Работа с одаренными детьми по математике

Арифметическая задача на делимость

Задача 1. Полученное число делится на 27?

Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось на 27?
Удвоенная неизвестная цифра дополняет сумму известных цифр числа до величины, кратной 9-ти.

Сумма известных чисел - четная (16). Удвоенная неизвестная цифра (a) - также четная величина.
Следовательно, сумма цифр искомого числа - четная и равна 18-ти. (2a меньше или равна 18 и сумма цифр искомого числа не больше 34-х).

Итак, a = 1, искомое число - 1971.

Задача 2. Сколько натуральных чисел ?

Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5 ни на 7?
Среди 999 чисел, меньших 1000,
199 чисел кратны 5 : [999 : 5] = 199 *.

В этом же интервале имеются 142 числа, кратных 7 : [999 : 7] = 142* .

Среди 142 чисел, кратных 7, имеются числа, которые делятся также и на 5, то есть кратные 35.

Всего таких чисел 28: [999 : 35]= 28* .

Эти 28 чисел уже учтены в числе 199, найденном ранее.

Поэтому количество чисел, меньших 1000, которые делятся либо на 5, либо на 7, равно 199 + 142 - 28 = 313.

В рассматриваемом интервале остается 999 - 313 = 686 чисел,
которые не делятся ни на 5, ни на 7.

* [N] - целая часть числа N . Например, [13,45] = 13.