СОДЕРЖАНИЕ

Введение

В каждой науке заключено столько собственно науки,

сколько в ней заключено математики.

Иммануил Кант

Математика возникла на заре цивилизации как ответ на жизненно важную потребность человека в количественном отображении окружающего его мира: нужно было подсчитывать расстояния, площади возделываемых полей, собранный урожай, поголовье домашнего скота. Современная математика интенсивно проникает в другие науки: во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики универсален, что является объективным отражением универсальности законов окружающего нас многообразного мира. Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со Средних веков пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов. В современной экономике математические методы (часто далеко не элементарные) выступают в качестве необходимого инструмента. Так, современный бухгалтерский учет основан на принципах, изложенных еще в 1494 г. в фундаментальном труде Луки Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях отношениях», в котором часть I, отдел 9, представляет собой трактат XI «О счетах и записях». Современная экономика использует методы, разработанные в XX в. Л. В. Канторовичем, В. В. Леонтьевым, Е. Е. Слуцким. Матричная алгебра является важнейшим элементом экономических расчётов. Многие экономико - математические модели рассматриваются и решаются в матричной форме. Матрицы впервые появились в середине XIX столетия в работах английских математиков А.Кэли и У.Гамильтона. Представление совокупностей элементов в виде матриц и разработанные правила операций над ними оказались весьма плодотворными в математике и нашли широкое применение в физике, технике, экономике. Существенный вклад в разработку общей теории матриц и ее приложений внесли советские математики И.А.Лаппо-Данилевский, А.Н.Крылов, Ф.Р.Гантмахер, М.Г.Крейн. Матричная алгебра тесно связана с линейными функциями и с линейными ограничениями, в связи, с чем находит себе применение в различных экономических задачах: - в эконометрике, для оценки параметров множественных линейных регрессий; - при решении задач линейного программирования; - при макроэкономическом программировании и т.д. Особое отношение к матричной алгебре в экономике появилось после создания моделей типа «Затраты - Выпуск», где с помощью матриц технологических коэффициентов объясняется уровень производства в каждой отрасли через связь с соответствующими уровнями во всех прочих отраслях. Табличным структурам в математике естественным образом соответствуют математические структуры, называемые матрицами, которые, по определению, не что иное, как таблицы чисел. Но над ними в отличие от обычных таблиц определены известные математические операции: умножение на скаляр, сложение, вычитание, транспонирование, умножение и обращение матриц. В матричной алгебре, как и в обычной алгебре, связи между величинами устанавливаются формулами и уравнениями, но входящие в них величины принимают значения не на отдельных числах, а на таблицах чисел заданной структуры и размеров. Данное обстоятельство позволяет совершенно по новому решать проблемы формирования балансовых отчетов и их анализа как решения математических уравнений, но связывающее между собой не отдельные числа, а различные структуры чисел, организованные в виде аналогов бухгалтерских табличных структур: матриц, векторов (отдельных строк и столбцов) и отдельных числовых величин - скаляров. Но не следует думать, что все сводится к простому применению аппарата матричной алгебры и других известных математических методов к проблематике бухгалтерского учета. Здесь проблема состоит в создании принципиально новой системы средств и методов, которая и обозначена в названии как ситуационно-матричная бухгалтерия.

1. Матрицы и определители

1.1 Матрицы. Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащей m строк и n столбцов. Матрица записывается в виде

( 1.1)

или сокращенно в виде A = (a_{i j}) (i =; j = ).

Например, матрица размера 2×3

,

матрица размера 3×1 матрица - столбец

В =

С=(3 7 -9 1) - матрица размером 1×4, или матрица - строка.

Иногда вместо круглых скобок в записи матрицы используют квадратные или двойные прямые линии. Например,

или

Числа a_{i j}, составляющие матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Произведение m х n числа строк на число столбцов называют размером матрицы А. В экономике применяются действительные числа, соответственно матрицы из таких чисел называются действительными. Матрицы, содержащие в качестве элементов только положительные числа или нули, - неотрицательные. Таковы, в частности, матрицы коэффициентов прямых материальных затрат в моделях межотраслевого баланса. Две матрицы A = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a_{i j} = b_{i j}

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера mn, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0

А= . В том случае, когда m = n (число строк равно числу столбцов):

матрица А называется квадратной.

Упорядоченная совокупность элементов a₁₁, a₂₂,. …, а_пп называется главной диагональю квадратной матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если ее элементы удовлетворяют условию

т.е. ненулевыми могут быть только элементы главной диагонали; матрица в этом случае имеет вид

Примеры диагональных матриц:

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице:

Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Например, верхние треугольные матрицы:

Нижние треугольные матрицы:

2. Понятие определителя

В отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится соответствие матрице. Пусть A квадратная матрица порядка n, n>1. Определителем или детерминантом квадратной матрицы A порядка n называется число

a₁₁ a₁₂ a_1n

a₂₁ a₂₂ a_2n =_j(-1) ^j+1М₁^j = ∆_n

a_n1 a_n2 a_nn

где M₁ ^j - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a_1j .

Формула

_j(-1)^j+1М₁^j

называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.
Число (-1) ^j+1 M₁ ^j называется алгебраическим дополнением элемента a_1j. Справедливы формулы вычисления определителя квадратной матрицы A разложением по i-й строке и разложением по j-му столбцу:

a₁₁ a₁₂ a_1n

a₂₁ a ₂₂ a_2n =_ik(-1) ^i+kМ_i^k =_kj(-1) ^k+jМ_k^j

a_n1 a_n2 a_nn

для i=1,2,...,n, j=1,2,...,n.

Для квадратной матрицы второго порядка формула вычисления определителя упрощается:

==a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁

поскольку, например, в формуле разложения определителя по 1-ой строке
M₁¹ =a₂₂ , M₁ ² =a₂₁. Для квадратной матрицы третьего порядка формула вычисления определителя разложением по 1-ой строке имеет вид:

-a₁₂+a₁₃

Определитель третьего порядка можно также вычислить по следующему правилу: найти алгебраическую сумму шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком плюс берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали; со знаком минус - произведения, сомножители которых стоят на не главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали .

+ -

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₁ a₁₂ a₁₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

Пример. Рассмотрим вычисление определителя четвёртого порядка разложением по 1-ой строке.

(-1)¹⁺¹+(-1)¹⁺²+

+(-1)¹⁺³+(-1)¹⁺⁴ =178

Пример. Вычислить определители второго порядка.

1. = 5×(-2) - 7×1 = -10 -7 = -17

2. = 1×0 - (-4)×9 = 0+36 =36

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка.

1. = 1 - 3 -4 = -2 + 27 + 20 = 45

2. .

3. .

1.3 Основные свойства определителей

Из определения определителя следуют основные свойства определителей.

1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Например,

= 1*0*5 +0*9*7 +4*0*2 -7*0*2 -4*0*5 -0*9*1 = 0

2. При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину

Доказательство проведём для определителя второго порядка.

.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A| = -|A| или |A| = 0. 4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя

.

5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя Δ_n представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых: а) все строки (столбцы), за исключением указанной строки (столбца), совпадают с аналогичными строками (столбцами) определителя Δ_n; б) на месте указанной строки (столбца) первый определитель содержит первые слагаемые, а второй определитель - вторые слагаемые данной строки (столбца) определителя Δ_n.

Поясним это свойство на примере определителя третьего порядка:

6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число.

Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя.

= + =

+k =

7. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении определителей и в различных задачах.

8. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, ,

, .

Пример. Вычислить определитель, используя его свойства

.

Прежде чем раскладывать определитель по элементам какой-либо строки, сводя к определителям третьего порядка, преобразуем его, сделав в какой-либо строке или столбце все элементы, кроме одного, равными нулю. В данном случае удобно рассмотреть 4-й столбец или 4-ю строку:

= = -1·(-1)⁷ =

+ = 8 - 4 - 4 = 0

1.4 Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц. Если A - квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Доказательство:

Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A^-1. Покажем, что |A| ≠ 0.

Предположим, что |A| = 0. Тогда = Но с другой стороны =. Полученное противоречие и доказывает, что |A| ≠ 0.

Достаточность. Для простоты доказательство проведём для случая матрицы третьего порядка.

Пусть

и |A| ≠ 0.

Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица

, где A_ij алгебраическое дополнение элемента a_ij.

Найдём AB=C.

Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Действительно, например,

Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c₂₂ = c₃₃ = 1.

Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C равны нулю. Например,

Следовательно, AB=E. Аналогично можно показать, что BA=E. Поэтому B = A^-1.

Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы.

Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом

,

где A_ij - алгебраические дополнения элементов a_ij данной матрицы A.

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

1. Найти определитель матрицы A.

2. Найти алгебраические дополнения A_ij всех элементов матрицы A и составить матрицу , элементами которой являются числа A_ij.

3. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице , и умножить её на - это и будет .

Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .

Примеры.

1. Найти матрицу, обратную данной А = . Сделать проверку.

|A| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.

Проверка:

.

Аналогично A∙A^-1 = E.

2. Найти элементы и матрицы A^-1 обратной данной

.

Вычислим |A| = 4. Тогда

.

.

3. Дана матрица

.

Найдем обратную матрицу.

1.5 Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу.

Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

0 r(A) min (m, n.

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале
главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых
может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю,
например, .

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

.

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М₁ = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M₂ = , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М₂. Их всего два (можно
добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: 0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Пример. Найти ранг матрицы А= и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки: .Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5: ; из третьей строки вычтем первую; получим матрицу В = , которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу: .

II.Операции над матрицами

2.1 Преобразование матриц

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
1) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

Например: умножим 3-й столбец на 3:

2) прибавление к одной строке матрицы другой строки;

Например: ко 2-й строке матрицы прибавим 1-ю строку, умноженную на −3:

3) перестановка строк (столбцов);

Например: переставим 1-ю и 3-ю строки матрицы:

Переставим 2-й и 3-й столбцы матрицы:

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование матрицы;

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А:

Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А^Т имеет вид

A^T =,

Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:

А = (а_{i j}), А^Т= (а_{j I} ); i= 1,2,…,m, j= 1,2,…,n.

Пример. Пусть даны матрицы А и В:

В =

Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

А^Т = , В^Т = .

Обратим внимание на две закономерности операции транспонирования матриц.

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

А^ТТ = А

2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симметрические матрицы - квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. a_ij = a_ji. Транспонирование таких матриц не меняет их вида, так что равенство

А = А^Т

также можно полагать определением симметрической матрицы.

2.2 Сложение матриц

Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

А= (а_{i j}), В=(b_{i j}); i= 1,2,…,m, j= 1,2,…,n.

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

С = (c_{i j}), c_{i j} = a_{i j} + b_{i j}; i= 1,2,…,m, j= 1,2,…,n.

Например,

Примеры. Найти сумму матриц:

1. + = =

2. + - нельзя, т.к. размеры матриц различны.

3. +

Пример. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда их суммой, согласно определению, является матрица

2.3 Умножение матрицы на действительное число.

Произведением матрицы А на действительное число α называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число α.

Пример. Пусть даны матрица А и число α:

Тогда произведением матрицы А на число является матрица

Рассмотрим свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определения этих операций. Пусть А, В и С - матрицы, имеющие одинаковый размер, а α и β - некоторые действительные числа. Тогда:

1) А + В = В + А,

2) (А + В) + С = А + (В + С),

3) α(А + В) =αА + αВ,

4) (α + β) A = αA + βA,

5) (αβ)А = (αA)β,

6) A + О = А, где О - нулевая матрица,

7) 0А = О.

2.4 Умножение матриц

Умножение матриц - это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц.

Произведением двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{j k}), где i =, j=, k=, заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c _{i k}), элементы которой определяются по следующему правилу:

c _{i k} = a_{i 1} b_{1 k} + a_{i 2} b_{2 k} +... + a_{i m} b_{m k} = a_{i s} b_{s k}.

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Строки и столбцы матриц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-столбцы соответствующих размерностей: иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбцов.

Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой c_ij равны скалярным произведениям векторов-строк _i матрицы А на векторы-столбцы _j матрицы В:

С = АВ = ║с_ij║, с_ij = _ij = _isb_sj ,

i =1,2,…,m, j = 1,2,…,k.

Произведение матриц А и В - матрица С - имеет размер т х k, поскольку длина п векторов-строк и векторов-столбцов исчезает при суммировании произведений координат этих векторов в их скалярных произведениях. Таким образом, для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скалярные произведения первой строки матрицы А на все столбцы матрицы В; вторая строка матрицы С получается как скалярные произведения второй вектор - строки матрицы А на все векторы-столбцы матрицы В и так далее. Для удобства запоминания размера произведения матриц нужно перемножить отношения размеров матриц-сомножителей:, т.е. размер матрицы С равен произведению оставшихся в отношении чисел: т х k.

В операции умножения матриц есть характерная особенность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда если А и В - прямоугольные матрицы, то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формирующих элементы соответствующей матрицы, должны участвовать векторы с одинаковым числом координат.

Если матрицы А и В квадратные размером n х n, то имеет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц BA, причем размер этих матриц такой же, как и у исходных сомножителей. При этом в общем случае перемножения матриц правило перестановочности не соблюдается, т.е.

АВ ≠ ВА.

Рассмотрим примеры на умножение матриц.

Пример. Найти произведение матриц

А = , В = .

Решение. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам получаем в произведении матрицу размером 3 х 2:

Произведение ВА не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.

Пример. А =, В =

Решение. Здесь мы найдем произведения данных матриц АВ и ВА:

Как видно из результата, матрица произведения зависит от порядка расположения матриц в произведении. В обоих случаях произведения матриц имеют тот же размер, что и у исходных сомножителей: 2 х 2.

Пример. А = , В = = .

Решение. В данном случае матрица В представляет собой вектор-столбец, т.е. матрицу, у которой три строки и один столбец. Вообще, векторы - это частные случаи матриц: вектор-строка длины п представляет собой матрицу с одной строкой и п столбцами, а вектор-столбец высоты n - матрицу с n строками и одним столбцом. Размеры данных матриц соответственно 2 х 3 и 3 х 1, так что произведение этих матриц определено. Имеем

В произведении получена матрица размером 2 х 1 или вектор-столбец высоты 2.

Пример. Дана матрица А = . Найти матрицу А³.

Решение. Путем последовательного умножения матриц находим

Рассмотрим свойства произведения матриц. Пусть А, В и С - матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а α - действительное число. Тогда следующие свойства произведения матриц имеют место:

1) (АВ)С = А(ВС),

2) (А + В)С = AC + ВС,

3) А(В + С) = АВ + АС,

4) α(АВ) = (αА)В = А(αВ).

В алгебре матриц единичная матрица Е играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанные с умножением на эту матрицу слева и справа в случае квадратных матриц:

5) АЕ = А,

6) ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

Пример. Найти произведение матриц А= и В = .

Решение. Имеем: матрица А размера 23, матрица В размера 33, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны
с₁₁ = 11 +22 + 13 = 8, с₂₁ = 31 + 12 + 03 = 5, с₁₂ = 12 + 20 + 15 = 7,

с₂₂ =32 + 10 + 05 = 6, с₁₃ = 13 + 21 + 14 = 9, с₂₃ = 33 + 11 + 04 = 10.

AB =, а произведение BA не существует.

Ш.Применение теории матриц в экономике.

С помощью матриц можно записывать некоторые экономические зависимости, Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.)

Ресурсы

Отрасли экономики

промышленность

сельское хозяйство

Электроэнергия

7,5

3,5

Трудовые ресурсы

6,8

2,4

Водные ресурсы

4,2

5,1

может быть записана в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям

А =

В этой записи, например, матричный элемент а₁₂ = 6,8 показывает, сколько трудовых ресурсов потребляет промышленность, а элемент а₂₁ = 3,5 - сколько электроэнергии потребляет сельское хозяйство.

Рассмотренные операции над матрицами позволяют упростить решения некоторых экономических задач

Пример. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М₁, М₂ и М₃, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М₁ стоит 40 ден. ед., в магазин М₂ -50, а в М₃ -120 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод

Магазин

М₁

М₂

М₃

1

25

30

20

2

18

23

7

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через
В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

А =, В = (40, 50, 120).

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

АВ = .

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4900 ден. ед., второй - 2710 ден.ед.

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно актуальным этот вопрос стал при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме. Рассмотрим одну из основных моделей макроэкономики, которая была описана в 1936 г. американским экономистом В.В. Леонтьевым. Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Обозначим через x_i объем продукции i-ой отрасли (валовый выпуск); x_ij - объем продукции i-ой отрасли, потребляемый j-ой отраслью при производстве продукции x_j; y_i - объем продукции i-ой отрасли, предназначенный для реализации в непроизводственной сфере, т.е. продукт конечного потребления; a_ij =- коэффициенты прямых затрат, объем потребления j-ой отраслью продукции i-ой отрасли при производстве объема x_j. Леонтьев отметил, что в течение длительного времени величины меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа, зависящие от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска:

x_ij = a_ij · x_j (i, j = 1, 2, …, n),

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Так как валовый объем продукции любой i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

(i = 1, 2, … n)

Или

(i = 1, 2, … n).

Эти уравнения называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостной межотраслевой баланс, когда все величины имеют стоимостное выражение. Запишем систему балансовых соотношений одним матричным выражением:

АХ + Y = Х,

где А - структурная (технологическая) матрица, матрица коэффициентов прямых затрат, Х - вектор валового выпуска; Y - вектор конечного продукта. Само уравнение носит название модели Леонтьева или уравнения линейного межотраслевого баланса. Это уравнение можно использовать в двух целях. В первом случае по известному вектору валового выпуска Х требуется рассчитать вектор конечного потребления Y. Переписываем последнее уравнение в виде: (Е - А)=Y. Во втором случае, если матрица (Е - А) невырожденная, т.е. det(E - A )≠ 0 , то по известному вектору конечного потребления Y можно определить вектор валового выпуска Х, по формуле: X = (E - A)^-1·Y. Матрица S = (E - A)^-1 называется матрицей полных затрат, элементы которой S_ij - величины валового выпуска продукции i-ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечной продукции j-ой отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи все элементы матрицы А, S и векторов X и Y должны быть неотрицательны. Т.е. матрица А должна быть продуктивной (сумма элементов по любому ряду не превосходит 1 ).

Рассмотрим задачи, которые показывают, что знание элементов линейной алгебры, умение оперировать с матрицами и обратными матрицами являются важными и позволяют решать реальные экономические задачи. Пример. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (14, 12, 20). Используются ткани четырех типов Т₁, Т₂, Т₃, Т₄. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие.

Изделие

Расход ткани

Т₁

Т₂

Т₃

Т₄

Зимнее пальто

2

5

4

0

Демисезонное пальто

1

0

0

6

Плащ

3

2

1

0

Вектор С = (31, 24, 17, 9) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (4, 2, 3, 3) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана ?

2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.

3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.

4. Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки.

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т. е.,

A = ,

тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:

X А = (14,12,20) = =
= (100, 110, 76, 72).

Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор C^T:

А C^T = =.

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:

X А C ^T = (14,12,20)=.

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 7680 ден. ед., плюс величина

X А P ^T = (100, 110, 76, 72).

Итак, X А C ^T + X А P ^T = 7680 + 1064 = 8744 (ден. ед).

Матричные модели в экономике, один из наиболее распространённых типов экономико-математических моделей. . В них отражается структура затрат на производство и распределение продукции и вновь созданной стоимости. Матричные модели - балансово-нормативные, они объединяют в единой табличной форме балансы распределения продукции (по отдельным её видам) и увязанные с ними балансы затрат на её производство, а также нормативы материальных и денежных затрат, используются для экономического анализа и плановых расчётов с применением электронной вычислительной техники.

Виды матриц в экономике:

• матрица Томпсона и Стрикленда;

• SPACE-матрица оценки стратегического положения и действий компании;

• анализ кривой жизненного цикла информационной продукции и услуг;

• анализ портфеля информационной продукции и услуг на основе:

  • матрицы "рост-доля рынка" (БКГ-матрица);

  • матрицы "привлекательность-конкурентоспособность" (матрица McKincey);

  • трехмерной схемы Абеля, и др.

Список литературы

1. Алешковский И.А. Математика в экономике: Экономико-математические задачи. - М.: МАКС Пресс, 2006.

2. Большакова И.В. Высшая математика - Учебное издание, 2003.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - 4-е изд. - М.: Наука. Гл.ред. физ. - мат. мет., 1988.

4. Ершов Э. Б., О выявлении и использовании структурных особенностей матриц в задачах планирования, «Экономика и математические методы», 1966, т. 2.

5. Ильин В.А.,Поздняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб: Для вузов.-М.:ФИЗМАТЛИТ,2002

6. Красе М. С, Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер, 2005.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - 14 - е изд. - Спб.: Лань, 2005.

8. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Советское радио, 1972.

9. Ланкастер П. Теория матриц- М.: Наука. Гл.ред. физ. - мат. мет., 1973.

10. Макконелл К., Брю С. Экономика: принципы, проблемы, политика. М.: Республика, 1992. Т. 1-2.

11. Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций.-М.: Эксмо,2006

12. Немчинов В. С., Экономико-математические методы и модели, М., 1962

13. Рублев А. Н. Линейная алгебра. М.: Высшая школа, 1968.

14. Справочник по математике для экономистов/ В.Е.Барсуков, В.И.Ермаков, Н.Н. Кривенцов и др.; Под ред. В.И. Ермакова-М.:1997г.

15. Тышкевич Р. И., Феденко А. С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Минск: Вышейш. школа, 1968.

16. . Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре.- М.:Наука. Гл.ред. физ. - мат. мет., 1984.

17. Черняк Ю. И., Применение математики в экономических исследованиях, т. 3, М.,1998.

18. Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта mathematica.ru

26