Нестандартные приемы и методы решения неравенств

Нестандартные приемы и методы решения неравенств.

Знание математики на хорошем уровне обуславливает умение решать задачи повышенной сложности. К ним, в частности, относятся задачи на решение или доказательство неравенств из таких разделов математики, как алгебра, тригонометрия, геометрия.

Приведенные в примерах решения и доказательства неравенств основаны на несколько необычных рассуждениях.

Пример 1.

Пусть х₁³ + х₂³ + … + х_n³ = 0,

где -1 ≤ х₁ ≤ 1, -1 ≤ х₂ ≤ 1, … , -1 ≤ х_n ≤ 1.

Доказать, что -n/3 ≤ х₁ + х₂ + … + х_n ≤ n/3.

Доказательство.

Так как -1 ≤ х₁ ≤ 1, -1 ≤ х₂ ≤ 1, …, -1 ≤ х_n ≤ 1, то обозначим

х₁ = cos a₁, х₂ = cos a₂, … , х_n = cos a_n.

Используя известное равенство cos 3a = 4cos³ a - 3cos a, можно записать

cos a = (4cos³ a - cos 3a)/3. В таком случае имеем

х₁ + х₂ + … + х_n = cos a₁ + cos a₂ + … + cos a_n =

= 4/3(cos³ a₁ + cos³ a₂ + … + cos³ a_n) - 1/3(cos 3a₁ + cos 3a₂ + … + 3cos a_n).

По условию х₁³ + х₂³ + … + х_n³ =0, поэтому

cos³ a₁ + cos³ a₂ + … + cos³ a_n = 0.В этой связи получаем равенство

х₁ + х₂ + … + х_n = - 1/3(cos 3a₁ + cos 3a₂ + … + cos 3a_n).

Однако, -1 ≤ cos 3a₁ ≤ 1, -1 ≤ cos 3a₂ ≤ 1, … , -1 ≤ cos 3a_n ≤ 1,

поэтому -n/3 ≤ - 1/3(cos 3a₁ + cos 3a₂ + … + cos 3a_n) ≤ n/3,

а значит и -n/3 ≤ х₁ + х₂ + … + х_n ≤ n/3.

Ответ: Получили требуемое утверждение.

Пример 2.

Доказать, что cos 43° < tg 43°.

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательное неравенство

cos х < tg x, где 0° < х < 90°. Решая неравенство cos х < tg x, получаем

cos² х < sin x, sin² x + sin x - 1 > 0 и sin x > (√5 - 1)/2.

Следовательно, доказательство исходного неравенства сводится к доказательству неравенства

sin 43° > (√5 - 1)/2.

Преобразуем полученное неравенство:

sin (45° - 2°) > (√5 - 1)/2;

√2/2 · (cos 2° - sin 2°) > (√5 - 1)/2;

√2 · (cos 2° - sin 2°) > √5 - 1;

2 · (cos 2° - sin 2°) > 6 - 2√5;

1 - 4sin 4° > 3 - √5 или sin 4° < √5 - 2.

Очевидно, что если доказать последнее неравенство, то тем самым будет доказано и исходное неравенство.

Далее воспользуемся известным неравенством sin х < х, где 0° < х < 90°.

Следовательно имеет место sin 4° < (2п/360) · 4 = п/45.

Отсюда следует, что для доказательства неравенства sin 4° < √5 - 2 достаточно показать, что п/45 < √5 - 2 или п + 90 < 45√5.

Поскольку п < 4 и √5 > 2,2, то неравенство п + 90 < 45√5 справедливо.

Отсюда следует и справедливость приведенных выше неравенств, в том числе и cos 43° < tg 43°.

Пример 3.

Доказать, что cos 2° > 44/45.

Доказательство.

Преобразуем требуемое неравенство как

cos (2°)² > (44/45)²;

1 - cos (2°)² < 1 - (44/45)²;

sin (2°)² < (1 - 44/45) · (1 + 44/45) = 89/45².

Отсюда получаем неравенство sin 2° < √89/45.

Здесь воспользуемся известным неравенством

sin х < х, где 0° < х < 90°.

Имеет место sin 2° < (2п/360) · 2 = п/90.

Значит, для доказательства неравенства sin 2° < √89/45 достаточно показать, что п/90 < √89/45, то есть п < 2√89.

Поскольку п < 4, то неравенство п < 2√89 очевидно.

Отсюда следует и справедливость неравенства cos 2° > 44/45.

Пример 4.

Доказать неравенство а³ + b³ + 3abc > c³, где a, b и c - стороны треугольника.

Доказательство.

Поскольку a, b и c - стороны треугольника, то a + b > c.

Кроме того, для любых a и b справедливо неравенство а² - ab + b² > 0.

Используя приведенные выше неравенства, получаем

а³ + b³ + 3abc = (a + b)(а² - ab + b²) + 3abc > с(а² - ab + b²) + 3abc =

= с(а² - ab + b² + 3ab) = c(a + b)² > c³.

Следовательно, неравенство а³ + b³ + 3abc > c³ доказано.

Пример 5.

Доказать, что для выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c, d имеет место неравенство
S ≤ (a + c)/2 · (b + d)/2, где S - площадь четырехугольника.

Доказательство.

Пусть ABCD - искомый выпуклый четырехугольник со сторонами AB = a, BC = b, CD = c и AD = d.

Нетрудно видеть, что площадь S четырехугольника ABCD можно оценить сверху следующими двумя способами:

S = SABC + SACD = (a · b · sin B)/2 + (c · d · sin D)/2 ≤ (a · b)/2 + (c · d)/2 и

S = SABD + SBCD = (a · d · sin A)/2 + (b · c · sin C)/2 ≤ (a · d)/2 + (b · c)/2.

Отсюда получаем

2 · S ≤ (a · b)/2 + (c · d)/2 + (a · d)/2 + (b · c)/2 = (a + с)(b + d)/2.

Следовательно, неравенство S ≤ (a + c)/2 · (b + d)/2 доказано.

Если четырехугольник ABCD не является выпуклым, то, отражая стороны c и d относительно внешней диагонали, получим выпуклый четырехугольник площади S*, где S* > S. В этой связи можно рассматривать только выпуклые четырехугольники.

Владение нестандартными приемами решения и доказательства неравенств является одним из критериев выявления уровня знаний основных разделов школьной математики, а так же уровня развития математического и логического мышления.

Умение решать задачи, особенно с использованием нестандартных методов, открывает так же большое число различных эвристических приемов общего характера, которые ценны для математического развития личности. Такие приемы могут быть применены в исследованиях и на любом другом математическом материале. Регулярная практика в решении задач играет большую роль в формировании логического мышления и математической культуры.