РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

ДЛЯ АУДИТОРНОЙ РАБОТЫ

Фамилия_______________________________________________

Имя___________________________________________________

Отчество_______________________________________________

Специальность __________________________________________

Группа _________ Курс__2_____

Личная подпись студента__________________

Москва 2015

Великие математики

Математика - это язык, на котором говорят все точные науки. (Н.И. Лобачевский)

Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В.Ф. Каган)

Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. (Р. Петер) Все, что до этого было в науках: гидравлика и аэрометрия, оптика и других темно, сомнительно и недостоверно, математика сделала ясным, верным и очевидным. (М.В. Ломоносов)

Раздел 1. Математический анализ

Тема 1.1. Дифференциальное исчисление

Занятие 1-2. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы.

Сформулируйте основные теоремы о пределах:

1. ;

2. ;

3. .

Напишите равенство:

1) выражающее сущность первого замечательного предела;

2) определяющее трансцендентноt число е.

Закончите определения:

1) Функция , имеющая своим пределом число 0, называется….

2) Функция ,имеющая своим пределом - или +,называется…

3) Две функции и называются эквивалентными бесконечно малым, если… .

Закончите утверждение:

Если бесконечно малые и попарно эквивалентны, то =…

Напишите «цепочку» эквивалентных бесконечно малых x~sinx~…~…~…~…~…~.

Закончите определение:

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если…, или .

y

f(x)

0 x

Примеры и упражнения

Вычислите

Решение.

Элементарная функция y = 2x + 1 непрерывна в любой точке области определения, поэтому

Вычислите пределы, требующие раскрытия неопределенности типа

… .

Замечание. Сокращение на (х+1) возможно, так как … .

Вычислите пределы, требующие раскрытия неопределенности типа :

2)

3)

Вычислите пределы, требующие применения первого замечательного предела:

а)

б) закончите обобщение:

Вычислите пределы, требующие применения второго замечательного предела:

а) закончите обобщение: ;

Упражнения для самостоятельного решения

1. Найти .

1. 6

2. -6

3. -18

4. -24

2. Найти .

1. 6

2. 14

3. -6

4. -4

3. Найти .

1. -24

2. 8

3. 24

4. -8

4. Найти .

1. 20

2. 28

3. 36

4. -4

5. Найти .

1. -36

2. 21

3. -21

4. -33

6. Найти .

1. -12

2. 4

3. 12

4. -4

7. Найти .

1. 4

2. -4

3. -5

4. -6

8. Найти .

1. -10

2. -6

3. 6

4. 10

1. Выберите определение непрерывности функции в точке

1. Функция является непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции

2. Функция является непрерывной в точке, если существует конечный предел функции в этой точке

3. Точка является точкой непрерывности функции, если эта функция определена в некоторой окрестности этой точки

4. Функция у называется непрерывной в точке х, если

2. Выберите определение непрерывности функции в точке

1. Функция является непрерывной в точке а, если

2. Функция у называется непрерывной в точке х, если

3. Функция является непрерывной в точке, если существует конечный предел функции в этой точке, который равен значению функции в этой точке

4. Точка является точкой непрерывности функции, если эта функция определена в некоторой окрестности этой точки

3. Выберите определение непрерывности функции в точке

1. Функция является непрерывной в точке, если существует конечный предел функции в этой точке

2. Функция является непрерывной в точке а, если

3. Функция у называется непрерывной в точке, если

4. Точка является точкой непрерывности функции, если эта функция определена в некоторой окрестности этой точки

4. Выберите определение непрерывности функции в точке

1. Функция является непрерывной в точке, если существует конечный предел функции в этой точке

2. Функция у называется непрерывной в точке, если

3. Функция является непрерывной в точке а, если

4. Функция у называется непрерывной в точке а, если

Занятие 5-6. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. Производные высших порядков.

Основные сведения из теории

Закончите определение:

Производной функции y = f(x) в точке x называется число, ….

Заполните таблицу:

Правила дифференцирования

Формулы дифференцирования

Закончите формулировку правила:

Производная сложной функции f((x)) равна произведению …:

… .

Пользуясь определением, найдите производную функции y = в произвольной точке x.

Решение.

1. Дадим независимой переменной x приращение x.

2. Наращенное значение y + y функции f(x):… .

3. Приращение y функции y(x):… .

4. Отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

5. = … .

Найдите производные функций:

1. y = 3x;

2. y = ;

3. y = 3;

Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите производные функций:

1. y = 2; = 2;

2. y = ln(x

тесты:

1. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

2. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

3. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

4. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

5. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

6. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

Найти производную сложной функции

1. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

2. Найти производную функции

1) 2) 3)

4)

3. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

4. Найти производную функции

1) 2) 3)

4)

5. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

6. Найти производную функции

1) 2) 3)

4)

Занятие 9-10. Правило Лопиталя. Формула конечных приращений Лагранжа. Исследование функции на экстремум. Исследование функции: выпуклость и вогнутость, перегиб, нахождение асимптот, нахождение глобальных экстремумов.

Основные сведения из теории

Закончите определения:

1. Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке ]a; b[, если для любых ]a; b[ из неравенства следует неравенство f()…f().

2. Функция y=f(x) называется убывающей на промежутке ]a; b[, если ….

3. Точка называется точкой минимума (min) функции у = f(x), если

Число f () называется … .

4. Точка называется точкой максимума (max) функции у = f (х) если…

Число называется … .

5. Точками экстремума функции y= называются такие ее точки … .

Закончите формулировки утверждений:

1. Для того чтобы функция , имеющая на некотором промежутке ]a; b[ производную, возрастала на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы для всех выполнялось неравенство …0

2. Для того чтобы функция , имеющая на некотором промежутке производную , убывала на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы …

3. Пусть функция непрерывна в точке . Если - точка экстремума функции, то в этой точке необходимо одно из следующих условий:

а) либо …; б) либо … .

Точки , в которых либо …, либо …, называются … точками.

4. Пусть функция непрерывна на некотором промежутке, содержащем критическую точку , и дифференцируема на , , тогда:

• для того чтобы была точкой минимума, достаточно выполнения следующих условий: а) …0 при и б) …0 при ;

• для того чтобы точка была точкой максимума, достаточно выполнения следующих условий: а) …0 при и б) …0 при .

Раскройте геометрический смысл производной функции :

значение производной при данном значении аргумента x равняется …, образованного касательной к графику функции в соответствующей точке М(…) с положительным направлением оси Ox.

Закончите определения:

1. Пусть дана кривая L и на ней точка .

Y T

0 x

Возьмём на L точку и проведём секущую (точка может быть расположена по любую сторону от точки ). Если при неограниченном приближении точки по кривой L к точке (с любой стороны!) секущая стремится занять положение определённой прямой , то прямая называется …, а её уравнение имеет вид:

=… .

2. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку …

Уравнение нормали имеет следующий вид: … .

Закончите предложение:

Точки экстремума функции

Точка х₀ называется точкой максимума функции у = f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех значений х ≠ х₀ из этой окрестности значения функции в них меньше значения функции в точке х₀ , т.е. …

Точка х₀ называется точкой минимума функции у = f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех значений х ≠ х₀ из этой окрестности значения функции в них больше значения функции в точке х₀ , т.е….

Точки максимума и точки минимума называются точками … функции.

Значения функции в точках экстремума называются … функции.

Выпуклость графика функции

График функции называется выпуклым вниз на некотором промежутке, если, соединив отрезком прямой любые две точки графика функции на этом промежутке, обнаружим, что этот отрезок расположен … соответствующей части графика.

График функции называется выпуклым вверх на некотором промежутке, если, соединив отрезком прямой любые две точки графика функции на этом промежутке, обнаружим, что этот отрезок расположен … соответствующей части графика.

Асимптота - это прямая, к которой график неограниченно …..

Точка графика функции называется точкой перегиба, если в этой точке есть … и происходит изменение направления выпуклости.

Внутренние точки области определения, в которых существует производная, а вторая производная равна нулю или не существует, называются … точками второго рода.

Достаточное условие точки перегиба

Если функция у = f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности критической точки второго рода х₀ и меняет знак при переходе через нее, то точка М(х₀; f(x₀)) графика функции является точкой...

Достаточное условие выпуклости функции

Если вторая производная функции у = f(x) на некотором промежутке является положительной, то график функции на этом промежутке выпуклый ...

Если вторая производная функции у = f(x) на некотором промежутке является отрицательной, то график функции на этом промежутке выпуклый ..

Найдите промежутки выпуклости (вогнутости) и координаты точек перегиба нижеприведенных функций по схеме:

1) найдите

2) определите абсциссы точек, подозрительных на перегиб;

3) определите знаки в достаточно малых окрестностях найденных точек и точек

разрыва функции y = y(x);

4) заполните таблицу:

x

y

f(x) = 3x⁴- 8x³+ 6x² + 12 y = - x⁴ - 2x³ + 15x - 6

Тема 1.2 Интегральное исчисление и его приложения

Занятие 13-14. Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интегралов. Существование неопределенного и определенного интеграла.

Основные сведения из теории

1. Закончите определения:

1) Функция F (x) называется первообразной функции f (x) на отрезке [a; b], если [a; b] справедливо равенство ... .

2) Если F (x) - первообразная f (x), то …, причём: а) выражение F (x) + C называется … функции … и б) обозначается символом … .

3) Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается…, где - знак интеграла, f(x)- … функция , f(x)dx - … выражение . Таким образом, , где F(x) - некоторая первообразная для f(x), С- произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется …. этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. (из опре….)

2. Постоянную можно выносить за знак ….

3. Интеграл от суммы функций есть …. интегралов

5. Интеграл от разности функций есть …. интегралов

6. Результаты интегрирования можно проверить дифф…:

если , то

2. Заполните таблицу:

Правила интегрирования

Простейшие интегралы

1. … .

2. … .

3. … .

4. … .

5. … .

6.

… .

1. …

2. … . 3. 4.

5.

6.

Закончите формулировку теоремы Ньютона - Лейбница:

Если F(x) есть какая-либо первообразная функции f(x), то справедлива формула

Криволинейной трапецией называют часть …., ограниченную осью ОХ, прямыми х = а, х = в и графиком неотрицательной на отрезке [a;b] функции y = f(x).

Фигура не является криволинейной трапецией, если:

• ни одна ее сторона не лежит на оси ОХ;

• она ограничена графиками нескольких функций;

• вся фигура или ее часть располагаются ниже оси ОУ.

Найдите криволинейную трапецию

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, надо воспользоваться формулой Ньютона - Лейбница:

S = F(b) - ?, где F - это … функции, ограничивающей трапецию, a и b - …. концов отрезка, на котором рассматривается трапеция.

Выполните задание: на предложенных далее рисунках, расставьте необходимые обозначения так, чтобы указанная ниже формула для нахождения площади фигуры оказалась верной.

S = F(b)-F(a)

S = F(b)-F(a)

Найдите путь, пройденный за первые 10 с движения телом, свободно падающим в пустоте, если известно, что скорость свободного падения в пустоте определяется формулой , где - начальная скорость, g - ускорение силы тяжести, t - протекшее время.

Решение.

1). Учитывая, что , находим искомое расстояние:

Вычислите площадь параболического сектора, образованного параболой и прямой y =1. Сделайте чертеж.

Решение.

1) Абсциссы точек пересечения параболы и прямой: … .

2) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой , осью Ox а также прямыми…:

3) Площадь квадрата со стороной, длина которой равна …:

4) Площадь параболического сектора: S= … .

Тест «Неопределённый интеграл»

1. Найти неопределённый интеграл

2. Найти неопределённый интеграл

3. Найти неопределённый интеграл

4. Найти неопределённый интеграл

5. Найти неопределённый интеграл

6. Найти неопределённый интеграл

Раздел 2. Дифференциальные уравнения.

Тема 2.1. Понятие дифференциального уравнения и его решения.

Занятие 21-22. Дифференциальное уравнение первого порядка, его общее, частное и особое решения, их геометрический смысл. Задача Коши, теорема о существовании и единственности ее решения.

Основные сведения из теории

1. Закончите определения: Уравнения вида:

называется обыкновенным….. уравнением n-го порядка. Решением этого уравнения является произвольная функция y = y (x), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной ….

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида: Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет …. решений.

Задача отыскания …. y = y(x) уравнения F(x, y, y') = 0, удовлетворяющего условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши (или начальной задачей). Условие y(x₀) = y₀ - на… условие.

Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1-го порядка, называется частным реш…. уравнения.

Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = C, называется общим … уравнения.

Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = 0, называется частным …. уравнения.

Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно …., называют уравнением, записанными в нормальной форме:

Уравнения первого порядка часто записывают в дифференциальной форме:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = …..

Решение такого уравнения можно искать как в виде y = y(x) , так и в виде … .

Закончите определения:

1) Дифференциальным уравнением называется соотношение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция и … .

2) Наивысший порядок входящих в дифференциальное уравнение производных или дифференциалов искомой функции называется его … .

3) Дифференциальное уравнение называется уравнением первого порядка, если в него входят … . Уравнение первого порядка всегда можно представить в виде F(…)=0.

Функция f(x) называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если … .

4) Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется … .

5) Дифференциальное уравнение вида называется … .

6) Дифференциальное уравнение, которое можно представить в виде , называется … .

7) Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение, которое представимо в виде … .

Решить уравнение 4х³-у′=0.

Решение: это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в следующем виде:

у′=-4х³.

Разделив переменные, получаем:

dy=4x³ dx.

Проинтегрируем полученное уравнение:

Общее решение уравнения (3): у=х⁴+С.

Ответ: у=х⁴+С.

Найдите общие решения дифференциальных уравнений:

1) x²dx=3y²dy;

2)

Раздел 3. Теория комплексных чисел

Тема 3.1. Комплексные числа

Основные сведения из теории

Закончите определения: Комплексными числами называются выражения виды а + вi, где а называется …. частью комплексного числа, а в - его …. частью. Число i называется мнимой ….

Суммой двух комплексных чисел а + вi и с + di называется комплексное число (a + с) + (… + …)i. При сложении комплексных чисел их действительные части и коэффициенты при мнимых частях ….

Примеры: (3-5i)+(2+i)=3-5i+2+i=(3+2)+(-5+1)i =….

Чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, достаточно это вычитание произвести отдельно для действительных частей этих чисел и коэффициентов при мнимых частях (а + вi) - (с + di) = a+вi-c-di= (а - …) + (в - …)i.

(5+4i) - (4i -3)=5+4i-4i+3=…

(4+7i) - (2-i)=4+…-2+…=2+8i

Произведением двух комплексных чисел а + вi и с + di называется комплексное число (ас - …) + (… + вс)i

Частным от деления комплексного числа на комплексное число называется такое комплексное число, которое при умножении на даёт .

Алгоритм нахождения тригонометрической формы комплексного числа

Z=a+bi

1. найдём а и в

2. найдём модуль комплексного числа …

3.запишем комплексное число в тригонометрической форме

a+bi=(cos x + i…) x -…. комплексного числа.

4.находим tg x =….

При записи комплексного числа в тригонометрической форме cos и sin берутся от одного и того же угла x, равного аргументу числа Z, а между косинусом и синусом ставится знак «…».

В случае появления отрицательного дискриминанта полезно следующая формула

Если то

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами по известной формуле.

Пример:

Д=16-4·13= - 36, действительных корней нет

Ответ: 2-3i, 2+3i.

Показательная форма комплексного числа.

Формула …:

cos

Выполните тесты

1. Укажите точку, соответствующую комплексному числу z = 2 - 3i

1. M (2; 3)

2. M (-2; -3)

3. M (-2; 3)

4. M (2; -3)

2. Укажите точку, соответствующую комплексному числу z = -7 - 4i

1. M (-7; -4)

2. M (-7; 4)

3. M (7; 4)

4. M (7; -4)

3. Укажите точку, соответствующую комплексному числу z = -5 + 4i

1. M (-5; -4)

2. M (-5; 4)

3. M (5; 4)

4. M (4; -5)

4. Укажите точку, соответствующую комплексному числу z = 9 - i

1. M (-9; 1)

2. M (-9; -1)

3. M (9; -1)

4. M (-1; 9)

5. Укажите точку, соответствующую комплексному числу z = -8 - i

1. M (-1; -8)

2. M (-8; -1)

3. M (-8; 1)

4. M (8; -1)

6. Укажите точку, соответствующую комплексному числу z = 4 - 2i

1. M (4; -2)

2. M (-2; 4)

3. M (2; -4)

4. M (4; 2)

7. Дано: z₁ = -2 - 4i и z₂ = 1 - 4i. Найти z₁ + z₂.

1. -1

2. 1 - 4i

3. 1 - 8i

4. -1 - 8i

8. Дано: z₁ = -3 - 5i и z₂ = -1 + 7i. Найти z₁ + z₂.

1. -2 - i

2. -2 + 2i

3. 4 - 2i

4. -4 + 2i

9. Дано: z₁ = -8 - i и z₂ = 2 - 4i. Найти z₁ + z₂.

1. -6 - 4i

2. -6 - 5i

3. -10 - 5i

4. -10 + 5i

10. Дано: z₁ = -7 + 6i и z₂ = -5 - i. Найти z₁ + z₂.

1. -12 + 6i

2. -12 + 5i

3. -2 + 5i

4. -2 - 5i

11. Дано: z₁ = 9 - 2i и z₂ = -5 - 3i. Найти z₁ + z₂.

1. -4 - 5i

2. 4 + 5i

3. 4 - 5i

4. 4 - i

12. Дано: z₁ = -8 - 5i и z₂ = -1 + 4i. Найти z₁ + z₂.

1. -9 + i

2. -7 - i

3. -9 - i

4. -7 + i

13. Найти i²³.

1. -1

2. 1

3. i

4. -i

14. Найти i²⁷.

1. -1

2. 1

3. i

4. -i

15. Найти i⁸⁴.

1. -1

2. 1

3. i

4. -i

16. Найти i⁸¹.

1. -1

2. 1

3. i

4. -i

17. Найти i⁷⁶.

1. -1

2. 1

3. i

4. -i

18. Найти i⁸².

1. -1

2. 1

3. i

4. -i

19. Найти модуль комплексного числа z = 2 - 3i

1. 

2. 13

3. 2 + 3i

4. 5

20. Найти модуль комплексного числа z = -2 - 4i

1. 20

2. 4

3. -2 + 4i

4. 

21. Найти аргумент комплексного числа z = - 3i

1. 

2. 

3. arctg3

4. 

22. Найти аргумент комплексного числа z = - 5i

1. 

2. 

3. arctg5

4. 

23. Найти i²⁰ + i¹³.

1. -1 + i

2. 1 + i

3. 0

4. 2

24. Найти i¹⁴ + i²⁵.

1. -1 + i

2. 0

3. 1 + i

4. 1 - i

25. Найти i¹⁵ + i²⁶.

1. -2

2. 2

3. -1 + i

4. -1 - i

26. Найти i²² + i⁴⁰.

1. 0

2. -2

3. 2

4. -2i

27. Дано: z₁ = - 4i и z₂ = - 2i. Найти z_{1 ∙} z₂.

1. -8

2. - 8i

3. 8

4. 8i

28. Дано: z₁ = - 5i и z₂ = 7i.

Найти z_{1 ∙} z₂.

1. 35i

2. -35

3. - 35i

4. 35

29. Дано: z₁ = - i и z₂ = - 4i. Найти z_{1 ∙} z₂.

1. - 4i

2. 4i

3. - 4

4. 4

30. Дано: z₁ = 6i и z₂ = - i.

Найти z_{1 ∙} z₂.

1. 6

2. -6

3. -6i

4. 6i

31. Записать комплексное число z = 1 - i в тригонометрической форме.

32. Записать комплексное число

33. z = -2 + 2i в тригонометрической форме.

Раздел 4. Ряды.

Тема 4.1. Числовые ряды.

Занятие 33-34. Числовой ряд, сходимость и расходимость. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости ряда. Арифметические действия со сходящимися рядами. Критерий Коши сходимости числового ряда.

Основные сведения из теории

Закончите определения: Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и₁, и₂,и₃,…,и_n… соединенных знаком ….: и₁+и₂₊,и₃+…+и_n+…=

Числа и₁, и₂,и₃,…,и_n… называются … ряда, член и_n- общим членом или n-м членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член и_n. Например, ряд с общим членом и_n=имеет вид

Найти в простейшей форме общий член ряда:

а) общий член ,

Ряд называется сходящимся, если существует…. предел последовательности его частичных сумм, т.е.

Число S называется … ряда. В этом смысле можно записать

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется …..

Найти сумму ряда

Решение : n-я частичная сумма ряда

S_n=. Учитывая, что

Отсюда, т.е. сумма ряда S =1.

Если ряд сходится, то предел его общего члена и_n при равен …, т.е.

Как называется этот признак?

Исследовать сходимость ряда

Решение:

т.е. необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно, ряд расходится.

Как называется данный ряд:

a + aq + aq² +_…+aq^n-1+_…= .

Какой ряд сходится к сумме при│q│<1 b и расходится при │q│≥1.

Гармонический ряд.

- расходится или сходится?

Обобщенный гармонический ряд.

.

Ряд сходится или расходится при α >1, как ведет обобщенный гармонический ряд при α≤1?

Как называется этот признак?

Пусть даны два ряда с положительными членами:причем члены первого ряда превосходят членов второго ряда, т.е. при любом n u_{n ≤ .}

Тогда : а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд(1);

б) если расходится ряд(1), то расходится и ряд (2).

Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену Тогда, если D< 1, то ряд сходиться; если D> 1, то ряд расходиться; если D=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Из двух данных признаков найдите признак Даламбера.

Исследовать сходимость ряда .

Решение:

. Тогда предел отношения будет равен

то по признаку Даламбера ряд …..

Замечание 1. Если , то ряд ….

Замечание 2. Если =1, то признак Даламбера ответа о сходимости не дает, и рекомендуется перейти к другим признакам сравнения.

Ряд называется условно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из … величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из … величин его членов, расходится.

Выполните тесты:

1. Числовым рядом является

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

2. Числовым рядом является

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

3. Числовым рядом является

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

4. Числовым рядом является

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

5. Функциональным рядом является

6. Функциональным рядом является

7. Степенным рядом является

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

8. Степенным рядом является

9. Обобщённым гармоническим рядом является

10. Обобщённым гармоническим рядом является

11. Гармоническим рядом является

12. Гармоническим рядом является

13. Гармоническим рядом является

14. Гармоническим рядом является

15. Геометрическим рядом является

16. Геометрическим рядом является

17. Сходящимся является ряд

18. Сходящимся является ряд

19. Расходящимся является ряд

20. Расходящимся является ряд

21. Для какого из рядов не выполняется необходимый признак сходимости ряда

22. Для какого из рядов не выполняется необходимый признак сходимости ряда

23. Разложением функции в ряд Маклорена является

24. Разложением функции в ряд Маклорена является

25. Для исследования ряда на сходимость целесообразнее применить признак

1. Признак Даламбера

2. Радикальный признак Коши

3. Интегральный признак Коши

4. Признаки сравнения

26. Для исследования ряда на сходимость целесообразнее применить признак

1. Признак Даламбера

2. Радикальный признак Коши

3. Интегральный признак Коши

4. Признаки сравнения

Раздел 5. Основы дискретной математики

Тема 5.1. Множества и операции над ними.

Занятие 37-38. Множества и операции над ними. Элементы математической логики.

Основные сведения из теории

Закончите определения:

Множеством называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему …и ….

Объекты, из которых состоит множество, называются его ….

Для обозначения множества служит пара фигурных скобок {….}, внутри которых перечисляются … множества. Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами … алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A₁,B_1,… Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами … алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a_1,b₁,…

В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ….

N - множество всех … чисел;

Z_c(или Z⁺ или C⁺) - множество всех целых неотрицательных чисел;

Z (или C) - множество всех … чисел;

Q - множество всех … чисел;

R - множество всех … чисел;

R⁺ - множество всех действительных … чисел.

По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:

1 - конечные, 2 - бесконечные, 3 - ….

Если элементы множества можно сосчитать, то множество является …

Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество ….

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется …

Существует три способа задания множества: перечисление, описание, порождающие процедуры.

Порождающей процедурой называется способ получения …..

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется … множеством и обозначается символом ….

АВ, где символ означает ….

АВ и ВА означает?

Множество всех подмножеств данного множества А называется степенью множества А или …. (А).

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера (или диаграммами Эйлера - Венна).

ХY Х Y

множества X и Y находятся в отношении множества X и Y находятся в отношении

Отношение "включено" обозначается знаком .

Соответственно отношение "включает" - знаком .

Основные операции над множествами:

АВ={x|xA или xB}; -…

АВ={x|xA и xB}; -…

А\В={x|xA и xB}; -…

АВ=(А\В)(В\А); -…

=I\A={x|xI и xA} -….

Система множеств X={X₁, X₂,….X_n} называется разбиением множества А, если она удовлетворяет условиям:

Выпишите основные тождества и законы алгебры множеств.

Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Пример 1. Доказать, используя тождества алгебры множеств, что

Решение. Используя тождества алгебры множеств, получаем

Пример 2. Построить диаграммы Венна для множеств А, В, С, DI, если АВСD, , .

Решение. Одно из возможных решение может быть представлено следующей диаграммой:

Прямым произведением множеств А и В называют множество, обозначаемое АВ и состоящее из всех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая - множеству В, т.е. АВ={(x,y)|xA, yB}. Прямое произведение дистрибутивно относительно …и….

Пример 3. Множество {(3,4), (4,6), (7,9), (4,12)} будучи множеством упорядоченных пар натуральных чисел, есть бинарное отношение на N, где N - множество натуральных чисел.

Отношение R называется ():

рефлексивным, если для любого имеет место …

антирефлексивным, если ни для какого не выполняется …

симметричным, если для пары из aRb следует …

антисимметричным, если из a_iRa_j и a_jRa_iследует, что a_i=a_j;

транзитивным, если для любых a, b, c из aRb и bRc следует …

Отношение R называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Обозначается символом ….

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Символом обозначается

1. Объединение множеств А и В.

2. Декартово произведение множеств А и В.

3. Пересечение множеств А и В.

4. А - подмножество множества В

5. Нет правильного ответа.

Множество, состоящее из тех и только тех элементов множества В, которые не принадлежат множеству А, называется

1. Дополнением к множеству В.

2. Пересечением множеств А и В.

3. Разностью множеств А и В.

4. Разностью множеств В и А.

5. Подмножеством множества А.

6. Дополнением к множеству А.

Дано: А = , В = . Найти .

1. 

2. 

3. 

4. 4

5. 

6. Нет правильного ответа

Дано: С = , М = . Найти С \ М.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Нет правильного ответа

Дано множество А. Символом обозначается

1. Разность множества А и универсального множества.

2. Отрицание множества А.

3. Подмножество множества А.

4. Дополнение к множеству А.

5. Вложением множества А.

Пересечением множества А и универсального множества.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Нет правильного ответа

Множество, состоящее из тех и только тех элементов множества В, которые не принадлежат множеству А, называется

1. 1. пересечением множеств В и А

   2. дополнением к множеству В

   3. разностью множеств А и В

   4. разностью множеств В и А

Символом А х В обозначается

1. 1. пересечение множеств А и В

   2. скрещивание множеств А и В

   3. симметрическая разность множеств А и В

   4. декартово произведение множеств А и В

Символом М \ К обозначается

1. 1. дополнение к множеству М

   2. дополнение к множеству К

   3. разность множеств М и К

   4. разность множеств К и М

Символом обозначается

1. 5. непринадлежность множества множеству

   6. непринадлежность элемента множеству

   7. не включение

   8. не существование

Символом обозначается

1. 9. непринадлежность элемента множеству

   10. не объединение

   11. не пересечение

   12. не включение

Дано: А = {6; 4; 8}, В = {2; 4}. Найти

1. 1. {2; 4; 6; 8}

   2. {4}

   3. {6; 8}

   4. 4

Дано: А = ; В = . Найти .

1. 1. {a; c}

   2. {a; c; p; x; y}

   3. {x; p}

   4. {y}

Дано: С ={1; 4; 7; 0}, М ={1; 4; 5; 6}. Найти С \ М.

1. 1. {1; 4}

   2. {5; 6}

   3. Ø

   4. {7; 0}

Дано: А = . Найти неверную запись

Занятие 39-40. Основные понятия теории графов.

Основные сведения из теории

Закончите определения:

Пусть Х - множество вершин, V -множество ребер, соединяющие вершины. Граф G=(X,V) cчитается заданным, если дано множество его …. и способ …. этого множества в самого себя.

Подграфом G_A графа G=(Х, Г) называется граф, в который входит лишь часть вершин графа G, образующих множество А, вместе с дугами, соединяющими эти ….: где .

Частичным графом G по отношению к графу G=(Х, Г) называется граф, содержащий только часть дуг графа G, т.е. определяемый условием:

где .

Важными понятиями в теории графов являются понятия пути, длины пути, контур

Для описания графа используются матрицы … и матрицы ….

Пример 1. Построить граф G, заданный множеством вершин Х={X₁, X₂, X₃, X₄} и их отображениями Г(Х₁)={X₁, X₂}, Г(Х₂)={X₃, X₄}, Г(X₃)={X₁, X₄}, Г(Х₄)={X₁, X₂, X₃}.

X₂

X₁Решение. Данный граф приведен на рисунке

X₄

X₃

Два графа G₁ и G₂ изоморфны, если существует такое взаимно-однозначное соответствие между множествами их вершин Х₁ и Х₂, что вершины соединены ребрами в одном из графов в том и только том случае, когда соответствующие им вершины соединены в другом графе. Если ребра ориентированы, то их направления также должны соответствовать друг другу.

Пример 2. Изоморфны ли графы, изображенные на рисунках?

A₁

A₂

B₁

B₂

Решение. Графы А₁ и А₂ не изоморфны, хотя они и имеют одинаковое число вершин и ребер. Но в графе А₁ одно из ребер направлено от а к b, а в графе А₂ оно направлено в другую сторону. Графы В₁ и В₂ изоморфны, т.к. они имеют одно и то же число вершин и любые две вершины графа В₁ соединены ребром только тогда, когда соответствующие им вершины графа В₂ также соединены ребром.

П

ример 1. Показать, что два графа на рисунке изоморфны.

Пример 2. «Три дома и три колодца». Три поссорившихся соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к колодцу?

Раздел 6. Основы теории вероятностей и математической статистики.

Тема 6.1. Теория вероятностей.

Занятие 43-44. Основные понятия и теоремы вероятностей

Основные сведения из теории

Закончите определения:

Раздел математики, в котором изучаются … и …, которым они подчиняются, называется теорией вероятности.

Вероятностью случайного события А называется отношение числа возможных благоприятных событий к числу всех возможных событий и выражается формулой ….

Свойства вероятностей:

Вероятность достоверного события равна ….

Вероятность невозможного события равна ….

Вероятность случайного события принимает значения от 0 до ….

Пример 1.Вероятность чего больше: вероятность выигрыша в «Спортлото» 5 из 36 или 6 из 49?

Пусть событие А - выигрыш в лотерею 5 из 36.

Пусть событие В - выигрыш в лотерею 6 из 49.

Р(А) = … Р(В) = … Т.е. Р(А) Р(В)

Пример 2. В ящике лежат одинаковые на ощупь 20 шаров. Из них 12 белых и 8 чёрных. Наугад вынимают два шара.

Какова вероятность того, что они оба белые (событие А)?

Какова вероятность того, что они оба чёрные (событие В)?

Какова вероятность того, что они разного цвета (событие С)?

Решение. Число всех возможных событий равно числу сочетаний из 20 по 2. Число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 12 по 2.

Подсчитайте самостоятельно, чему равно Р(В) и Р(С)

Пример 3. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение: Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим:

Закончите определения:

Теория вероятностей изучает… события. Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого … (далее будем опускать термин «случайный»). Событие - это любое …, набор элементарных исходов. В диаграммах Венна событию соответствует подмножество элементарных событий. Событие произошло, если в результате …. произошло элементарное событие, принадлежащее этому поднабору.

События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, Е, F и т. д. События можно классифицировать.

Достоверное событие - это событие, которое …

Невозможное событие - это событие, которое …

Достоверные и невозможные события не являются случайными.

Совместные события - несколько событий называют совместными, если в …

Несовместные события - несколько событий называют несовместными в данном опыте, если появление одного из них….

События называют единственно возможными, если в результате испытания…

Несколько событий называют равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет…

Два единственно возможных и несовместных события называются ….

Полная группа событий - совокупность всех единственно…

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы …. из них.

Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А₁+А₂+ … +А_n.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна суммевероятностей этих событий. или …

Если событие А₁, А₂, … ,А_n образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна ….

Сумма вероятностей противоположных событий и равна …. .

Пример. Вероятность того, что день будет ясным, . Найти вероятность того, что день будет облачным. Решение: События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому , т.е .

Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Пусть А и В - два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется число . Обозначив условную вероятность , получим формулу , …

Пример. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.

Решение: Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.

Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка.

Тогда , и по формуле находим

.

Событие А называется независимым от события В, если наступление события… не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события ….

Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий и определяется формулой …

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле …

Пример. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение: Пусть - из первой урны извлечен белый шар; - из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события и независимы.

Так как , , то по формуле находим

.

События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности независимых событий называются ….

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого и вычисляется по формуле ...

Вероятность совместного наступления конечного числа зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили и вычисляется по формуле …

Пример. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов про­граммы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит на все три вопроса.

Решение: Определим следующие события: А - «студент знает все три вопроса»; A₁ - «студент знает первый вопрос»; А₂ - «студент знает второй вопрос»; А₃ - «студент знает третий вопрос». События A₁, А₂, А₃ - зависимые:

P(A) = P(А₁)·P(A₂/A₁)·P(A₃/A₁·A₂) = (20/25) ·(19/24)·(18/23) = 57/115 = 0,496.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать любые значения на числовом ….

Примеры непрерывных случайных величин: возраст студентов, длина ступни ноги человека, масса детали и ….

Занятие 45-46. События и их классификация. Классическое и статистическое определения вероятности случайного события.

Основные сведения из теории

Закончите определения:

Все события можно подразделить на невозможные, достоверные и случайные. Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не ….

Приведите примеры невозможных событий: …

Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно ….Например, достоверными являются события: … Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти.

Случайными являются, например, следующие события: …

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют …, а те, которые не могут происходить одновременно,- …

Например, события «пошёл дождь» и «наступило утро» являются …. А события « наступило утро» и «наступила ночь»- ….

Пример 2. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможные, какие - случайные, а какие - достоверные:

А={все вынутые шары одного цвета};

В={все вынутые шары разных цветов};

С={среди вынутых шаров есть шары разных цветов};

D={cpeдu вынутых есть шары всех трех цветов}?

Событие А - невозможное: нельзя вытащить из коробки четыре шара одного цвета, так как в ней только по три шара каждого цвета.

Событие В - тоже невозможное: шары в коробке трех цветов, а вынимаем мы четыре шара.

Событие С - достоверное: ведь все четыре шара, как мы уже выяснили, не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть шары хотя бы двух цветов.

Наконец, событие D- случайное. Закодируем исходы опыта первыми буквами цветов, в которые окрашены вынутые шары. Например: КЖЖЗ означает, что вынули один красный, два желтых и один зеленый шар. КЖЖЗ это пример исхода, при котором событие D происходит, а ККЖЖ пример исхода, когда событие D не происходит.

Пример 3. Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие - достоверные, какие - случайные:

А={футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью};

В={вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее};

С={в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце};

D={завтра будет контрольная по математике};

Е={30 февраля будет дождь};

F={вac изберут президентом США};

G={вac изберут президентом России}.

Пример 4.Вы купили в магазине телевизор, на который фирма-производитель дает два года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, какие - случайные, какие - достоверные:

А={телевизор не сломается в течение года};

В={телевизор не сломается в течение двух лет};

С={в течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора};

D ={телевизор сломается на третий год} ?

Пример 5. В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из коробки наугад вынимают два предмета. Какие из следующих событий невозможные, какие - случайные, какие - достоверные:

А={вынуты две красные ручки};

В={вынуты две зеленые ручки};

С={вынуты две синие ручки};

D={вынуты ручки двух разных цветов}.

Е={вынуты две ручки};

F={вынуты два карандаша} ?

Пример 6. Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они уже в темноте и разобрали шляпы наугад. Какие из следующих событий невозможные, какие - случайные, какие - достоверные:

А={каждый надел свою шляпу};

В={все надели чужие шляпы};

С={двое надели чужие шляпы, а один - свою};

D={двое надели свои шляпы, а один - чужую}?

Пример 7. В игре «Любовь с первого взгляда» участвуют трое юношей и три девушки. Каждый юноша выбирает одну из девушек, а каждая девушка - одного из юношей. Если юноша и девушка выбирают друг друга, то образуется пара. Какие из следующих событий невозможные, какие случайные, какие - достоверные:

А={не образовалось ни одной пары};

В={образовалась одна пара};

С={образовалось две пары};

D ={образовалось три пары} ?

Теория вероятностей имеет дело с экспериментами, исходы которых непредсказуемы: они зависят от случая. С такими экспериментами мы уже сталкивались - это подбрасывание монеты и кубика, раскручивание рулетки, падение бутерброда на пол и т. д. Для всех этих экспериментов характерно то, что их можно многократно повторять (хотя бы мысленно) в одних и тех же условиях. Иногда эксперименты повторяет за нас кто-то другой или сама природа, а нам остается только наблюдать за их исходами. Например, узнавать итоги еженедельной лотереи, регистрировать уровень весеннего разлива рек и т. д. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, связанное с экспериментом, нужно подсчитать, как часто оно происходит. Для этого используют две важные величины:

абсолютная частота показывает, сколько раз …;

относительная частота (которую иногда называют просто частотой) показывает, какая доля экспериментов …..

Относительную частоту можно найти, поделив абсолютную частоту на число экспериментов. Иногда относительную частоту измеряют в процентах.

Пример 8. По результатам экспериментов примера 1 найдем абсолютную и относительную частоты случайных событий:

А={на кубике выпало четное число очков};

В={на кубике выпало нечетное число очков};

С={на кубике выпало число очков больше трех}.

Заметим, что теперь речь идет о частоте событий, а не исходов. Одному событию может соответствовать несколько разных исходов - этот вопрос будет подробно обсуждаться в дальнейшем.

Абсолютную частоту события А получим как сумму абсолютных частот исходов 2,4,6:

6+11 + 7 = 24.

Относительную частоту события А можно получить сложением относительных частот исходов 2,4,6:

0,12 + 0,22 + 0,14 = 0,48,

а можно делением абсолютной частоты А на количество экспериментов:

24/50=0,48

Аналогично получим частоты событий В и С.

События

Абсолютная

частота

Относительная

частота

А

24

0,48

В

26

0,52

С

27

0,54

В этой таблице сумма абсолютных частот уже не равна числу экспериментов, а сумма относительных частот больше 1. Что это - ошибка? Нет, просто на этот раз мы вычисляли частоту не взаимоисключающих исходов, а произвольных случайных событий. Некоторые из них могли происходить одновременно (например, А и С) - поэтому и сумма их абсолютных частот больше 50.

Пример 9. Учениками 7 «А» класса была проведена серия испытаний по подбрасыванию кубика. Полученные результаты представлены в таблице. Найдите относительную частоту каждого исхода.

Исходы

Абсолютная частота

1

26

2

25

3

19

4

27

5

25

6

28

Пример 10. Перед вами таблица абсолютных частот всех возможных исходов, полученная после проведения 100 экспериментов по подбрасыванию двух кубиков.

1

2

3

4

5

6

1

6

2

6

4

1

0

2

6

2

3

6

3

3

3

4

2

1

3

4

0

4

2

3

3

2

5

0

5

1

0

7

2

0

1

6

2

2

2

7

3

2

С помощью этой таблицы найдите относительные частоты следующих событий:

А={на кубиках выпало одинаковое число очков};

В={сумма очков на кубиках равна 11};

С={произведение очков на кубиках равно 11};

D={на 1-м кубике выпало больше, чем на 2-м};

Е={на 2-м кубике выпало больше, чем на 1-м}.

Придумайте еще три случайных события, связанных с этим экспериментом, и найдите их частоты.

С ростом числа экспериментов частота стремится к вероятности. Значит, по известной вероятнос­ти можно прогнозировать частоту повторения интере­сующего нас события в будущем.

Пример 11. При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди 25 000 деталей?

По результатам контроля можно оценить вероятность

события А={произведенная деталь бракованная}. Приближенно она будет равна его частоте:

Р(А) ~ 5 = 0,005.

1000

Следует ожидать такую частоту и в будущем, поэтому среди 25 000 деталей окажется около 25 000 • 0,005 = 125 бракованных.

Занятие 51-52. Формула полной вероятности.

Основные сведения из теории

Рассмотрим два события А и Н. Каковы бы ни были взаимоотношения между событиями А и Н, всегда можно сказать, что вероятность события А равна вероятности пересечения событий А и Н плюс вероятность пересечения А и дополнения Н (событие ). Поясним сказанное на диаграмме Венна (рис.1). Разложение А на части зависит от и .

Р(А) = Р(АН) + Р(А∩).

Рис. 1. Диаграмма Венна к формуле (1)

Наборы и - форма расчленения набора A на два подмножества взаимно несовместных событий. События Н и взаимно противоположны. Событие А может произойти либо с Н, либо с , но не с двумя вместе (см. рис. 1).

Рассмотрим более сложный случай. Пусть событие А может осуществляться лишь вместе с одним из событий Н₁, H₂, H₃,..., H_n, образующих полную группу, т. е. эти события являются единственно возможными и несовместными (рис. 2). Так как заранее неизвестно, какое из событий Н₁, H₂, H₃,..., H_n наступит, то их называют гипотезами. Пусть также известны вероятности гипотез Р(Н₁), Р(Н₂),…, Р(H_n) и условные вероятности события А, а именно: Р(А/Н₁), Р(А/Н₂),…, Р(А/Н_n).

Так как гипотезы образуют полную группу, то

Рассмотрим событие А - это или Н₁·А, или … Н_n·А. События Н₁·А, Н₂·А, …, Н_n·А - несовместные попарно, так как события Н₁, H₂, H₃,..., H_n попарно несовместны. К этим событиям применяем теорему сложения вероятностей для несовместных событий:

Р(А)=Р(Н₁·А)+Р(Н₂·А) +…+ Р(Н_n ·А) =.

События Н₁ и А, Н₂ и А,..., Н_n и А - зависимые. Применив теорему умножения вероятностей для зависимых событий, получим (рис. 2):

Р(А) = Р(Н₁)∙Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)∙Р(А/Н₂) +...+Р(Н_n)∙Р(А/Н_n) = .

Рис. 2. Событие А может осуществляться лишь с одним

из событий Н₁, Н₂, ..., Н_n, образующих полную группу событий

Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н₁, Н₂, Н₃, ..., Н_n на соответствующую условную вероятность события А.

Случай двух событий:

.

Случай более чем двух событий: , где i = 1, 2, ..., п.

Пример1. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из урны 1 в урну 2 наудачу переложен один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из урны 2 после перекладывания, окажется черным.

Решение: Событие А - «шар, извлеченный из урны 2, - черный». Составим рабочую таблицу:

H_i

Гипотезы H_i

Р(H_i)

P(А/H_i)

Р(H_i)P(А/H_i)

1

H₁ - «из урны 1 в урну 2 переложили черный шар»

6/10

7/11

42/110

2

H₂ - «из урны 1 в урну 2 переложили белый шар»

4/10

6/11

24/110

∑

1,00

-

Р(А) = 0,60

Вычисление вероятностей гипотез, формула Бейеса

Представим, что существует несколько предположений (несовместных гипотез) для объяснения некоторого события. Эти предположения проверяются с помощью опыта. До проведения опыта бывает сложно точно определить вероятность этих предположений, поэтому им часто приписывают некоторые вероятности, которые называют априорными (доопытными). Затем проводят опыт и получают информацию, на основании которой корректируют априорные вероятности. После проведения эксперимента вероятность гипотез может измениться. Таким образом, доопытные вероятности заменяют послеопытными (апостериорными).

В тех случаях, когда стало известно, что событие А произошло, возникает потребность в определении условной вероятности P(H_i/A). Пусть событие А может осуществляться лишь вместе с одной из гипотез H_i, (i = 1, 2,..., n). Известны вероятности гипотез Р(Н₁), ..., Р(Н_п) и условные вероятности А, т. е. Р(А/Н₁), Р(А/Н₂),…, Р(А/Н_n). Так как A·H_i = Н_i·А, то Р(А·Н_i) = P(Н_i·А) или , а отсюда по правилу пропорций:

.

Итак можно записать формулы Бейеса:

случай двух событий:

;

случай более чем двух событий:

.

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипо­тез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Как видим из выражения (2.5), вероятность события H, задаваемая при условии появления события А, получается из вероятностей событий и и из условной вероятности события А при заданном Н. Вероятности событий и называют априорными (предшествующими), вероятность Р(Н/А) называют апостериорной (последующей).

Пример 2. Партия деталей содержит 20% деталей, изготовленных заводом №1, 30% - заводом №2, 50% - заводом №3. Для завода №1 вероятность выпуска бракованной детали равна 0,05, для завода №2 - 0,01, для завода №3 - 0,06. Чему равна вероятность того, что наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной?

Решение: Обозначим через B событие: наудачу взятая деталь - бракованная., через H₁, H_2,H₃ - деталь, изготовленная соответственно заводом №1, №2, №3. Из условия известны вероятности:

P(H₁)=0.2, P(H₂)=0.3, P(H₁)=0.5 ,

P(B|H₁)=0.05, P(B|H₂)=0.01, P(B|H₃)=0.06.

По формуле полной вероятности находим

P(B)=0.20.05+0.30.01+0.50.06=0.043 .

Пример 3. Имеется пять урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах находится по 2 белых и 3 черных шара; в 4-й и 5-й урнах - по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова условная вероятность того, что выбрана 4-я или 5-я урна, если извлеченный шар оказался белым?

Решение: Обозначим через B событие - выбранный шар белый, H₁ -шар выбран из 1-й , 2-й или 3-й урны, через H₂ -шар выбран из 4-й или 5-й урны. Нужно определить P(H₂|B). Определяем вероятности: P(H₁)=3/5, P(H₂)=2/5, P(B|H₁)=2/5, P(B|H₂)=1/2. По формулам Байеса находим

.

Тема 6.2.

Тема 6.2 Математическая статистика.

Занятие 53-54. Вариационные ряды и их характеристики. Основы математической теории выборочного метода.

Основные сведения из теории

Закончите определения:

Предметом математической статистики является изучение случайных событий и …. по результатам наблюдений. Совокупность предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком, называется статистической …. Результатом наблюдений над статистической совокупностью являются …. - сведения о том, какие значения принял в итоге наблюдений интересующий нас признак (случайная величина X).

Обработка статистических данных методами математической статистики приводит к установлению определенных закономерностей, присущих массовым явлениям. При этом точность статистических выводов повышается с ростом числа …. Статистические данные, как правило, представляют собой ряд значений некоторой случайной величины. …. этого ряда значений представляет собой первый этап исследования случайной величины.

Первая задача математической статистики - указать ….

Второй задачей математической статистики является разработка … К этой задаче относятся:

Оценка неизвестной … события; оценка неизвестной … распределения; оценка … распределения, вид которого известен; оценка зависимости … величины от одной или нескольких … величин и т.п.

Выборочной совокупностью или случайной выборкой называют ….

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится ….

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют …. Например, если из 1000 деталей отбирается для обследования 100, то объем генеральной совокупности N=1000, а объем выборки n = ….

Пример 1. Число единиц товара N, произведенного некоторым предприятием в течение года, есть генеральная совокупность. Для исследования качества продукции на практике рассматривается выборка, состоящая из n единиц товара. Признаком, или случайной величиной, может быть число единиц товара, удовлетворяющих сертификационным требованиям.

При составлении выборки можно поступать двумя способами: …. В связи с этим выборки подразделяются на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) …. При бесповторной выборке отобранный объект в генеральную совокупность ….

Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности, т.е. выборка должна быть репрезентативной (представительной). Пример - изучение общественного мнения.

Способы отбора …

Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части… Простым случайным называют отбор, при котором… Осуществить такой отбор для генеральной совокупности из N объектов можно, например, посредством записи на карточках номеров от 1 до N, последующем перемешиванием карточек и выниманием их наугад. Типическим называют отбор, при котором объекты…

Механическим называют отбор, при котором генеральная совокупность… Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности… На практике часто применяют … отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение исследуемого параметра наблюдалось раз, - раз и т.д. При этом объем выборки. Наблюдаемые значения называют …, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке - …. рядом. Числа наблюдений называют …., а их отношения к объему выборки - …. частотами. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им …. В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике - соответствие между наблюдаемыми …. и их …. или …. частотами. Графически статистическое распределение представляется в частности, с помощью полигона и гистограммы. Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат - соответствующие им частоты и соединяют точки отрезками прямых. Полигон относительных частот строится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты .

В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала - сумму частот вариант, попавших в i - й интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую…

фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии (высоте) . Площадь i-го прямоугольника равна - сумме частот вариант i -го интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

В случае гистограммы относительных частот по оси ординат откладываются относительные частоты , на оси абсцисс - частичные интервалы, над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на высоте . Площадь i-го прямоугольника равна относительной частоте вариант , попавших в i-й интервал. Поэтому площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

Бесповторная выборка - это выборка, при которой отобранный случайным образом объект больше в генеральную совокупность не возвращается. Одним из основных требований к формированию выборочных совокупностей является требование репрезентативности [представительности] выборки, т.е. для характеристики по данным выборочной совокупности интересующего исследователей признака генеральной совокупности необходимо, чтобы единицы выборки в достаточной степени обладали этим признаком.

Пример. Определить, является ли репрезентативной выборка:

1) число автомобильных аварий в июне, если необходимо составить

статистический отчет по авариям в городе за год;

2) городские жители при подсчете числа автомобилей на душу населения в стране;

3) люди в возрасте от 40 до 50 лет при выяснении рейтинга молодежной телепрограммы.

Р е ш е н и е. 1) Выборка не является репрезентативной. Летом нет снега и наледи на дорогах, а это одна из основных причин аварий

2) Выборка не является репрезентативной. Понятно, что в городе машин намного больше, чем в сельских районах. Это необходимо учитывать.

3) Выборка не является репрезентативной. Люди в возрасте от 40 до 50 лет едва ли проявят интерес к программе, ориентированной на молодежную аудиторию. При использовании такой выборки рейтинг может сильно упасть, но это не отразит реального положения вещей. Для формирования выборочной совокупности применяются различные способы отбора. Статистические данные должны быть представлены так, чтобы ими

можно было пользоваться.

Занятие 55-56. Статистическая проверка гипотез о вероятностях, средних дисперсиях.

Основные сведения из теории

Закончите определения:

Поскольку статистика как метод исследования имеет дело с данными, в которых интересующие исследователя закономерности искажены различными случайными факторами, большинство статистических вычислений сопровождается проверкой некоторых предположений или гипотез об источнике этих данных.

Статистическая гипотеза - это предположение о свойствах случайных величин или событий, которое мы хотим проверить по имеющимся данным. Примеры статистических гипотез в твоей профессии: ….

Нулевая гипотеза - это основное проверяемое предположение, которое обычно формулируется как отсутствие различий, отсутствие влияние фактора, отсутствие эффекта, равенство нулю значений выборочных характеристик и т.п. Примером нулевой гипотезы в твоей профессии является утверждение о том, что различие в результатах выполнения двумя группами студентов одной и той же работы на практике вызвано лишь случайными причинами. Приведите еще примеры… Другое проверяемое предположение (не всегда строго противоположное или обратное первому) называется конкурирующей или альтернативной гипотезой. Приведите примеры: … Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэ­тому возникает необходимость проверить ее. Так как проверку произво­дят статистическими методами, то данная проверка называется …. При проверке статистических гипотез возможны ошибки (ошибочные суждения) двух видов: можно отвергнуть нулевую гипотезу, когда она на самом деле верна (так называемая ошибка ….); можно принять нулевую гипотезу, когда она на самом деле не верна (так называемая ошибка ….). Ошибка, состоящая в принятии нулевой гипотезы, когда она ложна, качественно отличается от ошибки, состоящей в отвержении гипотезы, когда она истинна. Эта разница очень существенна вследствие того, что различна значимость этих ошибок. Проиллюстрируем вышесказанное на следующем примере:

Пример 1. Процесс производства некоторого масла в двигатель весьма сложен. Несущественные на первый взгляд отклонения от технологии вызывают появление высокотоксичной побочной примеси. Токсичность этой примеси может оказаться столь высокой, что даже такое ее количество, которое не может быть обнаружено при обычном химическом анализе, может оказаться опасным для двигателя автомобиля, в который залили это масло. В результате, прежде чем выпускать в продажу, вновь произведенную партию, ее подвергают исследованию на токсичность. Малые дозы масла вливают в двигатели внутреннего сгорания некоторому количеству подопытных машин. Если масло токсично, то все или почти все двигатели ломаются. В противном случае норма эксплуатации двигателя велика. Исследование масла может привести к одному из возможных способов действия: выпустить партию в продажу (а₁), вернуть партию поставщику для доработки или, может быть, для уничтожения (а₂). Ошибки двух видов, связанные с действиями а₁ и а₂ совершенно различны, различна и важность избежание их. Сначала рассмотрим случай, когда применяется действие а₁, в то время когда предпочтительнее а₂. Масло опасно для двигателя, в то время как оно признано безопасным. Ошибка этого вида может вызвать поломку двигателя, в который влили это масло. Это ошибка первого рода, так как нам важнее ее избежать. Рассмотрим случай когда предпринимается действие а₂, в то время когда а₁ является более предпочтительным. Это означает, что вследствие неточностей в проведении эксперимента партия нетоксичного машинного масла классифицировалась как опасная. Последствия ошибки могут выражаться в финансовом убытке и в увеличении стоимости масла. Однако случайное отвержение совершенно безопасного масла, очевидно, менее нежелательно. Отвержение нетоксичной партии масла для двигателя - ошибка второго рода. Допустимая вероятность ошибки первого рода (Ркр) может быть равна 5% или 1% (0.05 или 0.01). Уровень значимости - это вероятность ошибки первого рода при принятии решения (вероятность ….). Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только тогда, когда опровергается …. гипотеза. Риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического вывода: первый уровень - 5% (р=5%); где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе испытуемых для каждого экспе­римента; второй уровень - 1%, т. е. соответственно допускается риск ошибиться только в одном случае из ста; третий уровень - 0,1%, т. е. допускается риск ошибить­ся только в одном случае из тысячи. Статистика критерия (Т) - некоторая функция от исходных данных, по значению которой проверяется …. гипотеза. Чаще всего статистика критерия является …. функцией. Критерием для проверки данной гипотезы называется …. Критическая область - совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу …. Область принятия нулевой гипотезы (область допустимых значений) - совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу ….Общие принципы проверки статистических гипотез включает следующие этапы:

1. задается допустимая вероятность ошибки …. рода (Р_кр=0,05)

2. выбирается статистика …. (Т)

3. ищется область допустимых ….

4. по исходным данным вычисляется значение …. Т

5. если Т (статистика критерия) принадлежит области принятия нулевой гипотезы, то нулевая гипотеза принимается (корректнее говоря, делается заключение, что исходные данные не противоречат нулевой гипотезе), а в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.¹[1] Это …. Число степеней свободы у какого-либо параметра определяют как число…. Мощность критерия - вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива альтернативная гипотеза. Чем больше Ф, тем вероятность ошибки 2-го рода ….

Раздел 7. Численные методы алгебры.

Тема 7.1. Численное решение уравнений с одной переменной

Занятие 59-60. Абсолютная и относительная погрешности. Округление чисел.

Ответьте на вопросы:

Какие числа получаются в результате счета или измерения?

Какие из значений величины точные и какие приближенные:

1. Температура воздуха ;

2. В самолете 122 пассажира;

3. Масса дыни 3,5 кг;

4. Станок состоит из 170 деталей;

5. В школе присутствует 650 учащихся?

Что используют для оценки качества измерения?

Сформулируйте определение абсолютной погрешности.

Сформулируйте определение относительной погрешности.

Измерить физическую величину - это значит найти… Результаты измерений физической величины являются точными или приближенными? И от чего зависит точность измерения? Пусть мы измеряем величину x, тогда относительная погрешность - абсолютная погрешность измерения, зависящая от точности измерительного прибора.

- цена деления шкалы прибора.

Если измеряются несколько величин и эти величины складываются, умножаются или делятся, то их относительные погрешности складываются. Методы приближенного интегрирования позволяют находить приближенное значение определенного интеграла от любой непрерывной функции с практически достаточной точностью. Существуют следующие правила численного интегрирования: правило прямоугольников и правило трапеций; правило параболических трапеций, называемое правилом ….

1. Правило прямоугольников и правило трапеций.

y

y=f(x)

y₀ y₁ y₂ y₃ y_n-1

0 а=х₀ х₁ х₂ х₃ х_n=b x

Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла: I=.результат будут тем более точен, чем больше взято число частичных интервалов.

Если обозначить длины частичных интервалов как и подсчитать все значения функции y_i( где i=0,1,2,3,…,n-1), то получим формулу:

Эта формула называется формулой ….

у

Что это за функция?

y=f(x)

0 а=х₀ х₁ в=х_n х

.

Эта формула носит название формулы ….

Обозначим приближенное значение числа а через А.

Абсолютную величину разности числа а и его приближенного значения А называют … погрешностью, т.е.

| a-A|.

…. погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения числа, т.е.

.

Пример. Вычислить приближенное значение интеграла

Решение: 1) Точное значение интеграла: =2;

2) по формуле трапеций получаем:

0

3) Абсолютная погрешность: | 2-1.9541|=0.0459;

Относительная погрешность :

Ответ: I≈1,9541.

Занятие 61-62. Численное решение уравнений с одной переменной и систем уравнений.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел , состоящая из m строк и n столбцов:

Числа, составляющие матрицу, называются …. матрицы.

Цифры m и n указывают …. матрицы.

Если m=n, то матрица называется квадратной. Например,

- квадратная матрица размерности 3.

Приведите еще примеры квадратной матрицы.

Операции над матрицами.

1) Матрицы одинаковых размерностей можно складывать( суммируя элементы с одинаковыми индексами).Матрицы можно умножать на число ( умножая все элементы матрицы на это число).

Пример. Сложить матрицы

Решение :

2) Матрицы можно умножать на число ( умножая все элементы матрицы на это число).

Пример. Умножить матрицу А на число 5.

3) Матрицу А можно умножить на матрицу В, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй ( произведением матриц будет называться матрица, каждый элемент, которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В).

Пример . вычислить произведение матриц А^.В, где

Решение:

Для квадратных матриц вводится понятие определителя - числа, характеризующего квадратную матрицу А. Определитель матрицы А обозначается |A| или .

Определителем первого порядка, называется элемент a₁₁:

Например. А=(3), тогда |A|=3.

Определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Вычислить определитель

Решение:

=

Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по правилу треугольника:

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

+ -

Вычислить определитель

Решение :

=1^.1^.4+2^.1^.1+(-1)3(-2)-1^.1(-2)-1^.3^.1-2(-1)4=

=4+2+6+2-3+8=19.

Ответ :19.

Правило Крамера для систем линейных уравнений.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где а₁₁, а₁₂, …а_mn и b₁, b₂,…,b_n- произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы называется такая совокупность n чисел (x₁=k₁, x₂=k₂, …,x_n=k_n) при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Пример. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера .

Решение :

=

₁₌

Ответ: (.

Вычислить определитель

1) ; 2) ;

Решить систему линейных уравнений

Критерии оценивания:

Отметка

Отметка

Критерий

Пределы и их свойства

5(отлично)

правильное решение всех 4 заданий

4(хорошо)

допущена ошибка во втором задании (на исследование функции)

3(удовлетворительно)

неправильное решение двух любых заданий

2(неудовлетворительно)

неправильное решение любых 3 заданий

Производная функции. Дифференциал и его приложение к приближенным вычислениям

5(отлично)

правильное решение всех заданий

4(хорошо)

решение первых двух и двух заданий на применение производной, или решение неправильное одного задания

3(удовлетворительно)

решение только двух первых заданий или неправильное решение двух заданий

2(неудовлетворительно)

неправильное решение любых 3 заданий

Неопределенный и определенный интегралы и их свойства.

Применение определенного интеграла к решению прикладных задач

5(отлично)

правильное решение всех заданий

4(хорошо)

решение первых трех обязательных заданий и двух на применение производной, или неправильное решение одного задания из шести

3(удовлетворительно)

решение только трех обязательных заданий, или неправильное решение двух заданий из шести

2(неудовлетворительно)

неправильное решение любых 3 заданий

Дифференциальные уравнения и их применение в практической деятельности

5(отлично)

правильное решение всех заданий

4(хорошо)

решение первых трех заданий и двух, или неправильное решение одного задания из четырех

3(удовлетворительно)

решение первых двух, или неправильное решение двух заданий из четырех

2(неудовлетворительно)

неправильное решение любых 3 заданий

Основные понятия дискретной математики.

Закон больших чисел. Теория вероятности

5(отлично)

правильное решение всех заданий

4(хорошо)

неправильное решение одного из первых двух заданий при правильном решении третьего.

3(удовлетворительно)

решение только двух первых

2(неудовлетворительно)

неправильное решение одного из первых заданий

Математическая статистика и ее роль в автомобильной промышленности

5(отлично)

ответ на два теоретических вопроса и приведенное статистическое решение

4(хорошо)

несущественные ошибки при обработке статистического исследования или нет ответа на теоретические вопросы при правильном решении и обработки статистического исследования

3(удовлетворительно)

грубые ошибки в статистическом исследовании

2(неудовлетворительно)

не проведено статистическое исследование

Применение математических методов в профессиональной деятельности

5(отлично)

правильное решение всех четырех заданий

4(хорошо)

неправильное решение одной задачи на проценты

3(удовлетворительно)

неправильное решение двух заданий (одна задача на проценты должна быть решена обязательно)

2(неудовлетворительно)

неправильное решение двух заданий (первых двух задач на проценты или последних двух задач)

Задание засчитывается, как выполненное при верном решении и правильном ходе рассуждений, но допущенной одной вычислительной ошибки.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ:

Задание

Источник

«Пределы, их свойства»

Нахождение области определения

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр.16-20

• mathematics.ru

Исследовать функцию на:

• четность:

• Пехлецкий И.Д. «Математика»
  стр.60-62

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.20

• mathematics.ru

• периодичность:

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр.21

• mathematics.ru

• непрерывность:

• Пехлецкий И.Д. «Математика»
  стр.55-59

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.42-43

• mathematics.ru

• построить эскиз графика:

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.30-33

• mathematics.ru

Предел функции в точке:

• Пехлецкий И.Д. «Математика»
  стр.50-53

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.37-39

• mathematics.ru

Предел функции на бесконечности:

• Пехлецкий И.Д. «Математика»
  стр.53-55

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.37-39

• mathematics.ru

«Производная функции. Дифференциал и его приложение к приближенным вычислениям»

Нахождение производной, используя правила дифференцирования

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.51-52

• mathematics.ru

Нахождение производной сложной функции

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.53

• mathematics.ru

Физический и геометрический смысл производной

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.48

• mathematics.ru

Применение дифференциала
при приближенных вычислениях

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.57

• mathematics.ru

Применение производной при исследовании функции и построении её графика

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.146-150

• http://www.mathematics.ru

«Неопределенный и определенный интегралы и их свойства.

Применение определенного интеграла к решению прикладных задач»

Методы интегрирования:

• непосредственное интегрирование

• Пехлецкий И.Д. «Математика»

стр.164-166

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.62-63

• mathematics.ru

• подстановкой

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.168

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.63

• по частям

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.169

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.64-66

Определенный интеграл: Формула Ньютона-Лейбница.

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.72-73

• mathematics.ru

Применение определенного интеграла к нахождению площади криволинейной трапеции

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр.74-75

• mathematics.ru

Нахождение длины дуги

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.182

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.76

• mathematics.ru

«Дифференциальные уравнения»

Нахождение общего решения дифференциального уравнения

Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр.80

Нахождение частного решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.193

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.82-83

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.195

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.84-85

Решение задач на составление дифференциального уравнения

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.193

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.84-88

« Теория вероятности»

Комбинаторика

• Пехлецкий И.Д. «Математика»
  стр. 209

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.93-95

• http://www.matburo.ru/tv_book.php

Нахождение вероятности

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.204

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.103-104

• http://www.matburo.ru/tv_book.php

Задан закон распределения. Найти числовые характеристики

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.115, 121-123

• http://www.matburo.ru/tv_book.php

«Математическая статистика»

Проведение исследования по этапам с расчетами числовых характеристик.

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.135, 143, 150 (этапы).

• http://www.medarticle.moslek.ru

1