Конспект по алгебре на тему Решение логарифмических уравнений (11 класс)

Тема: «Решение логарифмических уравнений».

Эпиграф к уроку: Скажи мне - и я забуду, Покажи мне - и я запомню, Дай мне действовать самому - и я научусь. (Древнекитайская мудрость)

Цели урока:

• Ввести понятие - простейшие логарифмические уравнения.

• Познакомиться основными методами решения логарифмических уравнений. Научиться применять их при решении логарифмических уравнений.

Требования к знаниям и умениям обучающихся:

• Знать определение логарифма, основные свойства логарифмов, определение логарифмической функции

• Уметь находить область определения и область значения логарифмической функции

• Уметь применять различные методы при решении логарифмических уравнений.

План уроков

№ урока

Структура урока

Этап урока

1

I

Организационный момент ( 1мин)

II

Теоретическая разминка (9 мин)

III

Изучение нового материала (20 мин)

IV

Закрепление изученного материала (8 мин )

V

Домашнее задание (2 мин)

I . Организационный момент: формирование мотива, желания работать на уроке.

II. Теоретическая разминка: Начнем с повторения теоретических сведений, которые необходимы для сегодняшнего урока. (повторение необходимых теоретических сведений по теме, развитие умений говорить и слушать. Работа проходит в форме ответов на вопросы):

• Дайте определение логарифма числа по заданному основанию. (Логарифмом числа в по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число в).

• Запишите основное логарифмическое тождество (a^log_a^b=b (где b>0, a>0 и a≠1).

• Основные свойства логарифмов (а ≠ 1 , а > 0 , в > 0, х > 0, у > 0). Формулировки и формулы.

  1. Логарифм единицы. (log _a 1=0)

  2. Логарифм самого основания. (log _a a=1)

  3. Логарифм произведения. ()

  4. Логарифм частного. ()

  5. Логарифм степени. ()

• Формула логарифмического перехода от одного основания к другому

• Какие логарифмы называются десятичными и их обозначение? Чему равны: log ₄ 16; log ₃ 27; log ₅ 125; lg 100 ; lg 0, 001; 3^log₃ ⁸?

• Дайте определение логарифмической функции.

• Каковы область определения и область значений функции у = log _а х и их обозначения?

• Свойства монотонности: в каком случае функция у = loq _а х является возрастающей, в каком убывающей?

• Найдите выражения, имеющие смысл: log ₅ 0 ; log ₂ (-4) ; log ₅ 1 ; log ₅ 5.

III. Изложение нового материала

Тема урока «Решение логарифмических уравнений». Изложение материала я хочу начать с древнекитайской мудрости: «Скажи мне - и я забуду, Покажи мне - и я запомню, Дай мне действовать самому - и я научусь».

1) Что значит решить уравнение?(Решить уравнение - это значит найти все его корни (решения) или установить, что их нет).

2) Что такое корень уравнения? (Корнем (решением) уравнения называется число, которое при подстановке в уравнение превращает его в верное равенство).

В иррациональном уравнении неизвестное содержится под знаком корня различной степени.

3) А если в уравнении неизвестное содержится под знаком логарифма, как его назвать?

( логарифмическое). Предложить ученикам дать определение логарифмического уравнения. Определение: Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма.

Определение простейшего логарифмического уравнения:

Уравнение вида log _а х = в, где а ≠ 1 , а > 0 , х > 0, называется простейшим логарифмическим уравнением, оно равносильно уравнению х = а^в, причём ни проверка, ни ОДЗ не требуется, т.е. log _а х = в, х = а^{в (} а ≠ 1 , а > 0, х > 0)

Простейшие логарифмические уравнения:

1. log_х-18 = 1

2. log₇(50х-1) = 2

3. log₃х = log₃9

4. log₇(2х-3) = log₇х

При решении логарифмических уравнений часто используются следующие методы:

• Метод решения с помощью определения логарифма, например, уравнение log _а х = b (а>0, а≠ 1, х>0 ) имеет решение X=a^b

• Применение основного логарифмического тождества

• Метод потенцирования, т.е. переход от уравнения

log _а f( х)= log _а φ(х) к уравнению следствию f(х)=φ(х);

• Метод введения новых переменных;

• Метод логарифмирования, т.е. переход от уравнения f(х) = φ(х) к уравнению log _аf( х) = log _а φ(х)

• Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

• Графический метод - уравнению log _аf( х) = φ(х),где f( х) и φ(х)- функции, построить в одной системе координат графики функций , и найти абсциссы их точек пересечения.

Сегодня на уроке познакомимся следующими методами:

1. Решение уравнений методом определения логарифма, например, уравнение

log _а х=b (a>0, a≠1, x>0) имеет решение x=a^b.

Примеры: 1) log ₄ x=2; 2) log _0,5 x=2; 3) log _x 5=1; 4) log ₅ x=-2; 5) log_х-18 = 1; 6) log₇(50х-1) = 2

Решение: 5) log_х-18 = 1 (х-1)¹ = 8 х-1 = 8 х = 9

6) log₇(50х-1) = 2 7² = 50х-1 50х-1 = 49 х = 1.

Можно, решить эти уравнения и графическим методом.

2. Применение основного логарифмического тождества: a^log_a^b=b (где b>0, a>0 и a≠1)

Примеры: 1) 9^x=0,7; 2) 2^x=10; 3) 0,3^x=7

Решение: 9^x =0,7 2^x =10 0,3^x =7

9^x =9 ^log ₉0,7 2^x =2 ^log ₂10 0,3^x =0,3 ^log _0,37

X= ^log ₉0,7 X= ^log ₂10 X= ^log _0,37

3. Метод потенцирования, т.е. переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. При решении уравнений log _af(x) = log _ag(x) часто происходит расширение области определения уравнения (за счёт решения уравнения f(x)=g(x)),а значит, могут появиться посторонние корни. Поэтому, решив уравнение, следует проверить найденные корни подстановкой в данное уравнение.

Ликвидировать (потенцировать) логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева - справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве.

Поясню последний пункт. В уравнении, скажем, log₃х = 2log₃(3х-1) убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет. Коэффициент, понимаешь... В примере log₃х+log₃(х+1) = log₃(3+х)

тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.

Итак, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:

log_а(.....) = log_а(.....)

Физкультминутка

Пример: 1) log₃х = log₃9; 2) log₇(2х-3) = log₇х

Решение: 1) х=9 Проверка: подставим найденное значение x=9 в исходное уравнение

2) 2х-3=х х=3 Проверка: подставим найденное значение x=3 в исходное уравнение log₇(2^.3-3) = log₇3 log₇3 = log₇3

Пример: 3) log ₅ (2x+3)= log ₅ (x+1);

Решение: 3) log ₅ (2x+3)= log ₅ (x+1)

2x+3= x+1

x=1-3=-2

Проверка: подставим найденное значение x=-2 в исходное уравнение log ₅ (2x+3)= log ₅ (x+1) и получим log ₅ (2 ^. (-2)+3)= log ₅ (-2+1), log ₅ (-1)= log ₅ (-1), это равенство неверно (оно не имеет смысла, так как выражения под логарифмом всегда больше нуля)

Пример: 4) log ₅ x= log ₅ (6-x²)

Решение: 4)

,

Проверка:

1)

- не существует,

-3 посторонний корень

2)

Ответ: 2.

4. Метод введения новых переменных, т.е. приведение логарифмического уравнения

к квадратному .

1) ввести новую переменную ;

2) решить уравнение относительно y;

3) выполнить обратную подстановку и решить уравнения относительно х.

Пример: 1)

;

Ответ: ; .

2)

,

Ответ: 10.

II. Закрепление изученного материала.

Вариант 1. № 1 (а) Вариант 2. №1 (б)

№2 (а) №2 (б)

1.Решите уравнения методом потенцирования:

а) log2 (3x - 6) = log2 (2x - 3);

б) log6 (14 - 4x) = log6 (2x + 2)

2. Решите уравнения методом введения вспомогательной переменной:

а)

б)

Вопросы: 1) Дайте определение логарифмического уравнения?

2) Какими методами решения логарифмических уравнений мы познакомились?

III. Домашнее задание: №№ 512(г), 513 (а, в), 514 (а, в)

IV. Рефлексия.

Пожалуйста, с помощью карточек, оцените вашу деятельность на уроке.

4