Брянский государственный университет имени академика

И.Г. Петровского

Курсы переподготовки учителей математики профильных математических классов

Элективный курс:

«Олимпиадные задачи по исследованию функций в профильной подготовке учащихся»

Разработала:

учитель математики,

I категории,

МОУ СОШ №1 п.г.т. Климово

Цыганок Л. Ф.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Рудаков И.А.

БРЯНСК-2008

СОДЕРЖАНИЕ

1. Пояснительная записка………………………………………………….3

2. Учебно-тематический план…………………………………………………6

3. Содержание курса…………………………………………………………...7

4. Материал для занятий ………………………………………………………8

5.Заключение………………………………………………………………… 58

6. Литература…………………………………………………………………..59

Пояснительная записка

Будущий математик, как и всякий человек, учится при помощи практики и подражания…Ему следует решать задачи, выбирая те, которые соответствуют его интересам, размышлять над их решением и изобретать новые задачи.

Д. Пойа

Цели обучения математике в общеобразовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Начиная с 7 класса в центре внимания школьной математики находится понятие функции. Однако размеры школьного учебника, количество часов, выделяемого на изучение темы «Функция» в разных классах, не позволяют показать в сколько-нибудь полном объёме всё многообразие задач, требующих для своего решения функционального подхода, научить учащихся глубоко понимать и использовать свойства функции.

Курс «Олимпиадные задачи по исследованию функций в профильной подготовке учащихся» позволит углубить знания учащихся по данной теме, раскроет учащимся новые знания, выходящие за рамки школьной программы, так как понятие и свойства функции изучаются постепенно в течение школьного курса и за все годы обучения ученики многое забывают.

Что же понимать под олимпиадной задачей?

Олимпиадные задачи - это не только задания, которые встречаются на олимпиадах, но и задачи, при решении которых используются специальные методы, не рассматриваемые в школе на уроках. К числу таких методов можно, например, отнести нестандартные методы решения уравнений. Олимпиадные задачи встречаются не только на олимпиадах, но и в заданиях ЕГЭ группы В и С, на вступительных экзаменах в вузы.

Цель элективного курса:

•Прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функцией и её свойствами;

•познакомить учащихся с решением задач на более высоком уровне;

•научить решать задания уровня С1, С2 ЕГЭ.

Задачами курса являются:

• закрепление основ знаний о функции;

• расширение преставлений о функции;

• формирование умений решать нестандартные уравнения и неравенства, используя различные свойства функции;

• вовлечение учащихся в практическую деятельность как фактор личностного развития.

Учащиеся должны знать:

• понятие функции как математической модели, описывающей разнообразие реальных зависимостей;

• определение основных свойств функции ;

• классификацию знаний на функцию;

• этапы решения задач и приёмы их выполнения;

• методы решения уравнений и систем уравнений.

Учащиеся должны уметь:

• выполнять моделирование в процессе решения задачи на максимум и минимум;

• применять различные методы для решения задач, уравнений и систем уравнений;

• правильно употреблять функциональную терминологию;

• определять свойства функции;

Оценивание учащихся

В конце курса проводится тестовая работа. В качестве оценки выставляется «зачёт» или «незачёт».

Учебно-тематический план

№

Тема занятия

Кол-во часов

Практикум, семинарские занятия (виды деятельности)

Формы контроля

1.

Постановка цели.

Проверка владения базовыми умениями

1.

Групповая работа. Самостоятельная работа .

тестирование

2

Уравнение касательной. Геометрический смысл производной.

1

1

Работа в группах

Беседа, рецензирование сообщений групп.

3

Нахождение области определения и множества значений функции.

1

1

Групповая работа

Беседа, подборка задач по теме, самостоятельная работа.

4

Периодичность, чётность и нечётность функций

1

1

Работа в группах

Беседа, консультации по работе с литературой.

5

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

1

1

Групповая работа. Самостоятельная работа с учебной литературой.

Беседа, защита групповой работы.

6

Использование свойств функции при решении уравнений и систем уравнений.

-метод оценки;

-использование области определения функции;

- использование ограниченности

функции;

- использование монотонности функции.

4

1

Проблемное обучение, самостоятельная работа с литературой.

Беседа, контроль решённых заданий

7

Обобщающее занятие

2

Тестовая

работа

Содержание курса.

Занятие 1

ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ.

ПРОВЕРКА ВЛАДЕНИЯ БАЗОВЫМИ УМЕНИЯМИ

Цели: проверка и актуализация базовых знаний.

Занятие 2

Уравнение касательной. Геометрический смысл производной.

Цель. Рассмотреть задачи на составления уравнения касательной.

Научить находить точки графика функции, в которых касательная параллельна оси Ох.

Научить указывать количество точек графика функции, в которых проведённые касательные имеют положительные и отрицательные значения, наименьший угловой коэффициент.

Занятие 3

Нахождение области определения и множества значений функции.

Цель. Научить находить области определения и множества значений сложной функции в олимпиадных заданиях и заданиях уровня С .

Занятие4.

Периодичность, чётность и нечётность функций

Цель: научить использовать свойства периодичности, чётности и нечётности функций при решении олимпиадных задач и задач ЕГЭ.

Занятие5.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Цель. Научить находить наибольшее и наименьшее значение сложной функции, используя различные приёмы.

Занятие6.

Использование свойств функции при решении уравнений и систем уравнений.

-метод оценки;

-использование области определения функции;

- использование ограниченности

функции;

- использование монотонности функции.

Цель. Научить решать нестандартные уравнения и системы уравнений, используя различные свойства функции.

Материал для занятий

Занятие 1

ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ.

ПРОВЕРКА ВЛАДЕНИЯ БАЗОВЫМИ УМЕНИЯМИ

Цели: проверка и актуализация базовых знаний.

Ход занятия

На данном занятии надо рассказать о целях и задачах изучения курса, о важности получаемых знаний для итоговой аттестации как в основной так и в средней школе. Объяснить, как получить зачет. Проверка базовых знаний осуществляется за счет вводного тестирования.

I. Тест.

Вариант I.

Вариант II.

Ключ .

_№

В1

В2

В3№№

В4

В5

В6

В7

В8

1

-2

1.5

7

3

-2

5

6

4

2

3

0,25

2

-2

1

3

5

5

II. Актуализация базовых знаний.

Определение: Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у =f(х).

Переменную х называют независимой переменной, или аргу­ментом, а переменную у - зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.

Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, об­разуют область определения функции; все значения, которые при­нимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Они обозначаются D (f) и E(f) соответственно.

Если функция задана формулой, то считают, что область опре­деления состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Для закрепления учащимся предлагается ответить на вопросы. 1.Найдите область определения функции, заданной формулой:

1. Найти область определения функции:; ; ; .

2. Сравнить области определения функций:

а) и

б) и

в) и

3Исследовать на четность функцию: а); б), ; в); г).

4Найти нули функции: а); б); в).

6. Найти координаты вершины параболы: а); б).

5)Какие из функций являются периодическими? а); б); в); г)?

6)Какая из функций возрастает, убывает на R: а); б); в)?

III. Подведение итогов занятия.

Занятие2.

Касательная к графику функции. Геометрический смысл производной функции в точке .

Геометрический смысл к в уравнении у = = кх + Ь, к 0 состоит в том, что к = tg а, т. е. к - это тангенс угла, который образует прямая у = кх + Ь к 0 с положи­тельным направлением оси x, т. е. с положительной полуосью абсцисс. На рис. а) к > 0 (угол а - острый), а на рис. 6) к < 0 (угол а - тупой). Обратим внимание на то, что углом ме­жду прямой и полуосью является и угол , tg= tg(-(-)) = - tg( - ) = tg, - отрицательный угол. Число к в урав­нении у = кх + b,к 0 называется угловым коэффициентом прямой.

Запи­шем уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точ­ке с абсциссой x_q: у = f(x_q) + f'(x_q)(x -x_q) или в другом виде у = f'(x_q)x + (f(x_q) - f'(x_q) x_q). Видим, что в роли к выступа­ет f'(x_q). Отсюда сразу следует, что f'(x_q) - это тангенс угла наклона касательной в точке x₀ к положительной полуоси, или угловой коэффициент касательной.

Зная это, можно решить обратную задачу: определив на графике угол наклона касательной к графику функции в точке x₀, сразу выписываем производную этой функции в точке x₀.

Задача№1. Напишите уравнения касательных к кривым у = = 2x:² - 5, у = х^г - Зх + 5, проведенных через точки пе­ресечения этих кривых.

Решение: Найдем точки пересечения кривых: 2x² - 5 = = х^г - Зх + 5; х² + Зх - 10 = 0; х = - 5 или х = 2; y(-5) = 45; y(2) = 3. Итак, требуется написать уравне­ния касательных к заданным кривым в точках (-5; 45) и (2; 3). у´1 (х) = (2x²-5)' = 4х; у'₂ (х) = = 2x -3. y´(-5) =-20; у'2 (-5) = -13; у' (2) = 8; у'2 (2) = 1.Уравнения касательных в точке (-5; 45) бу­дут следующими: у - 45 = -20(х+5) и у -45=-13(x+5) или 20x+y=55, 13х + у+20 =0. Ана­логично запишем уравнения касательных в точке (2; 3); у -3 = 8 (x-2) и y-3 = х-2 или 8х - у-13 = 0, х - у+ 1 =0.

Ответ: у = -20x -55; y= -13x-20; y= 8x-13; y = x+1.

Задача№2.Покажите, что касательные, проведенные к графику функции у =в точках его пересечения с осями координат, параллельны.

Решение: Найдем точки пересечения графика функции у(х) с осями координат. Пусть х = 0, тогда у (0) = 2, а при x=4 у(4)=0. Итак, график функции с осями коорди­нат пересекается в точках А (0; 2) и В (4; 0). у' (х) =; у'(0)=0,5; у'(4)=0,5.

Так как угловые коэффициенты касательной к графику у(х) в точках А и В

одинаковы и равны 0,5, то касательные к графику в этих точках будут параллель­ны.

Задача№3. Для каких x касательная к графику функции у{х) = cos7x+7cos в точке с абсциссой x параллельна ка­сательной к этому же графику в точке с абсциссой ?

Решение: у'(х)=- 7(sin7x +sinx). Касательная к графику функции у (х) = cos 7x

+ 7 cos x в точке с абсциссой имеет угловой коэффициент k = у'( )= -7 ( sin + sin)=0.

Решаем урав­нение у' {х) = 0, или -7(sin7x +sinx) =0: (sin7x+sinx = 0); (sin 4x cos Зx = 0) ,(sin 4x= 0 или cos Зx = 0) , x=m, mЄZ, или x=+, mЄZ

Задача№4. (1990г олимпиада 11кл.)

При каких значениях b и с парабола у = x² +bx +c касается прямой у= 4х + 1 в точке с абсциссой х=1?

Решение. Найдем координаты точки касания прямой у = 4х + 1и параболы у = х² + bx +c. Х =1, у = 5. Поскольку (1; 5) - точка касания, то в этой точке должно выполняться следующее равенство 1 + b +c = 5.

Угловой коэффициент касательной равен 4, значит 2х + b = 4 при х = 1, то есть 2 + b = 4. Откуда b = 2, с = 2.

Ответ: b = 2, с = 2

Задача №5

Показать, что ни одна касательная к графику функции у = х³ + х² + х + 1 не параллельна оси Ох.

Решение. Если касательная к графику функции параллельна оси Ох, то у^' (х₀) должно быть равно нулю. Найдем производную данной функции. у' ( х) = 3х² + 2х + 1. Решая уравнение

3х² + 2х + 1 = 0, получаем: корней нет.

Задача №6.

Составьте уравнение всех общих касательных к графикам функций у = х² - х +1 и

у = 2 х² - х + 0,5.

Решение. Данные функции дифференцируемы на R и потому их графики имеют невертикальную касательную в любой точке. Если у = kx + b - уравнение искомой касательной, то каждое из уравнений х² - х +1 = kx + b и 2 х² - х + 0,5 = kx + b должны иметь единственный корень ( касательная к параболе имеет только одну общую точку с параболой - точку касания). Значит, дискриминант каждого уравнения должен быть равен нулю.

Х² - х ( 1+ k) + 1 - b = 0, D₁ = k² + 2k + 4b - 3.

2 x² - x (1 + k) + 0.5 - b = 0, D₁ = k² + 2 k + 8b - 3 .

Параметры k и b должны удовлетворять системе

Почленно вычитаем из второго уравнения первое,

или

Уравнения общих касательных к графикам данных функций : у = х или у = - 3 х.

Задача №7

Известно, что прямая, заданная уравнением у = - 9х + 2, является касательной к графику функции у = х³ - 7 х² + 2 х - 3. Найдите координаты точки касания.

Решение.

1 способ. По условию производная функции ƒ (х) = х³ - 7 х² + 2 х - 3 в точке х₀, должна быть равна угловому коэффициенту касательной и значения данных функций в точке х₀ должны совпадать. ƒ' (х) = 3х² - 14 х + 2. Имеем систему:

3х₀² - 14х₀ + 2 = - 9, 3х₀² - 14х₀ + 11 = 0, х₀ = 1 или х₀ =

Легко проверить, что х₀ = 1 удовлетворяет и второму уравнению, а х₀ = не удовлетворяет ему. Поэтому точкой касания данной прямой у = - 9х + 2 и графика функции у = х³ - 7 х² + 2 х - 3 будет точка А(1; 7).

2 способ. Если прямая у = - 9х + 2 является касательной к графику функции у = х³ - 7 х² + 2 х - 3 в точке с абсциссой х₀, то значение х₀ должно быть корнем кратности не менее двух уравнения

х³ - 7 х² + 2 х - 3 = - 9 х +2. Преобразуем это уравнение:

х³ - 7 х² + 11 х - 5 = 0,

(х³ - х²) - ( 6 х² - 6 х) + (5 х - 5) = 0,

Х²(х - 1) - 6х (х - 1) + 5 (х -1) = 0,

(х-1) (х² - 6 х + 5) = 0,

(х - 1) ( х - 1)(х - 5) = 0.

Следовательно, х = 1является корнем кратности два, а х = 5 - корнем первой кратности. Поэтому точка А(1; - 7) - точка касания, а В(5;- 43) - точка пересечения прямой у = - 9х + 2 и графика функции у = х³ - 7 х² + 2 х - 3. Ответ: (1; - 7).

Задача №8.

Парабола с вершиной на оси абсцисс касается прямой у = х в точке А(-1; - 1). Найдите уравнение параболы.

Решение. Так как вершина параболы находится на оси абсцисс, то уравнение параболы имеет вид у = m ( х - а)², где m ≠ 0. Определим m и а.

1 способ. у' (х) = 2m∙( х - а); у' (- 1) = - 2m ( 1 + а). По условию угловой коэффициент касательной равен 1, значит, - 2m (1+ а) = 1. Точка А(-1; -1) принадлежит параболе, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению параболы, то есть -1 = m ( -1 - а)². Решаем систему

у = -0,25( х - 1)² - искомое уравнение касательной.

2 способ. Так как прямая у = х касается параболы у = m( х - а)² в точке А( -1; -1), то корень х = -1 будет корнем второй кратности уравнения m( х - а)² = х и m( -1 - а)² = - 1. Отсюда

m =, а ≠ - 1. Поэтому должно выполняться равенство ( х - а)² = х;

( х - а)² = - х (1+а)², х² + (1+а²) х + а² = 0. Но последнее уравнение должно иметь один корень, поэтому его дискриминант равен нулю. D = a⁴ + 2a²+1 - 4a² = ( a² - 1)² = 0, a = ± 1. Имеем a = 1, m= -0,25. Ответ: у = -0,25( х - 1)².

Задача 9 (1999, ИГЭУ). При каких значениях параметра b прямая у = х + b является касатель­ной к кривой у = |х - 2| • х + 3?

Решение. Уравнение кривой у = (х - 2) • х + 3 = х² - 2 х + 3, при х ≥ 2 и у = (- х + 2) • х + 3 = - х² + 2х + 3, при х < 2.

Выясним, может ли прямая у = х + b касаться функции у = х² - 2 х + 3 при х ≥ 2.

Из равенства значений функций и равенства производных, получаем:

2х - 2 = 1 и х + b = х² - 2 х + 3. Из первого уравнения получаем х = 1,5, что не удовлетворяет условию х ≥ 2. Это означает, что при х ≥ 2 данная прямая не касается функции.

Выясним, может ли прямая у = х + b касаться функции у = - х² + 2 х + 3 при х < 2.

Из равенства значений функций и равенства производных, получаем:

- 2 х + 2 = 1 и х + b = - х² + 2 х + 3. Из первого уравнения получаем х = 0,5, подставляя во второе уравнение это значение, получим b = 3,25.

Ответ: b = 3,25.

Задача 10 (1999, ИГЭУ). Найдите значение а, при котором касательная к параболе у = 2x² + Зх + 5 в точке х₀ = -2 является касательной к параболе

у = -х² + 4х + а.

Решение. Найдем уравнение касательной к графику функции у=2х² + 3х + 5 в точке х₀ = - 2.

У(-2) = 7, у'(х) = 4х + 3, у' (-2)= -5. у= 7 -5(х+2) = -5х - 3.

Найдем абсциссу точки, в которой прямая у= -5х -3 является касательной к графику функции у = -х² + 4х + а.

у'(х₀) = - 2 х₀ + 4 = -5. Значит, х₀ = 4,5.

Найдем значение функции у = -х² + 4х + а при х=4,5 у(4,5) = - 4,5² + 4∙4,5 + а = -2,25 + а, и значение касательной у= -5х -3 при х₀ = 4,5, у(4,5)= -5∙ 4,5 - 3 = -25,5. Из равенства -2,25 + а = -25,5 найдем значение а, а = - 23,25.

Ответ: а = -23,25.

Задача 11, (2000, ИГЭУ).

На какое расстояние нужно сдвинуть параболу у = 4 - х² вдоль оси Ох вправо,

чтобы прямая у = -8х + 38 стала касатель­ной к ней?

Решение. Пусть а - расстояние на которое нужно сдвинуть параболу вдоль оси Ох, тогда уравнение параболы примет вид: у = 4 - (х - а)². Зная, что у = - 8 х + 38 является касательной к графику этой функции, получим:

у'(х₀) = - 2 (х - а) = -8 и 4 - (х - а )² = -8 х+ 38. Откуда, а = 2,25.

Ответ: 2,25.

Задача 12. Дана прямая у = x - 2 + 4. После поворота на некоторый острый угол вокруг точки М, лежащей на этой же прямой, прямая становит­ся касательной к графику функции у = 4х³ - Зх² -18х - 7 в точке с абсциссой х = - 1. Найдите угол поворота и координаты точки М.

Решение. В тексте задачи находим видовую «подзадачу»: дан­ная прямая после поворота становится касательной к графику функции /(х) = 4х³ - Зх² -18х - 7 в точке с абсциссой х₀ = - 1. Уравнение этой каса­тельной будем искать в виде y=ƒ(х₀) +f'(x₀)(x-x₀), где х₀ = - 1; ƒ( х₀) = -4-3+18-7 = 4;

ƒ'(х₀) = 12х₀² - 6х₀ - 18; ƒ'(-1) = 12 + 6 - 18 = 0. Итак, у = 4 - уравнение искомой касательной. Значит, после поворота на некоторый угол вокруг точки М прямая у =x - 2 + 4 переходит в пря­мую у = 4. Точка М является точкой пересечения указанных прямых, т.е. у_М = 4 и тогда х_м = 2; М(2; 4). Очевидно, что прямая у = 4 параллельна оси Ох и поэтому тангенс искомого угла поворота данной прямой равен угловому коэффициенту этой прямой: tgα = , α = 60°.

Ответ: 60°; М(2; 4)

Занятие 3.

Вычисление области определения и области значений функции.

Областью определения D(y) функции у = f(x) называется мно­жество всех значений аргумента х, для которых выражение f(х) опре­делено (имеет смысл). Область определения любого многочлена - R.

Множеством (областью) значений Е(у) функции у = f(х) на­зывается множество всех таких чисел у_о, для каждого из которых най­дется число х_о такое, что: f(x_о) = у_о

Областью значений всякого многочлена чётной степени является про­межуток [m, +), где т - наименьшее значение этого многочлена, ли­бо промежуток [-, п], где n - наибольшее значение этого многочлена.

Областью значений всякого многочлена нечётной степени являет­ся R.

Пример 1. Содержит ли область значений функции

отрезок ?

Решение.

Область значений функции , где - ордината вершины параболы.

Абсцисса вершины:

Так как , то отрезок содержится во множестве :

Пример 2. Найти область значений функции

Решение.

Выразим из основного тригонометрического тождества и подставим в выражение :

Сделаем замену .

При этом перейдет в при .

Абсцисса вершины этого квадратного трехчлена .

Следовательно, достигается в вершине ;

достигается на том конце отрезка [-1, 1], который отстоит дальше от вершины, то есть при .

Следовательно, искомая область значений .

Пример 3.C1. Найдите множество значений функции f(x)=x³ + Зх² - 9х - 27 при тех значениях х, которые принадлежат области определения функ­ции g(x)= (-х(x+ 4) In |х|)

Решение. Обозначим через D(g) область определения функции g(х), а через
Е-множество значений, принимаемых функцией f(x) при xD(g).
В D(g) входят те x, при которых x(x+4)In|x|<0. Для решения этого
неравенства применим метод интервалов, учитывая, что In|x| - чётная
функция: x(x + 4) In |x| = 0, x = -4,0, ±1 т.е. D(g) = [-4; -1] U (0; 1],
Для нахождения множества Е определим промежутки
знакопостоянства функции f '(x): f '(x) = Зx² + 6x - 9 =

= 3(x²+2x-3) = 0, x =-3, x= 1. Таким образом, на промежутке [-4; -3] функция f(x) возрастает, а её значения непрерыв­но изменяются от f(-4)=-7 доf(-3) =0; на [-3;-1] f(x) убывает, значения f(x) изменяются от f(-3) = 0 до f(-1) = -16; на (0; 1] f(x) убывает, значения f(x) изменяются от f(0) = -27 до f(1) = -32. Объ­единяя полученные промежутки; находим, что Е = [-32; -27) U [-16; 0].

Ответ: [-32; -27) U [-16; 0].

Пример 4. C1. Найдите множество значений функции f(x)= х³ - 12х - 16 при тех значениях х, которые принадлежат области определения функции g(x)=

.

Решение. Обозначим через D{g) область определения функции g{х), а через Е - множество значений, принимаемых функцией f(x) при х е D(g). В D(g) входят те x, при которых х(х² - 25)(x - 6) О, х(х -5)(x + 5)(x- 6) 0, решая это неравенство методом интервалов, получаем: D(g) = [-5;0][5; 6]. Для нахождения множества Е опреде­лим промежутки знакопостоянства функции f '(x): f '(x) = Зх² -12 = 3(x ²- 4) = 3(х - 2)(x+ 2) = 0, x = -2, х₂ = 2 (см. рис.). Таким образом, на промежутке [-5;-2]функция f(x) возрастает, а её значения непрерывно изменяются от f(-5) = -81 до f(-2) = 0; на [-2; 0] f(x) убывает, значения f(x) изменяются от f(-2) = О до f(0) = -16; на [5;6] f(x) возрастает, значения f(x) изменяются от f(5) = 49 до f(6) = 128.

Объединяя полученные промежутки, находим, что E = [-81;0] [49;128].

Ответ: [-81;0]U[49;128].

Пример 5. Найти все , при которых область значений функции содержит отрезок [-1; 1].

Решение.

При функция - линейная функция. Ее область значений - вся числовая прямая . То есть при

При функция - квадратный трехчлен, график - парабола. Найдем координаты вершины параболы: , .

При , ветви параболы направлены вниз, следовательно , при любых отрицательных .

При ветви параболы направлены вверх, и отрезок

содержится в этом множестве, если т.е. .

Объединим вместе ответы всех трех случаев:

Ответ:

Пример 6. С2, ЕГЭ 2002.

Найдите множество значений функций у = sin2x, если х принадле­жит промежутку [arctg ; arctg2.].

Решение.

Так как функция у = sin 2х непрерывна на отрезке [arctg ; arctg2],

то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Пусть y_min и утах - эти значения. Тогда Е(у) = [y_roin; утах ].

y´ = 2cos2x, 2cos2x = 0, х = Z. Приx [arctg ; arctg2], при к = 0 arctg < < arctg2 и y()=1= утах

Найдём значение функции на концах отрезка [arctg ; arctg2]. )=

Таким образом,у_min=.

Ответ:[;1]

Пример 7. С1. Найдите область определения функции: у = .

Решение.

Областью определения данной функции являются те значения х, при которых

т.к. уравнение х² - 7х + 10 = 0 имеет корни то

х(х- 7х + 10) = х(х - 2)(х -5). Чтобы разложить на множители многочлен х - 20х² + 64, сделаем замену t = х². Так как уравнение t² - 20 t + 64 = 0 имеет корни t= 4, t = 16, то t² - 20t + 64 = (t-4)(t-16).

Следовательно, х - 20 х² + 64 = (х² - 4)(х² -16) =(x- 2)(х +2)(x- 4)(х + 4). Получаем неравенство:

которое равносильно системе:

x (x - 5)(x+ 2)(x - 4)(x + 4) > О,

x±2, x± 4.

Решая неравенство x (x - 5)(x+ 2)(x - 4)(x + 4) > О по методу интер­валов и выкалывая точки x±2, x± 4, см. рис , получаем ответ.

Ответ: (-4;-2)U[0;2)U(2;4)U[5;+ )

Пример 8. C1 Найдите область определения функции: у =.

Решение.

Областью определения данной функции являются те значения x,

при которых x - 1- . Преобразуем левую часть

этого неравенства: x - 1-=

Так как уравнение x² + x-.2 = 0 имеет корни x = 1, x= -2, то x² + x -.2 = (x-1)(x+ 2). Чтобы разложить на множители многочлен x⁴ - 11x² +28, сделаем замену t = x². Так как уравнение t² -11t+28 = О имеет корни t= 4, t= 7, то t² - 11t + 28 = (t - 4)(t - 7). Следова­тельно, x⁴ - 11x² + 28 = (x² -4) (x² - 7) = (x - 2)(x + 2)(x- )(х +).

Неравенство равносильно системе

x(x - 2)(x -1)(x- )(х +)

x, x, x

Решая неравенство x(x - 2)(x -1)(x- )(х +)

о методу ин­тервалов и выкалывая точки x = -2, x = 0,x = 1, получаем ответ. Ответ: [-;-2)(-2;0) (1;2] [+).

Пример 9.

Решение. Область Д(у) определяется как решение неравенства

Пример10, ЕГЭ 2002 C2. Найдите множество значений функции , заданной на множестве [-2; O)U(0;+).

Решение.

D(y):, то ecть D{y) = [-2; 0) U (0; +). 1.х [-2;0). В этом случае у = у₁ = 2^-x+ Функция у₁ непрерывна и убывающая. E(у₁)=(()⁰ -3; ()^-2-3] = (-2; 1].

2. х (0; +). В этом случае у = у₂ = 2^х+

Функция у₂ непрерывна и возрастающая. E(у₂)=((0)⁰ +3; +)= (4; +].

E(у)= E(у₁) U E(у₂).

Ответ: (-2; 1] U (4; +).

Пример 11. (МГУ, 2003г ф-т фундаментальной медицины): Найдите множество значений функции

Решение. Найдём сначала область определения Д(у):

Занятие 4.

Периодичность , чётность и нечётность функций.

Период функций у = sin x и у = cos x равен 2 .

Период функций у = tg x и у= ctg x равен .

Период функции, представляющей собой сумму непрерывных и перио­дических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых, если он существует.

Наименьший положительный период для функций sin(ax+b) и cos (ax+b)

равен Т = а для функций tg(ax+b) и ctg(ax+b) имеем Т =.

Пример1, ЕГЭ В8, Нечетная 2- периодическая функция у = f(x) определена на всей прямой. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

y =f (x+ ) в точке с абсциссой x₀=-, если f' () =1

Решение.

Т.к. у = f(x) -2-периодична, то угловой коэффициент каса-
тельной к графику y =f (x+ ) равен, в лю- бой точке, угл.коэф.касат. к графику у = f(x + ), в этой же точке. Угл.коэф.касат. к графику у = f(x + ), в точке х = - равен угл.коэф.касат. к графику у = f(x) в точке х =-который, в сво очередь, равен угл.коэф.касат. к графику у = f(x) в точке х (гра­фик у = f(x) симметричен относительно начала координат, при отраже­нии любой прямой относительно начала координат, её угл.коэф. не изме­няется). Т.е. искомый угл.коэф, равен f'() = 1.

Ответ: 1.

Пример 2, ЕГЭ В Периодическая функция у = f(x) определена для всех действи­тельных чисел. Её период равен 3 и f(2) = 7. Найдите значение выраже­ния f(-4) - 3f(5).

Решение.

f(-4) - 3f(5) = f(2 - 3 ·2) - 3f{2 + 3) = 7 - 3 · 7 = -14.
Ответ: -14

Пример 3, ЕГЭ В Периодическая функция у =f(x) определена для всех действи­тельных чисел. Её период равен 6. На рисунке изображен её график на промежутке [-1; 5]. Найдите значение выражения f(42)- f(21) + 3f(13).

Решение.

f(0) =0; f(3) = -1; f(1) - -1;

f(0+ 6·7) -f(3+6·3) + 3f(1 + 6 ·2) = 0 - (-1) + 3(-l) = -2. Ответ: -2

Пример 4, ЕГЭ В Периодическая функция у =f(x) с периодом, равным 5, опреде­лена для всех действительных чисел. На промежутке (-2; 3] значения функции у =f(x) совпадают со значениями функции у =х³ - 4x. Вы­числите значение f(12).

Решение. f(12) = f(2 + 2·5); 2³ - 4 · 2 = 0. Ответ: 0

Пример 5, ЕГЭ В

Нечётная функция у = f(x) определена на всей числовой прямой.

Для всякого неположительного значения х значение этой функции сов­падает со значением функции g(х) = х³(х-7)(5х+1)(Зх+11). Сколько корней имеет уравнение f(х) = О?

Решение. Т.к. график нечетной функции симметричен относительно начала координат О, то точки пересечения этого графика с осью ОХ (нули функции) тоже симметричны относительно точки О. Отрицательные кор­ни уравнения д(х) = 0: x₁=-; x₂ = -Симметричные им точки x´₁=; x₂^´ = являются корнями уравнения f(x) = 0. И еще один корень x₀= 0, который сам себе симметричен.

Ответ: 5.

Пример 6, ЕГЭ В Найдите значение функции у = f(x) - в точке х₀ 0, если известно, что функция у = f(х) - чётная, а у = g(х) - нечётная;f(-х_о) = 3,g(-х₀) = 2.

Решение. f(x₀)-

Ответ:7.

Пример 7, ЕГЭ В Чётная функция у = f(x) определена на всей прямой. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(х+1) в точке с абсциссой х_о =-4, если f'(3) = 1.

Решение. Угловой коэффициент касательной к графику у = f(х + 1) в точке х=-4 равен угл. kоэф .касат. к графику у=f(х) точкех=-3, который, в свою очередь, равен углов. коэф. касат. к графику у = f(х) в точке х = 3, взятому с противоположным знаком (график у = f(х) симметричен относительно оси Оу, при отражении лю­бой прямой относительно оси Оу, её угл. коэф. меняет знак). Т.е. искомый угл. коэф. равен -f'(3) = -1.

Ответ: -1.

Пример 8, ЕГЭ В Нечётная функция у =fх) определена на всей числовой прямой. Её график на отрицательной полуоси совпадает с графиком функции у = х(х+2)(х-1)(2х+1).Сколько корней имеет уравнение f(х-1) = 0 на интервале (-2,5; 2,5)?

Решение. Функция у= f(х) нечетная и определена на всей числовой оси, поэтому ее график проходит через начало координат. Уравнение х(х+2)(х-1)(2х+1) = 0 на отрицательной полуоси имеет корни х = -2,x=-

Уравнение f(х) = 0 имеет корни х = 0, х = -2, х = - , х = 2, х = . Тогда уравнение f(х-1) =0 на интервале (-2,5; 2,5) имеет корни х = 1, х = -1, х = , х =1 .

Ответ: 4.

Пример 9, ЕГЭ В Нечётная функция у = f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой
функции совпадает со значением функции g(х)=5х³sinx-6х². Какое
количество отрицательных целых чисел является решением неравенства

|f (x) +g(x)| 1?

Решение. Заметим, что функция g(х) - четная, так как

g (-х) = 5(-х)³sin(-х)- 6(-x)² = (-5x³)·(-sinx) - 6x² = 5x³sinx- 6x² = g(х). Функция f(x) -нечетная и при неотрица­тельных х совпадает с функцией g(х),а потому для любого х₀ > 0 вы­полняется f(-x_o) = -f(x_o) = -g(х_о). В то же время в силу четности функции g{х) для любого х_о > 0 выполняется д(-х_о) = g(х_о) Следова­тельно, для любого х_о > 0 справедливо равенство f(-x_o) + g(-х_о)= - g(х_о) + g(х_о) = 0.

Последнее равенство означает, что при отрицательных значениях ар­гумента х функция h(x) = f(x) + g(x) тождественно равна нулю и не может быть больше или равной единице.

Ответ: 0.

Пример 10, ЕГЭ В Чётная функция у = f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения переменной х значение этой функ­ции совпадает со значением функции g(х) == -х (х² - 1)(х² - 9). Какое количество целых чисел из отрезка [-5; 2] является решением уравнения |f(х) + g(х)| = 2f(х)?

Решение. Заметим, что функция g(х) - нечетная, так как

д(-x) = -(-х)((-х)² - 1)(( -х)² - 9) = x(x ² -1)( x ² - 9) = -g(х).

Так как g(х) - нечетная функция, то ее график симметричен отно­сительно начала координат, а так как функция f(x) - четная, то ее гра­фик симметричен относительно оси Оу. Поэтому в силу того, что гра­фики функций f(x) и g{х) совладают при неположительных значениях аргумента x, и в силу указанной симметрии графиков, при положитель­ных значениях аргумента х график функции fix) симметричен графику функции g(х) относительно оси Ох. Значит, f(x) + g(х) = 2f(x) при неположительных значениях аргумента х и f(x) + g(х) = 0 при всех по­ложительных значениях аргумента х. Следовательно, при положитель­ных значениях аргумента х уравнение \f(x) + g(х)\ = 2f(x) равносильно системе

f(x)=0,

x › 0.

x₁= 1, х₂ = 3, а при неположительных значениях аргумента x уравнение |f(x) + д(х)| = 2f(x) принимает вид

|2f(х) | =2f(х) ,а потому равносильно системе неравенств f(x) 0,

x 0,

-x(x² - l)(x² - 9) 0, -x(x - l)(x + l)(x - 3)(x + 3) 0,
x 0, x 0,

x (--3][-l;0] [1;3],

x 0,

x (--3][-l;0].

Таким образом, на всем множестве действительных чисел множе­ством решений уравнения |f(х) + g(х)| = 2f(х) является множество (--3][-l;0].U {1} U {3}. Выбирая из него целые числа, принадле­жащие отрезку [-5; 2] получаем ответ: 6.

Ответ: 6.

Пример 11, ЕГЭ В Чётная функция у =f(х) определена на всей числовой прямой за исключением точек х = ±3, х = ±5. Для всякого неположительного

значения переменной х значение этой функции совпадает со значением

функции g(х) = Найдите промежутки знакопостоянства функции f(х). В ответе укажите количество промежутков, на которых f(х) < 0.

Решение. Найдем решение неравенства f(х)<0 методом интервалов.Так0 как функция f(х) - четная, то ее корни и промежутки знакопостоянства симметричны относительно начала координат. Таким образом, f(х) = 0 <=> х = ±7. Разложим функцию g(х) на множители и решим

неравенство g(х) < 0 на отрицательной полуоси. Имеем, g(x)< 0,

x 0 .

< 0, < 0,

x 0 . x 0 .

х (-; -7) U (-7; -5) U (-3; 0]. Симметрично отображаем найденные

интервалы знакопостоянства относительно начала координат и получаем, что f(х)<0 при x (-;-7) (-7;-5) (-3;3) (5;7) (7;+ ).

Отеет: 5.

Пример 12, ЕГЭ В Известно, что график чётной функции у = f(х) пересекает ось Ох в пяти точках. Найдите сумму всех корней уравнения f(х - 2) = 0.

Известно, что график чётной функции у = f(х) пересекает ось Ох в пяти точках. Найдите сумму всех корней уравнения f(х - 2) = 0.

Решение. Поскольку множество корней уравнения f(x - 2) = 0 получается из множества корней уравнения f(х)=0, которое по условию имеет пять корней, сдвигом на 2 единицы по оси Ох вправо, то сумма всех корней уравнения f(х - 2) = 0 на 10 больше, чем сумма всех корней уравнения f(х) = 0. Так как функция у = f(х) четна, то множество точек пересече­ния её графика с осью Ох симметрично относительно начала координат, т.е. сумма всех корней уравнения f(x) = 0 равна нулю, а сумма всех корней уравнения f(х - 2) = 0 равна 10.

Ответ: 10.

Занятие5.

Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции.

Функция, непрерывная на отрезке, достигает своего наиболь­шего и наименьшего значений на этом отрезке либо в крити­ческих точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах.

Примеры:

СХЕМА НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ

ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ:

Этапы

Пример для функции

у = 2х³ - Зх² - 36x + 5

на отрезке [0; 4]

1. Найти производную f'(x).

f'(x) = 6х² - Зх- 36

2. Найти на данном отрезке критические точки, т.е. точ­ки, в которых f'(x) = 0 или не существует.

f'(x) = 0 при х = -2и при х = 3.

Отрезку [0; 4] принадлежит

только одна

критическая точка: х = 3.

3. Вычислить значения функ­ции в критических точках и на концах отрезка.

f(0) = 5; f(3) = -76; f(4) = -59

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наи­большее.

max f{x) = f(0) = 5

[0:4]

min f(x) = f(3) = -76

[0;4]

Задача 1. Найдите наименьшее значение функции у = 1 +.

Решение. Функция принимает наименьшее значение тогда и только тогда, когда дробь принимает наименьшее значение, то есть когда ее знаменатель 2х - х² - 3 принимает наибольшее значение. Знаменатель рассматриваемой дроби - квадратный трехчлен, который можно переписать иначе: -х² +2х -3 = - (х²- 2х)-3 =- (х² - 2х +1 - 1)- 3= -( х - 1)² - 2 = - ((х - 1)² +2). Из равенства: -х² +2х -3 = - ((х - 1)² +2) следует, что значение квадратного трехчлена тем больше, чем меньше значение выражения в скобках. А это означает, что наибольшее значение квадратного трехчлена, равное - 2, достигается при х = 1 ( в том случае, когда (х-1)²=0).

Итак, наименьшее значение функции у = 1 + равно 1+ = - 3.

Задача №2 Найдите наименьшее значение функции

у = 9 + 4 sin х - cos²x.

Решение. Используя основное тригономет­рическое тождество, преобразуем функцию:

у == 9 + 4 sin х- (1 - sin² х), у = sin² х + 4 sin х+ 8.

Выражение sin² х + 4 sin х + 8 - квадратный трехчлен относительно sin х. Выделив в нем пол­ный квадрат, получим

у = (sin х + 2)² + 4.

Поскольку - 1 ≤ sin х ≤ 1, то -l+2 ≤ sinх + 2 ≤ 1 + 2, т.е. 1 ≤ sin х + 2 ≤ 3. Отсюда, возведя в квадрат обе части каждого из неравенств, полу­чим 1 ≤ (sin х + 2)² ≤ 9 и

5 ≤ (sin х + 2)² + 4 ≤ 13.

Таким образом, наименьшее значение рассмат­риваемой функции равно 5.

Пример 3. Найти наименьшее значение функции

Решение.

Перемножим крайние скобки и совершим операции внутри центральной скобки:

Сделаем замену - квадратный трехчлен от . Множество значений функции - это , где абсцисса вершины и ордината вершины .

При замене перейдет в при .

Таким образом, надо найти наименьшее значение функции при . Вершина параболы имеет координаты (0; -1) и весь промежуток расположен правее вершины на оси t.

Следовательно, множество значений функции при - это и наименьшее значение

Пример 4. При каких наименьшее значение функции:

на отрезке равно 3?

Решение.

Функция - квадратный трехчлен; его график- парабола, с ветвями, направленными вверх.

Пусть - абсцисса вершины параболы.

если , то

если , то

если , то

Исследуем эти случаи.

решений нет,

Ответ: ,

Задача №5, EГЭ 2007.

Занятие6-10.

Решение нестандартных уравнений.

1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. ОДЗ этого уравнения можно найти, решив систему неравенств:

ОДЗ состоит из одной точки х=1. Остается проверить. является ли х=1 корнем уравнения.

Ответ: 1.

Пример4. Решите уравнение:

Решение.

ОДЗ:

Ответ: решений нет.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиямт.е. ОДЗ есть Подставляя эти значения х в исходное уравнение, получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все являются его решениями.

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение:

Решение.

(x-2)(x-1)0, (-;-1][2; +],

ОДЗ: 2+x-x²0, [-1; 2],

x-10. (1; +].

ОДЗ={1;2}

x=1: 0=0 -верно,

x=2: 0=0 -верно. Ответ: {1;2}.

Пример 6,( МГУ хим. фак.2001)Решить уравнение: arcsin.

Решение Оценим ОДЗ и область значений:

.

x=. Проверка : arcsin1=-верно.

Ответ: .

МЕТОД ОЦЕНКИ

Пусть множество М есть общая часть (пересечение) областей существования функций и и пусть для любого справедливы неравенства и , где А - некоторое число. Тогда уравнение равносильно системе уравнений .

Пример 1. Решите уравнение: sin²+3

Решение: Оценим левую часть: f(x)=

Оценим правую часть: = sin²+30+3=3.

Имеем: 3, Решим первое уравнение системы:

sin²+3=3 . 9-(2х+3)²=9, (2х+3)²=0, х=-1.5

Проверим, является ли полученное значение решением второго уравнения:

sin²+3=3 , sin²(-2) +3=3-верно. Ответ: -1,5

Пример 2, ЕГЭ 2006 В-7. Решите уравнение: 64x² -48x+13=(2-cos)(2+cos)

Решение: Оценим правую часть: =4- cos²4 для всех х

Оценим левую часть, выделим полный квадрат: (8х-3)²+44 для всех х

Имеем: (8х-3)²=0, х=,

cos²=0

Проверка показывает, что х= является корнем второго уравнения системы.

Ответ: 0,375

Пример 3, ЕГЭ 2006 В-7. Решите уравнение: log₃((2x+1)²+9)=2-sin²8x

Решение: 2, log₃(0+9)=2

log₃((2x+1)²+9)=2,

2-sin²8x=2.

Решим второе уравнение системы: (2x+1)²+9=9, (2x+1)²=0, x=-0,5

является корнем уравнения системы.

Ответ: х=-0,5

Пример 4,Кенгуру -2008. (x²-x+)(y²+3y+3)=

Найти x+y, где x ,y-решения этого уравнения.

Варианты ответа: а) -1; б) 0; в) 1; г) невозможно найти.

Решение: Выделим полный квадрат: ((x-)²+1)(y+)²+)(0+1)(0+)=.

Равенство возможно тогда и только тогда, когда оба равенства равны нулю.

Равносильно: (x-)²=0, x=, x+y= +(-) =-1

(y+)²=0; y=- . Ответ: а

Пример 5. Решите уравнение: .

Решение: Дополним левую часть до полного квадрата: ,

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: Так как функции и являются ограниченным: и , то тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно единице:

Пример 3. Решите уравнение :

Решение:

Левая часть этого уравнения не превосходит 1, а правая больше 1. Значит данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 7. Решите неравенство:

Решение:

Неравенство может иметь решение лишь в случае , если подкоренное выражение неотрицательно , то есть

Учитывая, что , получаем.

По свойству функции , то неравенство может иметь решение лишь в случае . С другой стороны Это возможно лишь в случае:

Ответ:

Пример8. Решите уравнение: .

Решение: Обе части уравнения определены для всех . Перепишем данное уравнение в виде . Очевидно, что для любого справедливы неравенства

.Следовательно, последнее уравнение равносильно системе уравнений . Система не имеет решений. Следовательно, и данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 9. Решите уравнение: .

Решение: Поскольку для любого , то исходное уравнение можно переписать в виде.

Для любых имеем , то последнее уравнение равносильно системе уравнений

,

множество решений которой совпадает с множеством решений совокупности систем уравнений

и .

Все решения первой системы есть ,; все решения второй системы есть . Все эти числа являются решениями совокупности систем, а также равносильного ей исходного уравнения.

Пример 10. Решите уравнение:.

Решение: Оценим левую и правую части уравнения.

, .

Следовательно, уравнение равносильно системе

Из первого уравнения системы находим, что . Подстановкой убеждаемся, что является и решением второго уравнения системы. Следовательно, решение системы и корень исходного уравнения.

Ответ: .

Пример11. Решите уравнение:.

Решение: Рассмотрим функции и .

На области определения функции , то есть наибольшее значение функции равно 4 и достигается только при одном значении .

На области определения функции , то есть наименьшее значение функции тоже равно 4. Причем .

Значит, является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ:-1,25.

Использование ограниченности функций.

При решении уравнений свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Например, если для всех из некоторого множества М справедливы неравенства и , где А некоторое число, то на множестве М уравнение не имеет решений.

Заметим, что роль числа А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака функций f(x) и g(x) на множестве М.

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. Для любого действительного числа х имеем

Поскольку для любого значения x левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше двух, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Очевидно, что являются решениями уравнения (1). Для нахождения других решений уравнения (1)в силу нечетности функции достаточно найти его решения в области поскольку если является его решением, то и также является его решением.

Разобьем множество на два промежутка:и .

Перепишем уравнение (1) в виде . На промежутке (0;1) функция принимает только отрицательные значения, поскольку , а функция только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение (1) не имеет решений.

Пусть . Для каждого из таких значений функция принимает положительные значения, функция принимает значения разных знаков, причем на промежутке функция неположительна. Следовательно, на промежутке (1;2] уравнение (1) решений не имеет.

Если же , то а это означает, что и на промежутке (2;+µ) уравнение (1) также не имеет решений.

Итак, х=0, х=1 и х=-1 и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -1, 0, 1.

Пример 3. Решите уравнение

Решение: Выделим в правой части уравнения полный квадрат:

Так как , , то равенство достигается, если

Решая второе уравнение системы, получаем Подстановкой убеждаемся, что является и решением первого уравнения системы. Следовательно, -решение системы.

Ответ:4.

Пример 4. Решите уравнение

Решение. Поскольку , произведение может равняться единице лишь при выполнении одной из двух систем уравнений:

Решая первую систему, найдем из первого уравнения и . Очевидно, решения первого уравнения входят в решение второго при то есть являются решениями системы. Решая вторую систему, убедимся, что она несовместна: решения первого уравнения и второго не имеют общих корней.

Ответ:

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Функция определена при всех значениях х, так как при любых значениях х, причем , причем при .

Так как при любом значении t,

Следовательно, равенство может выполняться только тогда, когда значения обеих его частей равны 4.

Подставив в выражение , получим:

Следовательно, -корень данного уравнения.

Пример 6. Решите уравнение . (1)

Решение. Обозначим через . Из определения абсолютной величины следует, что при при и при Поэтому, если то уравнение (1) можно переписать в виде , то есть в виде . Это уравнение имеет решения Из этих значений х условию удовлетворяют только . Если , то уравнение (1) можно переписать в виде , то есть в виде . Это уравнение имеет решения Из этих значений х условию удовлетворяют только .

Рассмотрим . На этом промежутке уравнение (1) можно переписать в виде , то есть в виде

Ясно, что есть решение уравнения (2), а значит, и исходного уравнения. Докажем, что других решений уравнение (2) на промежутке не имеет.

Для уравнение (2) равносильно уравнению .

Для любого значения , функция принимает только положительные значения, поэтому уравнение (2) не имеет решений на множестве .

Ответ:

Пример 7. Решите уравнение

Решение. Пусть есть решение уравнения (1), тогда справедливо равенство

и неравенства и . Из справедливости неравенств получаем, что левая часть равенства (2) имеет тот же знак, что и, то есть тот же знак, что и , а правая часть -тот же знак, что и . Но так как и удовлетворяют равенству (2), то они имеют одинаковые знаки.

Перепишем равенство (2) в виде

Применяя формулу сокращенного умножения , перепишем равенство (3) в виде

где Так как и имеют одинаковые знаки, то Поэтому из равенства (7) следует, что для любого решения уравнения (4) справедливо равенство

Очевидно, что любое решение уравнения (5) есть решение уравнения (1).Следовательно, уравнение (1) равносильно уравнению (5).Решения уравнения (5) есть , они и только они есть решения уравнения (1).

Ответ:

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ

Решение уравнений с использованием свойства монотонности основывается на следующей теореме и ее свойствах.

Рассмотрим уравнение

Теорема: Если функция строго монотонна на промежутке Х, то на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению

Пример 1: так как функция возрастает на всей области определения.

Пример 2: Но или , так как функция f(t)=t² не является монотонной на области определения.

Следствие 1: Строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз.

Следствие 2: Рассмотрим уравнение Если f(x) убывает на D(f), а g(x) возрастает на D(g), то уравнение (2) имеет не более одного корня.

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Рассмотрим функции и . Функция возрастает на всей области определения, а функция убывает на области определения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что .Проверкой убеждаемся, что действительно корень уравнения.

Ответ: 1.

Пример 4. Решите уравнение .

Решение. Рассмотрим функцию . На области определения

эта функция монотонно возрастает, значит, предложенное уравнение имеет один корень. Найдем

его:

Равенство выполняется, например, при , то есть . Проверкой убеждаемся, что - действительно корень уравнения.

Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение:.

Решение. Левая часть уравнения определена на промежутке и неотрицательна на нем. Значит, уравнение может иметь решение на пересечении промежутков и , то есть на промежутке .

Перепишем уравнение в виде .

Рассмотрим функции и . На промежутке они возрастают, при том .

Итак, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 6. Решите систему уравнений:

Решение: Из первого уравнения следует, что , из второго - .Выразим из первого уравнения через :.

Тогда . Пусть , тогда или

. Рассмотрим функцию . Найдем производную и определим её знак: . Она отрицательна при всех значениях .

Таким образом, функция убывает. Поэтому уравнение имеет не более одного корня. Нетрудно заметить, что - корень. Итак, - единственное решение системы.

Ответ:(2; 1).

Пример 7. Сколько действительных корней имеет уравнение ?

Решение: Так как не является корнем уравнения, то сделаем замену .

тогда получим , или .

Рассмотрим функцию . Она является возрастающей, при этом , значит, в некоторой точке интервала она имеет единственный корень.

Ответ: один корень.

Пример 8. Решите уравнение

Решение: Перепишем уравнение в виде

.

Замечаем, что левая часть есть убывающая функция, а правая - возрастающая, значит, уравнение не может иметь более одного корня. Подбором находим: .

Ответ: 2.

Пример 9 С. Решите уравнение

Решение. Заметим, что x₁=1 - корень

Функция и возрастает на [)

Так как , то графики функции имеют общую касательную в точке (1; 1), но поскольку функция выпукла вниз, а функция выпукла вверх, то их графики расположены по разные стороны от общей касательной, поэтому уравнение имеет только один корень. Ответ: 1

Пример10 С. Докажите, что система уравнений не имеет решений

Решение. 1)Преобразуем подкоренное выражение во втором уравнении системы:

Число x = -1 является корнем, так как -9+39-55+25=0. поэтому двучлен (x+1) можно выделить множителем, например, методом группировки:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, т.е. x = -5/3 или x ≥ -1

2) Исследуем функцию . Найдём производную:

. Так как 27 > 0 и < 0, то >0 для всех x. Значит, функция возрастает и поэтому первое уравнение системы имеет не более одного корня. Проверим, что x=-5/3 является корнем первого уравнения системы.

Поэтому, система может иметь решения только при x = -5/3

3) Тогда , и второе уравнение системы имеет вид . Число не является его корнём. Поэтому

,

.

Если y < 1, то y - 1 < 0 и > 1 > .

Аналогично, если y > 1, то < 1< .

Значит, уравнение не имеет корней, а система не имеет решений.

Пример11, ЕГЭ 2002 С1. Решите уравнение:

3^16+x · 4^4+х · 5³ = 540^8-x

Решение. Так как в левой части уравнения 3^1б+x · 4^4+х · 5³ = 540^8-x стоит непрерывная возрастающая функция, а в правой - непрерывная убы­вающая, то оно имеет не более одного корня. Так как 540 = З³·4 · 5, то 3^1б+x · 4^4+х · 5³ =3^{3(8-x) ·} 4 ^{(8-x) ·} 5^(8-x) Легко видеть, что х = 2 является корнем. Ответ: 2.

Упражнения для самостоятельного решения:

Решите уравнения:

1.(ЕГЭ 2007 ) .

2. .

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Занятие 11-12.

«Функция и её свойства в заданиях ЕГЭ»

Вариант 1.

1. В-5.Найдите сумму угловых коэффициентов касательных к кривой

у =в точках пересечения ее с осью Ох. Ответ:3,375

2.C1.Найдите область определения функции y=

Ответ: .

3.C1.Найдите множество значений функции y=.

Ответ:.

4.В-8. Нечётная периодическая функция y=f(x) с периодом 9 определена на всей числовой прямой. Найдите Ответ:11.

5.С1. Найдите точки максимума функции . Ответ: 2,5

6.С-2.Сколько корней имеет уравнение sin

Ответ:5.

Вариант 2.

1.В-5. Найдите сумму угловых коэффициентов касательных к параболе

у =х²-4 в точках пересечения ее с осью Ох. Ответ:0

2.C1.Найдите область определения функции y=

Ответ:(0:1)

3.C1.Найдите множество значений функции y=3^sin²x+3.

Ответ:[4;6].

4. В-8.Чётная периодическая функция y=f(x) с периодом 7 определена на всей числовой прямой. Найдите значение выражения f(-3)+f(4)-f(18), если f(3)=6. Ответ:6.

5.С1. Найдите точки минимума функции

Ответ: 0,6

6.С-2.Сколько корней имеет уравнение

Ответ: 8.

Заключение

Проблема подготовки к олимпиадным и конкурсным испытаниям в профильных классах очень актуальна. Учащиеся, сознательно выбравшие профиль, связанный с математикой, ходят добиться успехов в изучении этого предмета.

В данной работе предложена очень важная тема

развивающая мышление ребенка, встречающаяся на конкурсных экзаменах. Полезно изучение этого материала на элективных курсах, на индивидуальных занятиях при подготовке к олимпиадам.

Однако, в работе подобраны задания, встречающиеся как на олимпиадах различного уровня, так и на конкурсных экзаменах, начиная с ЕГЭ и заканчивая вступительными экзаменами в ВУЗы Этот материал, полезен будет при подготовке к олимпиадам, так как там представлены задачи, предлагавшиеся на районных, областных и зональных олимпиадах в последние годы. Эта тема широко применяется на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в разные учебные заведения. Задания, используемые в работе, взяты из экзаменационных материалов последних лет выпускных и вступительных экзаменов.

Литература

1. Барыбин К.С., Исаков А.К.Сборник задач по математике. Учпедгиз.1955.

2. Белоненко Т.В., Васильев А.Е, Васильева Н.И., Крымская Л.Д. Сборник конкурсных задач по математике. СПб.: «Специальная литература», 1997.

3.Васильев Н.Б Гутенмахер В.Л. Раббот Ж.М., Тоом А.Л. Заочные математические олимпиады. Москва «Наука».1986.

4. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. «ИЛЕКСА», 1999.

5. Единый государственный экзамен. Математика: реальные тесты и ответы. ФОЛИО

6. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11. Москва, «Просвещение» 1995.

7. Ф.Ф. Лысенко. Математика ЕГЭ. Вступительные испытания. Ростов-на-Дону, «Легион», 2008.

8. . Ф.Ф. Лысенко. Математика ЕГЭ. Тематические тесты 10-11 класс часть II,

Ростов-на-Дону, «Легион», 2007.

9. Математика приложение к газете «Первое сентября» №11 и №12 2002год.

10. .Потапов, С.Н. Олехник, Ю.В.Нестеров «Готовимся к экзаменам по математике ». Москва, «АСТ-ПРЕСС», 1997.

11. Сборник задач для поступающих в ВУЗы / под ред. Сканави М.И. / М., Издательский дом ОНИКС, 2000.

12 Ткачук В.В. Математика - абитуриенту, Т1, 2Москва, МЦНМО, 1997.

13. Тонких А.П.. Сборник задач районных олимпиад школьников Брянской области. Брянск. 2007.

14. Фарков А.В. Математические олимпиады. Издательство «Экзамен». Москва. 2006.

15. . Школьные математические олимпиады. Составители Н.Х. Агаханов, Д.А.Терешин, Г.М.Кузнецова. Дрофа. Москва.2002.

24