Справочник по математике (основная школа) I вид

Для счета предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Классы

миллиарды

миллионы

тысячи

единицы

Разряды

сотни

десятки

единицы

сотни

десятки

единицы

сотни

десятки

единицы

сотни

десятки

единицы

Число

1

5

3

8

9

0

0

0

2

1

3

Пятнадцать миллиардов триста восемьдесят девять миллионов двести тринадцать

Число

2

0

9

0

0

2

5

6

4

0

0

7

Двести девять миллиардов два миллиона пятьсот шестьдесят четыре тысячи семь

Меры длины

миллиметр : 1 мм метр: 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм

сантиметр: 1 см = 10 мм километр: 1 км = 1000 м = 10000 дм =

дециметр: 1 дм = 10 см = 100 мм 100000 см = 1000000 мм

Меры площади Объёмы

=

Сложение натуральных чисел

6 + 5 = 11 Свойства сложения

1º. Переместительное: a + b = b + a

слагаемое

слагаемое

сумма5 + 3 = 3 + 5

2º. Сочетательное:(a + b)+ c=a + (b + c)

(2 + 3) + 6 = 2 + (3 +6)

3º. От прибавления нуля число не

изменяется:

0 + a = a + 0 = a

0 + 5 = 5 + 0 = 5

Вычитание натуральных чисел

Свойства вычитания

1º. Свойство вычитания суммы из числа:

a - (b + c) =a - b - c

Пример: 12 - (2 + 3) = (12 - 3) - 2 = 9 - 2 = 7.

2º. Свойство вычитания числа из суммы: 10 - 3 = 7

Пример: (6 + 3) - 2 = 9 - 2 = 7,

6 + (3 - 2) = 6 + 1 = 7,

вычитаемое

разность

уменьшаемое(6 - 2) + 3 = 4 + 3 = 7.

3º. Если из числа вычесть нуль, то оно не изменится:

Пример: 6 - 0 = 6.

4º. Если из числа вычесть это число, то получится нуль:

Пример: 6 - 6 = 0.

Умножение натуральных чисел

12 · 5 = 60 Свойства умножения

1º. Переместительное: a · b = b · a

произведение

множитель

множитель2 · 7 = 7 · 2

2º. Сочетательное: a · (b · c) = (a · b) · c

2 · (3 · 4) = (2 · 3) · 4

3º. 1 · n = n, 1 · 5 = 5

4º. 0 · n = 0, 0 · 5 = 0

Распределительное свойство умножения относительно сложения:

(a + b) · c = a·c + b·c

Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

(a - b) · c = a·c - b·c

Деление натуральных чисел

48 : 2 = 24

Свойства деления

частное

делитель

делимое

1º. При делении любого числа на 1 получается это

же число: m : 1 = m , 8 : 1 = 8

2º. При делении числа на это же число получается

единица (1): m : m = 1, 9 : 9 = 1

3º. При делении нуля на число получается нуль:

0 : m = 0, 0 : 9 = 0

4º. На нуль делить нельзя!

Формулы

s - путь (расстояние) Прямоугольник

s = v· tформула пути a - длина

b b - ширина

v - скорость a S - площадь

S = a·b

v = s : tформула скорости формула площади

прямоугольника

t - время

P = 2·(a + b)

t = s : vформула времени формула

периметра прямоугольника

S = Квадрат

формула площади квадрата

P = 4a

формула периметра квадрата

a

Обыкновенные дроби

Записи вида называют обыкновенными дробями, где a - числитель, b - знаменатель.

три четвертых три восьмых три шестых

Сложение дробей с одинаковыми Вычитание дробей с одинаковыми

знаменателями знаменателями

четыре седьмых четыре девятых

пятнадцать девятнадцатых восемь тридцать первых

сумма шести сорок третьих и трех сорока третьих (или к шести сорок третьих прибавить три сорок третьих)

разность двадцати семи сотых и девяти сотых (или из двадцати семи сотых вычесть девять сотых)

Смешанные числа

- смешанное число, где a - целая часть, дробная часть.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть нужно:

1. Разделить с остатком числитель на знаменатель;

2. Неполное частное будет целой частью;

3. Остаток дает числитель, а делитель знаменатель дробной части.

47 9 (знаменатель)

45 5(целая часть)

2 (числитель)

Чтобы представить число в виде смешанной дроби нужно:

1. Умножить его целую часть на знаменатель дробной части;

2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части;

3. Записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

сорок семь девятых

Десятичные дроби

1 2 3, 4 5 6 7 десятитысячная

целая часть десятая тысячная

сотая

Чтобы сложить десятичные дроби, нужно:

1. Уравнять количество знаков после запятой;

2. Записать их друг под другом так, чтобы запятая была под запятой;

3. Выполнить сложение, не обращая внимания на запятую;

4. Поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях

3,700

2,651

6,351 шесть целых триста пятьдесят одна тысячная

Чтобы вычесть десятичные дроби, нужно:

1. Уравнять количество знаков после запятой;

2. Записать их друг под другом так, чтобы запятая была под запятой;

3. Выполнить вычитание, не обращая внимания на запятую;

4. Поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях

3,700

2,651

1,049 одна целая сорок

девять тысячных

Умножение десятичных дробей

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

1. Умножить ее на это число, не обращая внимания на запятую;

2. В полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено в десятичной дроби.

1,83

4

7,32

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., нужно в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

9,865 · 10 = 98,65;

0,067 · 1000 = 0065 = 65;

2,9 · 1000 = 2,900 · 1000 = 2900

Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно:

1. Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;

2. Определить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. 0,254 18

0,03 0,0006

0,00762 0,0108

Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

1. Разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

2. Поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.

2,88 4

0 0,72

28

28

8

8

0

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, ……, нужно перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

8,765 : 100 = 008,765 : 100 = 0,08765

96,1 : 10 = 9,61

Деление на десятичную дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно:

1. В делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;

2. После этого выполнить деление на натуральное число.

12,096 : 2,24 = 1209,6 : 224 = 5,4

1209,6 224

1120 5,4

896

896

0

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей ( умножить ее на 10, 100, 1000, …..,)

56,87 : 0,0001 = 56,8700: 0,0001 = 568700.

Признаки делимости

1. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.

Пример: 280 : 10 = 28; 360 : 10 = 36.

2. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.

Пример: 60 : 5 = 12 ; 95 : 5 = 19

3. Если натуральное число оканчивается четной цифрой (2, 4, 6, 8) или 0 , то это число делится без остатка на 2.

Пример: 12 : 2 = 6; 24 : 2 = 12; 56 : 2 = 28; 18 : 2 = 9; 30 : 2 = 15.

4. Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

Пример: 234 : 9 = 26, т.к. 2 + 3 + 4 = 9 и 9 : 9 = 1.

5. Если сумма цифр числа делится на 3, то и это число делится на 3.

Пример: 54027 : 3 =18009; т.к. 5 + 4 + 0 + 2 + 7 = 18 и 18 делится на 3.

Разложение на простые множители

210

10

21

5

2

3

7

Пример: Разложить на простые множители числа: 60 ; 48.

60 2 48 2

30 2 24 2

15 3 12 2

5 5 6 2

1 3 3

1

60 = 2 · 2 · 3 · 5 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

простые множители простые множители

Сложение дробей с разными знаменателями

Вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение и деление дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Пример:

три целых три четвёртых

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно:

1. Найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;

2. Первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

Пример:

двенадцать тридцать пятых

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

Пример:

двадцать двадцать первых

Пример:

две целых одна четвёртая

Длина окружности и площадь круга

О

О - центр окружности

r - радиус

d - диаметр

С - длина окружности

S - площадь круга

С = 2·π·r

формула длины окружности

S = формула площади

окружности

Шар

О - центр шара, R - радиус шара

Формулы сокращенного умножения

Формула квадрата суммы:

Пример:

Формула квадрата разности:

Пример:

Формула разности квадратов:

Пример:

1 - один 11 - одиннадцать

2 - два 12 - двенадцать

3 - три 13 - тринадцать

4 - четыре 14 - четырнадцать

5 - пять 15 - пятнадцать

6 - шесть 16 - шестнадцать

7 - семь 17 - семнадцать

8 - восемь 18 - восемнадцать

9 - девять 19 - девятнадцать

10 - десять 20 - двадцать

10 - десять 100 - сто

20 - двадцать 200 - двести

30 - тридцать 300 - триста

40 - сорок 400 - четыреста

50 - пятьдесят 500 - пятьсот

60 - шестьдесят 600 - шестьсот

70 - семьдесят 700 - семьсот

80 - восемьдесят 800 - восемьсот

90 - девяносто 900 - девятьсот\

1000 - тысяча