Тема урока УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ

Тема: УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Уравнение, корень уравнения, посторонний корень, равносильные уравнения, неравенство, решение неравенства, равносильные, неравенства, область допустимых значений переменной.

Если в уравнении (неравенств) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то эти коэффициенты называются параметрами, а уравнение (неравенство) - уравнением с параметрами (неравенством с параметрами).

При решении уравнения или неравенства с параметрами необходимо:

1. определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2. найти множество решений, соответствующее каждой допустимой системе значений параметров.

Основной принцип решения уравнений с параметрами можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на такие промежутки, что при изменении параметра на каждом из них получающиеся уравнения решались одним и тем же методом. Отдельно для каждого промежутка находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра. Используемые при этом приёмы такие же, как и при решении уравнений с числовыми коэффициентами.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Решим уравнение для каждого значения параметра а.

Решение. Рассмотрим два случая.

1. Пусть , тогда данное уравнение имеет вид:. Этому уравнению удовлетворяет любое действительное значение х.

2. Пусть , тогда данное уравнение является линейным уравнением и его единственным решение: .

Ответ:х - любое число при при

Пример 2. При каких значениях, а уравнение имеет один корень?

Решение. Рассматривая данное уравнение как квадратное уравнение относительно , устанавливаем, что оно равносильно совокупности уравнений и . Уравнение при имеет одно решение, а при не имеет решения.

Уравнение при любом значении, а имеет единственное решение.

Пример 3. Решим уравнение:

Решение. Замечаем, что значения 0 и не являются допустимыми значениями для х. Параметры а и bтоже неравны нулю. Освобождаем уравнение от знаменателей. Получаем:

Если , то уравнению (1) удовлетворяют все значения х, кроме х = 0. Исходное уравнение в этом случае принимает вид: .

Если то, разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение: . Корни его: ,

Ответ: любое действительное число, кроме х = 0 при; и при

Пример 4. Решим уравнение

Решение.Допустимые значения переменной х и параметра, а в данном уравнении определяются системой неравенств:

или .

Кроме того, если а и х имеют одинаковые знаки , то и решением уравнения может быть только положительное значение переменной, а это значит, что и Если а и х имеют разные знаки то и решением уравнения может быть только отрицательное значение переменной, но при этом также и . Таким образом, уравнение имеет отличные от нуля решения, если при а = 0.

Перепишем уравнение в виде и возведём обе его части в квадрат. После преобразований получим: , откуда:

1) при произвольных значениях а;

2) , или .

Последнее уравнение имеет решения, еслиВозведём обе части этого уравнения в квадрат и после упрощения получим: , откуда при находим:

Найденные значения будут корнями данного уравнения, если:

или

Отсюда получим:

или

Третье неравенство последней системы неравенств выполняется при любом значении а. Поэтому решением последней системы неравенств является общее решение неравенств и т.е.

Ответ:

Пример 5. Решим неравенство

Решение.Дискриминант уравнения будет .

Рассмотрим три случая:

1. При или получаем: . Следовательно, для каждого данное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.

2. При D = 0 или получается: и . Следовательно, здесь также для каждого и данное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.

3. Приили получится: и . Следовательно, на каждом из промежутков и данное неравенство имеет решение и его решение имеет вид: и где:

Ответ: х - любое действительное число при

при

Пример 6. Решим неравенство: .

Решение. 1) При правая часть неравенства отрицательна, тогда при любом значении х левая часть неравенства больше правой.

3. Приа = 0 исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме

х = - 3.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Решите уравнение

Ответ: принет решений, при ,

2. Решите уравнение

Ответ: при, , при, , нет решений

3. Решите уравнение

Ответ: при,, при , нет решений

4. Решите уравнение

Ответ: при,, при , нет решений

5. Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения

.

Ответ: значений, а нет

6. Найдите все значения а, при которых число х = - 3 является решением неравенства

Ответ:

7. Найдите все значения а, при которых число х = - 2 является корнем уравнения

Ответ:

8. Может ли при каком-нибудь значении, а уравнение имеет три корня?

Ответ: нет

9. Найдите все значения а, при которых число х = 2является корнем уравнения

Ответ:

10. Найдите все значения параметра а, такие, чтобы уравнение имело 2 различных корня.

Ответ: