Методическая разработка «Многоуровневая система задач с параметром по теме «Квадратные уравнения» в курсе алгебры 8-го класса»

Методическая разработка

на тему: «Многоуровневая система задач с параметром по теме «Квадратные уравнения» в курсе алгебры 8-го класса»

Пояснительная записка.

ФИО

Адякина Валентина Семёновна

Место работы

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей (экономический) с. Исаклы

Должность

учитель математики

Предмет

Математика

Класс

8

Базовый учебник

А.Г. Мордкович Алгебра 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений - М.: Мнемозина, 2010.

Задачи с параметрами мало представлены в школьном курсе математики. Между тем они включены в итоговую аттестацию как в 9, так и в 11 классах. Для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.

Цель:

сформировать у учащихся отчетливое представление о параметрических задачах при решении квадратных уравнений и основных принципах их решения.

Задачи:

- образовательные (формирование познавательных УУД):

анализировать и выявлять существенную информацию, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, моделировать условие в графическом виде, переформулировать условие, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование;

- развивающие (формирование регулятивных УУД)

1. целеполагание, планирование своей деятельности в зависимости от конкретных условий;

2. прогнозирование способа её решений, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, волевая саморегуляция, готовность к саморазвитию, самообразованию;

3. - воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.

На каждом этапе решения задач с параметром формируются универсальные учебные действия.

Этапы решения задачи

Формируемые УУД

Анализ условий

Целеполагание, выделение существенной информации, прогнозирование способа решения, аналогия, классификация, знакосимволические действия.

Схематическая запись условия

Планирование, систематизация, моделирование.

Составление математической модели

Корректировка условия, моделирование в графическом виде, создание способа решения задачи.

Решение математической модели

Анализ и выявление существенной информации, выделение следствий, построение цепи рассуждений, выдвижение и проверка гипотезы, преобразования модели.

Интерпретация модели

Анализ, выделение следствий, конкретизация.

Исследование задачи

Поиск аналогов, умение передать содержание, создание способов решения проблем, умение применять схемы, анализ и синтез.

Рефлексия

Самооценка, самоанализ, готовность к саморазвитию, умение определить цели, ставить и формулировать для себя новые задачи, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности.

Ниже приводится многоуровневая система задач по решению и исследованию квадратных уравнений с параметрами в курсе алгебры 8 класса. Данная система задач включает в себя задачи трёх уровней: базовые, модифицированные и исследовательские.

Задачи первого уровня (базовые) позволяют сформировать у учащихся ключевые компетенции, применимые в учебной деятельности при решении задач более высокого уровня.

Видоизменение задач второго уровня (модифицированных) осуществляется в трёх направлениях: увеличение технической сложности и трудности задачи; варьирование известного алгоритма решения; необычная форма предоставления условия задачи, при которой сразу не видно применение знакомого способа действий.

При решении задач третьего уровня учебная деятельность носит исследовательский характер. При решении таких задач ученик должен ориентироваться в новой ситуации и выработать новые приемы действий.

Базовые задачи.

1. Линейным или квадратным является уравнение

b (b-5)x²+(6b-3)x-18= 0 относительно х при:

а) b = 6; б) b = 0; в) b = 0,5; г) b = 5?

2. При каких значениях параметра p уравнение х²-2(p+3)х+16=0 имеет:

а) два корня;

б) один корень;

в) не имеет действительных корней?

3. При каких значениях параметра p уравнение 2х²+pх+68=0 имеет корень, равный 17?

4. Найдите p и q, если х₁=1 и х₂=2 - нули квадратичной функции

у=х²+pх+ q.

Решение:

Т. к. х₁=1 и х₂=2 - нули квадратичной функции у=х²+ pх+ q, то по теореме Виета имеем: х₁+ х₂=-p, х₁∙х₂=q. Тогда p=-3, q=2.

Ответ: p=-3, q=2.

5. Решите относительно х уравнение

Решение:

, D = 4 - 4с

Алгоритм: рассмотреть случаи, когда: D > 0, D = 0, D < 0.

1. 4 - 4с > 0, с < 0,

2) 4 - 4с = 0, с = 1

x = 1

3) с > 1 исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: если с  (- ; 1), то _, ;

если с = 1, то х = 1;

если с  (1; + ), то корней нет.

6. Докажите, что не существует такого значения k, при котором уравнение имеет только один корень.

Доказательство.

Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен 0.

Если это уравнение не имеет решений, значит, и не может иметь только одного решения.

, D<0, решений нет. Ч.т.д

7. При каких значениях параметра b уравнение имеет: а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) единственный корень?

Решение:

Если b  1, то

Согласно теореме Виета: а) , b  (- ; - 1)  ( - 1; + );

б) , решений нет

в) если b = 1, то -2х + 2 = 0; х = 1

если b  1; .

Ответ: а) b  (- ; - 1)  ( - 1; + );

б) таких b не существует;

в) х = 1.

8. При каких значениях a уравнения и равносильны?

Решение.

1) При : имеет два различных корня, имеет один корень. Равносильности нет.

2) При решения уравнений совпадают.

3) При ни первое, ни второе уравнения решений не имеют. Как известно, такие уравнения считаются равносильными.

Ответ: при .

9. График функции у=3х²-kх+2 проходит через точку (-2;6). Найдите значение параметра k.

Модифицированные задачи

1. (Базовая задача 1. Увеличение технической сложности и добавление дополнительных условий.)

При каких значениях параметра а уравнение является:

а) квадратным;

б) неполным квадратным;

в) линейным?

Решение:

а, б)

Уравнение является неполным квадратным, если:

если а  (- ; - 2)  (- 2; 0)  (0; 1)  (1; + ), то исходное уравнение является квадратным.

В) Уравнение явл. Линейным, если при а = 0 или а = 1.

2. (Базовая задача 2. Увеличение трудности задачи)

При каких значениях параметра b уравнение

а) имеет корни; б) не имеет корней?

Решение: _, D = , D =

а) , но , следовательно, ;

если , то уравнение корни имеет.

Б) - при любых значениях b, кроме нуля;

если b  (- ; 0)  (0; + ), то исходное уравнение корней не имеет.

3. (Базовая задача 4. Увеличение громоздкости задачи)

При каких значениях параметра p сумма корней квадратного уравнения х²+(p² + 4p-5)х - p=0 равна 0?

4. (Базовая задача 4. Увеличение громоздкости задачи)

При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения x² + 3x + (k² - 7k + 12) = 0 равно нулю?

5. (Базовая задача 5. Возрастание трудности задачи)

Решите относительно х уравнение

Решение:

1) Если m = 0, то _{, .}

2) Если m  0, то D = 36 - 4m

а) 36 - 4m > 0;

, _;

б) 36 - 4m = 0, m = 9, х = _;

в) 36 - 4m < 0, m > 9, исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: если m  (- ; 0)  (0; - 9), то

если m = 0, то х = 1/6;

если m  (9; + ), то корней нет.

6. (Базовая задача 9. Необычная форма предоставления условия задачи, при которой сразу не видно применение знакомого способа действий)

Найдите, при каком значении параметра q абсцисса вершины параболы у=(х-5q)²- q²+q+12 отрицательна, а ордината - положительна.

7. (Базовая задача 4. Необычная форма предоставления условия задачи, увеличение громоздкости)

Корни уравнения таковы, что . Найдите а.

Решение.
По теореме Виета и . Возведём обе части первого равенства в квадрат: . Учитывая, что , а , получаем: или , , . Проверка показывает, что все значения удовлетворяют условию.
Ответ:

8. (Базовая задача 7. Увеличение технической сложности задачи, варьирование известного алгоритма)

Решите уравнение , если известно, что один из корней вдвое больше другого.

Решение.

Запишем формулы Виета: и учтем, что . Подставим эту связь между корнями в формулы Виета и получим или

Из первого уравнения находим: и подставляем во второе:

После этого определяем и

Ответ: 3;6.

9. (Базовая задача 5. Увеличение трудности задачи)

При каких а уравнение имеет более одного корня?

Решение:

При а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию.

При а  0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант - положительный. Отсюда получаем: . Однако в полученный промежуток (- 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ: или .

10. (Базовая задача 5. Аналог предыдущей задачи 9, увеличение трудности и громоздкости)

При каких а уравнение имеет более одного корня?

Решение:

Стандартный шаг - начать со случаев а = 0 и а = - 3.

При а = 0 уравнение имеет единственное решение. При а = - 3 решением уравнения является любое действительное число.

При а  0 и а  - 3, разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим квадратное уравнение , дискриминант которого положителен при а > - .

Из промежутка ( -; + ) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = - 3.

Ответ: а = - 3, или - < а < 0 или а > 0.

11. (Базовая задача 8. Увеличение трудности и громоздкости)

При каких значениях b уравнения и равносильны?

12. (Базовая задача 5. Варьирование известного алгоритма решения задачи)

Найдите значения а, при которых оба корня уравнения не превосходят 1.

Решение.

По условию задачи корни , т.е. или откуда
Ответ: при .

13. (Базовая задача 5. Варьирование известного алгоритма решения задачи)

При каких значениях корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку.

Исследовательские задачи.

1. При каких значениях а оба корня уравнения х² - ах +2 = 0 лежат на интервале (0;3)?

Решение:

Ответ: .

2. При каких значениях а один корень уравнения ах² +х +1 = 0 больше 2, а другой меньше 2?

3. Найдите все значения а, при которых уравнение 4х² - 2х + а = 0 имеет два корня, каждый из которых принадлежит интервалу (-1;1).

4. При каких значениях корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку?

5. Решите уравнение .

Решение.

Данное уравнение можно переписать в виде

.

Рассматривая его как уравнение относительно переменной и параметром , найдем дискриминант:

.

Так как необходимым и достаточным условием существования решения квадратного уравнения является неотрицательность его дискриминанта, получим, что это возможно лишь, если .

Подставляя в уравнение найденное значение, получим, что

.

Таким образом, нам действительно удалось решить данное уравнение, хотя это уравнение с двумя переменными.

Замечание: Прирешении данной задачи был использован еще один основополагающий принцип решения задач с параметрами - параметром может быть объявлена любая переменная, входящая в уравнение.

Ответ: .

Данный принцип хорошо иллюстрируется следующими двумя примерами, которые повторяют и расширяют материал.

6. Решите уравнение

Решение.

Непосредственное решение этого уравнения как уравнения относительно переменной с параметром невозможно, т.к. это уравнение четвертой степени.

Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно переменной и параметром . Получим, что . Условием существования решения, т.е. выражения значения как функции , служит неотрицательность дискриминанта.

.

Таким образом, уравнение равносильно совокупности

Ответ:; ; , и

при любом значении .

В качестве параметра может выступать на каком-то этапе решения единственная переменная, входящая в уравнение.

7. Решите уравнение .

Решение.

Представим это уравнение как квадратное относительно .

Данное решение подтверждает принцип свободы выбора неизвестной и параметра.

.

Таким образом, уравнение равносильно совокупности

.

Ответ: ; ; ; .

Заключение.

Психологи и методисты давно пришли к выводу, что лучше всего формировать и развивать мышление в ходе решения задач. В обучении математике они являются и целью, и средством обучения, математического развития школьников. В частности, это относится и к задачам с параметрами.

Добавление параметра значительно усложняет задачу, т.к. увеличивается ее размерность, появляется «глубина». Решение такой задачи требует системного подхода, целостного представления ситуации. Для решения уравнений (неравенств) с параметрами необходимо умение проводить разветвленные логические построения. При этом необходимо четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений (неравенств), учитывая области определения выражений в них входящих.

Использование стандартных методов при решении задач с параметрами иногда приводит к необходимости выполнения очень громоздких вычислений, что существенно затрудняет решение. Такая ситуация, как правило, способствует началу творческих поисков других путей решений, их исследования, направленное на нахождение наиболее рационального, наиболее «красивого» способа решения. Под исследованием в науке понимается изучение какого-либо объекта с целью выявления закономерностей его возникновения, развития, преобразования. В процессе исследования синтезируются имеющиеся знания, накопленный опыт, а также методы и способы изучения объектов.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что решение задач с параметрами развивает системное, логическое мышление. Являясь прекрасным материалом для исследовательской работы, решение уравнений (неравенств) с параметрами развивает такие умения как наблюдение, сравнение, обобщение и др.; учит творчески мыслить, способствует развитию гибкости мыслительного процесса и, что очень важно, развивает теоретическое мышление.

Список литературы.

1. В. Локоть. Задачи с параметрами: иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем. -М.: АРКТИ, 2004.-64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).

2. П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. 2007 год

3. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл [Текст] : Учебник для кл. с углубл. изуч. математики / А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2007.

4. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл [Текст] : Задачник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2007.

5. Научно - теоретический и методический журнал «Математика в школе» №4, 2004.