Воронежский техникум строительных технологий

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА

для студентов первого курса

Автор: И.В. ПОЗДНЯКОВА

Воронеж - 2012

Одобрено предметной (цикловой) комиссией

математических и естественнонаучных дисциплин

Протокол № от « » 2012 года

Председатель цикловой комиссии

________________ Н.К. Шаранина

Методические рекомендации к практическим работам по дисциплине Математика включают в себя инструкции 15 практических работ по всему первому курсу дисциплины. Их назначение - помочь студентам самостоятельно закрепить полученные знания и умения, т.к. содержат дидактический материал, большое количество примеров с подробными решениями и справочный теоретический материал, необходимый для решения заданий.

В методических рекомендациях представлены задания по основным разделам математики:

• Действительные числа. Векторы и координаты.

• Функции, их свойства и графики.

• Степенная, показательная и логарифмическая функции.

• Тригонометрические функции.

• Дифференциальное исчисление.

• Интегральное исчисление.

• Прямые и плоскости в пространстве.

• Геометрические тела.

Содержание полностью соответствует действующей программе по математике для средних специальных учебных заведений.

Методические рекомендации к практическим работам по дисциплине Математика для студентов первого курса могут быть рекомендованы как преподавателям, так и студентам средних профессиональных учебных заведений.

Составитель:

И.В. Позднякова - преподаватель первой квалификационной категории ФГОУ СПО «Воронежский техникум строительных технологий»

Рецензенты:

М.В. Богданова - доцент кафедры информатики и МПМ Воронежского государственного педагогического университета, кандидат технических наук

С.А. Титоренко - доцент кафедры информатики и МПМ Воронежского государственного педагогического университета, кандидат педагогических наук

Н.Б. Чопорова - преподаватель высшей квалификационной категории ФГОУ СПО «Воронежский техникум строительных технологий»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

4

Инструкции практических работ:

Практическая работа

Решение систем линейных уравнений

6

Практическая работа

Векторы на плоскости и в пространстве

11

Практическая работа

Вычисление пределов функции

16

Практическая работа

Вычисление значений степенных, показательных и логарифмических выражений

21

Практическая работа

Решение показательных уравнений и неравенств

26

Практическая работа

Решение логарифмических уравнений и неравенств

30

Практическая работа

Тождественные преобразования и вычисления тригонометрических выражений

34

Практическая работа

Преобразование графиков тригонометрических и обратных тригонометрических функций

39

Практическая работа

Решение тригонометрических уравнений и неравенств

42

Практическая работа

Вычисление производной функции

48

Практическая работа

Приложения производной: решение прикладных задач

53

Практическая работа

Вычисление неопределенного и определенного интегралов

58

Практическая работа

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения

65

Практическая работа

Вычисление площадей поверхностей геометрических тел

70

Практическая работа

Вычисление объемов геометрических тел

73

Литература

76

Введение

Важнейшим аспектом учебно-воспитательного процесса в системе среднего специального образования является контроль за усвоением знаний студентами. От правильной организации этого контроля во многом зависят достижение дидактической цели занятия, степень активности студентов в процессе обучения, их отношение к изучаемому материалу. Своевременный контроль не только содействует углублению и закреплению знаний и выработке практических навыков у студентов, но и позволяет преподавателю выявить уровень знаний каждого из них, чтобы подходить к нему дифференцированно и при необходимости оказывать помощь для творческого усвоения материала.

Практическая работа занимает особое место в системе контроля.

Выполнение студентами практической работы направлено на:

- обобщение, систематизацию, углубление, закрепление полученных теоретических знаний по конкретным темам дисциплины;

- формирование умений применять полученные знания на практике, реализацию единства интеллектуальной и практической деятельности;

- развитие интеллектуальных умений у будущих специалистов: аналитических, проектировочных, конструктивных и др.;

- выработку при решении поставленных задач таких профессионально значимых качеств, как самостоятельность, ответственность, точность, творческая инициатива.

Ведущей дидактической целью практических работ является формирование практических умений - учебных (решать задачи по математике, физике, химии, информатике и др.), необходимых в последующей учебной деятельности по общепрофессиональным и специальным дисциплинам.

В соответствии с ведущей дидактической целью содержанием практических работ является:

- решение разного рода задач;

- выполнение вычислений, расчётов, чертежей.

Методические рекомендации к практическим работам по дисциплине Математика включают в себя инструкции 15 практических работ по всему первому курсу дисциплины.

Практические работы носят репродуктивный характер, поэтому инструкции включают в себя следующие основные элементы:

- наименование работы;

- цель работы;

- перечень оборудования;

- справочный материал по выполнению работы (содержащие основные теоретические положения, необходимые при выполнении работы);

- порядок выполнения работы;

- контрольные вопросы по работе;

- форму отчёта по работе (включая выводы по работе);

- критерий оценки;

- перечень учебной и специальной литературы.

В инструкциях представлены задания по основным разделам математики: алгебре и началам анализа, дифференциальному и интегральному исчислениям, а также по разделам геометрии. Приводится справочный теоретический материал, необходимый для решения задач.

Все задания составлены с соблюдением следующих требований:

• Задания рассчитаны на то, чтобы студент со средней успеваемостью мог справиться с работой за 60-65 минут, включая и самопроверку работы.

• Задачи по содержанию являются основными типовыми заданиями каждой темы.

• Данные в задачах подобраны в основном так, чтобы можно было избежать громоздких вычислений с дробными числами и иррациональностями и при этом получить ответы, по возможности, выраженные целыми числами или краткой формулой.

Задания представлены в двух-трех вариантах с различной степенью трудности: варианты 1 и 2 проще, чем вариант 3, поэтому его можно рекомендовать студентам, проявляющим интерес к математике.

В представленных инструкциях практических работ широко использованы внутрипредметные и межпредметные связи: математики и физики и др.

Практическая работа

Решение систем линейных уравнений

Цели работы: 1. Закрепить полученные знания, умения и навыки в процессе изучения темы «Определители».

2. Проверить степень усвоения знаний и сформированности умений при решении систем линейных уравнений.

Оборудование: Плакаты (определители II и III порядков, формулы Крамера)

Справочный материал

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

• Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными называется пара чисел , которая каждое уравнение этой системы обращает в верное числовое равенство.

Способы решения

1. Способ подстановки: заключается в том, что из одного уравнения данной системы выражают какую-либо из переменных через другую переменную и найденное для этой переменной выражение подставляют в другое уравнение системы, в результате чего получают уравнение с одной переменной.

Пример №1.

2. Способ алгебраического сложения: состоит в том, что все члены каждого из уравнений умножают на соответственно подобранные множители так, чтобы коэффициенты при одной и той же переменной в обоих уравнениях оказались противоположными числами, а затем уравнения почленно складывают, в результате чего получают уравнение, содержащее только одну переменную.

Пример №2.

3. Графический способ: каждое из уравнений системы представляет собой линейную функцию, график которой прямая линия. Если эти прямые имеют общую точку пересечения, то координаты этой точки и будут корнями решения системы.

Пример №3.

Прямая определяется двумя точками. Для построения первой прямой возьмем точки:

Для построения второй -

Построенные прямые пересекаются в точке с координатами (2; 3) - эти координаты являются корнями данной системы х = 2, у = 3.

4. Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными по правилу Крамера.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений

Алгоритм:

1. Вычислить главный определитель системы, который составляется из коэффициентов при переменных данной системы:

2. Вычислить определитель переменной х, который составляется из главного определителя заменой коэффициентов при переменной х столбцом свободных членов:

3. Вычислить определитель переменной у, который составляется из главного определителя заменой коэффициентов при переменной у столбцом свободных членов:

4. Вычислить значения переменных x и y по формулам Крамера:

   5. Записать ответ.

Пример №4.

Решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Ответ: (2;3).

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

Задание №1. Решить систему уравнений способом подстановки (или по правилу Крамера):

Задание №2. Решить систему уравнений способом сложения:

Задание №3. Решить систему уравнений графическим способом:

Задание №4. Решить систему уравнений:

Задание №5. Решить систему уравнений:

Вариант 2

Задание №1. Решить систему уравнений способом подстановки (или по правилу Крамера):

Задание №2. Решить систему уравнений способом сложения:

Задание №3. Решить систему уравнений графическим способом:

Задание №4. Решить систему уравнений:

Задание №5. Решить систему уравнений:

Вариант 3

Задание №1. Решить систему уравнений способом подстановки (или по правилу Крамера):

Задание №2. Решить систему уравнений способом сложения:

Задание №3. Решить систему уравнений графическим способом:

Задание №4. Решить систему уравнений:

Задание №5. Решить систему уравнений:

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №1 или Пример №4 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см методические рекомендации)

• При выполнении заданий №4, 5 необходимо обратить внимание на Пример №4 (см методические рекомендации) и использовать:

- алгоритм решения систем линейных уравнений по правилу Крамера (см. методические рекомендации).

4. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Как составляется главный определитель системы трех линейных уравнений с тремя переменными? Запишите формулу.

2). Как записываются формулы Крамера для решения системы трех линейных уравнений с тремя переменными?

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 5 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа

Векторы на плоскости и в пространстве

Цели работы: 1. Сформировать умения и навыки решения задач с применением векторов.

2. Проверить степень усвоения знаний и сформированности умений применения векторов к решению задач.

Оборудование: Плакаты (векторы).

Справочный материал

1. Понятие вектора.

• Вектор - это направленный отрезок. Обозначение: .

2. Координаты вектора.

Пусть .

• Чтобы найти координаты вектора , надо из координат конца вектора вычесть координаты начала: .

3. Разложение вектора по ортам.

• Разложение вектора по ортам имеет вид: , где - единичный вектор на оси Ох, - единичный вектор на оси Оу, - единичный вектор на оси Oz; числа х, у ,z - координаты вектора .

4. Правила действий над векторами в координатной форме.

Если заданы векторы и , то

• ;

;

• .

Если k>0, то векторы и имеют одинаковое направление; если k<0, то векторы противоположно направлены.

Пример №1. При каких значениях n и p векторы и коллинеарны?

Решение:

Используя отношения соответствующих координат, имеем:

, .

Следовательно, векторы коллинеарны при .

6. Длина вектора. Длина вектора (расстояние между двумя точками) вычисляется по формуле или .

Пример №2. Вычислить длину вектора , если , .

Решение:

Найдем координаты вектора .

По формуле вычисления длины вектора найдем длину вектора : .

7. Скалярное произведение двух векторов.

• Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

.

• Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение . Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

• Скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами, находится по формуле .

• Условие перпендикулярности векторов и имеет вид

.

• Угол между векторами и вычисляется по формуле

.

Пример №3. Проверить, перпендикулярны ли векторы и .

Решение:

По условию перпендикулярности векторов находим: , т.е. .

Пример №4. Найти скалярное произведение векторов и .

Решение:

По формуле скалярного произведения векторов, заданных своими координатами, находим .

Ответ: 23.

Пример №5. Даны векторы и . Найти .

Решение:

Найдем координаты вектора :

. По формуле вычисления угла между векторами получим

Ответ: =.

Пример №6. Векторы и образуют угол . Зная, что , вычислить .

Решение:

Используя формулы скалярного произведения векторов и скалярного квадрата вектора , получим

Ответ: =81.

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

Задание №1. Дано и . Найти длину вектора .

Задание №2. Будет ли вектор перпендикулярен вектору ?

Задание №3. При каких значениях m и n вектор будет коллинеарен вектору ?

Задание №4. Найти , если ; .

Задание №5. Найти скалярное произведение , если ; .

Задание №6. Найти скалярное произведение, , если ; .

Вариант 2

Задание №1. Дано и . Найти длину вектора .

Задание №2. Будет ли вектор перпендикулярен вектору ?

Задание №3. При каких значениях и вектор будет коллинеарен вектору ?

Задание №4. Найти , если ; .

Задание №5. Найти скалярное произведение , если ; .

Задание №6. Найти скалярное произведение, , если ; .

Вариант 3

Задание №1. Дано . Найти длину вектора .

Задание №2. Будет ли вектор перпендикулярен вектору ?

Задание №3. При каком значении вектор будет коллинеарен вектору ?

Задание №4. Найти , если ; .

Задание №5. Найти скалярное произведение , если ; .

Задание №6. Найти скалярное произведение, , если ; .

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №5 (см методические рекомендации)

• При выполнении заданий №5, 6 необходимо обратить внимание на Примеры №4, 6 (см методические рекомендации)

4. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 -6 (сделать вывод по работе).

3. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые четыре задания

«4» - любые пять заданий

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа

Вычисление пределов функции

Цели работы: 1. Закрепить полученные знания, умения и навыки в процессе изучения раздела «Функции их свойства и графики».

2. Проверить степень усвоения знаний и сформированности умений при вычислении пределов функции.

Оборудование: Плакаты (свойства функции, формулы сокращенного умножения).

Справочный материал

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке и обозначается , если для любого числа существует число такое, что для всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

При вычислении пределов функции используются теоремы.

Теорема 1. Если существуют пределы функций , то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций :

.

Теорема 2. Если существуют пределы функций , то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций : .

Теорема 3. Если существуют пределы функций , предел функции , то существует также предел отношения , равный отношению пределов функций : .

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: .

Следствие 2. Предел разности равен разности пределов: .

Следствие 3. Если n - натуральное число, то справедливы соотношения:

.

Следствие 4. Предел многочлена (целой рациональной функции) при равен значению этого многочлена при х=а, т.е. .

Приемы вычисления пределов.

1. Предел многочлена.

Пример №1.

2) Предел отношения двух многочленов, .

а) Если , то можно применить теорему о пределе частного:

Пример №2. .

б) Если , то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда, если , то ; если же - имеем неопределенность вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов на множители.

Пример №3.

3) Предел отношения двух многочленов, .

Пример №4.

(при величины , , , , , - бесконечно малые и их пределы равны нулю).

Пример №5.

Пример №6.

4) Пределы иррациональных функций.

Пример №7. теорему о пределе частного применить нельзя. Умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим5) Применение замечательных пределов.

.

Пример №8. Заменяя и учитывая, что получаем:

Пример №9.

Заменяя и учитывая, что получаем:

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Вычислить предел функции:

• При выполнении задания №1 необходимо использовать:

- формулы сокращенного умножения: сумма (разность) кубов, разность квадратов;

- теоремы о пределах (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулу разложения квадратного трехчлена на множители , где и корни квадратного уравнения ;

- теоремы о пределах (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Примеры №№4-6 (см методические рекомендации) и использовать:

- теоремы о пределах (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №7 (см методические рекомендации) и использовать:

- теоремы о пределах (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Пример №9 (см методические рекомендации) и использовать:

- теоремы о пределах (см. методические рекомендации).

4. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Перечислите теоремы и следствия из них, на которых основаны вычисления пределов функций в Ваших заданиях.

2). Что представляет собой число е?

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 5 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005

Практическая работа

Вычисление значений степенных, показательных и логарифмических выражений

Цели работы: 1. Сформировать умения и навыки действий над выражениями, содержащими степени и логарифмы.

2. Проверить степень усвоения знаний и сформированности умений применения свойств степеней и формул логарифмирования при вычислении значений выражений.

Оборудование: Плакаты (степень и ее свойства, логарифм и его свойства).

Справочный материал

1. Степень с натуральным показателем.

Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен а: .

Свойства степени:

Пример1.

Пример №2. Вычислить:

2. Степень с целым показателем. Степенью числа а с целым показателем z называется:

Свойства степени:

те же, что и свойства степени с натуральным показателем.

Пример №3. Вычислить: .

Пример №4. Вычислить:

3. Степень с рациональным показателем.

• Степенью числа а с рациональным показателем называется корень n степени из числа а в степени m: .

Пример №5. Вычислить:

Свойства арифметических корней:

Пример №6. Вычислить:

.

Пример №7. Вычислить:

4. Логарифм числа.

• Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени n, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b:

.

• Основное логарифмическое тождество: .

Примеры №№8-10. Вычислить:

№8. №9. №10.

• Если основание логарифма равно 10, то логарифм называется десятичным:

.

• Если а=е, где то называется натуральным логарифмом.

Логарифмические тождества:

1. 2.

3. 4.

6.

8.

формула перехода к новому основанию.

Пример №11. Вычислить:

Пример №12. Вычислить:

Пример №13. Вычислить:

.

• Логарифмирование - это действие нахождения логарифма числа.

• Потенцирование - это действие, обратное логарифмированию.

Пример №14. Прологарифмировать выражение:

а) .

Решение:

.

б) . Решение:

Пример №15. Пропотенцировать выражение:

а)

б) .

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

Задание №1. Вычислить .

Задание №2. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Задание №3. Прологарифмировать выражение .

Задание №4. Найти х, если .

Вариант 2

Задание №1. Вычислить .

Задание №2. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Задание №3. Прологарифмировать выражение .

Задание №4. Найти х, если .

Вариант 3

Задание №1. Вычислить .

Задание №2. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Задание №3. Прологарифмировать выражение .

Задание №4. Найти х, если .

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Примеры №№1-5 и свойства степеней (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Примеры №№11-13 и логарифмические тождества (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №14 и логарифмические тождества (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №15 и логарифмические тождества (см методические рекомендации)

4. Ответьте на контрольный вопрос:

1). Сформулируйте основное логарифмическое тождество.

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 4 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольный вопрос.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - задания №1, №3 или №1, №4

«4» - задания №№1-3

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005

Практическая работа

Решение показательных уравнений и неравенств

Цель работы: Сформировать умения и навыки решения простейших показательных уравнений и неравенств.

Оборудование: Плакаты (степень и ее свойства, логарифм и его свойства, графики показательной и логарифмической функций).

Справочный материал

1. Показательные уравнения.

   • Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

   • При решении показательных уравнений вида используется следующее свойство: .

Методы решения показательных уравнений

1. Способ уравнивания оснований

Пример №1. Решить уравнение: .

Решение:

По определению нулевого показателя получим: .

По свойству показательных уравнений:

Ответ: 3; 4.

Пример №2. Решить уравнение: .

Решение:

Ответ: 2.

Пример №3. Решить уравнение: .

Решение:

Ответ: 4.

2. Логарифмирование обеих частей уравнения. Применение основного логарифмического тождества.

Пример №4. Решить уравнение: .

Решение:

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 10, получим

Ответ: .

Пример №5. Решить уравнение: .

Решение:

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 3, получим:

Ответ: .

3. Преобразование к квадратному уравнению.

Пример №6. Решить уравнение: .

Решение:

. Введем замену . Решим квадратное уравнение относительно переменной у:

Ответ: 1.

Пример №7. Решить уравнение: .

Решение:

Введем замену . Решим квадратное уравнение относительно переменной у:

Ответ: .

4. Способ группировки.

Пример №8. Решить уравнение: .

Решение:

Ответ: .

2. Показательные неравенства.

   • Неравенства вида называются простейшими показательными неравенствами.

   • Имеют место следующие равносильные преобразования:

Пример №9. Решить неравенство: .

Решение:

Ответ: .

Пример №10. Решить неравенство: .

Решение:

Ответ: .

Пример №11. Решить неравенство: .

Решение:

Ответ: или .

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

Задание №1. Решить уравнение: .

Задание №2. Решить уравнение: .

Задание №3. Решить уравнение: .

Задание №4. Решить неравенство: .

Вариант 2

Задание №1. Решить уравнение: .

Задание №2. Решить уравнение: .

Задание №3. Решить уравнение: .

Задание №4. Решить неравенство: .

Вариант 3

Задание №1. Решить уравнение: .

Задание №2. Решить уравнение: .

Задание №3. Решить уравнение: .

Задание №4. Решить неравенство: .

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Примеры №№1, 2 и свойства степеней (см. методические рекомендации, плакат «Степень и ее свойства»).

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №6 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Примеры №№9 - 11 и равносильные преобразования при решении показательных неравенств (см. методические рекомендации)

4. Ответьте на контрольный вопрос:

1). Какие методы решения показательных уравнений использовались при выполнении практической работы?

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 4 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольный вопрос.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые два задания

«4» - любые три задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Цель работы: Сформировать умения и навыки решения простейших логарифмических уравнений и неравенств.

Оборудование: Плакаты (степень и ее свойства, логарифм и его свойства, графики показательной и логарифмической функций).

Справочный материал

1. Логарифмические уравнения.

• Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма или в основании логарифма, называется логарифмическим.

• При решении логарифмических уравнений вида используется следующее свойство: .

Примеры решения логарифмических уравнений

Пример №1. Решить уравнение: .

Решение:

Используя определение логарифма, и учитывая область определения, получим

Ответ: 21.

Пример №2. Решить уравнение: .

Решение:

Ответ: 64.

Пример №3. Решить уравнение: .

Решение:

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим

Решая полученное квадратное уравнение заменой , находим

Ответ: 0,1; 100.

Пример №4. Решить уравнение: .

Решение:

Здесь, Используя формулу , преобразуем левую часть уравнения к основанию 3:

Таким образом,

Ответ:

2. Логарифмические неравенства.

• Неравенства вида называются простейшими логарифмическими неравенствами.

• Имеют место следующие равносильные преобразования:

Пример №5. Решить неравенство: .

Решение:

Используя равносильные преобразования, получим

Ответ: .

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

Задание №1. Решить уравнение: .

Задание №2. Решить уравнение: .

Задание №3. Решить уравнение: .

Задание №4. Решить уравнение: .

Задание №5. Решить неравенство: .

Вариант 2

Задание №1. Решить уравнение: .

Задание №2. Решить уравнение: .

Задание №3. Решить уравнение: .

Задание №4. Решить уравнение: .

Задание №5. Решить неравенство: .

Вариант 3

Задание №1. Решить уравнение: .

Задание №2. Решить уравнение: .

Задание №3. Решить уравнение: .

Задание №4. Решить уравнение: .

Задание №5. Решить неравенство: .

• При выполнении заданий №1, 2 необходимо обратить внимание на Примеры №№1, 2 и свойства логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»).

• При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №4 и свойства логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»).

• При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №3 и свойства логарифмов (см. методические рекомендации, плакат «Логарифм и его свойства»).

• При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Пример №5 и равносильные преобразования при решении логарифмических неравенств (см. методические рекомендации)

4. Ответьте на контрольный вопрос:

1). Какие способы решения логарифмических уравнений и неравенства использовались при выполнении практической работы?

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 5 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольный вопрос.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа

Тождественные преобразования и вычисления тригонометрических выражений

Цель работы: Научиться пользоваться формулами при решении упражнений на тождественные преобразования, на вычисление значений тригонометрических функций.

Оборудование: Плакаты («Тригонометрические функции. Синус, косинус, тангенс, котангенс», «Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса», «Основные тригонометрические тождества», «Формулы сложения. Формулы суммы и разности синусов (косинусов)»)

Справочный материал

1. Знаки, числовые значения и свойства четности и нечетности тригонометрических функций

Пример №1. Вычислить:

Решение:

.

Ответ: 2.

Пример №2. Какие знаки имеют: 1) cos150°; 2) sin320°; 3) tg220°; 4) ctg 400°?

Решение:

1. 90°<150°<180° (II четверть); cos150°<0

2. 270°<320°<360° (IV четверть); sin320°<0

3. 180°<220°<270° (III четверть); tg220°>0

4. 360°<400°<360°+90° (I четверть); ctg400°<0.

2. Основные тригонометрические тождества:

; (1)

; (2)

; (3)

(4)

Пример №3. Дано: Вычислить: 1) ; 2) 3) .

Решение:

1. По формуле (1) (перед радикалом стоит минус, так как во II четверти );

2. По формуле

3. По формуле (2) .

Пример №4. Дано: Вычислить: 1) ; 2) 3) .

Решение:

1. По формуле (1) (перед радикалом стоит минус, так как в III четверти );

2. По формуле

3. По формуле (2) .

3. Формулы приведения

Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов через тригонометрические функции угла .

При применении формул приведения рекомендуется пользоваться следующими правилами:

1. Если откладывается от оси OX, то наименование приводимой функции, т.е. функции аргумента -, , не изменяется. Если же откладывается от оси OY, то наименование приводимой функции, т.е. функции аргумента , заменяется на сходное (синус - на косинус, тангенс - на котангенс, и наоборот).

2. Знак, с которым нужно брать тригонометрическую функцию в правой части, находится по знаку левой части в предположении, что 0 < <.

Пример №5. Составить формулу приведения для

Решение:

Так как откладывается от оси OY, то тангенс следует заменить на котангенс. Формула верна при всех допустимых значениях аргумента , следовательно, она верна и для 0 < <; но в этом случае дуга оканчивается в IV четверти, в которой тангенс отрицателен.

Значит, .

4. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы сложения)

;

;

;

;

;

;

;

.

Пример №6. Вычислить: , если

.

Решение:

Находим (перед радикалом стоит минус, так как в III четверти );

(перед радикалом стоит плюс, так как в IV четверти );

По формуле получим:

.

Пример №7. Вычислить: , если

.

Решение:

Из формулы имеем . Учитываем, что , находим , .

Аналогично находим и .

По формуле получаем:

.

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

Задание №1. Вычислите .

Задание №2. Определите знак выражения .

Задание №3. Вычислите значения остальных тригонометрических функций угла , если и .

Задание №4. Упростите

Задание №5. Вычислите: , если

.

Вариант 2

Задание №1. Вычислите

Задание №2. Определите знак выражения

Задание №3. Вычислите значения остальных тригонометрических функций угла , если и

Задание №4. Упростите

Задание №5. Вычислите: , если

.

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Примеры №3,4 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Примеры №5,1 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Примеры №6,7 (см методические рекомендации)

4. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Какие тригонометрические функции являются четными, и какие - нечетными?

2). Какие формулы называются формулами приведения?

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 5 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа

Преобразование графиков тригонометрических и обратных тригонометрических функций

Цель работы: Научиться строить графики тригонометрических функций с помощью простейших преобразований.

Оборудование: Плакаты («Графики функций синус и косинус. Преобразование графиков функций синус и косинус», «Графики функций тангенс и котангенс. Преобразование графиков функций тангенс и котангенс», «Арксинус, арккосинус и арктангенс»)

Справочный материал

1. Преобразование амплитуды.

• График функции получается растяжением (сжатием) синусоиды в раз от оси абсцисс. Такое преобразование называется преобразованием амплитуды.

Пример №1. На Рис. 1 изображены графики функций:

_.

Рис. 1

2. Преобразование - сдвиг фазы.

• График функции получается параллельным переносом синусоиды на величину :

  • вправо, если ;

  • влево, если .

Такое преобразование называется сдвигом фазы.

Рис. 2Пример №2. На Рис. 2 изображен графики функции _.

3. Преобразование периода.

• График функции получается из графика функции :

• «сжатием» синусоиды вдоль оси абсцисс в раз;

• • • «растяжением» синусоиды вдоль оси абсцисс в раз.

Рис. 3Такое преобразование называется преобразованием периода.

Пример №3. На Рис. 3 изображены графики функций:

_.

Пример №4. Построить график функции

Решение:

Преобразуем данную функцию следующим образом:

Рис. 4

График изображен на Рис. 4.

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

Задание №1. Постройте график функции:

Задание №2. Постройте график функции:

Задание №3. Постройте график функции:

Задание №4. Постройте график функции:

Задание №5. Постройте график функции:

Вариант 2

Задание №1. Постройте график функции:

Задание №2. Постройте график функции:

Задание №3. Постройте график функции:

Задание №4. Постройте график функции:

Задание №5. Постройте график функции:

Вариант 3

Задание №1. Постройте график функции:

Задание №2. Постройте график функции:

Задание №3. Постройте график функции:

Задание №4. Постройте график функции:

Задание №5. Постройте график функции:

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Пример №4 (см методические рекомендации) или воспользоваться формулой понижения степени тригонометрических функций.

4. Ответьте на контрольный вопрос:

1). Перечислите преобразования, с помощью которых были построены графики заданных функций?

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 5 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольный вопрос.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа

Решение тригонометрических уравнений и неравенств

Цель работы: Сформировать умения и навыки решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Оборудование: Плакаты («Решение тригонометрических уравнений», «Решение тригонометрических неравенств», «Тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс»)

Справочный материал

1. Простейшие тригонометрические уравнения.

• Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида , где m- данное число.

• Решить простейшее тригонометрическое уравнение - значит, найти множество всех значений аргумента, при которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение m.

1) Уравнение

Частные случаи:

Пример №1. .

Решение:

Ответ:

2) Уравнение

Частные случаи:

Пример №2. .

Решение:

Ответ:

3) Уравнение

Частный случай:

Пример №3. .

Решение:

Ответ:

4) Уравнение

Частный случай:

Пример №4. .

Решение:

Ответ:

5) Уравнение

6) Уравнение

7) Уравнение

8) Уравнение

2. Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным

• Уравнение, являющееся или сводящееся к квадратному относительно одной тригонометрической функции, решается вначале как квадратное, а затем сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения.

Пример №5. Решить уравнение: .

Решение:

Ответ:

Пример №6. Решить уравнение: .

Решение:

Заменим =>

Ответ: ,

2. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Пример №7. Решить уравнение: .

Решение:

ОДЗ: x.

Разложим левую часть уравнения на множители:

Ответ: .

Пример №8. Решить уравнение: .

Решение:

ОДЗ: x.

Ответ: .

3. Однородные уравнения

• Однородные уравнения - это тригонометрические уравнения, у которых левая часть является однородным многочленом относительно и , имеющих одну и ту же степень, а правая часть равна нулю. Такие уравнения сводятся к уравнениям относительно .

Пример №9. Решить уравнение: .

Решение:

Разделим обе части уравнения на . Получим:

Ответ: .

Пример №10. Решить уравнение: .

Решение:

Умножив свободный член на получим:

Ответ: .

4. Уравнение вида: .

Рассмотрим частный случай: .

• Уравнение решается делением обеих частей уравнения на или , т.к. и не могут быть одновременно равны нулю, потому что они связаны соотношением В результате получается уравнение, равносильное данному.

Пример №11. Решить уравнение: .

Решение:

Разделим обе части уравнения на :

.

Ответ: .

2. Тригонометрические неравенства.

• Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства видагде m-данное число.

• Решить простейшее тригонометрическое неравенство - значит найти множество значений аргумента (углов), которые обращают данное неравенство в верное числовое неравенство.

Пример №12. Решить неравенство: .

Решение:

Рис.1Учитывая свойство ограниченности синуса, данное неравенство можно переписать так: . Неравенству удовлетворяют дуги из промежутка (см. Рис.1). В силу периодичности синуса общим решением служит множество дуг вида

Пример №13. Решить неравенство: .

Решение:

Перепишем данное неравенство так: . Неравенству удовлетворяют дуги из промежутка (см. Рис.2). Общим решением служит множество дуг вида

Рис.2

Пример №14. Решить неравенство: .

Решение:

Учитывая свойство неограниченности котангенса, имеем . Неравенству удовлетворяют дуги из промежутка (см. Рис.3). Общим решением служит множество дуг вида

Рис.3

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

Задание №1. Решите уравнение: .

Задание №2. Решите уравнение: .

Задание №3. Решите уравнение: .

Задание №4. Решите уравнение: .

Задание №5. Решите неравенство: .

Вариант 2

Задание №1. Решите уравнение: .

Задание №2. Решите уравнение: .

Задание №3. Решите уравнение: .

Задание №4. Решите уравнение: .

Задание №5. Решите неравенство: .

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №7 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Пример №9 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Примеры №12, 14 (см методические рекомендации)

4. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Какие тригонометрические уравнения называются простейшими?

2). Что понимается под решением тригонометрического уравнения?

3). Перечислите основные способы решения тригонометрических уравнений.

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 5 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005

Практическая работа

Вычисление производной функции

Цель работы: Закрепить умения и навыки нахождения производных функций.

Оборудование: Плакат (свойства функции). Стенды (таблица производных, формулы дифференцирования).

Справочный материал

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при : .

Формулы дифференцирования

1. Производная постоянной равна 0:.

2. Производная алгебраической суммы функций равна сумме производных этих функций:

3. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую: .

Частный случай: .

4. Производная частного равна

Частные случаи:

5. Производная сложной функции: .

6. Производная степени: Частный случай: .

7. Производная корня: .

8. . 15. .

9.. 16..

10. . 17. .

11. . 18..

12. . 19. .

13.20.

14. .

Примеры. Найти производные функций:

Пример №1. .

Решение:

Преобразуем данную функцию следующим образом:

Находим

Пример №2.

Решение:

Пример №3.

Решение:

Пример №4.

Решение:

Пример №5.

Решение:

Пример №6.

Решение:

Преобразуем данную функцию следующим образом:

Находим

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

Найти производную функции при данном значении аргумента:

Вариант 2

Найти производную функции при данном значении аргумента:

Вариант 3

Найти производную функции при данном значении аргумента:

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см. методические рекомендации) и использовать:

- формулы дифференцирования 1, 2, 3, 6, 8 (см. методические рекомендации);

- определение степени с дробным показателем .

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулы дифференцирования 1, 2, 3, 5, 6, 7 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Пример №5 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулы дифференцирования 1, 2, 4, 6, 7 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Примеры №№3, 4 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулы дифференцирования 14, 9, 10, 2 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Пример №6 (см методические рекомендации) и использовать:

- свойства логарифмов: ;

- формулы дифференцирования 15, 4, 6, 1, 2 (см. методические рекомендации).

5. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Какую функцию называют сложной? Приведите примеры сложных функций.

2). Как вычисляется производная сложной функции?

6. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 5 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа

Приложения производной: решение прикладных задач

Цели работы: 1. Закрепить полученные знания, умения и навыки в процессе изучения раздела «Дифференциальное исчисление».

2. Проверить степень усвоения знаний и сформированности умений при решении заданий на приложения производной функции.

Оборудование: Плакат (свойства функции). Стенды (таблица производных, формулы дифференцирования).

Справочный материал

1. Физические приложения производной.

   • При прямолинейном движении точки скорость V в данный момент времени t равна производной от пути S по времени t: .

   • Ускорение а в данный момент времени t равно производной от скорости V по времени t: .

Пример №1. Точка движется прямолинейно по закону . Найти величину скорости и ускорения в момент времени .

Решение:

Скорость движения точки в любой момент времени t: .

Тогда скорость движения точки в момент : .

Ускорение движения точки в любой момент времени t: .

Тогда ускорение движения точки в момент времени : .

2. Геометрические приложения производной.

   • Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту k касательной, проведенной к графику функции в этой точке : .

Алгоритм составления уравнения касательной

к кривой в точке с абсциссой .

1. Найти значение функции в точке ,т.е. (подставить в уравнение кривой значение абсциссы ).

2. Найти производную функции и вычислить ее значение в точке , т.е. .

3. Подставить в уравнение касательной найденные значения и значение абсциссы точки и привести уравнение к виду .

Пример №2. К параболе в точке проведена касательная. Составить ее уравнение.

Решение:

1. Найдем : .

2. Найдем : . Вычислим значение : .

3. Подставим найденные значения и значение в уравнение касательной: .

3. Исследование функций с применением производной.

1. 1. 1. Возрастание и убывание функции: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , то функция убывает в этом промежутке.

      2. Признаки максимума и минимума функции.

         • Точка является точкой максимума функции , если: и при переходе аргумента через меняет знак с (+) на (-).

         • Точка является точкой минимума функции , если: и при переходе аргумента через меняет знак с (-) на (+).

         • Точки максимума (max) и минимума (min) функции называются точками экстремума.

Правило исследования функции на экстремум:

1. Найти производную .

2. Приравнять ее нулю и найти критические точки функции .

3. Исследовать знак производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции .

4. Критическая точка - точка максимума, если производная меняет знак с (+) на (-) при переходе через точку .

5. Критическая точка - точка минимума, если производная меняет знак с (-) на (+) при переходе через точку . Если в промежутках, разделенных критической точкой , знак производной не меняется, то точка экстремума не имеет.

6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

1. 1. 3. Направление выпуклости графика функции.

         • Кривая называется выпуклой вниз в промежутке a<x<b, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

         • Кривая называется выпуклой вверх в промежутке a<x<b, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

         • Если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз; если , то кривая выпукла вверх.

      4. Точки перегиба.

         • Точка перегиба - это точка графика функции , разделяющая промежутки противоположных направлений.

         • Если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то график функции имеет точку перегиба .

Правило нахождения точек перегиба графика функции :

1. Найти вторую производную .

2. Найти критические точки функции , в которых обращается в ноль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если при этом критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то является абсциссой точки перегиба функции.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Общая схема построения графиков функций, представленных в виде многочлена:

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, обладает ли функция свойствами четности, нечетности, периодичности.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это не вызывает затруднений).

4. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

5. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

6. Вычислить координаты нескольких промежуточных точек.

7. Построить график функции.

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

№1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением . Вычислить ее скорость и ускорение в момент времени .

№2. Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой .

№3. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

№4. Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую . Построить схематический график функции.

Вариант 2

№1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением . Вычислить ее скорость и ускорение в момент времени .

№2. Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой .

№3. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

№4. Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую . Построить схематический график функции.

Вариант 3

№1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением . Вычислить ее скорость и ускорение в момент времени .

№2. Составить уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой .

№3. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

№4. Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую . Построить схематический график функции.

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Пример №1 (см. методические рекомендации) и использовать:

- физические приложения производной (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №2 (см методические рекомендации) и использовать:

- Алгоритм составления уравнения касательной к кривой в точке с абсциссой (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №3 необходимо обратить внимание на Исследование функций с применением производной (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №4 необходимо использовать:

- Правило исследования функции на экстремум (см. методические рекомендации);

- Правило нахождения точек перегиба графика функции (см. методические рекомендации);

- Общую схему построения графика функции (см. методические рекомендации).

4. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Какие физические задачи решаются с применением производной?

2). Как вычисляется угловой коэффициент касательной в данной точке кривой?

3). Приведите примеры функций, имеющих один максимум или минимум, множество максимумов и минимумов, не имеющих ни максимума, ни минимума.

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 4 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые два задания

«4» - любые три задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа

Вычисление неопределенного и определенного интегралов

Цели работы: 1. Сформировать умения и навыки вычисления неопределенных и определенных интегралов.

1. 2. Проверить усвоение методов интегрирования неопределенного и определенного интегралов.

Оборудование: Стенды (таблица неопределённых интегралов, формулы дифференцирования, таблица значений тригонометрических функций).

Справочный материал

1. Неопределенный интеграл.

• Множество всех первообразных функции y=f(x) на некотором промежутке называется неопределенным интегралом от функции y=f(x) на этом промежутке и обозначается , где символ - знак интеграла, f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, х - переменная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная .

4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла .

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций .

Таблица неопределенных интегралов

1. ; 8. ;

2. ; 9. ;

3. ; 10. ;

4. ; 11. ;

5. ; 12. ;

6. ; 13. ;

7. ; 14. .

Методы вычисления неопределенного интеграла

1. Непосредственное интегрирование - это метод нахождения неопределенных интегралов, основанный на том, что при использовании таблицы интегралов, основных свойств неопределенных интегралов и элементарных тождественных преобразований данный интеграл сводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример №1

Пример №2

2. Метод подстановки - это метод интегрирования сложной функции. Сущность метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется с помощью непосредственного интегрирования.

В основе метода лежит формула замены переменной интегрирования в неопределенном интеграле:

где

Алгоритм метода замены переменной:

1. Ввести новую переменную интегрирования, например .

2. Найти дифференциалы от левой и правой частей полученного равенства: .

3. Выразить дифференциал переменной х через дифференциал новой переменной.

4. Вычислить неопределенный интеграл относительно новой переменной интегрирования методом непосредственного интегрирования.

5. В полученном после интегрирования результате перейти снова к переменной х.

Пример №3

Пример №4

Пример №5

Пример №6

2. Определенный интеграл.

• Приращение F(b) - F(a) любой из первообразных функций F(x) + C на отрезке называется определенным интегралом от a до b функции y=f(x) и обозначается , где числа a и b называются пределами интегрирования, a - нижним, b - верхним. Отрезок называется отрезком интегрирования. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования.

• Формула Ньютона - Лейбница .

Свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла .

3. Определенный интеграл от дифференциала независимой переменной равен разности верхнего и нижнего пределов интегрирования .

4. Если в определенном интеграле пределы интегрирования равны, то интеграл равен нулю .

5. Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то интеграл изменит знак на противоположный .

6. Если функция f(x) неотрицательна на отрезке , то определенный интеграл от этой функции неотрицателен .

Методы вычисления определенного интеграла

1. По формуле Ньютона - Лейбница .

Алгоритм:

1. Найти неопределенный интеграл от функции f(x), в котором можно принять С=0.

2. В полученном выражении подставить вместо х сначала верхний предел b, а затем нижний предел a, и из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Пример №7

.

Пример №8

.

Пример №9

2. Метод замены переменной по формуле

, где .

Алгоритм:

1. Ввести новую переменную интегрирования, например .

2. Найти дифференциалы от левой и правой частей полученного равенства: .

3. Выразить дифференциал переменной х через дифференциал новой переменной.

4. Найти новые пределы интегрирования и , подставив заданные пределы a и b соответственно в введенную замену: .

5. Вычислить определенный интеграл относительно новой переменной интегрирования и новых пределов интегрирования по формуле Ньютона - Лейбница.

Пример №10

Пример №11

Пример №12

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Найти и вычислить интегралы:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Примеры №1, 2 (см. методические рекомендации) и использовать:

- формулы из таблицы интегрирования 1, 2 (см. методические рекомендации);

- свойства неопределенного интеграла 4, 5 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Примеры №№3-6 (см методические рекомендации) и использовать:

- Алгоритм метода замены переменной в неопределенном интеграле (см. методические рекомендации);

- формулы из таблицы интегрирования 6, 7 (см. методические рекомендации).

• При выполнении заданий №3, 4 необходимо обратить внимание на Примеры №№7-9 (см методические рекомендации) и использовать:

- Алгоритм вычисления по формуле Ньютона - Лейбница (см. методические рекомендации);

- свойства определенного интеграла 1, 2, 3 (см. методические рекомендации);

- формулы из таблицы интегрирования 1, 2, 6, 7, 8, 9 (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Примеры №№10-12 (см методические рекомендации) и использовать:

- Алгоритм метода замены переменной в определенном интеграле (см. методические рекомендации);

- формулы из таблицы интегрирования 1, 2 (см. методические рекомендации).

4. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Какое действие называется интегрированием?

2). Сформулируйте определение подынтегральной функции и подынтегрального выражения.

3). Выпишите формулу Ньютона-Лейбница и объясните ее смысл.

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 5 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения

Цель работы: Научиться вычислять площади плоских фигур и объемы тел вращения с помощью определенного интеграла.

Оборудование: Плакаты (формулы площадей плоских фигур, формулы объёмов тел вращения). Стенды (таблица неопределённых интегралов).

Справочный материал

1. Вычисление площадей плоских фигур.

• Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b] численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x),осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, т.е. S=(см. Рис.1).

Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей

у

у

y=f(x)

х

х

a

b

Рис. 2

Рис. 1

у

у

х

y=f(x)

a

x₂

b

x₁

х

Рис. 4

Рис. 3

y=f₁(x)

у

y=f₂(x)

у

y=f₂(x)

y=f₁(x)

y=f₃(x)

х

a

b

c

х

Рис. 6

Рис. 5

Алгоритм решения задачи на вычисление площади плоской фигуры:

1. Сделать приблизительный график заданных функций, ограничивающих площадь плоской фигуры.

2. Найти пределы интегрирования.

3. Выяснить, какой формулой площади плоской фигуры удобно пользоваться в данном случае.

4. Вычислить площадь заданной фигуры.

Пример №1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Применив формулу S=, найдем

Пример №2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

По формуле S= находим

Пример №3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Пределы интегрирования a и b находим из системы уравнений

Отсюда

Следовательно, a=-3 и b=6. По формуле находим

2. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, производится по формуле

Пример №4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Применив формулу , получим

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант I

Задание №1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание №2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание №3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание №4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

Вариант 2

Задание №1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание №2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание №3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание №4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

Вариант 3

Задание №1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание №2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание №3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Задание №4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями

• При выполнении заданий №1, 3 необходимо обратить внимание на Примеры №1, 2 (см. методические рекомендации) и использовать:

- формулы вычисления площади плоской фигуры в зависимости от ее расположения (см. методические рекомендации Рис. 1, 2, 3, 4);

- Алгоритм решения задачи на вычисление площади плоской фигуры (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания №2 необходимо обратить внимание на Пример №3 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулы вычисления площади плоской фигуры в зависимости от ее расположения (см. методические рекомендации Рис. 5, 6);

- Алгоритм решения задачи на вычисление площади плоской фигуры (см. методические рекомендации).

• При выполнении задания № 4 необходимо обратить внимание на Пример №4 (см методические рекомендации) и использовать:

- формулу вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b (см. методические рекомендации).

4. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Объясните, в чем заключается геометрический смысл определенного интеграла.

2). Как вычисляется объем тела вращения вокруг оси Оу?

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 4 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые два задания

«4» - любые три задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

Практическая работа

Вычисление площадей поверхностей геометрических тел

Цель работы: Закрепить знания и умения при решении геометрических задач на вычисление площадей поверхностей геометрических тел.

Оборудование: Плакаты (многогранники, круглые тела), модели геометрических тел, микрокалькуляторы.

Справочный материал

Рис. 1 Рис. 3

Рис. 4

Рис. 2 Рис. 5

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

Задание №1. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания 6см, а апофема равна 8см.

Задание №2. Найти площадь полной поверхности куба со стороной 8см.

Задание №3. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 5см. Боковое ребро призмы равно 10см. Найти площадь полной поверхности призмы.

Задание №4. Цилиндрическая труба с диаметром в 65см имеет высоту в 18м. Сколько квадратных метров жести надо на ее изготовление, если на заклепку уходит 10% всего требующегося количества жести?

Задание №5. В усеченном конусе радиусы оснований 1м и 2м. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 30⁰. Найти полную поверхность усеченного конуса.

Вариант 2

Задание №1. Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 4см, 6см и 8см.

Задание №2. Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 14см, а высота - 15см.

Задание №3. Найти площадь поверхности куба, если его диагональ равна 20дм.

Задание №4. Осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого 12см. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

Задание №5. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2м. Диаметр башни 6м. Сколько листов кровельного железа надо для покрытия крыши, если лист имеет размеры 0,71,4 (м²) и на швы пошло 10% требуемого железа?

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Рис. 2 (см. методические рекомендации).

• При выполнении заданий №2 и №3 необходимо обратить внимание на Рис. 1 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Рис. 3 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Рис. 4 (см методические рекомендации)

4. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Сформулируйте определения площадей боковой и полной поверхностей многогранников.

2). Выпишите формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей круглых тел.

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 5 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005

Практическая работа

Вычисление объемов геометрических тел

Цель работы: Закрепить знания и умения при решении геометрических задач на вычисление объемов геометрических тел.

Оборудование: Плакаты (многогранники, круглые тела), модели геометрических тел, микрокалькулятор.

Справочный материал

Рис. 3

Рис. 1

Рис. 4

Рис. 2 Рис. 5

Порядок выполнения работы

1. Изучите справочный материал и литературу из списка, приведенного к данной практической работе.

2. Разберите примеры, приведенные в справочных материалах.

3. Выполните задания из предложенного Вам варианта:

Вариант 1

Задание №1. В правильной четырехугольной пирамиде высота 3см, а боковое ребро -5см. Найти объем пирамиды.

Задание №2. Найти объем правильной треугольной призмы, если сторона основания 8см, а боковое ребро 6см.

Задание №3. Измерения прямоугольного параллелепипеда 30см, 50см и 18см. Найти ребро равновеликого ему куба.

Задание №4. Диагональ осевого сечения цилиндра равная 12см наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Найти объем цилиндра.

Задание №5. В равностороннем конусе (в осевом сечении правильный треугольник) образующая равна 10см. Найти объем конуса.

Вариант 2

Задание №1. Найти объем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 6см, а высота 7см.

Задание №2. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 5см, 8см и 6см.

Задание №3. Найти объем куба с ребром 3дм. Как изменится объем, если ребро увеличить в 2 раза?

Задание №4. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3см и 9см. Найти объем шара.

Задание №5. Радиусы оснований усеченного конуса 10м и 6м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45⁰. Найти объем конуса

• При выполнении задания №1 необходимо обратить внимание на Рис. 2 (см. методические рекомендации).

• При выполнении заданий №2 и №3 необходимо обратить внимание на Рис. 1 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №4 необходимо обратить внимание на Рис. 3 (см методические рекомендации)

• При выполнении задания №5 необходимо обратить внимание на Рис. 4 (см методические рекомендации)

4. Ответьте на контрольные вопросы:

1). Сформулируйте определения объема тела.

2). Выпишите формулы для определения объема прямоугольного параллелепипеда и прямой призмы и поясните смысл входящих в них параметров.

3). Можно ли применить формулу объема прямой призмы для вычисления объема прямого параллелепипеда?

5. Подготовьте отчет о проделанной работе по приведенной ниже форме:

1. Записать тему, цели работы.

2. Выполнить задания №№1 - 5 (сделать вывод по работе).

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Сдать преподавателю тетрадь на проверку.

Критерии оценки:

«3» - любые три задания

«4» - любые четыре задания

«5» - все задания

Список литературы:

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005

Литература

1. Математика. Среднее профессиональное образование. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2009

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2005.

4. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.: Дрофа, 2005.

12. П.И.Алтынов Тесты. Алгебра и начала анализа. Учебно-методическое пособие. - М. Дрофа, 2005.

73