Квадратные уравнения с параметрами

Тема занятия «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ»

Цели занятия:

Образовательная: углубить ранее полученные знания об уравнениях с параметрами, закрепить навыки решения уравнений;

Воспитательная: воспитывать навыки учебного труда, умение работать в группах;

Развивающая: развивать логическое мышление, формировать потребность к приобретению знаний.

Опрос:

Вспомним условия расположения корней уравнения,при условии , что оба корня положительные, отрицательные, разных знаков.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с параметрами.

ПРИМЕР 1.

Решить уравнение

Решение:

1.Если , то мы имеем линейное уравнение:

2.Если найдём дискриминант D квадратного уравнения :

а)Если , то

б)Если т.е. то

в)Если то действительных корней нет .

Ответ: если

если

если

решений нет, если

ПРИМЕР 2.

Решить уравнение

Решение:

Уравнение равносильно системе:

Решим уравнение

1.Если т.е. имеем :

Условие выполнено, т.к.

Выясним, при каких значениях Для этого решим уравнения :

и

Понятно, что при всех отрицательных значениях параметра равенство в первом уравнении невозможно, при возведя в квадрат обе части равенства , мы получим что невозможно.

Второе из рассматриваемых уравнений невозможно при положительных значениях ,а при имеем , как и в первом случае , неверное равенство

Таким образом , если

2.Если то

Т.е. в данном случае уравнение не имеет решений.

3.Если то дискриминант квадратного уравнения отрицательный и, таким образом, нет действительных корней.

Ответ: если

решений нет, если

ПРИМЕР 3.

Определить количество корней уравнения в зависимости от :

Решение:

Обозначим Тогда исходное уравнение имеет вид

или .

Количество корней зависит от знака D₁ .

D₁=

1.Если то данное уравнение не имеет корней.

2.При уравнение имеет единственный корень: Итак,

Это уравнение не имеет корней.

3.Если то корни уравнения

Итак ,необходимо выяснить , сколько корней имеет совокупность уравнений:

В первом уравнении дискриминант отсюда следует, что оно не имеет решений при любых значениях параметра

Во втором уравнении

1)Если т.е. то данное уравнение имеет один корень.

2)Если т.е.

Уравнение не имеет действительных корней.

3)Если т.е. уравнение имеет два корня .

Ответ: Два корня , если

один корень, если

действительных корней нет, если

ПРИМЕР 4.

При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

Найдём дискриминант квадратного уравнения :

Если , уравнение имеет один корень что удовлетворяет условию

При получим:

Уравнение имеет одно решение , если т. е. при

Ответ: Уравнение имеет один корень, если

ПРИМЕР 5.

При каких значениях параметра уравнение имеет

два разных действительных корня?

Решение:

Данное биквадратное уравнение сводится к совокупности уравнений:

Уравнение имеет два разных корня, если

Ответ: уравнение имеет два разных корня , если

ПРИМЕР 6.

При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение ?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

система будет иметь одно решение ,если

т.е. при

Ответ: уравнение имеет единственное решение при

ПРИМЕР 7.

Сколько решений имеет уравнение в зависимости от значения параметра ?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

При или уравнение имеет два решения, в других случаях - три.

Ответ: два решения , если

три решения, если

ПРИМЕР 8.

При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение ?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

Решив квадратное уравнение , имеем :

Система имеет единственное решение, если т.е. или, когда

Ответ: уравнение имеет единственное решение, если

ПРИМЕР 9.

При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение?

Решение:

1.Если то мы получим линейное уравнение

При

При решений нет .

2.При дискриминант D должен равняться нулю, т.е.

Случай уже рассмотрен .

Ответ:уравнение имеет единственное решение при

ПРИМЕР 10.

При каких значениях параметра сумма корней уравнения

равна 2?

Решение:

Чтобы уравнение имело корни ,

По теореме Виета,

Таким образом, имеем систему:

Ответ: при

ПРИМЕР 11.

При каких значениях параметра уравнение

имеет два разных положительных корня ?

Решение:

Для того, чтобы квадратное уравнение имело два разных действительных корня, необходимо, чтобы дискриминант

По теореме Виета:

Таким образом, имеем систему неравенств :

Ответ: уравнение имеет два разных положительных корня,

если .

ПРИМЕР 12.

При каких значениях параметра один корень уравнения

меньше, чем -2 , три других- больше -1 ?

Решение:

В условии задачи идёт речь о четырёх корнях , т.е. Пусть тогда

данное уравнение примет вид

.

Чтобы данное уравнение имело четыре действительных корня , которые удовлетворяют условию задачи , необходимо, чтобы корни уравнения относительно t удовлетворяли условиям:

Итак имеем систему неравенств :

где

Ответ: при

ПРИМЕР 13.

При каких значениях параметра уравнение имеет

единственный корень ? Найти его.

Решение:

а) тогда

б) тогда

Ответ: при

ПРИМЕР 14.

Определить количество целых значений параметра из промежутка ,

при которых квадратное уравнение имеет два разных корня.

Решение:

Для того , чтобы квадратное уравнение имело два разных корня, необходимо, чтобы

Ответ: 4.

ПРИМЕР 15.

При каком наименьшем целом значении уравнение

имеет четыре решения ?

Решение :

Построим в одной системе координат графики функций и

Видим, что при эти графики имеют четыре точки пересечения.

Ответ:

ПРИМЕР 16.

Найдите количество целых значений , при которых сумма корней уравнения принадлежит промежутку .

Решение:

Сумма корней уравнения равна

Итак ,

Целые числа, которые удовлетворяют условию 11, 12,13, 14,15.

Ответ: пять.

ПРИМЕР 17.

Найдите количество целых значений , при которых произведение корней уравнения принадлежит промежутку .

Решение:

Произведение корней уравнения равно

Итак,

Целые числа , которые удовлетворяют условию это 23, 24, 25.

Ответ:три.

ПРИМЕР 18.

При каком наименьшем натуральном значении параметра корни уравнения являются рациональными числами?

Решение:

Для того ,чтобы корни уравнения были рациональными числами, необходимо, чтобы выражение было полным квадратом ,т.е.

будет полным квадратом при наименьшем натуральном значении

Ответ: при

ПРИМЕР 19.

При каком значении параметра квадратное уравнение

имеет корни, равные по абсолютной величине и противоположные по значению ?

Решение:

разделим на

Ответ: при

ПРИМЕР 20.

При каком наибольшем целом значении параметра корни уравнения

находятся по разные стороны промежутка ?

Решение:

Запишем левую часть уравнения как функцию

Нарисуем график этой функции ( схематично).

Мы видим, что корни уравнения находятся по разные стороны промежутка

, если выполняются условия:

Ответ:

ПРИМЕР 21.

При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения

равна 12?

Решение:

По теореме Виета: По условию: тогда

Т.е.

Ответ:

ПРИМЕР 22.

При каком значении параметра произведение корней уравнения

будет наибольшим?

Решение:

По теореме Виета произведение корней этого уравнения равняется :

Сумма двух положительных чисел принимает наименьшее значение, если одно из слагаемых равно нулю. Итак ,

Ответ:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1.Решить уравнение:

1)

2)

3)

Ответы:

1) если

корней нет, если если если

2) если

при корней нет при

3) если корней нет, если

2.При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение ?

Ответ: ни при каких.

3.При каких значениях параметра уравнение

имеет два разных действительных корня?

Ответ: при

4.При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение ?

Ответ: при

5.Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра ?

Ответ: два корня, если

три корня, если

6.При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение?

Ответ: при

7.При каком значении параметра произведение корней уравнения

равно 8?

Ответ: при

8.При каких значениях параметра уравнение имеет

два разных отрицательных корня ?

Ответ: при

9.При каких значениях параметра уравнение имеет

два разных действительных отрицательных корня?

Ответ: при

10.При каких значениях параметра уравнение имеет корни разных знаков ?

Ответ: при

11.При каких значениях параметра уравнение имеет

корни такие, что и ?

Ответ: при

12.Найти все значения , при которых один из корней уравнения

меньше чем 1, а второй - больше 1.

Ответ:

13.Найти все значения , при которых корни уравнения

больше, чем 1.

Ответ: