Опорные конспекты по тригонометрии

Формулы тройных углов

Обратные тригонометрические функции

Некоторые значения тригонометрических функций

таблица 3

Аргумент

Функция

sin 

cos 

tg 

ctg 

15

18

36

54

72

75

Вопросы для проверки

1. Что такое числовая окружность?

2. Перечислите признаки числовой окружности.

3. Какая величина принимается за единицу измерения при градусном измерении углов?

4. Что такое радиан?

5. По каким формулам переводят градусную меру угла в радианную и наоборот?

6. Выразите в радианах углы, равные 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360.

7. Почему ошибочна запись  = 180?

8. При каком условии длина дуги равна ее радианной мере?

9. Какой угол называется углом поворота?

10. Какой угол поворота называется положительным? отрицательным?

11. Задайте формулой общий вид углов поворота.

12. Сформулируйте правило «полного оборота».

13. Какие функции называются тригонометрическими?

14. Дайте определение функции синус; косинус; тангенс; котангенс.

15. При каких углах не определен тангенс? котангенс?

16. Назовите значения тригонометрических функций углов 30, 45, 60.

17. Какие значения может принимать синус? косинус? тангенс? котангенс?

18. Определите знаки тригонометрических функций в зависимости от того, в какой четверти находится аргумент.

19. Какие из тригонометрических функций являются четными, какие - нечетными?

20. Чему равен период синуса? косинуса? тангенса? котангенса?

1. Числовая прямая

Алгебраические функции - это функции, заданные аналитическим выражением, в записи которого используются алгебраические операции над числами и переменной (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

у = 2х + 3,

Числовая прямая - это математическая модель для представления чисел, в которой каждое число соответствует точке на прямой, причем расстояние от точки до начала отсчета равно модулю числа:

Признаки числовой прямой:

1) начало отсчета;

2) единичный отрезок;

3) положительное направление (стрелка).

11. Простейшие тригонометрические неравенства

Чтобы решить простейшее тригонометрическое неравенство нужно:

1. Провести прямую к линии соответствующей функции.

2. Выделить дугу, на которой лежат решения неравенства.

3. Найти концы этой дуги, помня, что обход совершается против часовой стрелки от меньшего числа к большему.

4. Прибавить к концам интервала числа, кратные периоду функции.

Решить неравенство .

Решение.

Все решения, удовлетворяющие заданному неравенству, лежат на дуге l. Найдем ее концы:

С учетом периода синуса, запишем ответ:

.

Ответ:

10. Простейшие тригонометрические уравнения

Если правая часть уравнения - отрицательное число, то следует воспользоваться свойствами соответствующих обратных тригонометрических функций, тогда:

При а = 1; 0; -1 решение уравнения записывается в виде (n  Z):

2. Числовая окружность

Единичная окружность - это окружность, радиус которой принят за единицу измерения.

Числовая окружность - это единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности:

Указанное соответствие можно определить следующим образом: каждому числу  соответствует такая точка Р числовой окружности, чтобы дуга ОР имела длину || и была отложена в положительном направлении если  > 0 и в отрицательном, если  < 0:

Признаки числовой окружности:

1) начало отсчета - правый конец горизонтального диаметра;

2) единичный отрезок - длина радиуса окружности;

3) положительное направление - против часовой стрелки.

Откладывать можно дуги какой угодно длины. То есть числовую окружность можно рассматривать как окружность радиуса 1, на которую «намотана» числовая прямая:

3. Радианная мера углов и дуг

Угол в 1 - это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна части окружности.

Угол поворота - это угол, полученный вращением луча около его начала О от начального положения ОА до конечного положения ОВ.

Угол в 1 радиан - это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Радианная мера угла численно равна пути, который проходит точка по дуге единичной окружности, на которую опирается этот угол:

Для связи радианов и градусов используют развернутый угол:

1. Говорят: «угол радиан» или чаще «угол ». Обозначение «радиан» или «рад», как правило, опускают.

2. Термин «радианное измерение углов» равносилен термину «числовое измерение углов», т.е. фраза «угол  равен двум радианам» равносильна фразе «угол  равен числу 2» и даже «угол  равен двум». Поэтому вопрос типа «Чему равно ?» некорректен. Нужно спрашивать: «Чему равен угол ?» (60) или «Чему равно число ?» ( 1,05).

9. Обратные тригонометрические функции

Арксинусом числа а называется такое число х из интервала , синус которого равен а.

Арккосинусом числа а называется такое число х из интервала [0; ], косинус которого равен а.

Арктангенсом числа а называется такое число х из интервала , тангенс которого равен а.

Арккотангенсом числа а называется такое число х из интервала (0; ), котангенс которого равен а.

1. Для отрицательных значений аргумента:

2. Из определения аркфункции сразу следует, что:

VI. Формулы половинного аргумента (знак - по функции в левой части):

VII. Формулы сумм:

VIII. Формулы произведений:

IX. Универсальная тригонометрическая подстановка:

X. Некоторые дополнительные формулы:

4. Угол поворота

Полный оборот - это угол поворота, равный 2 рад (или 360).

Некоторые положения конечной точки угла поворота:

5. Определение тригонометрических функций

Функция косинус - это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t абсциссу точки М(t) координатной окружности.

Функция синус - это функция, которая ставит в соответствие каждому числу t ординату точки М(t) координатной окружности.

Если М(t) = М(х; у),
то х = cos t, у = sin t

Таким образом,

М(t) = М(cos t; sin t)

Запись М(t) показывает положение точки М на координатной окружности, а запись М(cos t; sin t) - положение той же точки на координатной плоскости.

Функция тангенс - это частное от деления функции синус на функцию косинус.

Функция котангенс - это частное от деления функции косинус на функцию синус.

Поскольку деление на нуль невозможно, функции tg t и ctg t определены не для всех значений аргумента. Тангенс определен лишь для значений аргумента, при которых cos t  0, котангенс определен при sin t  0:

Тригонометрические функции - это общее название функций синус, косинус, тангенс и котангенс.

I. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:

III. Формулы приведения:

1) функция меняется на кофункцию при переходе через вертикальную ось и не меняется при переходе через горизонтальную;

2) перед приведенной функцией ставится знак приводимой функции, считая  углом первой четверти.

IV. Формулы двойного аргумента:

V. Формулы понижения степени:

Значения тригонометрических функций
некоторых углов

таблица 1

0



sin 

0

1

0

-1

cos 

1

0

-1

0

tg 

0

1

-

0

-

ctg 

-

1

0

-

0

Связь между тригонометрическими функциями
одного аргумента

таблица 2

6. Графики тригонометрических функций

Тригонометрический набор координат:

у = sin x синусоида

у = cos x косинусоида

у = tg x у = ctg x

тангенсоида котангенсоида

7. Свойства синуса и косинуса

Линия синусов

Область значений

Знаки по четвертям

Четность - нечетность

|sin t|  1

sin(-t) = -sin t

Линия косинусов

Область значений

Знаки по четвертям

Четность - нечетность

|cos t|  1

cos(-t) = cos t

Область определения

D(sin) = R

D(cos) = R

Область значений

E(sin) = [-1; 1]

E(cos) = [-1; 1]

Четность - нечетность

нечетная функция

четная функция

Периодичность

sin(x  2) = sin x

cos(x  2) = cos x

8. Свойства тангенса и котангенса

Линия тангенсов

Область значений

Знаки по четвертям

Четность - нечетность

tg t  (-; +)

tg(-t) = -tg t

Линия котангенсов

Область значений

Знаки по четвертям

Четность - нечетность

ctg t  (-; +)

ctg(-t) = -ctg t

Область определения

Область значений

E(tg) = (-; +)

E(ctg) = (-; +)

Четность - нечетность

нечетная функция

нечетная функция

Периодичность

tg(x  ) = tg x

ctg(x  ) = ctg x

18 3