Задачи на разные виды движения

Решение задач на движение двух тел в противоположных направлениях.

Задача 1. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Решение

Скорость

Время

Расстояние

1 пешеход

6 км/ч

3 ч.

? ?

2 пешеход

4 км/ч

3 ч.

?

1 способ: (6+4)*3=30 (км)

2 способ: 6*3+4*3=30 (км)

Ответ: 30 км.

Задача 2. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч. Через сколько времени пешеходы удалятся друг от друга на 30 км?

Решение

Скорость

Время

Расстояние

1 пешеход

6 км/ч

x ч

6х 30 км

2 пешеход

4 км//ч

х ч

4х

1 способ: 6х+4х=30

х=3 Пешеходы удалятся друг от друга на 30 км через 3 часа.

2 способ: (6+4)*х=30

х=3 Ответ: 3 часа.

Задача 3. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч. Через 3 часа пешеходы удалились друг от друга на 30 км. Определите скорость другого пешехода.

Решение

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

Скорость

Время

Расстояние

1 пешеход

6 км/ч

3 ч

6*3 км 30 км

2 пешеход

х км/ч

3 ч

3х км

1 способ: 6*3+3х=30

х=4

2 способ: (без помощи уравнения)

(30-18):3=4

Ответ: 4 км/ч.

Решить самостоятельно задачу 4. По данным таблицы составьте задачи на движение двух тел в противоположных направлениях при одновременном начале движения из одного пункта. Найдите неизвестные величины.

Задача

1

2

3

4

Движущиеся тела

Велосипедисты

Лыжники

Катера

Поезда

Скорость первого тела

Скорость второго тела

Общее время движения

Путь, пройденный первым телом

Путь, пройденный вторым телом

Тела удалились на

20 км/ч

23 км/ч

2 ч

?

?

?

12 км/ч

9 км/ч

х ч

12х км

9х км

12х+9х=63

х км/ч

14 км/ч

5 ч

?

?

120 км

50 км/ч

х км/ч

6 ч

?

?

540 км

В следующих заданиях составить уравнение и решать задачу.

Задача 5. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Через 2 часа расстояние между ними стало 16 км. Найдите скорость второго пешехода, если скорость первого была 5 км/ч. (ответ: 10+2х=16; 3 км/ч)

Задача 6. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Через 3 часа расстояние между ними стало 27 км. Найдите скорость второго пешехода, если скорость первого была 4 км/ч. (ответ: 12+3х=27; 5км/ч)

Задача 7. Из одного и того же пункта в противоположных направлениях выехали одновременно две автомашины. Скорость одной из них 55 км/ч, скорость другой - 65км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 600 км? (ответ: 55х+65х=600; 5ч.)

Решение задач на встречное движение двух тел.

Задача 1. Одновременно из двух пунктов навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние до встречи прошёл каждый пешеход и какое расстояние было между пунктами, если один пешеход шёл со скоростью 6 км/ч, а другой - со скоростью 4 км/ч?

Решение

Скорость

Время

Расстояние

1 пешеход

4 км/ч

3 ч

?

2 пешеход

6 км/ч

3 ч

?

a. 4*3=12 (км) - прошёл 1 пешеход

b. 6*3-18 (км) - прошёл 2 пешеход

c. 12+18=30 (км) - расстоянии е между пунктами

Ответ: 12 км; 18 км; 30 км.

Задача 2. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Один из них проходит в час 6 км, а другой 4 км. Через сколько часов пешеходы встретятся и какое расстояние пройдёт каждый из них до встречи.

Решение:

Скорость

Время

Расстояние

1 пешеход

4 км/ч

х ч

4х км 30

2 пешеход

6 км/ч

х ч

6х км км

1) 6х+4х=30 х=3 (3 ч.)

2) 4*3=12 (км)

3) 6*3 (км)

Ответ: 3 ч; 12 км;18 км

Задача3. Из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 3 ч пешеходы встретились. Скорость одного пешехода 4 км/ч. Найдите скорость другого.

Решение.

Скорость

Время

Расстояние

1 пешеход

4 км/ч

3 ч

4*3 км 30 км

2 пешеход

х км/ч

3 ч

3х км

4*3+3х=30

3х=30-12

х=6 (км/ч)

Ответ: 6 км/ч

Решать самостоятельно задачу 4: по данным таблицы составьте задачи на встречное движение двух тел при одновременном начале движения из двух пунктов. Найдите неизвестные величины.

Задача

1

2

3

4

Движущиеся тела

Бегуны

Лодки

Катера

Поезда

Скорость первого тела

Скорость второго тела

Время движения до встречи

Расстояние между пунктами

Путь, пройденный первым телом

Путь, пройденный вторым телом

Уравнение

7 м/с

8 м/с

х с

120 м

7х м

8х м

7х+8х=120

12 км/ч

9 км/ч

х ч

84 км

?

?

?

15 км/ч

х км/ч

5 ч

160 км

15*5 км

х*5

?

Х км/ч

47 км/ч

4 ч

360 км

?

?

?

В следующих заданиях составить уравнения и решить задачу.

Задача 5. Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два поезда. Скорость одного из них 70 км/ч, скорость другого - 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между городами 900 км? (ответ: 70х+80х=900; 5ч.)

Задача 6. Из двух городов, расстояние между которыми 162 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого. Встреча произошла через 6ч после их выезда. С какой скоростью ехал каждый велосипедист? (ответ: 6х+6(х+3)=162; 12 км/ч)

Задача 7. Из городов А и В, расстояние между которыми 240 км, одновременно навстречу друг другу выехали два поезда. Встретились они через 2,4 часа. Скорость одного поезда больше скорости другого на 10 км/ч. Найдите скорость каждого поезда.

(ответ: 2,4(х+10)+2,4х=420; 82,5 км/ч; 92,5 км/ч)

Решение задач на движение двух тел в одном направлении.

Задача 1. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода. Первый пешеход идёт со скоростью 6 км/ч, а другой - со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние будет между пешеходами через 5 часов?

Решение:

Скорость

Время

Расстояние

1 пешеход

6 км/ч

5 ч

? 6*5 км 30

2 пешеход

4 км/ч

5 ч

? 4*5 км км

1) 6*5=30 (км) - прошёл первый пешеход

2) 4*5=20 (км) - прошёл второй пешеход

3) 30-20=10 (км) - расстояние между пешеходами через 5 часов. Ответ: 10 км.

Задача 2. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода. Первый пешеход идёт со скоростью 6 км/ч, а второй - со скоростью 4км/ч. Через сколько часов второй пешеход отстанет от первого на 10 км?

Решение:

Скорость

Время

Расстояние

1 пешеход

6 км/ч

х ч

6х км, на 10>,чем

2 пешеход

4 км/ч

х ч

4х км

Составив таблицу, выясняем, что это задача на сравнение и уравнение составляем, проговорим фразу: «из большего отнимаем меньшее, получаем разницу».

6х-4х=10

2х=10

х=5 Ответ: второй пешеход отстанет от первого на 10 км через 5 часов.

Задача 3. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода. Скорость первого пешехода 6 км/ч. Через 5 ч второй пешеход отстал от первого на 10 км. С какой скоростью шёл второй пешеход?

Решение:

Скорость

Время

Расстояние

1 пешеход

6 км/ч

5 ч

6*5 км, на 10>,чем

2 пешеход

х км/ч

5 ч

5х км

Задача на сравнение: 5*6-5х=10

х=4

Ответ: второй пешеход шёл со скоростью 4 км/ч

Задача 4. Одновременно из двух пунктов вышли два пешехода. Первый пешеход, идущий со скоростью 6 км/ч, через 5 ч догнал второго, идущего со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние между пешеходами было первоначально?

Решение:

Скорость

Время

Расстояние

1 пешеход

6 км/ч

5 ч

? 6*5 км

2 пешеход

4 км/ч

5 ч

? 4*5 км

1) 6*5=30 (км) - прошёл первый пешеход

2) 4*5=20 (км) - прошёл второй пешеход

3) 30-20-=10 (км) - первоначальное расстояние между пешеходами.

Ответ: 10 км.

Задача 5. Первый пешеход, идущий со скоростью 6 км/ч, догоняет второго, идущего со скоростью 4 км/ч. Через сколько часов первый пешеход догонит второго, если первоначально расстояние между ними было 10 км и они вышли одновременно?

Решение:

Скорость

Время

Расстояние

1 пешеход

6 км/ч

х ч

6х, на 10км>, чем

2 пешеход

4 км/ч

х ч

4х

6х-4х=10

2х=10

х=5 Ответ: первый пешеход догонит второго через 5ч.

В следующих заданиях составить уравнение и решить задачу.

Задача 6. Из двух пунктов в одном направлении выехали два велосипедиста. Скорость одного из них 11 км/ч, а скорость другого - 13 км/ч. Через сколько часов первый велосипедист догонит второго, если расстояние между пунктам 12 км?

(Ответ: 13х-11х=12; 6 км/ч)

Задача 7. Из Саратова в Москву вышел пассажирский поезд со скоростью 55 км/ч, а через 2 часа вслед за ним отправился скорый поезд со скоростью 66 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй поезд догонит первый, если расстояние от Саратова до Москвы 855 км?

(Ответ: 66х=55(х+2); 195км)

Задача 8. Со станции вышел поезд, скорость которого 48 км/ч, а через 1,25 ч за ним вышел второй поезд, скорость которого 56 км/ч. На каком расстоянии от станции отправления второй поезд догонит первый?

(Ответ: 48(х+1,25)=56х; 420 км)

Задача 9. Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали автомобилист и мотоциклист. Скорость автомобиля 63 км/ч, скорость мотоцикла 48 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет равно 75 км?

(Ответ: 63х-48х=75: 5 ч)

Задачи на движение по водоёму.

Ученик с 5 класса должен знать:

· Скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

· Скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения реки.

· Скорость по озеру равна собственной скорости.

· Собственная скорость равна половине суммы скорости по течению и скорости против течения.

Краткая запись всех задач оформляется, как, обычно, в таблицу. В начале изучения таких задач выясняем, что, когда плывём по течению, течение нам помогает плыть, поэтому мы к своей скорости прибавляем скорость течения, против когда плывём против течения, течение нам мешает плыть, поэтому мы из своей скорости вычитаем скорость течения. У основной массы класса такие задачи не вызывают затруднений, поэтому, подробное решение и оформление таких задач не будем. Как обычно, два столбика заполняем по условию задачи, третий по первым двум. И этот столбик нам даёт уравнение. Дальше смотрим, к какому типу относится задача: на сравнение или на сложение величин, если это необходимо.

Задача 1. Катер прошёл 20 км по течению реки и такой же путь обратно, затратив на весь путь 1 ч 45 мин. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите время катера в пути.

Пусть х км/ч - собственная скорость катера. Какое из уравнений соответствует условию задачи.

1) 20/(х+2)=1,45

2) 20/(х-2)-20/(х+2)=1,45

3) 20/(х-2)+20/(х+2)=7/4

4) 20/(2-х)+20(2+х)=7/4

Решение:

Скорость

Время

Путь

По течению

х+2 км/ч

20/(х+2) ч 1 ч

45 мин

20 км

Против течения

х-2 км/ч

20/(х-2) ч

20 км

Эта задача на сложение величин. Переводим минуты в часы, 1 ч 45 мин.=7/4 ч., получаем уравнение:

20/(х+2)+20(х-2)=7/4. Ответ: 3

Задача 2. Катер прошёл 3 км по течению реки на 30 минут быстрее, чем 8 км против течения реки. Собственная скорость катера 15 км/ч.

Пусть х км/ч - скорость течения реки. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

1) 3/(15-х)-8(15+х)=0,5

2) 8/(15-х)-3(15+х)=0,5

3) 8/(х-15)-3(х+15)=0,5

4) 8/(15-х)+3(15+х)=30

Решение:

Скорость

Время

Путь

По течению

х+15 км/ч

3/(15+х) ч, на 30 мин.< чем

3 км

Против течения

15-х км/ч

8/(15-х) ч

8 км

Эта задача на сравнение, из большего отнимаем меньшее, получаем разницу, так как 30 мин это 0,5 ч , то получаем:

8/(15-х)-3/(15+х)=0,5

Ответ: 2

В следующих заданиях составить уравнение.

Задача 3. Катер прошёл 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

(Ответ: 30/(х+2)+13/(х-2)=1,5)

Задача 4. Туристы проплыли на байдарке против течения реки 6 км и вернулись обратно. На все путешествие они затратили 4 ч 30 мин. Какова собственная скорость байдарки, если скорость течения реки 1 км/ч?

(Ответ:6(х+1)+6(х-1)=4,5)

Задача 5. Моторная лодка шла 0,4 ч по озеру и 0,3 ч по течению реки, скорость течения которой 2 км/ч. Всего моторная лодка прошла 9 км. Найдите её собственную скорость.

(Ответ: 0,4(х+2)+0,4(х-2)=9)

Задача 6. Катер прошёл 0,6 ч против течения реки, скорость течения которой 2,5 км/ч, и 0,4 ч по озеру. Всего катер прошёл 17 км. Найдите собственную скорость катера.

(Ответ: 0,6(х-2,5)+0,4х=17)