Лекция на тему: Показательная форма комплексного числа

Лекция

Показательная форма комплексного числа.

План

1. Общий вид показательной формы.

2.Действия над комплексными числами в показательной форме

1. Общий вид показательной формы.

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

Данное равенство называется уравнением Эйлера.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3) где m - целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

Для комплексно - сопряженного числа получаем:

Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Пример 1. Записать в показательной форме комплексное число .

Модуль Находим аргумент .

Поскольку

Пример 2. Находим модуль . Аргумент (главное значение) найдём из соотношения Итак

Пример 3. .

Пример 4.

2. Действия над комплексными числами в показательной форме.

Из формули Эйлера (1)

(2) можно получить важне следствия.

Складывая почленно равенства(1) і (2),получим откуда

(3)

Почленно вычитая из равенства (1) равенство (2),получаем откуда

(4)

Равенства(3) і (4) также называются формулами Эйлера; они выражают тригонометрические функции действительного аргумента через показательные функции мнимого аргумента. Формулы (3) и (4) справедливы и тогда, корда заменяется любым комплексным числом ; такая замена дает:

(5) (6)

равенства (5) и (6) принимаются за определения косинуса и синуса комплексного аргумента. Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится по правилам действий со степенями. Так, для произведения и частного комплексных чисел

Для вычисления корня из комплексного числа

используется формула , где k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1

Упражнения для коллективного решения

1. Выполните действия в показательной форме. Результат записать в алгебраической и тригонометрической форме:

а); б) ; в) ; г)

Вопросы для самопроверки:

1.Запишить общий вид комплексного числа в показательной форме.

2.Запишить формулы для выполнения арифметических действий с комплексными числами в показательной форме.

3.Запишить данные комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме: а) ; б) ; в)