Разработка урока математики Неполные квадратные уравнения

Открытый урок

Учитель: Расторопова Л.И.

16.12.2014 г

БОУ СМР «Коробицынская ООШ»

Неполные квадратные уравнения.

алгебра 8 класс (открытый урок) 16.12.2014 г

Предмет: математика

Класс: 8

Тем урока: Неполные квадратные уравнения.

Цель урока: Знакомство с видами неполных квадратных уравнений, формирование умений решать неполные квадратные уравнения.

Задачи:

Образовательные: введение понятия неполного квадратного уравнения, знакомство с их видами, вывод алгоритмов их решения, развитие умений решать неполные квадратные уравнения.

Развивающие: развитие внимания, математического мышления, вычислительной культуры, умений самостоятельно строить и применять новые знания.

Воспитательные: воспитание умений оценивать свой труд и труд товарищей, умений выражать свои мысли, умений оценивать собственные достижения в учебной деятельности.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: тетради, учебники, разноуровневые карточки, листы самооценки, мультимедийная презентация - флипчарт, интерактивная доска, раздаточный материал.

Ход урока.

1. Организационный момент. (слайд 1)

1) приветствие и настрой учащихся на урок (Здравствуйте. Сегодня у нас гости. И так как гостям принято показывать лучшее, их принято радовать и удивлять, то и мы постараемся не отступать от этого правила. )

2) проверка готовности к уроку

3) приготовить листы самооценки

4) раздать карточки (перед уроком)

2. Проверка домашнего задания.

1) Проверка письменного задания (слайд 2)

Задание 1. Из данных уравнений

5х - 2= 0 х² - х + 1 = 0 2х² - 5х - 8 = 0 3х² - 6х + 9 = 0

х² - 3х = 0 х² - 8 = 0 х² - 9х + 4 = 0 х³ -х = 0

8х + 6 - 4х² = 0 6х² = 0

1. выберите квадратные

2. из них выберите приведенные

3. приведите остальные уравнения

Решение:

1. х² - х + 1 = 0 2х² - 5х - 8 = 0 3х² - 6х + 9 = 0 х² - 3х = 0 х² - 8 = 0 х² - 9х + 4 = 0 8х + 6 - 4х² = 0 6х² = 0 (1 балл)

2. х² - х + 1 = 0 х² - 8 = 0 х² - 3х = 0 х² - 9х + 4 = 0 (1 балл)

3. 2х² - 5х - 8 = 0 3х² - 6х + 9 = 0 8х + 6 - 4х² = 0 6х² = 0

х² - 2,5х - 4 = 0 х² - 2х + 3 = 0 2х + 1,5 - х² = 0 х² = 0 (1 балл)

Задание 2. Разложите на множители : 2х² + 6х; 0,5х² - 2х; - х² - 3х

Решение: 2х² + 6х = 2х( х + 3); 0,5х² - 2х = х(0,5х - 2); - х² - 3х = - х(х + 3) (1 балл)

Задание 3. Найдите корни уравнения, если они существуют: х² = 16; х² = 7; х² = - 9

Решение: х² = 16; х² = 7; х² = - 9

х = 4, х = - 4 х = √7, х = - √7 корней нет (1 балл)

3. Устный счет. (слайд 3)

1. Назовите коэффициенты (заполнить таблицу)

№

Уравнения

а

в

с

1

5х² - 9х + 4 = 0

5

- 9

4

2

3х + х² - 10 = 0

1

3

- 10

3

1 - х² - 8х = 0

- 1

- 8

1

4

- 4х² + 5х = 0

- 4

5

0

5

6х² - 30 = 0

6

0

- 30

6

9х² = 0

9

0

0

2. Составьте квадратные уравнения по его коэффициентам

№

а

в

с

Уравнение

1

4

- 3

5

4 х² - 3х + 5= 0

2

- 20

1

- 1

- 20 х² + х - 1 = 0

3

1

2

0

х² + 2х = 0

4

- 0,4

0

- 3

- 0,4 х² - 3 = 0

5

1

0

0,16

х² + 0, 16 = 0

6

-1

4

0

- х² + 4х = 0

7

1

- 2

0,5

х² - 2х + 0, 5 = 0

(по 1 баллу)

3. Актуализация знаний. (слайд 4)

Посмотрите на данные уравнения и попробуйте разбить их на две группы по каким - либо признакам.

(уравнения взять из таблиц)

Мы получили такой результат:

5х² - 9х + 4 = 0 9х² = 0

- х² - 8х + 1 = 0 6х² - 30 = 0

х² + 3х - 10 = 0 - 4х² + 5х = 0

4 х² - 3х + 5= 0 х² + 2х = 0

- 20 х² + х - 1 = 0 - 0,4 х² - 3 = 0

х² - 2х + 0, 5 = 0 х² + 0, 16 = 0

- х² + 4х = 0

По каким признакам разбили на группы все уравнения?

Ответ: В первой группе все коэффициенты в уравнениях не равны нулю, а во второй - некоторые равны нулю.

Как бы вы назвали вторую группу уравнений?

Ответ: Неполные квадратные уравнения.

Какова тема нашего урока?

Ответ: Неполные квадратные уравнения. (слайд 5)

3. Целеполагание.

Какова цель и задачи урока?

Ответ: дать определение неполных квадратных уравнений, научиться их распознавать, составить алгоритм их решения и вырабатывать умения их решать;

развивать вычислительную культуру;

развивать умение оценивать себя и товарищей;

развивать навыки самостоятельной работы.

3. Изучение нового материала.

Сейчас мы проведем небольшое исследование и составим алгоритм решения неполных квадратных уравнений. В результате исследования мы заполним таблицу-подсказку.

(одно уравнение исследуем все вместе, остальные по группам-парам)

Исследуем решение уравнения а х² = 0. Отвечаем на вопросы:

Какие коэффициенты? Какой вид уравнения? С чего начнете решать такое уравнение? Что получим в результате? Как найти корень такого уравнения? Сколько будет корней? Какой корень? Приведите пример такого уравнения и решите его.

(все ответы заносим в таблицу)

(слайд 6) - таблица - подсказка - пустая

ТАБЛИЦА - ПОДСКАЗКА

№

Коэффи-циенты

Неполное уравнение

(вид)

Алгоритм решения и число корней уравнения

Пример

1

2

3

Для составления алгоритма решения других уравнений делим класс на группы.

1 группа составляет алгоритм решения уравнения ах² + с = 0

(Можно воспользоваться примерами 1 и 2 из учебника на стр 112)

2 группа составляет алгоритм решения уравнения ах² + вх = 0

(Можно воспользоваться примером 3 из учебника на стр 113)

На подготовку - 5 -7 минут. Затем группы рассказывают алгоритм и приводят примеры решения уравнений.

(слайд 7)

ТАБЛИЦА - ПОДСКАЗКА

№

Коэффи-циенты

Неполное уравнение

(вид)

Алгоритм решения и число корней уравнения

Пример

1

в=0, с=0

а х² = 0

1. Делим обе части уравнения на а.

а х² = 0

х² = 0

2. Находим корень:

х = 0

Ответ: х = 0

(единственный корень)

-3,7х² = 0,

х² = 0

х=0

2

с=0

ах² + вх = 0

1. Выносим х за скобки:

х(ах + b) = 0

2. Решаем два уравнения:

x= 0 или ах + b = 0

3. Получаем два корня:

х = 0 или х = - b/а

Ответ: х = 0 , х = - b/а

(всегда два корня)

6х² = -3х,

6х² + 3х =0,

3х(2х + 1)=0,

Зх = 0 или 2х + 1 =0

х=0; или 2х = - 1

х = - 0,5

3

в=0

ах² + с = 0

1. Переносим с в правую часть уравнения.

ах² = - с

2. Делим обе части уравнения на а.

х² = - с/а

3. Если -с/а > 0 - два корня:

х₁ = и х₂ =

Если - с/а < 0 - нет корней

(два корня или нет корней)

1) 2х² + 6 = 0

2х² = - 6

Х² = - 3

нет корней

2) 2х² - 6 = 0,

2х² = 6,

х² = 3,

х= √3, х= -√3.

3. Закрепление нового материала.

Решить квадратные уравнения

1) 2х² = 0 2) 2х + 3х³= 0 3) 1,5х + 2 = 0

5х = 0 5х² - 10х = 0 2 + 4х² = 0

Решают учащиеся у доски: 3 человека одновременно Вяся - 1, Яна - , 2, Антон - 3. Данила - эксперт: проверяет все решения, ставит баллы: 1 балл за правильный выбор уравнения, второй - за верное решение.

3. Домашнее задание: (слайд 9)

Обязательное: П 21 (учить правила); таблица-подсказка (учить алгоритмы); № 518, 521(в,г);

Необязательное: подготовить сообщение на тему: «Когда и где появились первые упоминания о квадратных уравнениях?»

Историческая справка

Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…

Безусловно, человечество "додумалось" до всего не сразу и в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия.

Обратимся к историческому путеводителю.

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся во второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта.

Первое тысячелетие н.э. - Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат "Арифметика" содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате "Алгебра" классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.

И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

Более подробно с этапами развития методов решения квадратных уравнений, а так же личностью Виета и его вклада в развитие алгебры мы сможем познакомиться на конференции.

Древний Вавилон

Уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Другим индийским учёным, Брахмагуптой, было изложено универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

3. Самостоятельная работа.

1. Карточки на «3», на «4» и на «5» ( на карточке написано: 1 уровень, 2 уровень и 3 уровень)

1 уровень 2 уровень 3 уровень

1) 10х² = 0 1) -1,4х² = 0 1) (√7 +√3)х² = 0

2) х² - 3х = 0 2) 2х² + 6х = 0 2) 7х² = 0,7х

3) 2х - 50 = 0 3) 0,16х + 100 = 0 3) 2(х - 1) - 5х²(х + 1) = 0

4) 5х² + 10 = 0 4) 5х² + 7х + 2 = 7(х + 1) 4) 5х(х + 2) = 10 (1 + х)

(слайд 8)

Проверка самостоятельной работы по слайду (самопроверка): За каждое правильное уравнение 1 уровня - 1 балл, 2 уровня - 2 балла, 3 уровня - 3 балла. За верный выбор неквадратного уравнения - 1 балл.

2) Дополнительное задание (для тех, кто быстрее справился с самостоятельной работой карточки с ответами на обратной стороне): Решите уравнения

1) -79х² = 0;

2) 7х² + 5х = 0;

3) -4х² + 100 = 0;

4) 15 - 2х = 8х² + 3(х + 5);

5) 3х(х - 1) = 12 - 3х.

3. Подведение итогов (слайд 10)

Подводим итоги урока. Считаем общее число баллов в листе самооценки. По критериям ставим оценки.

Повторим цели и задачи урока. Выполнили ли мы их?

Что было сложного и непонятного?

Что узнали нового?

Чему научились?

3. Рефлексия (слайд 11)

Какое у вас настроение? Довольны ли вы собой и своими товарищами? Посадите свое настроение в корзинку.

Слайд (смайлики).

Всем спасибо за урок.

Лист самооценки

Ф И О _______________________класс_________дата___________

Номер учебного элемента

Название учебного

элемента

Полученные

баллы

1

Проверка домашнего задания

2

Устная работа на уроке

3

Изучение нового материала

4

Решение упражнений

5

Самостоятельная работа

6

Доклады, сообщения

7

Индивидуальные задания

8

Работа на уроке (активная)

9

Практические задания

10

11

12

13

14

15

16

Всего баллов

17

Оценка за урок (своя)

18

Оценка за урок (учителя)

12