Практикум по алгебре в 11 классе

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

(на примерах из МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Задания № 9 в контрольной работе - это задачи повышенной сложности на исследование и решение уравнений или систем уравнений, содержащих все основные элементарные функции и зависящих от параметров. Обычно это уравнения или системы, сводящиеся к квадратным уравнениям. Сначала находим ОДЗ, затем выбираем переменную, относительно которой будем решать. Основными методами решения являются: 1) аналитический; 2) графический; 3) особые случаи.

Полезно знать: Если получили квадратное уравнение , то при A > 0

1. х ≥ 0 1) единственное решение:

D ≥ 0

(С/А)

c проверкой на нулевые точки

2) два решения:

D > 0

(С/А)

(- B/A)

3) имеет решение ( хотя бы один корень или два и т. д.)

Все случаи рассматривать не будем, а из D ≥ 0 вычтем

D > 0

(С/А)

( - B/A),

то что останется и будет решением.

4) не имеет решения: к D < 0 прибавить

D > 0

(С/А)

( - B/A),

2. х < 0 1) единственное решение:

D ≥ 0

c проверкой на нулевые точки

2) два решения:

D > 0

3) имеет решение ( хотя бы одно решение):

(не нужно рассматривать все случаи )

Из D ≥ 0 вычитаем

D > 0

,

то что останется и будет решением.

4) не имеет решения: к D < 0 прибавить

D > 0

.

Рассмотрим примеры с параметром, содержащие модули.

Пример 1. Укажите все значения параметра р , при которых уравнение

имеет единственное решение. Найти эти корни при каждом значении р.

Решение. ОДЗ: 1) Если х ≥ 0, то знаменатель примет вид х - х = 0, что невозможно, значит, х ≥ 0 не может быть.

2) Если х < 0, то знаменатель примет вид х - |х| = х - (- х) = х + х = 2х.

Исходное уравнение примет вид:

(*)

Переформулируем задание : найдем все значения параметра р , при которых уравнение (*) имеет единственный отрицательный корень. Это возможно, если будет выполняться условие:

D ≥ 0

.

Найдем D/4 для (*) :

Корни:

( по теореме Виета)

Решим систему:

-2 ( р - 4 ) ≥ 0; р - 4 ≤ 0

, (р - 2 )( р + 4 ) < 0

Проверяем нулевые точки: если р = - 4, то оба корня не отрицательные

р ≠ - 4.

Если р = 2, то

один из корней отрицательный р = 2.

Если р = 4, то

х = - 4 - отрицательный корень р = 4.

Окончательно имеем: при уравнение (*) , значит, и исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ: , .

Пример 2. Укажите все значения параметра а , при которых система

имеет решение.

Решение. ОДЗ: х ≠ 0.

1. х > 0, , .

Переформулируем задание. Найдем все значения параметра а, при которых уравнение (*) имеет положительные корни. (см. схему)

Для чего из D ≥ 0 вычтем

D ≥ 0

Решим неравенство:

Если а = - 7, х= -3 - отрицательно а ≠ -7.

Если а = 3, х = - 3 - отрицательно а ≠ 3.

, , (а - 2) (а +6) > 0

.

- отрицательно (верно)

Из дискрименантной области ( - 7; 3 ) вычтем объединение промежутков: ( - ∞; - 6) ( 2; +∞) ( - 7; 3) = ( 7; - 6) ( 2; 3)

Осталось: а € ( -6; 2 ) - промежуточный результат.

2. х < 0, , , у = -2.

Переформулируем задание. Найдем при каких значениях параметра а уравнение (**) имеет отрицательные корни. Для чего из D ≥ 0 вычтем ( исключим)

D ≥ 0

.

Решим неравенство:

( а + 3) (а - 7 ) ≤ 0, а € ( -3; 7) .

Проверим нулевые точки :

если а = -3, х = - 3 - отрицательно а = - 3;

если а = 7 , х = - 3 - отрицательно а = 7

а € [ -3; 7] .

,

- отрицательно неверно. Значит, система

D ≥ 0

не имеет решений , т. е. а € ǿ.

.

Значит из числового промежутка [ -3; 7], исключив пустое множество, получим это же множество: т.е. . а € [ -3; 7] - промежуточное решение.

Объединяя числовые промежутки в случаях 1 и 2 , получим а € (- 6; 7].

Ответ: при а € (- 6; 7].

Пример 3. Укажите все значения параметра а , при которых уравнение

имеет единственное решение. Найти эти корни при каждом значении а.

Решение. ОДЗ: ,

Если х ≥ 0, , , х € [ 0; 6)Ụ ( 6; +∞).

Если х< 0, , ,

Но так как х < 0, то в этом случае х € Ǿ .

Итак: х € [ 0; 6 )Ụ ( 6; +∞), т.е. область определения этого уравнения все неотрицательные числа, кроме х = 6. На это значение х в дальнейшем необходимо обратить внимание. Уравнение примет вид: ,

. Найдем при каком а уравнение (*) имеет единственное неотрицательное решение.

D ≥ 0

Найдем решение системы: ; а € [ - 4; 3 ], при а = 12,

, х = 12 - единственное решение.

Значит, а = 12 включается в решение.

Берем выколотую точку х = 6 и подставим это значение в уравнение (*):

, , .

Если а = 3, то , , х = 0, х ≠ 6.

Если а = 8, то , ,

, , , но х ≠ 6 .

Замечаем, что при а = 8 имеется единственное решение х = 10 а = 8

включаем в решение.

Ответ: ; при ;

при а =3, х = 0; при а =8, х = 10.

Пример 4. Укажите все значения параметра а , при которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Решение.

1 - х = 0 , х + 3 = 0 I II III

х = 1 х = - 3 -3 1 х

I) ,

Найдем при каком значении а уравнение (*) имеет два корня, которые меньше -3:

, .

а € Ǿ , т.е. ни при каком а уравнение (*) не имеет двух корней на числовом промежутке ( - ∞; - 3 ).

Найдем при каком а уравнение (*) имеет единственный корень на промежутке ( - ∞; - 3 ).

-3 х

(1)

(2)

.

Значит, при - единственный корень.

II) ,

исследуем в этой области уравнение (**) на 2 решения.

,

Исследуем в этой области уравнение (**) на единственном решении.

Устроят нас два решения:

-единственный корень

-единственный корень

III) ,

Исследуем уравнение (***) на два решения третьей области.

(1)

Исследуем уравнение (***) на одно решение:

1

(2)

.

(3)

а ϵ Ǿ

а ϵ ( 1; 3 ) единственное решение.

Покажем решение на осях параметров

I

II

III

Ответ: а € [ - 3 ; +∞ )

Пример 5. Укажите все значения а , при которых уравнение

имеет два корня. Найдите эти корни при каждом а.

Решение.

I II III

0 4

I ) , ,

( 1 )

II ) , ,

( 2 ).

III ) , ,

( 3 )

Замечаем , что уравнения (1), (2), (3) задают окружности с центрами (0; -2), (0; 0), (0; 2) соответственно и R = 5. построим эти окружности в системе координат хОа. Выделим те дуги этих окружностей, которые соответствуют заданным числовым промежуткам.

Рассекая параллельными прямыми , находим те значения а , при которых эти прямые пересекают две дуги: .

Ответ: , , .

, ,

, , .

Пример 6. Определите все значения а , при которых уравнение имеет два различных корня.

Решение.

ОДЗ: х ≠ 0.

I ) х > 0, ,

, ( 1 )

Найдем при каких значениях параметра а уравнение ( 1 ) имеет два положительных корня и один положительный корень.

Исследуем на два корня:

- два положительных корня. Исследуем на один корень:

Проверим на ненулевые точки : а = - 3, х = 0, х = 6 а = -3;

а = 2, х = 0, х = - 4 а ≠ 2.

Значит, при а € [ - 3 ; 2 ) - один положительный корень

II ) х < 0, ,

( 2 )

Выясним при каких значениях параметра а уравнение ( 2 ) имеет два отрицательных корня и один отрицательный корень.

Исследуем на два корня:

два отрицательных корня.

Исследуем на один отрицательный корень:

Проверим на нулевые точки : а = - 2 , х = 0, х = 4 а ≠ - 2

а = 1, х = 0, х = -2 а = 1

а = 2, х = - 2 а = 2

- один отрицательный корень.

Проведем отбор, тех значений параметра а, где исходное уравнение будем иметь два разных корня:

Ответ:

Пример 7. Найти все значения параметра р, при которых уравнение не имеет решения.

Решение.

Пусть , причем t≥0. Тогда имеем:

Заданное уравнение не имеет решений, если уравнение (*) не имеет корней, а также если оно имеет только отрицательные корни.

1. Если (10-р )=0 уравнение вырождается в линейное, р = 10 0 - 10t + 6 - 10 = 0 t = - 2 / 5 < 0 при р = 10 заданное уравнение не имеет решений.

2. D = 100 - 4∙ 5 ∙ (10 - p )( 6 - p ) = - 20 (p - 16p + 55 )

D < 0, - 20 (p - 16p + 55 ) < 0, 20( p - 5 )(p - 11 ) > 0

p € (-∞ ; 5 ) Ụ ( 11 ; + ∞ )

3. Возможно два случая положения параболы с отрицательными корнями:

Если ( 10 - р ) ≠ 0, то .

Рисунок а) описывается условием:

р = 11.

Рисунок б) описывается условием:

p € ( 10 ; 11 ).

Объединяя результаты исследования, получим:

p € (-∞; 5 ) Ụ [ 10 ; +∞ ) - при этих значениях р заданное уравнение не имеет решений.

Ответ: при p € (-∞; 5 ) Ụ [ 10 ; +∞ ).

19