Элективный курс по математике Золотое сечение (9класс)

«Золотое сечение»

Программа элективного курса по математике для предпрофильной подготовки учащихся 9 классов

Учитель математики

МБОУ Гимназия №33

Иванова М.Н.

Ульяновск, 2011г.

Содержание.

1.Аннотация 3

2.Пояснительная записка 4-5

3.Учебно-тематический план 6

4.Содержание программы 7

5.Учебно-методические рекомендации к

программе 8-37

6.Литература 38

1. Аннотация.

Программа элективного курса «Золотое сечение» по математике предназначена для предпрофильной подготовки учащихся 9 классов, ориентирована на развитие математических способностей, стимуляцию поисковой, познавательной и исследовательской деятельности.

2.Пояснительная записка.

Дополнительный курс по геометрии «Золотое сечение» входит в серию курсов по различным предметам для более глубокого ознакомления учащихся 9 классов с применением на практике математических знаний.

В ходе изучения курса реализуется связь предмета математики с другими предметами: историей, черчением, биологией, литературой и т.д. при этом отрабатываются общеучебные умения и навыки построений с помощью циркуля и линейки, формируется профильное умение выделения из окружающей обстановки тех предметов, в которых встречаются элементы золотого сечения.

Различные формы занятий способствуют созданию условий для активизации познавательного интереса учащихся, профессионального самоопределения. Чередование теоретического материала и практической работы с использованием геометрических построений не вызывает у учащихся сложностей к восприятию, хотя стимулирует к творческим поискам. Истинное искусство не обходится без математики: красота и математика идут рядом.

Изучение курса направлено на достижение следующих целей:

-познакомить учащихся с понятием «Золотое сечение», историей его появления, шедеврами мировой культуры, где оно встречается;

-научить выполнять деление отрезков в отношении золотого сечения, строить пентаграмму;

-развивать способности к математической деятельности, поисковой и творческой самостоятельной работы;

-предоставить возможность учащимся проанализировать свои способности к математической деятельности.

В результате изучения курса учащиеся должны:

-знать понятие «Золотое сечение», его различные виды, пентаграмму, способы их построений, сферы применения этих понятий;

-уметь выполнять деление отрезков в отношении золотого деления, строить пентаграмму с помощью циркуля и линейки, выделять из окружающих предметов те, которые включают в себя элементы золотого сечения;

-развивать свои знания и умения и применять из в творческой деятельности, пользоваться дополнительными источниками информации.

Изучение данного курса способствует развитию восприятия красоты, эстетики, более глубокого понимания принципов выполнения предметов искусства, живописи, архитектуры, развитию более тонкого восприятия окружающих нас предметов, имеющих в своем содержании элементы золотого сечения и его видов.

В программу курса заложен материал, который не содержится в базовых программах по математике, тем самым позволяет учащимся познакомиться с интересными и нестандартными вопросами.

Основное место отводится построениям с помощью циркуля и линейки. Эта тема всегда вызывает интерес учащихся. Кроме того, задачи на построение имеют большое практическое значение. Поэтому данный курс будет способствовать совершенствовании важнейших математических знаний.

3. Учебно-тематический план.

№

Содержание

Кол-во ч.

Форма проведения занятия

Организация самост. д-ти

Наглядность

Образовательный продукт

Форма контроля

Литература

Примечание

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

Понятие «Золотое сечение» Деление отрезка прямой по золотому сечению.

1

Лекция-беседа, практикум

Выполнение деление отрезка циркулем и линейкой

рисунки

Конспект поэтапная запись выполненной работы

Контроль учителя по этапом построения, самоконтроль

2

История золотого сечения. Второе золотое сечение

1

Лекция

конспект

Контроль за построением

Практикум

Построение второго золотого сечения

рисунки

3

Формообразование в природе золотое сечение и симметрия

1

Беседа-лекция

Рисунки

Конспект

Ответы на вопросы

практикум

Работа в микро группах

Золотая спираль

Взаимоконтроль

4

Золотое сечение в скульптуре

1

Беседа-лекция

Рисунки

Конспект

Измерения нескольких учащихся выводы

Взаимоконтроль

Лабораторная работа

В группах

5

Золотое сечение в архитектуре Ульяновский аналог

1

Лекция - беседа

Рисунки

конспект

Вопросы ответы

Запланировать экскурсию

6

Золотое сечение в живописи ряд Фибоначчи.

Лекция

Рисунки

практикум

Работа в парах

таблица

Таблица с выводом отношения ряда

Взаимоконтроль

7

Пентаграмма, золотой треугольник

1

Лекция-беседа, практикум

Построение циркулем и линейкой

Рисунки

Пентаграмма, золотой треугольник

Контроль за четностью линей при вычерчивании

8

Итоговое занятие

1

Круглый стол

Работа учащихся с доп. литературой, интернет-сайтами, рефератами.

Доп. Материал по курсу

Выступления учащихся

Контроль за участием в беседе

4.Содержание программы.

1.Понятие «Золотое сечение».

Деление отрезка прямой по золотому сечению различными способами.

2.История золотого сечения.

Второе золотое сечение.

Деление прямоугольника линиями второго золотого сечения.

3.Принципы формообразования в природе.

Золотое сечение и симметрия.

Уравнение спирали и ее построение.

4. Золотое сечение в скульптуре.

Знакомство с мировыми шедеврами.

Лабораторный подход к определению гармоничности человеческого тела.

5.Золотое сечение в архитектуре.

Знакомство с мировыми шедеврами.

Ульяновский аналог усыпальницы Хеопса.

6.Золотое сечение в живописи.

Знакомство с мировыми шедеврами.

Ряд Фибоначчи и его обоснование.

7. Пентаграмма и золотое сечение.

Построение золотого треугольника и пентаграммы по золотому делению.

8. Итоговое занятие.

Круглый стол.

5. Учебно-методические рекомендации

к программе.

5.1. Золотое сечение - гармоническая пропорция

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части - АВ : АС = АВ : ВС;

• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

• таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x² - x - 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

5.2. История золотого сечения. Второе золотое сечение.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Динамические прямоугольники

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, - писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

Построение шкалы отрезков золотой пропорции

Второе золотое сечение

Болгарский журнал "Отечество" (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша "О втором золотом сечении", которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Построение второго золотого сечения

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

5.3.Принципы формообразования в природе. Золотая спираль.

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Спираль Архимеда

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Ящерица живородящая

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Яйцо птицы

Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Золотое сечение и симметрия.

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление - это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая - движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она - свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда

5.

4. Золотое сечение в архитектуре.

В книгах о "золотом сечении" можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими "золотое сечение", то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. "Золотое сечение" дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э).

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным, выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по "золотому сечению", то получим те или иные выступы фасада

Другим примером из архитектуры древности является Пантеон.

Самым совершенным из всех классических памятников, сохранившихся в итальянской столице, считается Пантеон. Долгое время считалось, что он был построен в 27 году н.э., но раскопки показали, что Пантеон - реконструированное сооружение времен Адриана (117-138 годы н.э.). В 609 году языческий Пантеон стал христианским храмом Святой Девы Марии, благодаря чему не был разрушен.

Внутренний диаметр Пантеона составляет 43,4 метра, такова же и его высота. Через отверстие в куполе можно видеть небо, как будто спускающееся в храм. Это создает атмосферу торжественности и покоя. Между второй и третьей капеллами находится захоронение, в котором покоятся останки Рафаэля. Надпись на его надгробии гласит: "Здесь покоится тот Рафаэль, который соперничал с самой великой Матерью-природой. Она опасалась, что в своем творчестве он превзойдет даже ее, и что она зачахнет, когда его не станет".

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал "золотое сечение".

Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, "золотое сечение" можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М.Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова (Ленинский проспект, д. 5).

Еще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова - является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г.

При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа.

Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: "Архитектура - главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок".

.

Научные работы, проводимые в России под руководством Александра Голода, не имеют аналогов в мировой практике и открывают новые возможности в различных областях нашей жизни. Самая большая Пирамида из стеклопластиковых конструкций находится на 38-м километре шоссе Москва-Рига, ее высота составляет 44 метра.

Одним из самых значимых достижений в изучении эффекта формы Пирамид в пропорциях Золотого Сечения стало открытие новой технологии АБО. Технология АБО позволяет эффективно использовать благоприятное воздействие, оказываемое Пирамидой в пропорциях Золотого Сечения на человека и окружающую среду, с помощью различных элементов.

Различные исследования и практика показывают, что применение эффекта формы Пирамиды является полезным для человека. Эффект формы Пирамиды используется в лечебных процессах, для решения экологических проблем, в развитии Космоса.

В дополнение к пользе, которую приносят построенные по определенным правилам Пирамиды, 44-метровая Пирамида в Подмосковье (на 38-м километре шоссе Москва-Рига) является также туристическим привлекательным объектом. С самого момента строительства Пирамида представляет собой достопримечательность, которую с удовольствием посещают москвичи, жители Подмосковья, а также иностранные и российские туристы.

Ульяновскому аналогу знаменитой усыпальницы египетского фараона Хеопса исполнилось 15 лет.

Полтора десятка лет прошло с тех пор, как ульяновец Владимир Боткин возвел в своем огороде точную копию великой пирамиды и лечит в ней своих близких и знакомых. Кстати, практически задаром. То есть денег ни с кого не берет. Если кто-то захочет отблагодарить хозяина, делает это по своей воле и чаще расплачивается продовольствием, чем деньгами. Всю жизнь Владимир Михайлович работал на стройке. Возводил дома. Участвовал, так сказать, в жилищной программе Хрущева. Но строить просто так ему было не интересно. Человек, обладающий недюжинными художественными способностями, Боткин как-то решил, что нужно обязательно украшать торцы скучны панельных домов какими-нибудь рисунками. Так, по проспекту 50-летие ВЛКСМ появились дома с картинками. Самый поэтичный-с березками на торце. Обратите внимание, когда пойдете, к примеру, в «шестиэтажный» магазин. Владимир Михайлович малевал исключительно в свободное от основной работы время и красками, которые покупал на свои деньги. Вот такой он альтруист по натуре. Таковым, кстати, остался и по выходе на пенсию. Однажды Владимиру Михайловичу попалась на глаза заметка о тайнах египетских пирамид. Это был журнал «Крестьянка» № 9 за 1989 год. Автор статьи исследовал геометрические пропорции великой пирамиды в Гизе - усыпальницы фараона Хеопса. Там же проводились разные схемы, а также высказывались версии, согласна которым уменьшенные копии египетских гробниц обладают уникальными свойствами. Кроме того, помещенные на какое-то время под «колпак» продукты будто бы должны были сохранять свежесть, а использованные лезвии для бритвы - приобретать прежнюю остроту. Боткин решил это дело проверить. Стройка века началась прямо в огороде около его дома в поселке Дачный.

Строительство

В отличие от египетской пирамиды, на которую ушло два с половиной миллиона известняковых блоков, которые весят в среднем по две с половиной тонны каждый, пирамида Боткина сделана из ДВП, ДСП и дерева. Высота пирамиды Хеопса сейчас составляет 138 метров (изначально была 147метров,но верхние блоки почему-то слетели). Основание усыпальницы фараона квадратное. Длина одной стороны равняется 227,5метра.

Боткин возводил свое сооружение в полном соответствии с пропорциями великой гробницы, которые отвечают принципу так называемого золотого сечения. Если быть точным, то отношение высоты<настоящей > пирамиды к стороне треугольника выражается числом 0,6180339. При этом нижний угол составляет 51,30 градуса.

Произведя необходимые вычисления, Владимир Михайлович прикинул, как сделать так, чтобы пирамида не сильно привлекало внимание со стороны улицы, но и была комфортна для тех, кто будет находиться внутри. Кроме того, нужно было просчитать стоимость материалов и работы. Остановился на том, что высота сооружения должна быть где-то в полтора человеческого роста. Придумал также, выход внутрь должен быть отдельным, и сделал что-то типа предбанника. Но из него лестница ведет вниз, в небольшое углубление, и только потом в сам зал.

По мнению Владимира Михайловича, это предохраняет энергетические потоки основного помещения от распыления вовне. Кстати, у ямы соединяющий предбанник и зал, есть и еще одно предназначение - чисто утилитарное. Сбоку там имеется специальная ниша для продуктов и заготовок, которые сохраняют здесь свои качества сколь угодно долго при любой погоде.

Устройство

Внутри основного зала есть лавочка, которая стоит на специальном возвышении. Это сделано для того, чтобы и сидя, и лежа человек мог «прочищать» соответствующие чакры. На стенах отмечено, какие именно чакры, и на каком уровне очищаются. Боткин заверяет, что в пирамиде вылечиваются любые телесные и душевные хвори и недуги. Вплоть до того, что бесплодная женщина может в последствие родить("Сеансов только много надо", - говорит Владимир Михайлович), а мужчина, страдающей от бессилия, становится чуть ли не половым гигантом.

-В любом возрасте, заметьте,- улыбается хозяин пирамиды.

Сооружение Боткин постоянно испытывает на себе. Чуть что где заныло - бежит внутрь. Болит голова с похмелья - лучшее лекарство.

-Трезвеешь моментально, и никаких последствий!- говорит он. - Да даже от алкоголизма здесь вылечиться можно. Не верите? Был такой случай. Мужик один пил беспробудно много лет. Жена привела его ко мне. Так мы его туда на ночь запустили, наутро вышел - как стеклышко. Больше водку в рот не брал. Потом сказал мне, будто какой - то голос с небес услышал.

То ли благодаря пирамиде, то ли по каким иным признакам, но сам Боткин сильно не болел ни когда. Он все смеется: - Это меня, наверное, пирамида лечит. Вот только с возрастом усыхаю я. Словно твой фараон

Аналоги

Пока свою «большую» пирамиду строил, Владимир Михайлович решил проверить еще одну гипотезу о том, что даже маленькие аналоги могут многое. Сделал несколько настольных<усыпальниц>. Сначала - из оргстекла, потом - и из картона. И что интересное, вне зависимости от материала Эффект был одинаковым. Действительно, под колпаками уже на второй или третий день заострялась лезвия, даже если на них до того имелась ржавчина. Забавно, но, как сказал Боткин, в пирамиде и фальсифицированная водка кристаллизируется! Он это проверил на себе. Кроме того, мини-сооружение можно использовать в самую жаркую погоду в качестве холодильника. Будьте уверены - наши продукты не пропадут и на долго сохранят свои вкусовые качества. Правда, копченая рыба все же может дать «усушку».

Владимир Михайлович не раз изготавливал маленькие пирамидки, которые предназначались для лечения локальных, что ли, болей.

Заныла рука, нога или печень сбой дала - приложи такую к месту средоточия боли, и через какое-то время все как рукой снимет, - Боткин показывает, как надо устанавливать его «прибор».

Сторонники

Понятное дело, что журнал «Крестьянка» с описанием пирамиды в свое время прочитал не один Боткин. С тех пор движение пирамидчиков всей страны и мира продолжает развиваться, а их ряды ширятся и множатся. Так, пенсионер из деревни Батыли Кировская область независимо от ульяновского строителя возвел у себя в огороде свою пирамиду. Правда , собрана она из старых ящиков и досок, а по виду напоминает обычный сарай. Внутри конструкция обшита кусками картона от коробок из-под печенья. Конструктор утверждает, что хотя - бы пятиминутное пребывание внутри снижает вес, улучшает память, очищает организм человека. Архитектор убежден, что даже кратковременный сон на специальной лежанке внутри пирамиды омолаживает и замедляет процесс старения. В Геленджике копия пирамиды Хеопса дала начало целому уникальному парку "Аллее цивилизаций", под которую тамошние власти выделили пять соток. Его создатель геленджикский скульптор Александр Алексеев. Внутри пирамида, как и оригинал, украшена фресками, рассказывающими о зарождении мира. Но в качестве лечебного это сооружение не используется. Исключительно в культурно-просветительных целях. Рядом Алексей возвел скульптуру сфинкса, затем - фонтан и греческий дворец. В прошлом году мастер посадил рядом с ними березки. Когда деревья подрастут, говорит мастер, там появится русская церквушка. Затем здесь же поднимутся ввысь китайские и японские храмы, индийский фонтан. А недавно в парке появилась средневековая башня и беседка, на крыше и стенах которой изображены семь смертных грехов человека. Окружает башню двухуровневый пруд, в котором живут рыбки и черепахи .Через него перекинут каменный мостик. Недалеко от башни скульптор определил место для десятиметрового готического фонтана . Недавно в парке появился и парадный вход с двумя колоннами в египетском стиле .

Почему?

Надо сказать, что первым необычными свойствами пирамид начал интересоваться чешский ученый и изобретатель К. Дрбал. Он - то и обратил внимание на необъяснимые с научных позиций физико-химических явлений , которые имеют место внутри пирамиды . В мире возник пирамидный бум , граничащий с «пирамидоманией» . Кстати , уже после нашего ульяновского Боткина свои «золотые» пирамиды в России начал строить ученый и предприниматель А.Е.Голод . Высота его сооружений кратна 11-и - то есть может быть 11,22,44 метра и так далее. Почему именно эта цифра использована Голодом - непонятно . Но он уверяет , что благодаря его пирамидам озоновые дыры затягиваются , в тюрьмах резко снижается уровень правонарушений . Камни , полежавшие в пирамиде , отклоняют разряд напряжения в полтора миллиона ватт . Снаружи «у стенки» и внутри пирамиды искажается до двух раз вес предметов . У летчика-космонавта Г.М.Гречко после пребывания в пирамиде Голода начала исчезать седина. Кстати, об исчезновении седины после мытья головы водой из пирамид известно более уже тридцати лет. И во многих зарубежных странах был налажен выпуск мини - пирамид Хеопса из диэлектрика.

Но все это никак не объясняет причин происходящего и не раскрывает тайны пирамиды - почему, на основании каких физических или химических законов все эти чудеса происходят.

Космос.

Тайны египетских пирамид разгадывают столько времени, сколько они стоят на земле. Но до конца сделать это никому еще не удавалось. Гипотез - масса . И , собственно , ни одной строго научной . Космоэнергеты считают , что над вершиной пирамиды образуется мощный вертикальный энергетический поток , который иногда называют космическим каналом . Утром , на заре , энергопоток можно видеть над вершиной пирамиды невооруженным глазом . Энергопотоки у вершины пирамиды Хеопса соединяются с энергопотоками с соседних пирамид , образуя канально - энергетическую связь между собой . В природе нечто подобное можно наблюдать в кристаллах (кварца , алмаза и др.) , в деревьях и в горах и так далее . При этом над ними наблюдается образование дополнительной купольной энергооболочки , так называемой коллективной ауры . Кстати , в переводе с греческого пирамида означает «огонь , который внутри» . Под «огнем» космоэнергеты понимают наличие упорядоченного энергетического потока как внутри, так и с внешней стороны пирамиды . Подобные энергопотоки наблюдаются в кристаллах , в деревьях и т.д. Пирамида (кстати, как и физическое тело человека) является своего рода материальным каркасом для тонких энергосистем. Для создания на земле энергетических вертикальных столбов космосвязи человечество во все тысячелетия применял самые разные технические решения. Например, в горных районах вершины гор обустраивались в виде пирамид, шатров, сфинксов и других сооружений. В равнинных местах создавались искусственные подземные и наземные сооружения (курганы, пирамиды, лабиринтные рисунки). Считается. что, чем величественнее сооружение, тем мощнее его энергетическая составляющая .

5.5. Золотое сечение в скульптуре. Гармония человеческого тела. Практикум.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения.

Пропорции "золотого сечения" создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении "золотого сечения". Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.

Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал "золотое сечение'' в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

Мраморная римская копия со статуи Зевса Олимпийского работы древнегреческого скульптора V в. до н.э. Фидия. Государственный Эрмитаж. Санкт-Петербург.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Золотые пропорции в частях тела человека

Золотые пропорции в фигуре человека

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

5.6. Золотое сечение в живописи.

Леонардо да Винчи.Рафаэль. К. Малевич.

Ряд Фибоначчи.

Переходя к примерам "золотого сечения" в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность - одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: "Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды".

Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится "обо всем на свете".

Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника Существует очень много версий об истории этого портрета Вот одна из них.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джоконда написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика, Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Сказка

Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: "Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя". Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи.

Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями - ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула

Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: "Ты должна быть моей женой". Но женщина ответила: "Ты меня создал - будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил - будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь".

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано - художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество.

Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.

Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение во Флоренции показалось художнику тягостным, он собрался в дорогу. Не помогли ему напоминания о нахлынувших заказах.

Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи "Джоконда"

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Золотая спираль в картине Рафаэля "Избиение младенцев"

В отличии от золотого сечения ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали.

Многофигурная композиция, выполненная в 1509 -1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру "Избиение младенцев".

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мячом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается ...золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции "Избиение младенцев" или только "чувствовал" ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре. Первоначальную композицию Рафаэль выполнил в рассвете своих творческих сил, когда он создавал свои наиболее совершенные творения. Глава школы романтизма французский художник Эжен Делакруа (1798 - 1863) писал о нем: "В сочетании всех чудес грации и простоты, познаний и инстинкта в композиции Рафаэль достиг такого совершенства, в котором с ним еще никто не сравнился.

В самых простых, как и в самых величественных, композициях повсюду его ум вносит вместе с жизнью и движением совершенных порядок в чарующую гармонию". В композиции "Избиение младенцев" очень ярко проявляются эти черты великого мастера. В ней прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.

"Необходимо прекрасному зданию быть построенным подобно хорошо сложенному человеку" (Павел Флоренский)

Можно ли "поверить алгеброй гармонию"? "Да", - считал Леонардо и указал, как это сделать. "Золотое сечение" - не середина, а пропорция - несложное математическое соотношение, содержащее в себе "закон звезды и формулу цветка", рисунок на хитиновом покрове животных, длину ветвей дерева, пропорции человеческого тела. Видишь гармоничную композицию, пропорциональное телосложение или здание, радующее глаз, - измерь и придешь к одной и той же формуле. Во времена Возрождения для проверки "закона гармонии" измеряли античные статуи, полтора века назад пропорции "золотого сечения" проверяли, соотнося длину ноги и туловища гвардейских солдат, - все совершенно точно.

Художник Александр Панкин исследует законы красоты... на знаменитых квадратах Казимира Малевича.

• В начале 80-х на лекции о Малевиче просят показать слайд "Черного квадрата". После того как изображение появляется на экране, лектор строго произносит: "Переверните, пожалуйста". Мы смеялись: трудно понять простому человеку, зачем такое рисовать. Это красиво?

• Исследуя картины Малевича с циркулем и с линейкой, я пришел к выводу, что они удивительно гармоничны. Здесь нет ни одного случайного элемента. Взяв единственный отрезок, - скажем, размер холста или сторону квадрата, - можно по одной формуле выстроить всю картину. Есть квадраты, все элементы которых соотносятся в пропорции "золотого сечения", а знаменитый "Черный квадрат" нарисован в пропорции квадратного корня из двух.

• А вы рисуете эти пропорции на полях для полного сходства со школьной задачей по геометрии?

• То, чем я занимаюсь, можно назвать "объективным искусством". На первый взгляд какое же это творчество, если не ставится задача выразить свою индивидуальность? Существует даже такое выражение - "художник узнаваем". Но я обнаружил удивительную закономерность: чем меньше стремления самовыразиться, тем больше творчества. Там, где рамки слишком широки, где все можно, мы постепенно приходим к тому, что люди начинают портить полотна (скажем, Бренер подошел к картине Малевича с баллончиком краски), некоторые иконы режут и говорят: "А я так вижу". Важен канон. Не случайно в иконописи он так строго соблюдается. Для творчества лучше не настежь открытые двери, а чтобы надо было пролезать в щель. Меня интересует форма, как она образуется и развивается сама по себе.

• Это же компьютерный алгоритм, при чем тут живопись?

• В 1918 году Малевич сказал, что живопись кончилась, - осталась только геометрия. В том году он нарисовал белый квадрат на белом фоне. Но потом случилось "возвращение Малевича на Землю", его живопись опредметилась. Наука не поглотила искусство, но в те исторические периоды, когда геометрия и искусство сближались, это давало импульс к развитию того и другого. Так было во времена Возрождения, когда Леонардо исследовал пропорции "золотого сечения", и в начале XX века, когда Поль Сезанн сказал: "Трактуйте природу посредством цилиндра, шара, конуса". Если импрессионисты рисовали нечто личное, изменчивое, то кубистов, наоборот, интересовал формообразующий элемент - каркас. Сейчас проходят
  конференции "Математика и искусство" и семинары, где встречаются ученые и художники, случаются настоящие открытия. Со времен Леонардо известен так называемый числовой ряд Фибоначчи: 0,1,1,23,5,8,13,21,34... Это "золотая" последовательность чисел, по этому закону располагаются листья цветка и семечки в подсолнухе. Я изобразил этот ряд на плоскости в виде треугольников. Получилась удивительная вещь. Члены ряда Фибоначчи очень быстро растут: треугольник превращался в стрелу, две стороны уходят в бесконечность, а один из катетов все время остается равным пяти! До этого я не понимал, что такое "конечная бесконечность"! Посмотрев на эту картину, профессор Александр Зенкин математически доказал: такая
  система треугольников - это ядро ряда Фибоначчи. Обнаружился новый математический объект!

• Треугольники Панкина?

• На одном семинаре были предложения так их и назвать, потому что эту математическую закономерность почему-то раньше никто не замечал.

• Может быть, вы исследуете гармонию Малевича не потому, что видите в его творчестве особый смысл, а потому, что другие картины сложнее под формулу подогнать?

• Почему же! Последнее время мне хочется так же исследовать "Незнакомку" Крамского. Я посмотрел: там тоже в основе лежит "золотое сечение". Те же правила и закономерности, которые я нащупал в картинах Малевича, можно приложить и к другим картинам, очень интересные вещи получатся. Картины Малевича - это краеугольный камень формообразования,
  мимо него нельзя пройти. "Черный квадрат" - точка отсчета, космическая воронка, куда искусство попадает и выходит измененным. Появляются новые пространства. У передвижников или у натуралистов типа Шилова картина - это окно, за которым в обычной прямой перспективе располагаются трехмерные объекты. У Сезанна пространства лежат на холсте. В иконах одновременно присутствуют две точки зрения: смотришь со своего места и одновременно будто находишься внутри происходящего. Пространство опредмечивается, не зря иконам не нужны рамки. Мне кажется, в будущем пространство картины будет лежать не за холстом, а перед ним...

• Недавно в магазине я увидела плакат с "Черным квадратом". Обрадовалась и купила, хотела повесить дома, а потом
  передумала. Неуютно спать, когда над кроватью "Черный квадрат" висит. А вы хотели бы у себя над кроватью повесить квадрат Малевича?

Честно говоря, у меня над кроватью мои картины висят, они у меня всюду висят. А хотел бы... наверное, Иванова -
"Явление Христа народу". Удивительная композиция - фигура Христа в центре и от нее будто лучи расходятся. Раньше я
почему-то этого не замечал...

Ряд Фибоначчи. Обобщенное золотое сечение.

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, и т.д.

Месяцы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

и т.д.

Пары кроликов

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

и т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение - 0,618 : 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Обобщенное золотое сечение

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором - это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого - единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через φ_S (n), то получим общую формулу φ_S (n) = φ_S (n - 1) + φ_S (n - S - 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 - ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x^S+1 - x^S - 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 -знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики - новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.

Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения - числа рациональные. И лишь позже - после открытия пифагорийцами несоизмеримых отрезков - на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа - 10, 5, 2, - из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.

Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной - а не бесконечной, как думали ранее! - суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметикой.

5.7.Пентаграмма.

Пятиконечная звезда - пентаграмма -очень красива, недаром ее помещают на свои флаги и гербы многие страны. Ее красота, оказывается, имеет математическую основу. Греческое слово пентаграмма имеет два корня: пента-пять, грамма-черта, линия. В древности пентаграмма считалась символом совершенства. У пифагорейцев она была опознавательным знаком и символом здоровья. А в середине века пентаграмме придавали мистический смысл. Пятиконечная звезда, пожалуй, самая распространенная геометрическая фигура на гербах и флагах различных государств. Больше всего пятиконечных звезд на флаге США- пятьдесят, по числу штатов. Пятиконечные звезды мы видим и на башнях Московского Кремля. Чем же на протяжении многих тысячелетий привлекает людей эта геометрическая фигура? В чем ее красота?

Оказывается, в том, что она наполнена золотыми пропорциями, или золотыми сечениями отрезков.

Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появилась у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его.

Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма - первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов - пентаграмма- стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O - центр окружности, A - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Построение золотого треугольника

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d₁ соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd₁ откладываем на линию Ad₁, получая точку С. Она разделила линию Ad₁ в пропорции золотого сечения. Линиями Ad₁ и dd₁ пользуются для построения «золотого» прямоугольника

5.8. Итоговое занятие.

ЛИТЕРАТУРА

• Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. - М., Школа-пресс, 1998.

• Архитектурная бионика / Под ред. Ю. Лебедева. М., 1990.

• Васюткинский Н.Н. Золотая пропорция. М., 1990.

• Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992.

• Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М., 1994.

• Журнал «Квант», 1973. №

• Левитин К. Геометрическая рапсодия. М., 1987.

• Лукач Д. Своеобразие эстетического. М., 1987.

• Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. М., Просвещение. 1090

• Пидоу Д. Геометрия и искусство. - М., Мир, 1989.

• Прохоров А.И. Золотая спираль // Квант. 1984. № 9.

• Самохвалова В.И. Красота против энтропии. М., 1990.

• Смирнова И.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах // Математика в школе. 1994. № 1- 6.

• pyramids.ru/

• n-t.org/

• numbers.netai.ru/