Практикум по тригонометрии 10 класс

VI. Формулы половинного аргумента (знак - по функции в левой части):

VII. Формулы сумм:

VIII. Формулы произведений:

IX. Универсальная тригонометрическая подстановка:

X. Некоторые дополнительные формулы:

1. Считая числовую окружность образом беговой дорожки стадиона, отметьте на ней конец дистанции: а) 1500 м; б) 42 км 195 м.

2. Дана окружность радиуса 1 см. Чему равна длина: а) всей окружности; б) ее половины; в) ее четверти?

Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ - первая, ВС - вторая, CD - третья, DA - четвертая.

Опираясь на эту геометрическую модель, решите задачи № 3, 4, 5, 6, 7, 8.

3. Первая четверть разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р - на три равные части (точка Р между М и В). Чему равна длина дуги: АМ, МВ, АК, КР, РВ, АР, КМ?

4. Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и D). Чему равна длина дуги: АМ, ВК, МР, DC, КА, ВР, СВ, ВС?

5. Вторая четверть разделена точкой М пополам, а четвертая четверть разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, АК, АР, РВ, МК, КМ?

6. Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, ВD, CK, MP, DM, MK, СP, PС?

7. Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1 : 5. Чему равна длина дуги: СР, PD, АР?

8. Первая четверть разделена точкой М в отношении 2 : 3. Чему равна длина дуги: АМ, МВ, DM, МС?

9. Выразите в радианах:

1) 1; 4) 10; 7) 15; 10) 30;

2) 45; 5) 60; 8) 70; 11) 90;

3) 225; 6) 240; 9) 320; 12) 330.

10. Переведите из градусной меры в радианную:

1) 120; 3) 220; 5) 300; 7) 765;

2) 210; 4) 150; 6) 315; 8) 675.

11. Выразите в градусах:

1) ; 4) ; 7) ; 10) ;

2) ; 5) ; 8) 1,5; 11) 3;

3) 0,25; 6) ; 9) ^-; 12) .

12. Переведите из радианной меры в градусную:

1) ; 3) ; 5) ; 7) ;

2) ; 4) ; 6) ; 8) .

13. Окружность разделена на шесть равных частей. Выразить в градусах и радианах сумму дуг:

1) ;

2) .

14. Угол А трапеции ABCD (AD || BC) на 70 меньше угла В и на 10 больше угла D. Найдите радианную меру каждого из углов трапеции.

15. Перечертите в тетрадь и заполните таблицу:

1

3

5

9

12

18

30

45

90



16. Один из углов треугольника больше другого на 20 и меньше третьего на 50. Найдите радианную меру каждого из углов этого треугольника.

17. Записать общий вид углов для случаев, когда конечный радиус их занимает положение: 1) ОВ; 2) ОС и найти несколько частных значений этих углов.

18. В какой четверти находится конечная точка поворота на угол:

1) 220; 3) -160; 5) 906;

2) 285; 4) -290; 6) 4825?

19. Представьте в виде ₀ + 360  п (₀ [0; 360), п  Z) углы:

1) 840; 3) -1700; 5) 3200; 7) -2450;

2) 1200; 4) -3900; 6) 3500; 8) -3100.

I. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:

III. Формулы приведения:

1) функция меняется на кофункцию при переходе через вертикальную ось и не меняется при переходе через горизонтальную;

2) перед приведенной функцией ставится знак приводимой функции, считая  углом первой четверти.

IV. Формулы двойного аргумента:

V. Формулы понижения степени:

128. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из его катетов на отрезки 3 см и 4 см. Вычислите косинусы острых углов треугольника.

129. В квадрат со стороной а вписан другой квадрат так, что вершины второго квадрата лежат на сторонах первого, а сторона второго квадрата образует угол  со сторонами первого. Найдите сторону вписанного квадрата.

130. Пусть ,  и  - углы некоторого треугольника. Докажите, что для них выполняются следующие соотношения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) sin cos cos  + cos sin cos  + cos cos sin  = sin sin sin ;

11) tg   tg  + tg   tg  + tg   tg  = 1;

12) ctg   ctg  + ctg   ctg  + ctg   ctg  = 1;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) .

20. Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:

1) ;

2) .

21. Отметьте на координатной окружности точки, соответствующие числам:

1) ; 2) .

22. Какой четверти числовой окружности принадлежит число:

1) ; 2) ; 3) 100?

23. Запишите три числа, которые изображаются на окружности той же точкой, что и .

24. Часы отстали на 18 минут. На какой угол надо повернуть минутную стрелку, чтобы часы показывали верное время?

25. Переведите углы из градусной меры в радианную:

1) 36; 3) -120; 5) 870; 7) -2510;

2) 265; 4) -135; 6) 1020; 8) -2940.

26. Найдите радианную меру дуг:

1) 18; 3) -252; 5) 1530;

2) 324; 4) 828; 6) -2490.

27. Чему равна градусная мера углов:

1) ; 3) ; 5) ^- ; 7) ;

2) ; 4) ; 6) ^- ; 8) ?

28. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) ; 3) ; 5) ^- ;

2) ; 4) ; 6) ^- .

29. Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:

1) ;^- ; 3) ;-2;

2) ;^- ; 4) 2;^- .

30. На числовой окружности укажите точку, соответствующую числу:

1) 7;3) 10;^- ;

2) 4;^- ; 4) 3;.

31. Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу:

1) 6,1; 4) 2,8; 7) 4,8; 10) 31;

2) 5,4; 5) 3,2; 8) 1,4; 11) -17;

3) -4,3; 6) -5,1; 9) -2,8; 12) -95?

32. Какой четверти принадлежат точки:

1) ; 3) ; 5) 4,3; 7) 20;

2) ; 4) ^- ; 6) -3,3; 8) -100?

33. Как расположены на числовой окружности точки, соответствующие числам:

1) t и -t; 3) t и t + ;

2) t и t + 2k, k  Z; 4) t -  и и t + ?

34. Ведро в колодце поднимается на 2 м, если рукоятка ворота повернута на пять полных оборотов по часовой стрелке. На какой угол надо повернуть рукоятку ворота, чтобы ведро: 1) поднялось на 1,5 м?
2) опустилось на 1,25 м?

35. Вычислите:

1) 2sin 30 - tg 45 + ctg 30;

2) ;

3) 6cos 30 - 3tg 60 + 2sin 45;

4) ;

5) ;

122. Замените произведение тригонометрических функций суммой:

1) cos 52 cos 22; 5) cos 50 cos 58;

2) 2 sin 52 cos 8; 6) sin 31 cos 41;

3) sin 52 sin 7; 7) 2 sin 24 sin 44;

4) ; 8) .

123. Упростите выражения:

1) cos 3 cos  - cos 7 cos 5; 3) sin 4 cos 3 - sin 5 cos 2;

2) cos 3 cos  - sin 3 sin ; 4) sin 4 cos 3 - cos 4 sin 3.

124. Преобразуйте выражения:

1) cos 7 cos 3 + sin 8 sin 2; 2) cos 7 cos 3 + sin 7 sin 3.

125. Проверьте равенства:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) sin 5 - 2 cos 4 sin  = sin 3; 6) cos 3 - 2 sin 2 sin 5 = cos 7.

126. Вычислите:

1) tg 15 + tg 75; 5) ;

2) cos² 3 + cos² 1 - cos 4 cos 2; 6) ;

3) tg 41 tg 43 tg 45 tg 47 tg 49; 7) ;

4) tg 20 tg 40 tg 50 tg 70; 8) .

127. Вычислите значение выражения

, если .

116. Докажите тождество:

.

117. Упростите выражение:

1) ; 5) ;

2) ; 6) ;

3) ; 7) ;

4) ; 8) .

118. Вычислите:

1) cos 95 + cos 94 + cos 93 + cos 85 + cos 86 + cos 87;

2) tg 9 - tg 27 - tg 63 + tg 81;

3) .

119. Преобразуйте выражение:

120. Тангенсы двух углов треугольника равны соответственно 1,5 и 5. Найдите третий угол треугольника.

121. Преобразуйте произведение в сумму:

1) sin 42 cos 12; 5) cos 23 cos 27;

2) cos 42 cos 18; 6) 2 sin 18 sin 22;

3) 2 sin 42 sin 3; 7) sin 40 cos 56;

4) ; 8) .

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

36. Найдите значение выражения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) 4cos 180 - 3sin 270 + 3sin 360 - ctg 90.

37. (Устно). Существуют ли числа ,  и , для которых:

1) ;

2) ;

3) ?

38. Оцените выражение, т.е. укажите его наименьшее и наибольшее значение:

1) 1 + 2sin ; 4) 2sin x + 3; 7) 1 - 4cos²x;

2) 4sin  + 1; 5) 2cos²; 8) 4 + cos( - 15);

3) 1 - 3cos ; 6) 5 + 2cos²x; 9) 2 - sin ( - ).

39. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения:

1) 3sin x - 1; 3) 2cos x - 3; 5) 10 - 9sin²x;

2) 2 + 3cos x; 4) 5 - 4sin x; 6) sin²x - 5.

40. Определить, в какой четверти находится конечная точка поворота на угол  и каковы знаки cos  и sin , если угол равен:

1) 260; 3) 565; 5) -915; 7) 8760;

2) 290; 4) 480; 6) -825; 8) 8000.

41. Определить знак каждого из данных произведений:

1) sin 100  sin 132; 5) ctg 300  sin 222;

2) cos 210  sin 115; 6) sin 118  cos 118  tg 118;

3) cos 285  cos 316; 7) sin 2,1  ctg 2,1  cos 2,1;

4) tg 112  sin 165; 8) cos 123  tg 123  sin 312.

42. Какой знак имеет произведение sin   cos   tg , если число  равно:

1) 4,1; 2) - 240; 3) ?

43. Вычислите:

1) ;

2) ;

3) .

44. Найдите значение выражения:

1) ;

2) ;

3) .

45. Найдите значение:

1) cos 2550; 5) sin(-4005); 9) cos(-2220);

2) tg 2205; 6) tg 3630; 10) sin(-3555);

3) sin 3300; 7) ctg 2100; 11) tg(-2460);

4) ctg 2130; 8) cos(-3210); 12) ctg(-2115).

46. Вычислите:

1) sin 2580; 3) tg(-2835); 5) ctg(-2565);

2) ctg 2190; 4) sin 2490; 6) cos(-2820).

109. Вычислите:

.

110. Известно, что , где . Вычислите .

111. Вычислите .

112. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен . Найдите синус угла при основании.

113. Преобразуйте сумму в произведение и упростите результат, если это возможно:

1) sin 50 + sin 20; 4) cos 160 + cos 80; 7) cos 3 - cos 5;

2) cos 28 - cos 12; 5) sin 83 - sin 23; 8) sin 10 + cos 40;

3) ; 6) ; 9) .

114. Замените сумму произведением:

1) cos 40 - cos 10; 4) cos 37 + cos 23; 7) cos 20 - cos 70;

2) sin 42 - sin 26; 5) sin 130 + sin 110; 8) sin  - sin 3;

3) ; 6) ; 9) .

115. Упростите выражение:

1) ; 5) ;

2) ; 6) ;

3) ; 7) ;

4) ; 8) .

99. Упростите выражения:

1) ; 3) ; 5) ;

2) ; 4) ; 6) .

100. Преобразуйте следующие выражения:

1) ;

2) ; 3) .

101. Вычислите без помощи калькулятора или таблиц:

1) ; 2) .

Вычислите:

102. , если .

103. , если .

104. tg (4х - у), если .

105. (sin 4 + 2sin 2) cos , если .

106. Упростите выражение .

107. Найдите значение выражения:

1) ; 2) .

108. Без помощи таблиц или калькулятора вычислите:

.

47. Определите:

1) ; 5) ; 9) ;

2) ; 6) ; 10) ;

3) ; 7) ; 11) ;

4) ; 8) ; 12) .

48. Вычислите:

1) ; 3) ; 5) ;

2) ; 4) ; 6) .

49. С помощью тригонометрической окружности решите уравнения:

1) ; 3) ; 5) ;

2) ; 4) ; 6) .

50. Используя единичную окружность, решите уравнения:

1) ; 3) ; 5) ;

2) ; 4) ; 6) .

51. Найдите значения тригонометрических функций угла , если известно, что:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

52. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

1) ; 2) .

53. Упростите выражения (предпочтительно устно):

1) 4cos²3 + 4sin²3; 2) 2sin²5 + 2cos²5;

3) 1 - sin²3x; 4) 1 - cos²4;

5) sin²7y - 1; 6) cos²3t - 1;

7) 2sin²t - 1; 8) 1 - 2cos²3;

9) tg 3 ctg 3; 10) ctg 1,1  tg 1,1;

11) tg  cos ; 12) sin 2 ctg 2;

13) ctg² sin²; 14) tg² cos²;

15) tg  cos  sin ; 16) sin 2 cos 2 ctg 2;

17) (1 - cos 3)(1 + cos 3); 18) (1 - sin 2)(1 + sin 2);

19) (sin t + 1) (sin t - 1); 20) (cos 5 - 1)(1 + cos 5);

21) sin² cos² + cos⁴; 22) sin⁴ + sin² cos²;

23) (sin  - cos )² + (sin  + cos )²;

24) (3sin t + 4 cos t)² + (4sin t - 3 cos t)².

54. Преобразуйте следующие выражения:

1) sin² + cos² - cos²; 13) cos² + cos² ctg²;

2) tg x ctg x - cos²3; 14) sin⁴ + cos² - cos⁴;

3) tg²5 + tg t ctg t; 15) sin⁴ + sin² cos² + cos²;

4) (1 - sin²3) tg²3; 16) tg² - sin² - tg² sin²;

5) ctg²(cos² - 1) + 1; 17) (ctg² - cos²) tg²;

6) 1 + cos² - sin²; 18) ctg²y (1 - cos y)(1 + cos y);

7) 1 - sin  cos  ctg ; 19) ;

8) (tg  cos )² + (ctg  sin )²; 20) ;

9) 2 - cos² tg² - cos²; 21) ;

10) ; 22) ;

11) ; 23) ;

12) ; 24) .

95. Упростите выражения:

1) 0,5 sin 2 ctg ; 5) cos² 2x - 4 sin² x cos² x;

2) 2 sin²  + cos 2; 6) 2sin² 4 + cos 8 + 1;

3) cos² 4 - cos 8; 7) 4 sin⁴x + sin² 2x.

96. Преобразуйте выражение:

1) sin 2t ctg t - 1; 7) ctg (1 - cos 2);

2) ; 8) ;

3) ; 9) (tg t + ctg t) sin 2t;

4) ; 10) ;

5) ; 11) ;

6) ; 12) .

97. Выполните преобразование:

1) ; 5) tg  (1 + cos 2);

2) ; 6) ;

3) ; 7) ;

4) ; 8) .

98. Вычислите:

1) ;

2) .

(Указание: представьте 3 = 2 + 1, 1 = 2 - 1, 4 = 2  2, 2 = 2  1).

87. Применить формулы двойного угла к следующим выражениям:

1) sin 80; 5) cos 46; 9) tg 72;

2) sin 4; 6) cos 6; 10) tg 8;

3) sin 15y; 7) cos 13x; 11) tg 11;

4) ; 8) ; 12) .

88. Применить формулы двойного угла к следующим выражениям:

1) sin 42; 4) cos 38; 7) tg 54;

2) sin 10; 5) cos 12; 8) tg 14;

3) ; 6) ; 9) .

Вычислите:

89. а) sin 15; б) cos 75.

90. а) cos 15; б) sin 75.

91. 1) cos 20 cos 40 cos 80;

2) ;

3) .

92. Дано: . Найти sin 2, cos 2, tg 2.

93. Дано: . Найти sin 2, cos 2, tg 2.

94. Упростите выражения:

1) 2 cos²x tg x; 5) 8 sin² cos² + cos 4;

2) cos 6 + sin² 3; 6) 1 + 2cos² t - cos 2t;

3) cos 2 - 2 cos²; 7) 4 sin⁴x + sin² 2x;

4) 1 + cos 2; 8) cos⁴ - sin⁴.

55. Упростите выражения:

1) sin²x - tg 2 ctg 2; 10) sin² tg² + sin²;

2) sin²4 + tg² + cos²4; 11) cos⁴x - sin⁴x + sin²x;

3) tg 3 ctg 3 + ctg²x; 12) sin² + sin² cos² + cos⁴;

4) 7 - 4sin² - 4cos²; 13) cos²t + ctg²t cos²t - ctg²t;

5) cos  ctg  sin  - 1; 14) (ctg² - cos²) tg²;

6) ; 15) ;

7) ; 16) ;

8) ; 17) ;

9) ; 18) .

56. Преобразуйте выражения:

1) ; 7) ;

2) ; 8) ;

3) ; 9) sin t cos t (tg t + ctg t);

4) ; 10) sin t - cos t (tg t + ctg t);

5) ; 11) ;

6) ; 12) .

57. Замените выражение ему равным:

1) ; 7) ;

2) ; 8) ;

3) ; 9) ;

4) ; 10) ;

5) ; 11) ;

6) ; 12) .

58. Зная значение одной функции угла , найдите значения остальных тригонометрических функций этого угла:

1) ; 2) .

59. Вычислите остальные три тригонометрические функции, если:

1) ; 2) .

60. Упростите выражения:

1) ; 7) ;

2) ; 8) ;

3) ; 9) ;

4) ; 10) ;

5) ; 11) ;

6) ; 12) .

81. Тангенсы трех острых углов соответственно равны , , . Докажите, что первый угол равен сумме двух других углов.

82. Синусы острых углов треугольника соответственно равны и . Найдите косинус внешнего угла треугольника, не смежного с двумя данными.

83. Вычислите:

1) tg 420 + 2cos 870 - 2 cos 1410;

2) ;

3) 3tg 930 + sin 1200 - cos 1770.

84. Найдите значение выражения:

1) 3tg 570 - 2cos 1350 + 2 sin 1200;

2) ;

3) 2sin 750 + sin 1230 + ctg 1395.

85. Преобразуйте в синус, косинус или тангенс некоторого угла выражение:

1) 2 sin  cos ; 7) cos² 70 - sin² 70;

2) 2 sin 12 cos 12; 8) cos² 112,5 - sin² 67,5;

3) 2 cos 105 sin 105; 9) ;

4) 4 sin  cos  cos 2; 10) sin² 3x - cos² 3x;

5) ; 11) ;

6) 8 cos 2x cos 4x cos 8x; 12) .

86. Упростите выражение:

1) 2 sin 2 cos 2; 5) cos² 75 - sin² 75;

2) 2 cos 72 sin 72; 6) cos² 22,5 - sin² 22,5;

3) 3 sin  cos  cos 2; 7) cos² 5 - sin² 5;

4) 16 cos 3x cos 6x cos 12x; 8) .

77. Вычислите:

1) cos 73 sin 103 + cos 17 sin 13; 6) cos 73 sin 107 + sin 73 sin 197;

2) sin 170 cos 20 + sin 20 cos 350; 7) cos 109 cos 49 + cos 41 sin 71;

3) cos 118 cos 28 - cos 152 sin 28; 8) sin 7 cos 217 + cos 7 cos 53;

4) cos 5 cos 40 - sin 140 sin 175; 9) sin 22 cos 203 + cos 22 cos 113;

5) ; 10) .

78. Найдите значение выражения:

1) sin 49 cos 11 + cos 229 cos 101; 5) cos 11 sin 236 - sin 214 sin 11;

2) sin 43 cos 13 + cos 103sin 47; 6) sin 175 cos 140 - sin 85 cos 50;

3) ; 7) ;

4) ; 8) .

79. Упростите выражения:

1) ;

2) ;

3) .

80. Преобразуйте выражения:

1) ;

2) ;

3) .

61. Преобразуйте выражения:

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) .

5) ;

62. Докажите тождество:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

63. Покажите, что при всех допустимых значениях углов значение выражения не зависит от величины угла:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

64. Вычислите:

1) sin 17 cos 13 + cos 17 sin 13; 6) sin 20 cos 50 - cos 20 sin 50;

2) sin 9 cos 99 - sin 99 cos 9; 7) cos 10 cos 35 - sin 35 sin 10;

3) ; 8) ;

4) sin 15 sin 15 - cos 15 cos 15; 9) sin 22,5 sin 22,5 - cos 22,5 cos 22,5;

5) ; 10) .

65. Найдите значение выражения:

1) sin 10 cos 20 + sin 20 cos 10; 6) cos 109 cos 49 + sin 109 sin 49;

2) sin 50 cos 20 - cos 50sin 20; 7) cos 71 sin 11 - sin 71 cos 11;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

66. Упростите выражения:

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

67. Упростите следующие выражения:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

Дано:

68. Найти: а) tg ( + ); б) tg ( - ).

69. Найти sin ( - ).

70. Найти tg ( - ).

71. . Найти cos( +  + ).

72. Упростите выражения:

1) ;

2) .

73. Замените тригонометрической функцией угла :

1) ; 5) ; 9) ;

2) ctg ( + ); 6) tg (180 - ); 10) cos (90 - );

3) cos (2 - ); 7) sin (180 + ); 11) sin (270 - );

4) sin (2 + ); 8) ctg (360 - ); 12) tg (270 + ).

74. Упростите выражение:

1) ; 2) ; 3) tg ( - 2).

75. Преобразуйте выражение:

1) ; 2) ; 3) .

76. Приведите к тригонометрической функции угла :

1) ; 5) ; 9) ;

2) tg ( + ); 6) ctg ( - ); 10) cos ( - );

3) cos (2 + ); 7) sin ( + ); 11) ctg ( - 360);

4) tg (90 - ); 8) cos (90 + ); 12) tg (- + 270).

26 3