение:
Х - сторона большего квадрата.
Р1кв.больш.=4х (см), Р2 кв. меньш.=(4х-8) см его сторона см.
S1=x2, S2=(x-2)2
х2=4(х-2)2
-
Решение уравнений. Игра «Змейка». 3 команды.
1-я команда:
-
9 х2-1=0; х=±;
-
1-25 х2=0; х=±;
-
5х2-35х=0; х=0; х=7;
-
(х+5)(х-4)=-20; х=0; х=7;
-
-5 х2+7х=0. х=0; х=1,4.
2-я команда:
-
4 х2-16=0; х=±;
-
100 х2-1=0; х=±;
-
6 х2-36х=0; х=0; х=6;
-
(х-4)(х+3)=-12; х=0; х=1;
-
-6 х2+11х=0. х=0; х=
3-я команда:
-
5х2-125=0; х=±5;
-
1-81 х2=0; х=±;
-
3 х2-18х=0; х=0; х=6;
-
(х+7)(х-3)=-21; х=0; х=-4;
-
-4 х2+5х=0. х=0; х=
-
Самостоятельная работа (с копиркой).
1 вариант 2 вариант
-
Решить уравнения:
а) -0,2 х2+4=0; а) 3 - 0,4х2=0;
б) х2+х=0; б) х2 - х=0;
в) (2х - 1)2=1 - 4х; в) (3х+2)2=4+12х;
г) 3 - (4х+1)(3-х)= х2 г) х2 - (2х-3)(1-х)= 3.
-
При каком значении а один из корней данного уравнения равен 1:
3х2-ах=0 3х2-а=0.
В конце работы учитель собирает работы, а ребята в парах проверяют, обговаривают свое решение. (На доске учитель записывает ответы для данных уравнений).
-
Итог урока.
-
Домашнее задание:
Сборник Мерзляк 3 вариант № 72, № 73(1).
Дополнительно: При каком а корни данного уравнения являются противоположными числами:
х2+(а -2) х+а - 6=0.
(Ответ: при а=2).
Урок № 4 Класс 8-А Дата 30.01
Тема: Формула корней полного квадратного уравнения.
Цель: - вывести формулу для решения квадратных уравнений; формировать умения находить дискриминант и корни квадратного уравнения;
- развивать логическое мышление, культуру записи;
- воспитывать настойчивость у учащихся для достижения конечных целей.
Тип урока: урок усвоения новых знаний.
Ход урока.
-
Проверка домашнего задания.
За рекомендациями учителя оценивают консультанты.
-
Актуализация опорных знаний.
Среди уравнений
-
11х2=121; 2) х2-3х=0; 3) х2=8х-16; 4) х2-3х=-11
назвать те, что:
а) есть полными квадратными уравнениями;
б) есть неполными квадратными уравнениями;
в) можно представить в виде (х-4)2=0;
г) имеют корни х1,2=±
д) имеют решением число 0.
-
Мотивация.
Мы уже научились решать неполные квадратные уравнения, но вы знаете, что существуют еще и полные квадратные уравнения. Их обычно решают по формуле, которую также можно использовать для решения неполных квадратных уравнений, а также уравнений с параметрами.
Решению квадратных уравнений известный украинский математик, профессор Николай Чайковский (1887-1970) посвятил свои труды.
-
Восприятие и осознание выведения формулы полного квадратного уравнения.
-
В уравнениях назвать коэффициенты а, в, с.
а) 9х2+6х+1=0; б) х2-4х+4=0;
в) х2+24х=0; г) 2х2+28=0.
-
Представить в виде квадратного двучлена выражения:
а) х2-6х+9 Ответ: (х-3)2
б) 4х2+20х+25 Ответ: (2х+5)2
в) 16х2+ 8х+1 Ответ: (4х+1)2
г) 36х2-60х+25 Ответ: (6х-5)2
-
Решите уравнения: Проблемная ситуация.
а) 9х2-12х+4=0.
Решение:
(3х-2)2=0,
3х-2=0,
х=
Ответ:
б) х2+8х+26=0,
Решение:
(х+4)2=0,
х+4=0
х= - 4,
Ответ: -4.
-
Решить уравнения, выделив квадрат двучлена:
а) х2-6х+8=0, б) 5х2+2х - 3=0,
Решение: Решение:
(х2-2х3+9)-9+8=0, 25х2+10х-15=0,
(х-3)2-1=0, (25х2+25х1+1)-1-15=0,
(х-3-1)(х-3=1)=0, (5х+1)2-16=0,
х=4 или х=2. (5х+1)2-42=0,
Ответ: 4; 2. (5х+1-4)(5х+1+4)=0,
х=0,6 или х=-1,
Ответ: 0,6; -1.
-
Выведение формулы корней квадратного уравнения.
Выведем формулу корней квадратного уравнения ах2+вх+с=0.
Умножим обе его части на 4а (а≠0).
4а2х2+4авх+4ас=0,
(2ах)2+22ахв+в2-в2+4ас=0,
(2ах+в)2-в2+4ас=0,
(2ах+в)2=в2-4ас.
в2-4ас=Д, Д - дискриминант ( от лат.»различает»)
-
Если Д<0, то выражение 2ах+в отрицательное и данное уравнение корней не имеет.
-
Если Д=0, то 2ах+в=0, откуда х1,2== =
-
Если Д>0, то (2ах+в)2=()2, откуда
2ах+в= или 2ах+в=
х= х=
Итак: ах2+вх+с=0, а≠0.
х1,2=, где Д= в2-4ас
-
Применение формул.
Решить уравнения:
а) 3х2+4х+1=0, б) 5х2+2х+3=0, в) 8х2+4х+0,5=0.
Решение
а=3, в=4, с=1 а=5, в=2, с=3 а=8, в=4, с=0,5
Д=42-431=4 Д=22-453=-56 Д=42-480,5=0
Д>0, х1,2= Д<0, решений нет Д=0, х=
Ответ: ; -1. Ответ: решений нет. Ответ: .
-
Решить уравнения. (самостоятельно; взаимопроверка)
Учебник Бевз № 327(а), №326 (г), № 326(в)
№ 327(а)
2х2-7х-30=0
а=2, в=-7, с=-30
Д= (-7)2-42(-30)=289
Д>0, х1,2=
Ответ: 6; -2,5.
№326 (г)
8z2-z+4=0
a=0,5, b=2, c=2
Д= (-1)2-484=-127
Д<0, решений нет
Ответ: решений нет.
№ 326(в)
0,5х2+2х+2=0
а=0,5, в=2, с=2
Д= 22-40,52=0
Д=0, х= =-2
Ответ: -2.
-
Рефлексия.
-
Что новое на уроке мы узнали?
-
Что было сложно на уроке?
-
Домашнее задание.
§ 40 № 318, № 327(б), № 330.
Урок № 5 Класс 8-А Дата 31.01
Тема: Формула корней полного квадратного уравнения.
Цель: - сформировать знания, умения и навыки при решении квадратных уравнений методом выделения квадрата двучлена;
- развивать навыки самоконтроля;
- воспитывать самостоятельность, чувство ответственности.
Тип урока: урок закрепления изученного материала.
Ход урока.
-
Проверка домашнего задания.
Работа в парах. Взаимопроверка.
-
Актуализация опорных знаний.
-
Дать определение квадратного уравнения.
-
Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
-
От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
-
Что называется дискриминантом?
-
Записать формулу корней квадратного уравнения.
-
Формулы (а±в)2.
-
Устно:
-
Представить в виде квадрата двучлена:
х2+6х+9= (х+3)2
х2 - 14х+49= (х-7)2
4а2+12а+9= (2а+3)2
в2 - 2в+9= (х-3)2
-
Решить уравнения:
а) m2-12m+36=0 б) х2+14х+49=0
Решение: Решение:
(m-6)2=0 (х+7)2=0
m=6 х=-7
Ответ: 6 Ответ: -7
-
Письменно.
-
Решить уравнения, выделив квадрат двучлена.
(Учитель направляет деятельность учащихся наводящими указаниями)
№322 а) 4х2+4х-15=0
(1 чел. у доски) Решение:
(2х2)+22х1+1-1-15=0
(2х+1)2-16=0
(2х+1)2-42=0 - разность квадратов
(2х+1-4)(2х+1+4)-0
2х-3=0 или 2х+5=0
х=1,5 х=-2,5
Ответ: 1,5; -2,5.
Работа в парах (по образцу)
б) 9у2+18у+8=0
Решение:
(3у)2+23у3+9-9=8=0
(3у+3)2-12=0
(3у+3-1)(3у+3+1)=0
3у+2=0 или 3у+4=0
3у=-2 у=-
у=-
Ответ: ; .
№ 324 а) 2в2=9в-10
2в2-9в+10=0 ×2
4в2-18в+20=0
(2в)2-22в+20,25-20,25+20=0
(2в-4,5)2-0,25=0
(2в-4,5-0,5)(2в-4,5+0,5)-0
2в=5 или 2в=4
в=2,5 в=2
Ответ: 2,5; 2.
-
Использование формулы корней квадратного уравнения.
№ 331 (2 чел у доски)
а) 2р2-7р+6=0 б) 10а2-53а+15=0
Д=49-426=1 Д=2809-600=2209
р1=2; р2= а1=5; а2=0,3
Ответ: 2; 1,5. Ответ: 5; 0,3.
(4 чел у доски)
а) 3у2-13у+4=0 б) 12в2+в-6=0 в) 3х2-4х-5=0 г) а2-8а+18=0
Д=169-412=121 Д=1-412(-6)=289 Д=16-43(-5)=76 Д=64-418=-8
у1=4; у2= в1=; в2= х1,2= Д<0
Ответ: 4; . Ответ: ; . Ответ: . Ответ: решений нет.
№ 335 (б) 1 вариант
×2
х2-5х-14=0
Д=81
х1=7; х2=-2
Ответ: 7; -2.
№ 335 (а) 2 вариант
5х2-7х+2=0 ×6
30х2-43х+15=0
Д=49
х1=; х2=
Ответ:; .
!!! Прежде обсудить ход решения. После решения по вариантам - взаимопроверка.
-
Итоги. Рефлексия.
-
Домашнее задание.
№ 323(а), № 332, №334, №336(а).
Урок № 6 Класс 8-А Дата 04.02
Тема: Решение уравнений, приводимых к квадратным.
Цель: - научится приводить уравнения к виду ах2+вх+с=0 и решать их;
- развивать познавательный интерес;
- воспитывать аккуратность.
Тип урока: урок применения знаний и умений.
Ход урока.
-
Проверка домашнего задания.
Самостоятельная работа на 12 мин.
1 вариант 2 вариант
-
Решить уравнения:
а) х2-6х-27=0 (9;-3) а) х2-4х-32=0 (8; -4)
б) 10х2-9х+2=0 (;) б) 6х2-5х+1=0 (;)
в) х2+8х-13=0 (-4±) в) х2+6х-15=0 (-3±)
г) 9х2+42х+49=0 (-2) г) 4х2+28х+49=0 (-3,5)
д)3а2+а=-11 (нет решений) д) 4а2+5=а (нет решений)
-
При каких значениях х равны значения многочленов
(2-х)(2х+1) и (х-2)(х+2) (1-3х)(х+1) и (х-1)(х+1)
(2;-1) (-1; )
-
Актуализация опорных знаний.
-
Упражнение «Микрофон».
-
«Найди ошибку» (на доске)
а) 5х2+3х-2=0 б) х2+6х+8=0
Д=9+40=49 Д=36-48=4
х1,2= х1,2=
Ответ: 1; -. Ответ: -5; -1.
в) 3х2-2х-1=0 г) х2+7х-12=0
Д=-22-43(-1)=8 Д=49-4112=1
х1,2= х1,2=
Ответ: Ответ: -4; -3.
-
Закрепление.
«Проблемная ситуация».
№ 340 (а) Решить уравнение:
3х(2х-5)=2(х2+2).
?! - формулы сокращенного умножения;
- приведение подобных слагаемых;
- перенесение членов уравнения из одной части в другую.
Решение:
6х2-15х-2х2-4=0
4х2-15х-4=0
Д=289
х1=4; х2=-
Ответ: 4; -.
Для работы в классе:
-
По два человека у доски
№337
а) х(х-6)=7 б) 2в(в+4)=10
х2-6х-7=0 2в2+8в-10=0
Ответ: 7; -1. Ответ: 1; -5.
-
Два человека на центральной доске, 2 человека на откидной. В завершении класс проверяет («Найди ошибку») уравнения на откидной доске.
Центральная
№339
а) х(7-х)=5х-8 б) 2х(3х+4) = 4х2+5х+27
7х-х2-5х+8=0 2х2+3х-27=0
х2-2х-8=0 Д=225
Д=36
Ответ: 4; -2. Ответ: 3; -4,5.
Откидная
№341(б) №342(б)
(х+4)2=3х2-8 (3с-5)2=10с+9
х2-4х-12=0 9с2-40с+16=0
Д=64 Д=1024
Ответ: 6; -2. Ответ: 4; .
-
Работа по вариантам с взаимопроверкой (с копиркой).
1 вариант 2 вариант
№ 343 (б) № 345 (б)
(9-4х)2=5(4х+1) (2х-8)(3х+1)=(4х-12)(х-2)+8
16х2-72х+81-20х-5=0 6х2+2х-24х-8=4х2-20х+32
16 х2-92х+76=0 :4 2х2-2х-40=0 :2
4х2-23х+119=0 х2-х-20=0
Д=529-304=225 Д=81
х1==1 х1,2=
х2= х1=5; х2=-4
Ответ: 1; . Ответ: 5; -4.
-
Итоги.
-
Домашнее задание
§ 40 № 338, №341(а), №342 (а), №343(а).
Урок № 7 Класс 8-А Дата 07.02
Тема: Решение уравнений, приводимых к квадратным.
Цель: - сформировать у учащихся навыки и умения решать уравнения, приводимые к квадратным, в частности биквадратные; научиться решать уравнения, вводя новую переменную;
- развивать познавательный интерес;
- воспитывать аккуратность, активность на уроке.
Тип урока: урок применения знаний и умений.
Ход урока.
-
Проверка домашнего задания.
(Проверить в конце урока, собрав тетради).
-
Актуализация опорных знаний.
Упражнение «Микрофон».
-
Совместная работа учителя и детей.
1 человек у доски.
(2х-1)(4х2+2х+1)-(2х+5)(4х2-7)=41+х2
8х3+4х2+2х-4х2-2х-1-8х3+14х-20х2+35-41-х2=0
-21х2+14х-7=0 : (-7)
3х2-2х+1=0
Д=-8<0
Ответ: решений нет.
-
«Проблемная ситуация»
Решить уравнение. (Какие способы решения?)
На доске заготовка. Использование магнитной доски.
(х+8)2-4(х+8)+3=0
х+8=у
у2-4у+3=0
Д=4
у1=3; у2=1
х+8=3 х+8=1
х1=-5 х2=-7
Ответ: -5; -7.
2 человека у доски. (По образцу решить уравнения)
-
(х2-2)2-9(х2-2)+14=0 2) (х-7)2 - 6(х-7) +5=0
у= х2-2 у=х-7
у2-9у+14=0 у2-6у+5=0
у1=2; у2=7 у1=5; у2=1
х2-2=2, х2-2=7 х-7=5, х-7=1
х1,2=±2, х3,4=±3 х1=12, х2=8
Ответ: ±2; ±3. Ответ: 8; 12.
«Проблемная ситуация»
Можно ли решить уравнение вида ах4+вх2+с, а≠0, в≠0, методом ведения новой переменной.
ах4+вх2+с=0
х2=у, х4=у2
Примеры:
-
х4 - 10х2+9=0
у2-10у+9=0
у1=9, у2=1
х2=9, х2=1
х1,2=±3, х3,4=±1.
Ответ: ±1;±3.
-
х4 - 5х2+4=0
у2- 5у+4=0
у1=4, у2=1
х2=4, х2=1
х1,2=±2, х3,4=±1.
Ответ: ±1;±2.
-
2х4+3х2 - 5=0
2у2+3у - 5=0
Д=49
у1=1, у2=-2,5
х2=1, х2=-2,5
х1,2=±1, решений нет.
Ответ: ±1.
-
7х4 - х2 - 8=0
7у2 - у - 8=0
Д=225
у1=-1, у2=
х2=-1, х2=
решений нет, х1,2=±
Ответ: ±.
-
По вариантам с взаимопроверкой
1 вариант 2 вариант
х4 - 5х2+6=0 х4 + 5х2+6=0
у2- 5у+6=0 у2+ 5у+6=0
у1=2, у2=3 у1=-2, у2=-3
х2=2, х2=3 х2=-2, х2=-3
х1,2=±, х3,4=±.
Ответ: ±;±. Ответ: решений нет.
-
Решение уравнений в ходе эвристической беседы.
-
(х2+х+1)( х2+х+2)-12=0
х2+х+1=у
у(у+1)-12=0
у2+у-12=0
у1=-4, у2=3
х2+х+1=-4, х2+х+1=3
х2+х-2=0, х2+х+5=0
х1=1, х2=-2, Д=1-45
Ответ: 1; -2.
-
х2-2х+5=3
х2-2х+5=3
х2-2х=у
у+5=3
у+5=
(у+5)2=
у2-8у-20=0
у1=-2; у2=10
х2-2х=-2, х2-2х=10
х2-2х+2=0, х2-2х-10=0
Д<0 Д=44
решений нет; х1,2=1±
Ответ: 1±.
-
Итоги.
-
Домашнее задание.
№ 365(а, б). Сборник III вариант № 76 (4)
+ Дополнительно: а) 2(х2-х+1)2=2-х+х2
б) х2+3х-1=
Урок № 8 Класс 8-А Дата 11.02
Тема: Решение уравнений, приводимых к квадратным.
Цель: - отработать навыки и умения при решении уравнений, приводимых к квадратным (биквадратные; введение новой переменной);
- развивать память, вычислительные навыки;
- воспитывать уважение друг к другу.
Тип урока: урок закрепления знаний и умений.
Ход урока.
-
Проверка домашнего задания.
(Проверяют консультанты). На доске рассмотреть наиболее сложные, непонятные уравнения.
-
Актуализация опорных знаний.
Устно.
-
Решить уравнение, используя основные свойства пропорции.
-
Заполнить пропуски.
-13 :
-(-8)2
-92
-
Совместная работа учителя и детей.
-
х-4 +3=0
=у, х=у2
2-4у+3=0
1=3, у2=1
1=32, х2=12
1=9, х2=1
Ответ: 1; 9.
-
с2-с+2,5=0
Д=6-42,5=-4<0
Ответ: решений нет.
-
в2-3в+=0
Д=9-4=1
в1,2=
в1= ,
в2=
Ответ: .
-
Работа в трех группах.
-
(х2-7х)2+12(х2-7х)+36=0 [6; 1]
-
9(х2+1)2-13(х2+1)+4=0 [0]
-
(х2+1)2 - 15(х2+1)+50=0 [±3; ±2]
-
* (х+)2+8(х+)+16=0 [-3; -1]
Обсуждение, проверка работы в группах.
-
Итоги.
-
Домашнее задание.
На карточке.
№1. А) 4х4-15х2-4=0
Б) 3х4-х2-2=0
№2. А) 2(х2+3)2+3(х2+3)=27
Б)* 3(х+) - 30(х+)+48=0.
+ творческое задание: составить кроссворд на тему «Квадратные уравнения».
Урок № 9 Класс 8-А Дата 20.02
Тема: Решение уравнений, приводимых к квадратным.
Цель: - сформировать у учащихся навыки и умения решать дробные уравнения, приводимых к квадратным;
- развивать умения искать ответы на возникшие вопросы, опираясь на ранее изученную теоретическую базу;
- воспитывать волю и настойчивость у учащихся.
Тип урока: комбинированный.
Ход урока.
-
Проверка домашнего задания.
(№1 - устно, №2 - 2 человека у доски).
№1. А) 4х4-15х2-4=0
4у2-1у-4=0
у1=4; у2=-
Ответ: х1,2=±2
Б) 3х4-х2-2=0
3у2-у-2=0
у1=1; у2=-
Ответ: х1,2=±1
№2. А) 2(х2+3)2+3(х2+3)=27
2у2+3у-27=0
у1=3; у2=-4,5
х2+3=3 или х2+3=-4,5
х2=0 х2=-7,5
Ответ:х=0.
Б)* 3(х+) - 30(х+)+48=0.
3у2-30у+48=0
У2-10у+16=0
у1=8; у2=2
х+=8 или х+=2
х2+15=8х х2+15=2х
х1=3, х2=5 решений нет
Ответ: 3; 5.
-
№350 (а)
16=х2+2х
х2+2х-16=0
Д=68
х1,2=
Ответ:
-
Класс (Запись на доске)
а) х-=12
=а, х=а2, а≥0
а2-а-12=0
а1=-3; а2=4
=-3 или =4
решений нет, х=16
Ответ: 16.
б) х+=7
=7-х при 7-х≥0, х≤7
2
2
х2-15х+50=0
х1=5, х2=10 - не удовлетворяет
2 способ
х - 1+1+ =7
=у, х-1=у2, у≥0
у2+у-6=0
у1=2, у2=-3 - не удовлетворяет
х-1=22 , х=5
Ответ: 5
-
Актуализация опорных знаний.
Устно.
-
Устный счет:
-(2+ ) :
-132
: 0,1
+20
-
При каком значении переменной значение дроби равно 0?
а) б) в) г) д)
Ответы:
а) х=±2 б) х=4 в) х=-3 (х≠3) г) х=± д) не существует
-
Решить уравнения, используя основное свойство пропорции:
а) б) в)
х=±4 х=±2 х=±
-
Для работы в классе:
№ 351 (а, б), № 352 (б), № 353 (б), № 354 (б), № 355 (б)
№ 351 (а, б),
а) ,)
4z2-2z-2=0
ОДЗ: z≠0, z≠-1 ОДЗ: m≠5
2z-z-1=0 5=6m-m2
Д=9 Д=16
z1=1, z2= m1=5, m2=1
Ответ: 1; Ответ: 1.
№ 352 (б),
, х≠
(2х-1)(2х+3)=(х-1)(3-2х)
6х2-х=0
х(6х-1)=0
х=0, х=
Ответ: 0;
№ 353 (б),
, у≠±3
-у2-2у+51=0
у2+2у-51=0
Д=208
у1,2=
Ответ:
№ 354 (б),
, х≠1, х≠1,5
7х-7+10х-15=12(2х2-2х-3х+3)
24х2-77х+58=0
Д=5929-5568=361=192
х1=2; х2=
Ответ: 2; .
№ 355 (б)
, z≠2, z≠3, z≠0
5z2-15z-4z2+8z-z2+3z+2z-6=0
-2z-6=0
z=-3
Ответ: -3.
-
Итоги урока.
-
Домашнее задание.
§ 39,40. № 349, №352 (а), №353 (а). Подготовиться к самостоятельной работе.
Урок № 10 Класс 8-А Дата 21.02
Тема: Решение уравнений, приводимых к квадратным.
Цель: - отработать навыки и умения решать дробные уравнения, приводимых к квадратным; проверить степень усвоения знаний по данной теме;
- развивать память, логическое мышление;
- воспитывать аккуратность, чувство ответственности.
Тип урока: комбинированный.
Ход урока.
-
Проверка домашнего задания.
Наличие проверяют консультанты. В конце урока учитель собирает тетради для оценивания.
-
Актуализация опорных знаний.
Взаимоопрос «Ты мне, я тебе». Перечень вопросов предлагается учащимся на карточке.
-
Дать определение квадратного уравнения;
-
В уравнениях а) 5х2 - 4х - 1=0 б) -х2+3-8х=0
назвать числовые коэффициенты и свободный член;
-
Дать определение неполного квадратного уравнения;
-
Способы решения неполных квадратных уравнений;
-
Что такое дискриминант, что он показывает?
-
Формула корней квадратного уравнения;
-
Когда значение дроби равно 0?
-
Дать определение биквадратного уравнения?
-
Совместная работа на доске.
(Задания повышенной сложности)
-
х3+3х2+х+3=0
х2(х+3)+(х+3)=0
(х+3)(х2+1)=0
х+3=0 или х2+1=0
х=-3 х2=-1 - решений нет.
Ответ: -3
ОДЗ: х≠4, х≠7
х2+3х-28=0
х1=4, х2=-7
Ответ: решений нет.
, х≠0
у2-5у+4=0
у1=4, у2=1
х-1=4х х-1=х
3х=-1 0≠1
х=- решений нет
Ответ: -
у2+3=4у
у2 -4у +3=0
у1=3, у2=1
= 3х = х
= 0 = 0
х1,2= х3=2, х4=1
Все корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: ; 2; 1.
-
Самостоятельная работа. (на 20 мин)
Решить уравнение
на 6 баллов
1 вариант 2 вариант
-
х2-х-90=0 а) х2+х-90=0
-
х4-8х2-9=0 b) х4+8х2-9=0
-
х4-17х2+16=0 c) х4-26х2+25=0
-
d)
на 9 баллов
-
х4-7х2+12=0 а) х4-11х2+18=0
-
(х2+1)2-7(х2+1)+10=0 b) (х2-2)2-9(х2-2)+14=0
-
=а2+4 c) =а2+1
-
d)
на 12 баллов
-
х4-х2-2=0 а) х4-5х2+4=0
-
(2х2-3)2-4(2х2-3)-5=0 b) (4х2-5)2-10(4х2-5)- 11=0
-
2+2- 3=0 c) 2 - 2 +3=0
-
d)
-
Итоги урока.
-
Домашнее задание.
-
х4-2х2-48=0
-
-
+=1
-
(*)
Урок № 11 Класс 8-А Дата 03.03
Тема: Контрольная работа: Квадратные уравнения.
1 вариант 2 вариант
на 6 баллов
-
-
-
-
Решить уравнение 1. Решить уравнение
-
-
-
-
х2- 9=0 а) х2-16=0
-
5х2-45х=0 b) 3х2-27х=0
-
х2+3х - 18=0 c) х2- 3х - 18=0
-
х4- 8х2-9=0 d) х4+ 8х2-9=0
-
-t2-3t+1=0 e) -t2+t+3=0
-
-
-
-
Решить уравнение 2. Решить уравнение
-
-
-
-
a)
-
b)
на 9 баллов
-
Решить уравнение 1. Решить уравнение
-
3х2-27=0 а) 9х2-81=0
-
11x=7х2 b) 3х2=7
-
4х2 -х - 3=0 c) 4х2 +х - 3=0
-
х4+ х2-72=0 d) х4- 2х2-48=0
-
Решить уравнение 2. Решить уравнение
-
a)
-
b)
-
Решить уравнение, 3. Решить уравнение,
введя новую переменную. введя новую переменную.
(х2+1)2-7(х2+1)+10=0 (х2- 2)2-9(х2-2)+14=0
на 12 баллов
-
Решить уравнение 1. Решить уравнение
-
4 -9(х-3)2=0 а) 9 -25(х-2)2=0
-
2(х-5)2=9(х-5) b) 3(х-1)2=2х-2
-
2+2- 3=0 c) 2 - 2 +3=0
-
(х-3)4-13(х-3)2+36=0 d) (х+1)4-(х+1)2-12=0
-
Решить уравнение 2. Решить уравнение
-
a)
-
b)
-
При каком значении а корни 3. При каком значении а корни
уравнения являются уравнения являются
противоположными числами: противоположными числами:
х2+(а - 2)х+а - 6=0 х2+(а+1)х+а - 8=0