Министерство общего и профессионального образования Свердловской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Свердловской области

«УРАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГАПОУ СО «УПК»)

Комплект оценочных средств (КОС)

учебной дисциплины

ОУД.11 «Математика: алгебра и начала анализа, геометрия»

для специальности СПО

(углубленной подготовки)

38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Екатеринбург

2015 г.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

• Понятие непрерывность функции; производная функции; определенный интеграла; криволинейная трапеция; комбинаторика; событие, вероятность события; параллельность прямой и плоскости; параллельность плоскостей; перпендикулярность прямой и плоскости; наклонная и перпендикуляр; угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, двугранный угол; скрещивающиеся прямые; понятие многогранника; многогранные углы. ; развертка; выпуклые многогранники; призма, параллелепипед, пирамида, усеченная пирамида, правильные многогранники; тела вращения; цилиндр; конус; шар и его элементы; сфера; боковая площадь и площадь поверхности многогранников и тел вращения; объем многогранника и тела вращения; симметрия в пространстве; диагональное и осевое сечение; касательная плоскость к сфере; тригонометрические уравнения и неравенства

• определения: синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла; логарифм числа, тригонометрические, область определения функции, множество значений функции, обратная функция; правильная призма; правильная пирамида; прямая призма; тетраэдр; куб.

• смысл математических величин: градусная и радианная мера угла; единицы площади и объема

• смысл математических формул, свойств: площади боковой и полной поверхности, объемов многогранников и круглых тел; формулы корней тригонометрических уравнений, формулы вычисления производных и первообразных

• вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на развитие математики.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь: проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, и тригонометрические функции; использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств; тригонометрические уравнения и , симметрия относительно осей координат; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод; вычислять производные и первообразные элементарных функций; исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшее и наименьшее значения функции; строить графики функций с помощью производной; решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; уметь строить и исследовать простейшие математические модели:

моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры; проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения; моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать

практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин; моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий; описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках

• уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; уметь сечение многогранника плоскостью

• приводить примеры практического использования математических знаний на примерах функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях; при решении стереометрических задач

делать выводы при решении уравнений и неравенств, при отборе корней тригонометрического уравнения; при исследовании свойств функций и построения их графиков с помощью производной; при решении стереометрических задач

• воспринимать и на основе полученных знаний самостоятельно оценивать информацию, содержащуюся в сообщениях СМИ, Интернете, научно-популярных статьях;

• применять полученные знания для решения математических задач

при изучении математики как профильного учебного предмета;

• определять характер по графику, таблице, формуле;

• использовать приобретенные знания и умения в практической

деятельности и повседневной жизни: анализировать реальные числовые данные; осуществлять практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера.

2. Комплект оценочных средств

2.1 Задания для проведения экзамена

ЗАДАНИЕ № 1. Теоретическое задание.

Вопросы к устному экзамену по математике составлены в соответствии с учебным планом, рабочей программой по математике.

Перечень теоретических вопросов.

1. Аксиомы стереометрии, следствия из аксиом.

2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

3. Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Теорема о перпендикуляре и наклонных.

4. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости.

5. Расстояние от точки до прямой. Теорема о трех перпендикулярнах.

6. Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности и прямой и плоскости.

7. Параллельность плоскостей ( сформулировать два признака, доказать один ).

8. Теорема о параллельных плоскостях ( сформулировать три теоремы , доказать одну).

9. Двугранные угол. Признаки перпендикулярности двух плоскостей.

10. Прямоугольный параллелепипед , его свойства.

11. Боковая поверхность наклонной и прямой призмы .

12. Боковая поверхность правильной пирамиды.

13. Боковая поверхность усеченной пирамиды.

14. Призма. Объем призмы.

15. Усеченная пирамида. Объем усеченной пирамиды.

16. Цилиндр. Объем цилиндра .

17. Конус. Объем конуса .

18. Усеченный конус. Объем усеченного конуса.

19. Шар и сфера. Площадь сферы.

20. Предел бесконечной числовой последовательности . Теоремы о пределах.

21. Производная. Общее правило дифференцирования.

22. Производная. Производные элементарных функций.

23. Производная. Геометрический смысл производной.

24. Возрастание и убывание функций.

25.Исследование функции на экстремум.

26.Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства.

27.Определенный интеграл. Формулы Ньютона- Лейбница .

28.Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания

Примеры .

29.Событие, вероятность события. Теоремы сложения и умножения

вероятностей.

30.Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания.

Примеры .

31.Формула биома Ньютона . Треугольник Паскаля.

32.Усеченная пирамида. Объем усеченной пирамиды.

2.2. Практические задания к устному экзамену

ЗАДАНИЕ № 2 и № 3. Практическое задание.

Примеры практических заданий

1. Решите задачу: Диагонали ромба равны 60 см и 80 см. В точки пересечения диагоналей к плоскости ромба восстановлен перпендикуляр длинной 45 см. найдите расстояние от концов перпендикуляра до стороны ромба.

2. Вычислите: а) б)

3. Решите задачу: Стороны треугольника равно 20 см, 65 см, 75 см. Из вершины большего угла треугольника проведен к его плоскости перпендикуляр длиной 60 см. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.

4. Вычислить: а) б)

5. Решите задачу: Два отрезка заключены между параллельными плоскостями. Сумма этих отрезков 12 см. Проекции отрезков на плоскость равны 1 см и 7 см. Найдите расстояние между плоскостями.

6. Найдите:

7. Решите задачу: Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 15 см и 20 см проведен перпендикуляр к плоскости треугольника длинной 16 см. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до гипотенузы.

8. Вычислите:

9. Решите задачу: Катеты прямоугольного треугольника равны 14 см и 48 см. Перпендикуляр к плоскости треугольника , проведенный из вершины прямого угла, равно 6 см. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до середины гипотенузы.

10. Найдите :

11. Решите задачу: Точка, удалена от каждой вершины прямоугольного треугольника на 26 см, удалена от его плоскости на 24 см. Определите длину гипотенузы и катета, если другой катет равен 12 см.

12. Вычислите: а) б)

13. Решите задачу: Основание прямоугольного параллелепипеда служит ромб с диагоналями 12 и 16. Диагональ боковой грани равно 26. Определите полную поверхность параллелепипеда.

14. Вычислите : а) б)

15. Решите задачу: Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равно 16 см и 12 см. А площадь диагонального сечения 300 см2 . Вычислите боковую поверхность параллелепипеда.

16. Исследуйте функцию y=x3 +x2 -x+4 на экстремум.

17. Решите задачу: Основание пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны равны 3 и 7 , а одна из диагоналей равно 6. Высота пирамиды равна 4 и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды .

18. Вычислите: а) б)Y' для y=(

19. Решите задачу: Основание прямой призмы служит ромб. Диагонали призмы равно см и 10 см, а высота равна 8 см . Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

20. Вычислите: а) б)

21. Решите задачу: В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 7, а стороны оснований 3 и 5 . найдите диагональ этой усеченной пирамиды.

22. Вычислите: Y' для

23. Решите задачу: Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 10 см и 2 см, а высота пирамиды равна 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

24. Вычислите: а) б)

25. Решите задачу: Основание пирамиды- прямоугольник со сторонами 12 и 16, каждое боковое ребро пирамиды равно 26 . Найдите высоту пирамиды.

26. Исследуйте функцию: y=-x³+3x

27. Решите задачу: Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды высотой 4 см и стороной основания 6 см .

28. Вычислите: а) б )

29. Решите задачу: Основание пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны равны 3 см и 7 см , угол между ними 45°. Высота пирамиды равна 4 см. Найдите объем пирамиды.

30. Вычислите: а) б) найдите y' функции y=x⁴ lnx

31. Решите задачу: В правильной четырехугольной усеченной пирамиде апофема равна , а стороны оснований равны 3 и 5 . Найдите объем усеченной пирамиды.

32. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x²-4, ось Ox.

33. Решите задачу: Основание пирамиды- прямоугольных треугольник с катетами 6 и 8. Все боковые ребра равны . Найдите объем пирамиды.

34. Вычислите: а) б) Y' для

y=

35. Решите задачу: Измерения прямоугольного параллелепипеда равно 8, , . Найдите ребро куба, объем которого равен объему данного параллелепипеда.

36. Вычислите: а) б) Y' для y=x²cos x

37. Решите задачу: Образующая конуса равна 4 , высота равна радиусу основания. Найдите объем конуса.

38. Вычислите: а) б) найдите y' функции y=x² tgx

39. Решите задачу: Осевое сечение цилиндра - квадрат , площадь которого 8 см² . Найдите объем цилиндра.

40. Вычислите:

41. Решите задачу: Определите площадь полной поверхности равностороннего цилиндра, если площадь боковой поверхности равно 50 см².

42. Вычислите: а) б)

43. Решите задачу: Высота усеченного конуса равно 4, радиусы его оснований равны 2 и 5. Найдите площадь боковой поверхности этого усеченного конуса.

44. Вычислите: а) б) Y' для y=x²-ln x

45. Решите задачу: Радиус шара равно 60. Некоторая точка находится в плоскости, касательной к шару, от точки касания на расстояние, равное 2/3 диаметра шара. Найдите расстояние от данной точки до центра шара.

46. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x², x=1, x=2, ось Ox

47. Решите задачу: Сечения шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144π и 25π. Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между плоскостями равно 17.

48. Вычислите:

49. Решите задачу: Диаметр шара равен 20. Площадь сечения шара плотностью равно 64π. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения.

50. Вычислите:

51. Решите задачу: Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8, боковое ребро - 6. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

52. Исследуйте функцию y=2x³-12x²+105

53. Решите задачу: В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 5см, 12 см, 16 см. Концы трех ребер, выходящих из одной вершины, соединены. Вычислить периметр образовавшейся фигуры.

54. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x²+2, x=-2,x=1 и осью Ox.

55. Решите задачу: Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра , образует с основанием угол 45°. Сторона основания 4см. Определить боковую поверхность призмы.

56. Вычислите: а) б)

57. Решите задачу: Площади диагональных сечений правильной четырехугольной усеченной пирамиды каждая. Стороны ее основания 8 и 2 . найдите высоту этой пирамиды.

58. Вычислите: а) б) y=sin x* cos x

59. Решите задачу: Сечения шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144π и 25πю Найдите площадь поверхности шара , если расстояние между плоскостями равно 17.

60. Вычислите: а) б)

61. Решите задачу: Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны равны 3 и 7, а одна из диагоналей равно 6. Высота пирамиды равна 4 и проходит через точку пересечения диагоналей основания . найдите боковые ребра пирамиды.

62. Вычислите:

2.3. Критерии оценки экзамена

Нормы оценки знаний и умений студентов по математике

При оценке ответов студентов учитываются следующие знания:

О числах и числовых выражениях

• определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество, десятичный и натуральный логарифмы, число е;

• радианная мера угла;

О степенях и корнях

• определение и свойства степенной функции;

• определение четной и нечетной функции;

• определение и свойства корня n-ой степени;

• свойства степени с натуральным, рациональным, действительным показателем.

О логарифмах

• определение логарифмической функции ее область определения и значения;

• свойства логарифмов;

• формула перехода от одного основания к другому.

О функциях

• определение показательной функции ее область определения и значения;

• определение тригонометрических и обратных тригонометрических функций и их области определения и значения;

О многогранниках

• выпуклые и невыпуклые многогранники их свойства, сечения;

• правильные многогранники и их свойства;

• тела вращения и их свойства;

• развертки многогранников и тел вращения;

• формулы площадей поверхностей и объемов геометрических тел.

Оценке подлежат умения:

• организовывать собственную деятельность при выполнении арифметических действий над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;

• применять знания и умения при вычислении значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства;

• выбирать методы и способы для приближенной оценки практических расчетов;

• демонстрировать навыки самоконтроля и саморазвития при выполнении преобразования выражений, применения формул, связанных со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

• использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

• применять знания и умения при вычислении значений функций по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

• умение извлекать пользу из полученного опыта при определении основных свойств числовых функций и иллюстрирования их на графиках;

• организовывать собственную деятельность при построении графиков изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

• умение строить геометрические тела и применять знания формул площадей и объемов при решении стереометрических задач;

• использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

• умение делать заключительные выводы при решении рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений, уравнений, сводящихся к линейным и квадратным, а также при решении аналогичных неравенств и систем;

• использовать графический метод решения уравнений и неравенств;

• умение применять решения в различных ситуациях, изображая решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными их на координатной плоскости;

• умение делать заключительные выводы при решении стереометрических задач;

• умение применять свои знания в различных ситуациях при решении стереометрических задач;

• умение отыскивать причины явлений, связывающие неизвестные величины в геометрических (в том числе и в прикладных) задачах.

Оценка ответов студентов

Оценка «5» ставится в том случае, если студент:

-обнаруживает верное понимание математических законов и теорем, дает точное определение и истолкование основных понятий, верно применяет различные математические формулы и свойства;

-правильно выполняет чертежи, схемы и графики, сопутствующие ответу;

-строит ответ по собственному плану, сопровождает ответ новыми примерами, умеет применить знания в новой ситуации при выполнении практических заданий;

-может установить связь между изучаемым и ранее изученным материалом по курсу математики, а также с материалом, усвоенным при изучении других предметов.

Оценка «4» ставится если ответ удовлетворяет основным требованиям к ответу на оценку «5», но студент не использует собственный план ответа, новые примеры, не применяет знания в новой ситуации, не использует связи с ранее изученным материалом и материалом, усвоенным при изучении других предметов.

Оценка «3» ставится, если большая часть ответа удовлетворяет требованиям к ответу на оценку «4», но в ответе обнаруживаются отдельные пробелы, не препятствующие дальнейшему усвоению программного материала; студент умеет применять полученные знания при решении простых задач с использованием готовых формул и чертежей, но затрудняется при решении задач, требующих преобразования формул или дополнительных геометрических построений.

Оценка «2» ставится в том случае, если студент не овладел основными знаниями и умениями в соответствии с требованиями программы.

Оценка «1» ставится, если студент не может ответить ни на один из поставленных вопросов.

Перечень ошибок

Ошибка считается грубой, если студент:

1. не умеет выделить в ответе главное;

2. не умеет формулировать выводы в практических работах и устных ответах;

3. не знает определений основных понятий, правил, формул или свойств геометрических тел;

4. неверно применяет формулы, свойства или правила, не владеет алгоритмами решения различных задач, неверно выполнил чертеж к геометрической задаче;

5. не учитывает ОДЗ при отборе корней решаемого уравнения, неравенства или системы уравнений;

6. при решении неравенств умножает обе его части на выражение, знак которого неизвестен;

7. возводит в квадрат обе части иррационального неравенства, знак которых неизвестен

8. делает неверные заключения о соотношениях между элементами геометрических фигур.

К негрубым ошибкам относятся:

1) неточности формулировок, определений, понятий теории, вызванные неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия;

2) не может сформулировать правила, но пишет при этом грамотно;

3) отдельные погрешности или неточности в формулировке вопроса или ответа.

Недочетами считаются:

1) пропуск или замена буквы в словах;

2) допускает речевые ошибки в устной речи

3) небрежное выполнение записей, графиков функций, геометрических чертежей.

2.4. Пакет экзаменатора

• ПАКЕТ ЭКЗАМЕНАТОРА

• экзаменационные билеты

• экзаменационная ведомость

• журнал учебной группы

Задание на экзамене выдаются в письменном виде (см. образец билета). Задание: Устный ответ по билетам указывается тип задания (теоретическое, практическое), номер задания и его краткое содержание. Каждый билет содержит одно теоретическое два практических задания.

Образец билета:

УРАЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

Рассмотрено предметной комиссией естественнонаучного цикла

« » 2014 г.

Председатель Гриднева В. И.

__________________________

ЭКЗАМЕННАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1 по МАТЕМАТИКЕ: алгебре и начала анализа, геометрии

I курса специальности

(с углубленной подготовкой) 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)»

Вопрос №1

Аксиомы стереометрии, следствия из аксиом.

Вопрос №2

Решите задачу:

Диагонали ромба равны 60 см и 80 см. В точки пересечения диагоналей к плоскости ромба восстановлен перпендикуляр длинной 45 см. найдите расстояние от концов перпендикуляра до стороны ромба.

Вычислите: а) б)

Вопрос №3

Вычислите: а) б)

« » июня 2015 г. Преподаватель Нелюбина Е.А.

Условия выполнения задания

Место (время) выполнения задания: учебная аудитория

Максимальное время выполнения задания: 40-50 мин.

По желанию, студенту разрешается один раз заменить билет.

Литература для экзаменующихся (справочная, методическая и др.)

Основные источники

1. Омельченко В. Т. Курбатова Э.В. Математика издание 8-е; Фгос 3-го поколения 2013, «Феникс» Ростов -на- Дону

2.Алимов Ш.А. и др. Колмогоров Ю. М. и др. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл (базовый уровень) - 19 издание, Москва, « Просвещение», 2013года

3.Башмаков М.И. Математика 8-е издание; 2013г; издательский центр «Академия» Москва

Дополнительные учебные издания для студентов

1.Данилов Ю. М. Журбенко Л. Н. и др. Математика под ред. Журбенко Л.И.,

Никоновой Г. А. ФРОС -3го поколения соответствует 2013г.

Изд. «ИНФРА-М» Москва

2.Фадеев Л. Н., Лебедев А В. Теория вероятностей математическая статистика под ред. Фадеевой Л. Ф. 2-издание изд. «ЭКСМО» Москва; 2010г.

Интернет-ресурсы:

1. bymath.net/ Математическая школа в Интернете.

2. imc-new.com/index.php/teaching.../210-2011-04-19-06-23-55

Методические рекомендации.

1. nsc.ru/win/mathpub/ математические публикации